Séries e Equações Diferenciais

Lista 1 Sequências e Séries Infinitas 1 Liste os cinco primeiros termos das sequência a an 2n 2n 1 b an 31n n c a1 2 a2 1 an1 an an1 n 2 2 Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência assumindo que o padrão dos primeiros termos continue a 4 1 14 116 164 b 12 43 94 165 256 c 1 0 1 0 1 0 1 0 3 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir encontre o limite a an 3 5n2 1 n2 b an 2 086n c an e1n d an cosnπ n1 e an 1n1 n 1 n2 f an 1 2nn g an sen2n 1 n 4 Mostre que a sequência definida por a1 1 an1 3 1 an é crescente e an 3 para todo n Deduza que a sequência é convergente e encontre o limite 5 Mostre que a sequência definida por a1 2 an1 1 3 an satisfaz 0 a n 2 e é decrescente deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite 6 Verifique se a série é convergentes ou divergentes Se for convergente calcule a sua soma a 18 14 12 1 b 13 29 127 281 1243 2729 c n1 1 3n 2n d n1 1 en 1 nn 1 e n1 3 5n 2 n 7 Escreva a seguinte série como uma série telescópica e calcule sua soma n1 3 nn3 8 Uma sequência de termos é definida por an 1 an 5 nan1 calcule n1 an 9 Encontre os valores de x para os quais a série converge e a expressão para a soma da série para esses valores de x a n1 x 2n d n0 senn x 3n e n0 enx 10 Uma droga e injetada em um paciente a cada 12h Imediatamente antes de cada injecao a concentracao de droga foi reduzida para 90 e a nova dose causa um aumento na concentracao de 1 5 mgl a Qual a concentracao depois de trˆes doses b Se Cn e a concentracao depois na nesima dose encontre uma formula para Cn em funcao de n c Qual e o valor limite da concentracao 11 Depois da injecao de uma dose D de insulina a concentracao de insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrita como Deat onde t representa o tempo em horas e a e uma constante positiva a se uma dose D e injetada a cada T horas escreva uma expressao para a soma das concentracoes residuais pouco antes da n 1esima injecao b Determine o limite de concentracao preinjecao c Se o paciente nao produz insulina e se a concentracao de insulina no corpo do paciente deve ser sempre igual ou superior a um valor critico C determine uma dose mınima D em termos de C a e T 3 ①a an 2n 2n 1 a1 21 21 1 23 a2 22 22 1 45 a3 23 23 1 87 a4 24 24 1 169 a5 25 25 1 3211 b an 31n n a1 311 1 3 a2 312 2 32 a3 313 3 12 a4 314 4 18 a5 315 5 140 c a1 2 a2 1 an1 an an1 a3 a2 a1 1 2 1 a4 a3 a2 1 1 2 a5 a4 a3 2 1 1 a Temos a1411142111421 a2112140111422 a31413141131423 a411614142141424 logo an1n142n b Temos a112111 1211 a223121 2221 a3941313231 Assim an1n1 n2n1 c Temos que a11sen1π2 a20sen2π2 a31sen3π2 a40sen4π2 Portanto an sennπ2 3a Temos lim n an lim n 35n21n2 lim n 10n22n2 lim n 5 5 Assim a sequência converge para 5 b Temos lim n an lim n 2086n 20 2 Então a sequência converge para 2 c Temos lim n en elim n 1n e0 1 Logo a sequência converge para 1 d Temos que lim n cosnπn1 coslim n nπn1LH coslim n π1 cosπ 1 Portanto a sequência converge para 1 e Temos que an 1n1 n1n2 n1n2 Assim lim n an lim n n1n2LH lim n 12n 0 ou seja lim n an 0 e portanto a sequência converge para 0 f Se n 2u então u quando n logo lim n 12nn lim u 122u2u lim u 11uu2 lim u 11uu2 e2 Então a sequência converge para e2 g Como sen2n 1 então an 11n e sendo lim n 11n 0 lim n an 0 lim n an 0 Deste modo a sequência converge para 0 4 Temos a2 a11 3 1an 3 11 3 1 2 a2 a1 suponhamos que an1 an e mostremos que an2 an1 Temse an2 an1 1 3 1an1 Como an1 an 1an1 1an 1an1 1an assim an2 3 1an1 3 1an an1 logo an2 an1 Portanto por indução an é uma sequência crescente Mostremos que an 3 Para n1 a1 1 3 Suponhamos que an 3 e provemos que an1 3 Temos an 3 1an 13 1an 13 3 1an 3 13 an1 83 3 Então an 3 n sendo an crescente segue que 1 a1 an 3 an é limitada Do Teorema de sequência Monótona an é convergente Temse limn an1 limn 3 1an lim n an propriedade de seq convergente Assim limn an 3 1limn an e sendo limn an L obtemos L 3 1L L2 3L 1 L2 3L 1 0 Logo L 3 9 411 21 3 5 2 Como 1 an estas necessariamente L 1 limn an 3 5 2 5 Temse a2 13 a1 13 2 11 1 a2 a1 Suponhamos que an1 an e mostremos que an2 an1 Temos que an2 an1 1 13 an1 Como an1 an an1 an 3 an1 3 an e assim 13 an1 13 an an2 an1 Por indução an é decrescente Sendo a1 2 e an decrescente então an 2 Mostremos por indução que 0 an De a1 2 a1 0 Suponha que an 0 e verifiquemos que an1 0 De fato an 0 3 an 3 13an 13 an1 13 0 an1 0 Logo 0 an 2 Segue do Teorema da Sequência Monótona que an converge e portanto lim n an lim n an1 lim n 13an lim n an 13 lim n an L lim n an L 13L L² 3L 1 L² 3L 1 0 Do exercício anterior L 3 52 ou L 3 52 Mas como L 2 então L lim n an 3 52 6 a Temos a0 18 20 a1 18 21 a2 18 22 Assim 18 14 12 1 Σ n0 to 18 2n a qual é uma série geométrica com r 2 2 1 logo ela diverge b Temos 13 29 127 281 1243 2729 13 127 1243 29 281 2729 13² 13³ 13⁵ 2 19 19² 19³ Σ n1 to 132n1 2 Σ n1 to 19n Notemos que 132n1 132n 131 13²n 131 19 191 19n 191 3 19 19n1 13 e 219n 219n 191 19 219 19n1 Assim Σ n1 to 132n1 Σ n1 to 13 19n1 série geométrica com a 13 e r 19 2 Σ n1 to 19n Σ n1 to 29 19n1 série geométrica com a 29 e r 19 Como r 19 19 1 as séries convergem a soma inicial é convergente Além disso Σ n1 to 132n1 13 1 19 38 2 Σ n1 to 19n 29 1 19 28 logo 13 29 127 281 1243 2720 38 28 58 c Temse Σ n1 to 1 3n2n Σ n1 to 12n 3n2n Σ n1 to 12n Σ n1 to 32n I II I Σ n1 to 12n Σ n1 to 1212n1 Σ n1 to 12 12n1 série geométrica com r 12 1 converge II Σ n1 to 32n Σ n1 to 32 32n1 série geométrica com r 32 1 diverge A divergência da série II implica na divergência da série inicial apesar da convergência de I d Temos Σ n1 1en 1nn1 Σ n1 11en Σ n1 1nn1 I II I Σ n1 1en Σ n1 1e1en11en Σ n1 1e1en1 série geométrica com r1e 1 convergente II Decompondo em frações parciais 1kk1 Ak Bk1 Ak A Bk kk1 kABk Ak A B 0 B A 1 A1 Assumja sn a sua soma parcial sn Σ k1n 1kk1 Σ k1n 1k 1k1 sn 11 111 12 121 13 131 1n 1n1 sn 1 12 12 13 13 14 1n 1n1 sn 1 1n1 e entao lim n sn lim n 1 1n1 1 0 1 ou seja II converge para 1 Portanto Σ n1 1e 1nn1 convergente e sua soma vale S 1e11e 1 1e1 1 1e1e1 S ee1 e Tem se Σ 35n 2n Σ 35n 2 Σ 1n n1 n1 n1 Como Σ 1n é divergente segue que 2 Σ 1n também o é e portanto a série inicial diverge 7 Decompondo em frações parciais 3kk3 Ak Bk3 Ak 3A Bkkk3 kA B 3Ak k3 A B 0 B A 1 3A 3 A 1 Logo a soma parcial da série será sn Σ 3kk3 Σ 1k 1k3 n k1 k1 sn 11 14 12 15 13 16 14 17 1n 1n3 1n 1n3 sn 1 12 13 1n1 1n2 1n3 logo Σ 3nn3 lim 1 12 13 1n1 1n2 1n3 n 1 12 13 0 0 0 6 3 26 116 8 Temos que a2 5 2 a21 3a1 31 3 a3 5 3a31 2a2 23 6 a4 5 4a41 1a3 6 a5 5 5a51 0 a6 6 5a5 10 0 a7 7 5a6 0 Logo n 5 an 0 Assim Σ an Σ an 1 3 6 6 16 n1 n1 4 9 a Como Σ n1 x2n Σ n1 x2x2n1 é uma série geométrica com a x 2 r então ela converge quando r1 x2 1 1 x 2 1 3 x 1 e sua soma vale a1r x21x2 x2x1 d Sendo Σ n0 senn x3n Σ n0 sen x3n então se trata de uma série geométrica com a 1 r senx3 então ela convergerá quando r 1 senx3 1 senx 3 o que é válido x R e sua soma é a1r 11senx3 33 senx c Σ n0 enx Σ n0 exn se trata de uma série geométrica com a 1 r ex Temos r 1 ex 1 1 ex 1 0 ex 1 ou seja a série converge se x 0 Sua soma é a1r 11 ex 10 a Temse C1 15 mgL Assim C2 01C1 15 C2 0115 15 015 15 165 mgL e C3 01C2 15 C3 01165 15 0165 15 1665 mgL b Observe que C2 0115 15 01 115 C3 01C2 15 0101 115 15 C3 15012 011 1 Assim Cn 15 01n1 01n2 012 011 010 Cn 15 Σ k1n 01nk série geométrica com a 1 e r 01 Cn 15 11 01n 1 01 Cn 531 01n c temse lim n Cn lim n 531 01n 531 0 53 mgL 11 a A concentração residual pouco antes da 2ª injeção é DeaT Antes da 3ª DeaT Dea2T Antes da n1ª injeção DeaT Dea2T DeanT a qual é uma soma parcial de uma série geométrica com a DeaT r eaT Assim sua soma será sn a1rn 1r DeaT 1eaTn 1 eaT DeaT 1 eanT 1 eaT b Sem n limn sn limn DeaT 1 eanT 1 eaT DeaT 1 0 1 eaT DeaT 1 eaT eaT eaT limn sn D eaT aT eaT eaT aT D e0 eaT e0 D eaT 1 c Pelo enunciado devemos ter D eaT 1 C D C eaT 1 Logo a dosagem mínima é D C eaT 1