Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial - Campos Conservativos e Trabalho

Para campos vetoriais conservativos existe uma função escalar f cujo f F Chamamos esta função de função potencial Assim o valor da função potencial de Fx y z y² cos z i 2 x y cos z 3y² j x y² sen z k no ponto 2 1 π é 3 c 1 c 6 c 1 c 4 c Sabendo que o trabalho realizado por um campo de força é dado por W F d r Frt rt d t Então o trabalho em joule realizado pelo campo de força Fx y x² y i x j para mover uma partícula ao longo do arco da parábola y 1 x² de 01 a 2 3 é 42 16 30 08 20 Questão 1 Temse o seguinte campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦𝑖 𝑥 𝑗 Sendo 𝑥 𝑡 a curva é dada por 0 𝑡 2 𝑟𝑡 𝑡 𝑖 1 𝑡2 𝑗 A derivada da curva é dada por 𝑟𝑡 𝑖 2𝑡 𝑗 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por 𝐹𝑟 𝑡21 𝑡2𝑖 𝑡 𝑗 A integral de linha é calculada como segue 𝐹𝑟 𝑑𝑟 2 0 𝐹𝑟 𝑟𝑡𝑑𝑡 2 0 𝑡21 𝑡2𝑖 𝑡 𝑗 𝑖 2𝑡 𝑗𝑑𝑡 2 0 𝑡21 𝑡2 2𝑡2𝑑𝑡 2 0 𝑡2 𝑡4 2𝑡2𝑑𝑡 2 0 3𝑡2 𝑡4𝑑𝑡 2 0 𝑡3 𝑡5 5 0 2 23 25 5 8 32 5 40 5 32 5 8 5 𝟏 𝟔 Questão 2 Para a função potencial temos 𝑓 𝑥 𝑦2 cos 𝑧 Assim integrando temos 𝑓 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑔𝑦 𝑧 Mas devemos ter 𝑓 𝑦 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑔𝑦 𝑧 𝑦 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦 𝑔𝑦 𝑧 𝑦 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 2𝑥𝑦 cos 𝑧 𝑔𝑦 𝑧 𝑦 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 𝑔𝑦 𝑧 𝑦 3𝑦2 𝑔𝑦 𝑧 𝑦3 ℎ𝑧 Logo a função potencial ficou 𝑓 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑔𝑦 𝑧 𝑓 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 ℎ𝑧 Mas devemos ter também 𝑓 𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 ℎ𝑧 𝑦 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 ℎ𝑧 𝑦 𝑥𝑦2 sin𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦 𝑑ℎ𝑧 𝑑𝑦 𝑥𝑦2 sin𝑧 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑑ℎ𝑧 𝑑𝑦 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑑ℎ𝑧 𝑑𝑦 0 ℎ𝑧 𝐶 Assim a função potencial fica 𝑓 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 ℎ𝑧 𝑓 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 𝐶 Logo temos 𝑓2 1 𝜋 2 12 cos 𝜋 13 𝐶 2 cos 𝜋 1 𝐶 2 1 1 𝐶 2 1 𝐶 𝟑 𝑪 Questão 1 Temse o seguinte campo vetorial F x y z x 2 y ix j Sendo xt a curva é dada por 0t 2 r t t i1t 2j A derivada da curva é dada por r ti2t j O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por F r t 21t 2 it j A integral de linha é calculada como segue 0 2 F r d r 0 2 F r r t dt 0 2 t 21t 2 it j i2t j dt 0 2 t 21t 22t 2dt 0 2 t 2t 42t 2 dt 0 2 3t 2t 4 dt t 3t 5 5 0 2 2 32 5 5 832 5 40 5 32 5 8 5 16 Questão 2 Para a função potencial temos f xy 2cos z Assim integrando temos f x y 2cos zg y z Mas devemos ter f y x y 2cos zg y z y 2 xy cos z3 y 2 x y 2cos z y g y z y 2xy cos z3 y 2 2 xycos z g y z y 2 xycos z3 y 2 g y z y 3 y 2 g y z y 3h z Logo a função potencial ficou f x y 2cos zg y z f x y 2cos z y 3h z Mas devemos ter também f zx y 2cos z y 3h z y x y 2sin z x y 2cos zh z y x y 2sinz x y 2cos z y d h z d y x y 2sin z x y 2sin z dh z dy x y 2sin z d hz dy 0 h z C Assim a função potencial fica f x y 2cos z y 3h z f x y 2cos z y 3C Logo temos f 21 π 21 2cos π1 3C 2cos π1C 211C 21C 3C