Sequências-e-Series-Numéricas-Conceitos-e-Exemplos

1 Sequências Numéricas Uma sequência numérica é uma função nan ajo domínio é um subconjunto de IN O termo au é chamado termo geral Exemplos Seja a sequência de termo geral an 2 Emos O ao 2 an 22 Ga 2 Exemplo 2 Seja a sequência de termo geral an 1 Temos as 1 an as i d 1 10 EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 fn fn 16 1 8 E 4 14 2 18 I 16 i n in I I I 4 g N DIVERGENTE CONVERGENTE Se liman for finito diremos que a sequência an é con n 0 vergente caso contrário diremos que a sequência é divergen te Exemplo Calcule limna limntn1 lim n to 242 5 n 02 I Corema do Confronto para Sequências Se an bn En para na no e lim an lim e L então limbu L noto noto noto Exemplo Calcule lim I senn noto w 1 Observemos que 1 senu 1 Além disso N W n lim1 lim 1 0 Segue do Corema do Confronto para noto N no to n Sequências que lim I senn 0 noto w Exemplo Calcule lim n noto Para esse caso precisaremos utilizar a Regra de LHospital Te Seja Fx a eua lim ha lim sit lime a Gato 1 I to I to Exemplo Para que valores de a sequência v é convergente Sabemos quelimp e 1 elimr O Os Logo Lim as O se OV1 Ao utilizar o critério de convergência Se limlan1 0 então liman o n b concluímos que para 0 Ir11 lim Se 1 diverge pelo critério das subsequências A sequência r é convergente ser e divergente para to dos os outros valores de r lim 2 IS O se 1VLI n 0 1 se v 1 Exemplo Considere a sequência de termo geralsu o Verifique que Su 1 fith 1 t Vamos entender como essa sequência é formada 3 to to 1 t 5 to t 1 t t k 0 5 t t 1 t t 11 Su tt f t 1 t ti th Multiplicando os membros port obtemos 12 tSw t ti ti n 1 Subtraindo membro a membro 1 e 2 obtemos 1t Su 1fith So 1 th 1 t Observe que su é a soma dos termos da progressão geomé trica 1 t th t 2 Séries Numéricas Definição Seja an q e q um natural fisco uma sequência numérica a sequência de termo geral N Su ar n q k q denominase série numérica associada à sequência an O limite da Série quando existe finito ou infinito denominase soma da série e é indicada por ar Assim k q to ar lim an k q H 3k q Se a soma for finita diremos que a série é convergente Se a soma for infinita ou se o limite não existir diremos que a série é divergente Exemplo Série Geométrica Morre que para OIrk1 p 1 R 0 1 p Supr 1tr 2 pu 2 1 V Como Iv11 imuno segue que lim po lim 1 pat 1 n 0p 0 n 31 V 1 U Logo a série dada é convergente e tem por soma Exemplo Calcule a soma É uma série geométrica segue do exemplo anterior que 2 Critério do termo geral para divergência Seja a série ap Se R 0 1 liman O ou seliman não existir então a Série Ar R 0 será divergente Exemplo Mostre que a crie 2 diverge 5024 R 1 Aplique o Ceste da Divergência Exemplo Considere a série Prove que R 1 f a p 1 1 é convergente RP R 1 b p 1 é divergenta Para po limplimp Segue do Ceste da divergência que é divergente para p Para p 0 consideremos F 1 R dada por fa A função f é decrescente e positiva Aplicaremos o Ceste da Integral para pt1 t t Idali dlimpe 1 lim1 tP 1vp 1p trato os p1 O caso p 1 é a conhecida série harmônica Portanto para p1 a psérie é divergente e para p 1 a psérie é convergente Apsérie p é convergente se p e divergente se p1 n 1 Teste da Série Alternada Se a série alternada to 1bu by ba by bu by by bux n 1 satisfizer i but bu para todo n ii lim bu 0 na 0 então a série é convergente O Este da Razão I se lim am 1 então a série an é convergente n to An n 1 ii Se lim Cn1 L71 ou se lim Cn1 a então a n to An n to An I P Série an é divergente n 1 iii Se lim Cn1 1 o Teste da Razão não é conclusivo n to An Exemplo Ceste a Série quanto a convergência au de vergência A série é alternada e como a função fla édecrescen te então fn fn e portanto busbn para n22 A condição il é verificada pelas propriedades de limite Então a série dada é convergente pelo Ceste da Série Alter mada Exemplo Teste a convergência da Série imm Como e1 a série dada é divergente pelo Teste da Razão