Séries Lista 3

Lista 3 Séries de Poência e Séries de Fourier 1 Encontre uma representação em série de potência para a função e determine o intervalo de convergência a fx 1x 10 b fx 51 4x2 c fx x2x4 16 d fx x 1x 2 2 Expresse a função como uma série de potência usando primeiro funções parciais Encontre o intervalo de convergência fx 2x 4 x2 4x 3 3 a Use derivação para encontrar a representação em série de potência para fx 11 x2 Qual o raio de convergência b Use o item a para encontrar uma série de potências para fx 11 x3 c Use o item b para achar uma série de potência para fx x21 x3 4 Usando integração encontre uma série de potência para a função fx ln1 x 1 x 5 Calcule a integral indefinida como uma série de potências e indique o raio de convergência a x 1 x8 b x2 ln 1 x 6 Use a série de potências para tg1x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita π 23 from n0 to 1n 2n 13n 7 Encontre a série de Maclaurin de fx e o raio de convergência associado Não é necessário provar que f tenha expansão em série de potência ou seja não é necessário mostrar que Rnx tende a 0 a fx ex b fx senx c fx cosx d fx 2x e fx cos3x f fx xex 8 Encontre a série de Taylor centrada no valor dado de a e o raio de convergência associado Não é necessário provar que f tenha expansão em série de potência ou seja não é necessário mostrar que Rnx tende a 0 a fx lnx a 2 b fx 1x a 3 c fx cosx a π2 d fx e2x a 3 e fx senx a π 9 Demonstre que a série obtida na questão 7 c representa cosx para todo x 10 Demonstre que a série obtida na questão 8 e representa senx para todo x 11 Mostre que a série de Maclauryn para de fx 1 xk é a série binomial 1 xk from n0 to k n xn onde k n kk 1k 2k n 1 n são os coeficientes binomiais 12 Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência Diga o raio de convergência Para o raio de convergência veja o Teorema para a Série Binomial na seção 1110 do Stewart a fx ⁴1 x b fx ³8 x c fx 1 2 x3 d fx 1 x34 13 Use séries de Maclaurin conhecidas para obter a série de Maclaurin da função dada a fx senπx4 b fx x cos12 x2 c fx x2 2 x d fx xex 14 O desenvolvimento do circuito elétrico de um instrumento biomédico requer uma escolha correta dos componentes do circuito de modo que não coloque em risco a vida do paciente ligado a ele Para estimar os valores de corrente que passarão no circuito um engenheiro biomédico está avaliando a variação com a temperatura da resistência dos fios escolhidos para compor o circuito do equipamento A resistividade ρ de um dado metal depende da temperatura de acordo com a expressão ρT ρ20 eαT 20 Nessa equação T é a temperatura em oC ρ20 a resistividade a 20oC e α é o coeficiente de temperatura ρ20 e α são constantes positivas a Mostre que para simplificar os cálculos o engenheiro pode representar ρT como uma série de Taylor em torno de T 20 provando que Rnx vai para zero b Na faixa de temperatura de trabalho do instrumento a resistividade do metal escolhido tem um comportamento quase linear Como o engenheiro pode aproximar esse comportamento c Estime o erro que o engenheiro pode estar cometendo ao fazer essa aproximação considerando que o metal escolhido é o cobre para o qual ρ20 17 108 Ωm e α 00039 oC1 e uma janela de temperatura de 30 oC em torno da temperatura de 20 oC 15 Um dipolo elétrico consiste em duas partículas com cargas iguais q e sinais opostos separadas por uma pequena distância d A detecção dos campos elétricos gerados por dipolos elétricos em moléculas pode ser aproveitada no desenvolvimento de biossensores para detecção de biomarcadores específicos de doenças uma vez que pode afetar a afinidade eletrostática entre as moléculas alvo e as sondas de reconhecimento no biossensor Para avaliar a 1 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência da série a fx 1 x 10 Sabemos que para a série geométrica com u 1 é válida a relação 11u n0 un 11 x10 n0 1n xn10n 110 x n0 1n xn10n1 Logo a série é válida para x 10 b fx 51 4x2 Sabemos que somente se u 1 então é válida a seguinte relação obtida por meio da fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita 11u n0 un 51u n0 5un Dessa maneira se fizermos u 4x2 teremos a série requerida 51 4x2 n0 5 4x2n n0 5 4n x2n Logo a série será convergente somente se 4x2 1 x 12 c fx x2x4 16 Podemos representar a função da seguinte maneira fx x2x4 16 11 16x2 Ainda sabemos que somente se u 1 então é válida a relação do item anterior Então fazendo u 16x2 teremos a série requerida x2x4 16 n0 16x2n n0 16n x2n A convergência da série ocorre somente se 16x2 1 ou seja se x 4 d fx x 1 x 2 Podemos representar a função da seguinte maneira fx x 1 x 2 1 3x 2 1 3x 2 1 32 11 x2 Vamos primeiramente obter a série de potências de 3x 2 Para isso basta fazer u x2 na expressão da progressão geométrica vejamos 3x 2 32 n0 x2n n0 3 1n 2n1 xn Logo ficamos com fx 1 3 n0 12n1 xn A convergência é válida para x2 1 ou seja para x 2 2 Expresse a função como uma série de potências usando funções parciais e encontre o intervalo de convergência fx 2x 4x2 4x 3 Podemos escrever a função da seguinte maneira fx 2x 4x2 4x 3 1x 1 1x 3 11 x 13 11 x3 Vamos utilizar a série geométrica convergente para u 1 admitindo u x para a primeira fração e u x3 para a segunda 11 u n0 un fx n0 xn n0 x3n O primeiro somatório converge para x 1 enquanto o segundo converge para x 3 Como a função é composta pelos dois somatórios a série de Taylor de fx converge apenas para a intercessão dos intervalos ou seja para x 1 Os bisturis eletricos sao dispositivos usados em cirurgias para cortar tecidos biologicos Eles usam sinais retifi cados em meia onda o que permite controlar melhor a quantidade de corrente que passa pelo tecido durante a cirurgia Em um bisturi eletrico a retificacao em meia onda geralmente e realizada dentro do proprio disposi tivo proximo ao circuito de saıda que fornece a energia para o eletrodo cirurgico Depois que a corrente eletrica e retificada em meia onda ela e enviada ao eletrodo cirurgico de onde e aplicada no tecido biologico durante a cirurgia Supondo que a corrente eletrica enviada ao circuito de retificacao possa ser representada pela funcao fx senx a obtenha a funcao periodica de perıodo 2π que representa o resultado da retificacao em meia onda desse sinal b Para simular a resposta do eletrodo cirurgico a corrente retificada desejase obter a serie de Fourier dessa funcao Obtenha a serie de Fourier para a funcao que representa a onda retificada 5 viabilidade do desenvolvimento de um biossensor desejase estimar a intensidade do campo elétrico gerado por uma molécula que se comporta como um dipolo elétrico em um ponto P próximo do biossensor porém distante da molécula D d O módulo do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico em um ponto ao longo do eixo do dipolo o qual passa pelas duas cargas é E k qD2 qD d2 Descreveva o campo elétrico do dipolo usando uma aproximação por série de potência de dD dD faz o papel da variável x 16 Um disco uniformemente carregado tem raio R e densidade de carga superficial σ como na figura O potencial elétrico V no ponto P a uma distância d ao longo do eixo perpendicular central do disco é V 2πkeσd2 D2 d onde ke é a constante de Coulumb Mostre que V πkeR2σd para d R 17 Considere as funções periódicas de período 2π definida no intervalo π π Para cada uma delas obtenha a série de Fourier e identifique os valores para os quais a série converge nas descontinuidades quando houver a fx x b fx x se π x 0 x se 0 x π c fx 1 se π x 0 1 se 0 x π d fx 0 se π x 0 x se 0 x π e fx 0 se π x 0 cos x se 0 x π 18 A retificação em meia onda é comumente usada em eletrônica para converter um sinal de corrente alternada CA em um sinal de corrente contínua CC com uma polaridade específica O sinal retificado em meia onda é obtido removendose metade do ciclo de uma forma de onda de corrente alternada mantendo apenas uma metade positiva ou negativa conforme necessário Isso é feito através de um diodo ou dispositivo semelhante que permite que a corrente flua apenas em uma direção 1 Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência da série a fx 1 x 10 Sabemos que para a série geométrica com u 1 é válida a relação 11u n0 un 11 x10 n0 1n xn10n 110 x n0 1n xn10n1 Logo a série é válida para x 10 b fx 5 1 4x2 Sabemos que somente se u 1 então é válida a seguinte relação obtida por meio da fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita 11u n0 un 51u n0 5un Dessa maneira se fizermos u 4x2 teremos a série requerida 51 4x2 n0 5 4x2n n0 5 4n x2n Logo a série será convergente somente se 4x2 1 x 12 c fx x2x4 16 Podemos representar a função da seguinte maneira fx x2x4 16 11 16x2 Ainda sabemos que somente se u 1 então é válida a relação do item anterior Então fazendo u 16x2 teremos a série requerida x2x4 16 n0 16x2n n0 16n x2n A convergência da série ocorre somente se 16x2 1 ou seja se x 4 d fx x 1 x 2 Podemos representar a função da seguinte maneira fx x 1 x 2 1 3x 2 1 3x 2 1 32 11 x2 Vamos primeiramente obter a série de potências de 3x 2 Para isso basta fazer u x2 na expressão da progressão geométrica vejamos 3x 2 32 n0 x2n n0 3 1n 2n1 xn Logo ficamos com fx 1 3 n0 12n1 xn A convergência é válida para x2 1 ou seja para x 2 3 Responda aos itens a Use a derivação para encontrar a representação em série de potências da função fx 11 x2 Sabemos que para x 1 vale a relação 11x Σ n0xn 11x Σ n01n xn Logo sabendo que vale a regra da derivação 11x2 Σ n01n n xn1 11x2 Σ n01n1 n xn1 Essa série apresenta raio de convergência igual a 1 portanto b Use o item anterior para encontrar a representação em série de potências da função fx 11 x3 Vamos derivar a expressão obtida no item anterior 11x2 Σ n01n n xn1 21x3 Σ n01n nn1xn2 11x3 Σ n01n nn1xn22 O raio de convergência dessa série continua igual a 1 c Use o item anterior para encontrar a representação em série de potências da função fx x21 x3 Vamos multiplicar a série anterior por x2 11x3 Σ n01n nn1xn22 x21x3 Σ n01n nn1xn2 Essa operação feita também não altera o raio de convergência da série 4 Usando integração encontre a série de potências para a função fx ln1x1x Sabemos da série geométrica que as seguintes expressões convergem para x 1 11x Σ n0xn 11x Σ n01n xn Sabendo que a integração não altera o intervalo de convergência da série podemos escrever para a primeira expressão 11x Σ n0xn 11x dx Σ n0 xn dx ln1x Σ n0 xn1n1 Para 11x 11x Σ n01n xn 11x dx Σ n0 1n xn dx ln1x Σ n0 1n xn1n1 Logo temos fx ln1x1x ln1x ln1x Σ n01n xn1n1 Σ n0 xn1n1 Σ n0 2x2n12n1 Veja que somente termos ímpares aparecerão no somatório devido a parcela envolvendo 1 1n 5 Calcule a integral indefinida como uma série de potências e indique o raio de convergência a x1x8 dx Vejamos a partir da série geométrica convergente para u 1 façamos u x8 11u Σ n0 un 11x8 Σ n0 x8n x1x8 Σ n0 x8n1 Logo realizando a integração x1x8 dx Σ n0 x8n1 dx Σ n0 x8n28n2 O raio de convergencia da série é 1 b x2 ln1x dx Sabemos da questão anterior que a seguinte relação é válida para x 1 ln1x Σ n0 1n xn1n1 x2 ln1x Σ n0 1n xn3n1 Realizando a integração x2 ln1x dx Σ n0 1n xn3n1 dx Σ n0 1n xn4n1n4 6 Use a série de potências para arctanx para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita π 23 Σ n0 1n 2n 1 3n Vejamos a partir da série geométrica 11x Σ n0 xn 11x2 Σ n0 1n x2n Logo podemos realizar a integração da expressão para o intervalo de convergência x 1 11x2 dx Σ n0 1n x2n dx arctanx Σ n01n x2n12n1 Vamos calcular arctan13 sabendo que 13 está dentro do raio de convergência arctan13 Σ n0 1n 2n1 32n1 π6 33 Σ n0 1n 2n1 3n π 23 Σ n0 1n 2n1 3n f fx x ex Também vamos aproveitar uma expressão já obtida anteriormente para a função ex Nesse caso vamos multiplicar por x e manter o raio de convergência sendo infinito ex sum n0 to xn n x ex sum n0 to xn1 n 8 Encontre a série de Taylor de cada função e o raio de convergência associado a fx lnx em torno de x 2 Percebese que a partir da primeira derivada da função a próxima sempre será multiplicada pelo módulo do expoente de x terá seu sinal invertido e o expoente de x diminuirá em uma unidade Desse modo constróise a relação fnx n 1 1n1 2n para n 1 Logo vamos montar fx lnx ln2 sum n1 to fn2 x 2n n ln2 sum n1 to 1n1 x 2n n 2n A convergência da série depende do somatório vejamos pelo teste da razão lim n an1an lim n x 2 n n 1 2 x 2 2 1 x 2 2 0 x 4 Logo o raio de convergência da série é igual a 2 b fx 1x em torno de x 3 Analisando as derivadas da função podemos aproveitar um pouco a sequência do item anterior e deduzir que intuitivamente vale a expressão fnx n 1n xn1 Logo aplicando para x 3 teremos fn3 n 3n1 Substituímos fx 1x sum n0 to fn3 x 3n n sum n0 to x 3n 3n1 Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série 7 Encontre a série de Maclaurin de cada função e o raio de convergência associado a fx ex Primeiramente sabemos que todas as derivadas de fx são iguais a ex Logo em torno de x 0 teremos fn0 1 Montamos portanto a série fx ex sum n0 to fn0 xn n sum n0 to xn n Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1an lim n x n 1 0 1 Logo o raio de convergência da série é infinito converge para todos os reais b fx sinx As derivadas da função sinx seguem um padrão a cada 4 derivadas sendo facilmente percebido pelo princípio da indução finita implicitamente repetindo a sequência sinx cosx sinx e cosx Aplicando em x 0 teremos somente os termos ímpares sendo não nulos alternandose entre os valores 1 e 1 Logo montamos o seguinte fx sinx sum n0 to f2n10 x2n1 2n 1 sum n0 to 1n x2n1 2n 1 Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1an lim n x2 2n 32n 2 0 1 Logo o raio de convergência da série é infinito converge para todos os reais c fx cosx Vamos aproveitar a série obtida no item anterior Sabemos que a derivação não altera o raio de convergência da série Logo podemos derivar a expressão do sinx e obter a série do cosx a qual também deve ser válida para todo x real Vejamos sinx sum n0 to 1n x2n1 2n 1 fx cosx sum n0 to 1n x2n 2n Como foi provado que o raio de convergência da série é infinito então ela representa a função para todos os valores de x reais respondendo à questão 9 d fx 2x Quando derivamos a função obtemos fx ln2 2x Dessa forma fica fácil notar que cada vez que aplicamos a operação derivada multiplicamos a função que estamos derivando por ln2 Portanto fnx ln2n 2x Aplicando em x 0 ficamos com fn0 ln2n Logo fx 2x sum n0 to fn0 xn n sum n0 to ln2n xn n Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1an lim n ln2 x n 1 0 1 Logo o raio de convergência da série é infinito converge para todos os reais e fx cos3x Para essa função apenas vamos aproveitar a expressão já obtida anteriormente para cosx substituindo x por 3x sabendo que o intervalo de convergência continuará sendo os reais cosx sum n0 to 1n x2n 2n fx cos3x sum n0 to 1n 32n x2n 2n lim n an1 an lim n x33 x33 1 x3 3 6 x 0 Logo o raio de convergência da série é igual a 3 c fx cosx em torno de x π2 As derivadas da função cosx seguem um padrão a cada 4 derivadas sendo facilmente percebido pelo princípio da indução finita implicitamente repetindo a sequência cosx sinx cosx e sinx Aplicando em x π2 teremos somente os termos ímpares sendo não nulos alternandose entre os valores 1 e 1 Logo montamos o seguinte fx cosx n0 f2n1π2 x π22n1 2n1 n0 1n1 x π22n1 2n1 Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1 an lim n x π22 2n 32n 2 0 1 Logo o raio de convergência da série é infinito converge para todos os reais d fx e2x em torno de x 3 A representação da função descrita não apresenta uma fórmula fechada para o somatório devido à complexidade de suas derivadas de modo que não conseguimos obter um padrão Podese somente representar alguns termos do somatório fx e8 8e8 x 3 ln2 36e8 x 32 ln22 e fx sinx em torno de x π As derivadas da função sinx seguem um padrão a cada 4 derivadas sendo facilmente percebido pelo princípio da indução finita implicitamente repetindo a sequência sinx cosx sinx e cosx Aplicando em x π teremos somente os termos ímpares sendo não nulos alternandose entre os valores 1 e 1 Logo montamos o seguinte fx sinx n0 f2n1π x π2n1 2n1 n0 1n1 x π2n1 2n1 Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1 an lim n x π2 2n 32n 2 0 1 Logo o raio de convergência da série é infinito converge para todos os reais Veja que isso já responde à questão 10 11 Mostre que a série de Maclaurin para fx 1 xk é a série binomial 1 xk n0 k choose n xn Analisando as derivadas da função percebese facilmente que seguem o padrão fnx k 1 xknk n Assim para x 0 têmse fnx kk n Substituindo na fórmula fx 1 xk n0 fn0 xn n n0 k xn n k n n0 k choose n xn 12 Use a série binomial para expandir cada função como uma série de potência Diga o raio de convergência a 1 x14 Vejamos a partir da série binomial substituindo x por x e fazendo k 14 1 xk n0 k choose n xn 1 x14 n0 14 choose n 1n xn Para o raio de convergência vejamos pelo teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1 an lim n 14 n x n 1 x 1 Logo o raio de convergência da série é igual a 1 b 8 x13 Primeiramente podemos escrever a função da seguinte maneira 8 x13 813 1 x813 Desse modo podemos utilizar a série binomial substituindo k por 13 e x por x8 1 xk n0 k choose n xn 1 x813 n0 13 choose n x8n 8 x13 813 n0 13 choose n x8n Para o raio de convergência vejamos pelo teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1 an lim n 13 n x n 1 8 x8 1 x 8 Logo o raio de convergência da série é igual a 8 c 2 x3 Primeiramente podemos escrever a função da seguinte maneira 2 x3 23 1 x23 Desse modo podemos utilizar a série binomial substituindo k por 3 e x por x2 1 xk n0 k choose n xn 1 x23 n0 3 choose n x2n 2 x3 18 n0 3 choose n x2n Para o raio de convergência vejamos pelo teste da razão com o módulo do termo geral da série lim n an1 an lim n 3 n x n 1 2 x2 1 x 2 Logo o raio de convergência da série é igual a 2 d 1 x34 Vejamos a partir da série binomial substituindo x por x e fazendo k 34 1 xk sumn0infty k choose n xn implies 1x34 sumn0infty 34 choose n 1n xn Para o raio de convergência vejamos pelo teste da razão com o módulo do termo geral da série limn to infty an1an limn to infty 34 n xn1 x 1 Logo o raio de convergência da série é igual a 1 13 Use séries de Maclaurin conhecidas para obter a série de Maclaurin da função dada a sinpi x4 Veja que podemos utilizar a série de Maclaurin de sinx e substituir x por pi x4 sinx sumn0infty 1n x2n12n1 implies sinpi x4 sumn0infty 1n pi2n1 x2n142n1 2n1 b x cosx22 Primeiramente vamos utilizar a série de Maclaurin do cosx e por fim multiplicar o somatório por x Vejamos cosx sumn0infty 1n x2n2n implies cosx22 sumn0infty 1n x4n22n 2n implies x cosx22 sumn0infty 1n x4n122n 2n c x22x12 Primeiramente vamos escrever a função da seguinte maneira x2sqrt2x 1sqrt2 x2sqrt1 x2 Desse modo podemos utilizar a série binomial substituindo k por 12 e x por x2 1xk sumn0infty k choose n xn implies 1 x212 sumn0infty 12 choose n x2n implies 2 x12 1sqrt2 sumn0infty 12 choose n x2n implies x2 2 x12 1sqrt2 sumn0infty 12 choose n xn22n d x ex Vamos partir da série de Maclaurin da função ex Vejamos ex sumn0infty xnn implies ex sumn0infty 1n xnn implies x ex sumn0infty 1n xn1n 14 O desenvolvimento do circuito elétrico de um instrumento biomédico requer uma escolha correta dos componentes do circuito de modo que não coloque em risco a vida do paciente ligado a ele Para estimar os valores de corrente que passarão no circuito um engenheiro biomédico está avaliando a variação com a temperatura da resistência dos fios escolhidos para compor o circuito do equipamento A resistividade ρ de um dado metal depende da temperatura de acordo com a expressão ρT ρ20 eαT20 a Mostre que para simplificar os cálculos o engenheiro pode representar a função como uma série de Taylor em torno de T 20 provando que o resto tende a zero no infinito Derivando a função facilmente percebese que as derivadas encontram um padrão Desse modo é possível notar que fn1ξ ρ20 αn1 eαξ 20 Logo vejamos RnT ρ20 αn1 eαξ20 n 1 T 20n1 É possível notar que o crescimento fatorial ocorre de maneira muito mais acelerado que o exponencial no numerador ainda mais para valores próximos de T 20 o que significa que quando n o resto tende a zero indicando que a função admite uma série de Taylor centrada em 20 b Na faixa de temperatura de trabalho do instrumento a resistividade do metal escolhido tem um comportamento quase linear Como o engenheiro pode aproximar esse comportamento O comportamento da função pode ser aproximado para a primeira parte da série de Taylor ρT ρ20 rho20 α T 20 Isso implica que o engenheiro pode usar a derivada da função em T 20 como um bom indicador de como a resistividade muda com a temperatura simplificando o modelo c Estime o erro que o engenheiro pode estar cometendo ao fazer a aproxi mação linear considerando uma janela de temperatura de 30 graus Celsius em torno da temperatura de 20 graus sabendo que ρ20 1 7 108 Ωm O erro na aproximação linear pode ser estimado considerando o termo de maior ordem omitido na série de Taylor neste caso o termo quadrático E ρ20α2 2 T 202 O erro máximo ocorrerá em T 25 Teremos E 1 7 108 0 00392 2 52 3 1012 Temos um erro bem pequeno 15 Primeiramente podemos escrever 14 1D d2 1D2 11 dD2 Sabendo que D é muito maior que d podemos utilizar a aproximação da série de Taylor centrada em 0 para concluir que 1 x2 approximates 1 2x implies 11 dD2 approximates 1 2dD Logo ficamos com 1D d2 approximates 1D2 1 2dD 1D2 2dD3 Por fim substituímos na fórmula do campo E approximates kq 1D2 1D2 2dD3 2kqdD3 16 Sabemos que a expansão até a primeira ordem da série de Taylor centrada em 0 da função sqrt1 x é 1 x2 Logo podemos escrever ára d muito maior que R sqrtd2 R2 d sqrt1 R2d2 approximates d 1 R22d2 d R22d Por fim substituindo na fórmula do potencial V approximates 2 pi ke σ d R22d d pi ke σ R2d 17 a Primeiramente temos uma função ímpar o que significa que o coeficiente an da expansão é nulo Logo calculamos bn para n 1 bn 1pi integralpipi x sinnx dx Sendo u x e dv sinnx resolvemos a integral por partes bn 1pi n2 sinnxpipi 1pi n x cosnxpipi 2n cosn pi 2 1n1n Logo temos a série fx n1 21n1n sinnx Para x π a série converge para a própria função de acordo com o teorema de Fourier Para x π e para x π no entanto ela converge para a média dos limites laterais da função periódica dada a existência das derivadas laterais ou seja para π π2 0 b Primeiramente temos uma função par o que significa que o coeficiente bn da expansão é nulo Logo calculamos an a0 2π 0π x dx 1ππ2 π an 2π 0π x cosnx dx Sendo u x e dv cosnx resolvemos a integral por partes para n 1 an 2πn2cosnx0π 2πnx sinnx0π 2πn2cosnπ 1 Para n par an 0 e para ímpar an 4πn2 Logo teremos apenas termos ímpares no somatório fx π2 4n1 cos2n 1xπ2n 12 Como não há pontos de descontinuidade a série converge para a função em todos os pontos do domínio pelo teorema de Fourier c Temos uma função ímpar ou seja somente o coeficiente bn faz parte da expansão em série da função Vejamos para n 1 bn 2π 0π sinnx dx 2π1 cosnx Percebese que para n par bn 0 e para ímpar bn 4π Logo montamos fx 4πn1 sin2n 1x Pelo teorema de Fourier garantimos que a série obtida converge para a função descrita se 0 x π ou se π x 0 Para os outros pontos de descontinuidade a série converge para a média dos limites laterais da função dada a existência das derivadas laterais Logo para x 0 x π ou x π a série converge para 0 d Vamos calcular cada coeficiente separadamente Para a0 a0 1π 0π x dx 12ππ2 π2 Para an sendo n 1 vamos aproveitar o resultado já obtido anteriormente an 1π 0π x cosnx dx 1πn2cosnπ 1 Nesse caso an 0 se n for par e an 2πn2 para n ímpar Para bn vejamos aproveitando resultados já obtidos bn 1π 0π xsinnx dx 1n1n Logo podemos escrever fx π4 2πn1 cos2n 1xn2 n1 1n1sinnxn Pelo teorema de Fourier sabemos que a série converge para a função descrita para x π Para x π ou x π a série converge para π2 média dos limites da função em torno dos pontos devido a existência das derivadas laterais e Vamos calcular cada coeficiente separadamente Para a0 a0 1π 0π cosx dx 0 Para an sendo n 1 an 1π 0π cosx cosnx dx 12π 0π cosn1x dx 12π 0π cosn1x dx 0 Para bn bn 1π 0π cosxsinnx dx 12π 0π sinn1x dx 12π 0π sinn1x dx 12πn11 cosn1π 12πn11 cosn1π Para n sendo ímpar bn 0 enquanto se n for par bn 2nπn2 1 Logo montamos fx n1 4nsin2nxπ4n2 1 Pelo teorema de Fourier sabemos que a série converge para a função descrita para x 0 x π e x π Para x 0 a série converge para 12 e para os outros valores converge para 12 média dos limites da função em torno dos pontos devido a existência das derivadas laterais 18 a Temos uma função periódica de período 2π valendo 0 para π x 0 e sinx para 0 x 2π b Vamos calcular cada coeficiente separadamente Para a0 a0 1π 0π sinx dx 2π Para an sendo n 1 an 1π 0π sinxcosnx dx 12π 0π sinn1x dx 12π 0π sinn1x dx 12πn11 cosn1π 12πn11 cosn1π Para n sendo ímpar an 0 enquanto se n for par an 2πn2 1 Para bn bn 1π 0π sinx sinnx dx 12π 0π cosn1x dx 12π 0π cosn1x dx 0 Logo montamos fx 1π 2n1 cos2nxπ4n2 1 A igualdade ocorre porque a função não apresenta descontinuidades ou seja o teorema de Fourier garante a convergência em todos os reais