Simulacao-de-Filas-MM1-Suplemento-Excel-VBA

XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 SUPLEMENTO DO EXCEL DESENVOLVIDO EM LINGUAGEM VBA PARA SIMULAÇÃO DISCRETA DE SISTEMAS DE FILAS MM1 Dayvid Wesley P Martins Pontifícia Universidade Católica de Goiás Mestrado em Engenharia de Produção e Sistemas Av Universitária 1440 Área III Bloco D Goiânia Goiás Brasil CEP 74605010 dayvidwesleygmailcom Maria Jose P Dantas Pontifícia Universidade Católica de Goiás Mestrado em Engenharia de Produção e Sistemas Av Universitária 1440 Área III Bloco D Goiânia Goiás Brasil CEP 74605010 mjpdantasgmailcom RESUMO O presente artigo emprega técnicas de simulação ao modelo de fila MM1 por meio do desenvolvimento de um suplemento do Excel com a linguagem VBA Visual Basic for Applications para auxiliar o ensino da natureza da simulação utilizando sistemas de filas Os dados obtidos na execução da simulação são armazenados e confrontados com cálculos obtidos por intermédio do modelo teórico É possível experimentar cenários para um melhor entendimento de regime estável tempo de aquecimento dinâmica da fila Os gráficos são utilizados para uma melhor compreensão dos conceitos importantes que podem ser discutidos via simulação ao invés das fórmulas da teoria das filas PALAVRAS CHAVE Suplemento do Excel VBA Teoria das Filas simulação discreta ensino Tópicos EDU OR in Education EDU IO en Educación EDU PO na Educação SIM Simulation SI Simulación SIM Simulação ABSTRACT This article is about using MM1 queue model simulation by developing an Excel addin with the VBA language Visual Basic for Applications to help teach the nature of the simulation using queuing systems The data obtained during execution of the simulation are stored and compared with calculations obtained through the theoretical model You can try out scenarios for a better understanding of stable regime warmup time queue dynamics The graphs are used to better understand the important concepts that can be discussed via simulation rather than the formulas of queuing theory KEYWORDS Excel supplement queue theory learning object discrete simulation Paper topics EDU OR in Education EDU IO en Educación EDU PO na Educação SIM Simulation SI Simulación SIM Simulação XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 1 Introdução O estudo das filas de espera é um problema clássico em engenharia de fluxo e pesquisa operacional A fila possui formação aleatória e não estando bem dimensionada pode acarretar congestionamentos e desperdícios financeiros dentre outras consequências indesejáveis Michel et al 2011 Viti e van Zuylen 2010 Em 1952 Lindley já salientava o interesse que estudo das filas desperta em matemáticos e engenheiros existindo uma extensa literatura sobre o assunto As aplicações da teoria são muitas e variadas do trabalho original de Erlang em engenharia telefônica aos atuais estudos na concepção de aeroportos Um Sistema de filas possui geralmente duas entidades básicas a que espera pelo atendimento denominada de cliente e aquela que executar os procedimentos de atendimento requerido denominada de servidor Akhavian e Behzadan 2014 Para obter uma perspectiva analítica de sistemas ou processos que resultam em espera é universal abordar a modelagem por meio da simulação e Teoria das Filas Entretanto o número de trabalhos que lidam com o lado teórico educacional do tema é relativamente pequeno e portanto parece ser desejável uma tentativa de disponibilizar informações básicas referente a Teoria das Filas compilados em um Objeto de aprendizagem que é um suplemento do Excel desenvolvido com a linguagem de macros VBA Porém é válido ressaltar que a última atualização significativa na linguagem VBA ocorreu em meados de 1999 No entanto este ainda vem como padrão no Office 2016 e é uma alternativa única para se criar nativamente macros automatizada no pacote Office Apesar de possíveis inviabilidades quanto ao desenvolvimento de algoritmos robustos a integração nativa com Excel viabiliza uma visualização facilitada das entradas e saídas Esta peculiaridade a faz ideal para o desenvolvimento de objetos de aprendizados bem como automatizações de Office Applications Sana 2017 A proposta deste trabalho é caracterizar processos e conceitos de geração de fila seus componentes e fundamentos estatísticos implementados a uma rotina computacional que pode ser utilizada para experimentos que mostram a dinâmica das filas de espera 2 Revisão Bibliográfica 21 Teoria das Filas Há ocorrência de filas sempre que a demanda de serviço e maior que a capacidade ofertada pelo sistema Os sistemas de filas são representados por uma entidade de chegada clientes ou produtos a um sistema de atendimento processamento beneficiamento ou produção requisitando um ou mais serviços executados por um ou mais servidores sequencialmente ou paralelamente dispostos Lindley 1952 Chubachi e Gomes 2016 tipifica que Teoria das Filas é a modelagem analítica dos processos ou sistemas de espera com uma abordagem probabilística enfatizando a minimização dos impactos negativos das esperas nos processos evitando desperdícios e destacando os gargalos para então sugerir melhorias A abordagem probabilística permite capturar o comportamento temporal para filas de espera Esta interpelação concede a mensuração da incerteza de uma previsão de estado da fila Para tal usase o cálculo da evolução de probabilidade no tempo assumido distribuições de probabilidade para descrever o comportamento das chegadas e dos atendimentos As aplicações são diversificada da confiabilidade de uma rede design e planejamento das áreas urbanas bem como para estimar efeitos complexos que podem ser observadas em redes congestionadas Viti e van Zuylen 2010 Associamse as medidas de desempenho ao modus operandi do sistema de filas tais como tempo médio de permanência dos clientes na fila probabilidade que o sistema esteja operando em sua capacidade máxima dentre outras Portanto através de análises matemáticas detalhadas a teoria das filas objetiva encontrar o equilíbrio pontual entre satisfazer o cliente ou XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 linha de produção de forma economicamente viável Os elementos de uma fila são descritos a seguir Prado 2014a Cliente Elemento que chega e requer atendimento Os clientes podem ser pessoas máquinas peças cartas de processos etc Canal de atendimento Entidade que realiza o atendimento processo ou pessoa do cliente Usualmente termo atendente é denotado ao canal de atendimento Podese apresentar como exemplo uma impressora que efetua as requisições de impressões em uma rede de computadores bem como um vendedor de ingressos o carteiro etc Disciplina da Fila Princípio que serve como padrão norma utilizada pelo canal de entendimento na escolha do próximo cliente da fila sempre que o servidor completa o atendimento podendo ocorrer segundo os seguintes princípios Fist In First Out FIFO Last In First Out LIFO e Prioridade atendimentos realizados por princípio de importância ou embasada na urgência de serviço O sistema de filas de espera possui algumas variações referente a disciplina dimensionamento limitado ou ilimitado número de servidores dispostos no sistema dentre outros Essa variação sistêmica implica em a uma variedade de modelos de filas alguns deles de árduo entendimento analítico A análise dos sistemas de filas pode ser simplificada pela notação de KendallLee Esta notação considera seis características as três primeiras foram inicialmente definidas por D Kendall em 1953 e as três últimas foram adicionadas por A Lee em 1968 O modus operandi de um sistema de filas segundo a notação de KendallLee é compendia como ABcKmZ em que Arenales et al 2011 A distribuição de probabilidade do processo de chegada B distribuição de probabilidade do processo de serviço m indica o número de servidores em paralelo c disciplina da fila por exemplo c FCFS LCFS SIRO K indica o número máximo de usuários no sistema N indica o tamanho da população fonte de usuários 22 Modelo analítico MMs O modelo MMs possibilita grande aplicação teórica pois permite que se construa toda uma teoria sobre filas possibilitando calcular tempos e efetuar dimensionamentos com base em filas Possui a mais simples estruturação da fila de espera em que o comportamento padrão da distribuição de chegadas e dos serviços é solucionado com fórmulas diretas Apesar de ter poucas aplicações práticas a importância didática deste modelo é bastante significativa Em aplicações práticas os problemas de filas reais podem ser solucionados através da aplicação de simulação computacional Artalejo et al 2007 O modelo MM1 possui equações fundamentadas em características decorrentes dos processos de chegada e atendimento as chegadas procedem de acordo distribuição de Poisson com média λ chegadasunidade de tempo a taxa de serviço segue a distribuição Exponencial negativa com media µ o cliente na fila e atendido por ordem de chegada o número de clientes potenciais deve ser suficientemente grande de modo que a população seja considerada infinita São três 3 os eventos possíveis na variação do tempo Chwif e Medina 2015 Prado 2014b A entrada de 1 cliente no sistema A saída de 1 cliente do sistema Inexistência de alterações ou seja chegadas nulas ou serviço inoperante A fila MM1 é o caso mais simples do modelo MMs Os processos de chegada e de XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 atendimento possuem comportamento Markoviano e o numero1 indica a existência de um único servidor Os valores de λ e μ respectivamente representam a taxa média de chegada de clientes e a taxa média de serviço Esta fila é representada por um diagrama de taxas apresentado na Figura 1 na qual n é o número de clientes no sistema e cálculo da taxa de utilização do sistema ρ é apresentado na equação 1 Hillier e Lieberman 2013 Figura 1 Diagrama de taxa da fila MM1 Fonte Hillier e Lieberman 2013 𝜌 𝜆 𝜇 1 Para que um sistema de filas tenha comportamento estável a taxa de chegada deve ser obrigatoriamente menor do que a taxa de serviço ou seja λ imprescindivelmente menor do que 1 caso contrário a fila tenderá ao infinito Prado 2014b As equações para cálculo teórico deste modelo estão apresentadas na Tabela 1 Tabela 1 Equações do modelo MM1 Parâmetros Representação Equação N de clientes no sistema L 𝜆 𝜇 𝜆 2 N de clientes na fila Lq 𝜆2 𝜇 𝜆 3 Tempo de serviço W 1 𝜇 𝜆 4 Tempo Previsto na fila Wq 𝜆 𝜇𝜇 𝜆 5 Probabilidade de o sistema estar vazio Po 1 𝜆 𝜇 6 Fonte Adaptado de Moore Weatherford2005 Hillier e Lieberman 2013 representa a fila MMs por intermédio de um diagrama de taxas apresentado na Figura 2 em que n é o número de cliente e 𝜌 a taxa de utilização do sistema é determinada pela Equação 7 Figura 2 Diagrama de taxas do procedimento de nascimento e morte das filas MMs Fonte Hillier e Lieberman 2013 XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 𝜌 𝜆 𝑠𝜇 7 Sistemas de filas constituídos com mais de um servidor MMs Prado 2014b adota a nomenclatura MMs para representar o modelo de fila única com s servidores semelhante ao sistema de fila MM1 efetua chegadas e atendimentos respectivamente de acordo a distribuição de Poisson e distribuição exponencial negativa onde o atendimento aos clientes são realizado por ordem de chegada Porém a quantidade de servidores alocados no sistema é indicada pela letra s As equações para o cálculo operacional do sistema de filas MMs estão apresentados na Tabela 2 Tabela 2 Equações do modelo MMs sμ Parâmetros Representação Equação Probabilidade de o sistema estar vazio P0 1 𝜌𝑗 𝑗 𝜌𝑠 𝑠 1 𝑠 𝜌 𝑠 𝑗 8 Probabilidade de todos os servidores ocupados n s Pocup 𝜌𝑛 𝑛 𝑃0 9 Probabilidade de todos servidores ocupados n s Pocup 𝜌𝑠 𝑠 1 𝑠 𝜌 𝑃0 10 N de clientes esperando na fila Lq 𝑃0 𝜆 𝜇 𝑠𝜌 𝑠 1 𝜌2 11 N de clientes no sistema L 𝐿𝑞 𝜌 12 Tempo de espera na Fila Wq 𝐿𝑞 𝜆 13 Tempo de espera no sistema W 𝑊𝑞 1 𝜇 14 Fonte Adaptado de Moore Weatherford 2005 23 Simulação e representação gráfica da fila Logo depois da Segunda Guerra Mundial 1945 emerge a simulação utilizando computadores No projeto da bomba de hidrogênio nos EUA Ulam John Von Neumann e outros usaram simulação ao usar o método de Monte Carlo para solucionar problemas pertinente a difusão de nêutron Hoje possibilita efetuar experimentações sem alterar fisicamente a configuração de uma planta industrial ou ainda avaliar a contratação prévia de funcionários para verificar a capacidade em atender a uma demanda futura Goldsman et al 2010 Krivitsky 2016 A simulação pode ser caracterizada como sendo discreta contínua ou híbrida Em simulação de eventos discretos representase o sistema como uma sequência cronológica e aleatória de eventos Cada evento ocorre em um instante determinado no tempo e assinala a mudança de estado no sistema Aplicase simulação contínua em situações que o sistema altera seu estado em função do tempo de maneira contínua exigindo normalmente o emprego de equações diferenciais na descrição da taxa de mudança em variáveis de estado Arenales et al 2011 Hillier e Lieberman 2013 Prado 2014a O sistema de fila MM1 caracterizase como um modelo de simulação discreta sendo o mesmo representado por uma sequência cronológica e aleatória de eventos Dentre as diversas possibilidades computacionais para simulação reside a modelagem por planilha eletrônica spreadSheet Conforme demonstrado por Boshkoska 2015 e Salvador et al 2015 não é essencial dispor de experiência em programação ou manipulação de macros para sua implementação replicação e ou atualização constituindose como a mais simples das implementações de simulação computacional XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 A simulação é uma técnica quantitativa importante entretanto as abordagens baseadas em planilhas às vezes pecam por ignorarem a representatividade gráfica do sistema de filas tornando difícil a avaliação do efeito acumulativo dos clientes e a natureza dos períodos de ociosidade Assim limitam a didática sobre processos de enfileiramento Os gráficos constituem a representatividade da evolução completa de uma fila Dessa forma a experiência de cada servidor o acúmulo de clientes a ociosidade sistêmica e o momento em que o sistema atinge a condição de estado estável podem ser ilustrados por um gráfico de Gantt e gráfico de linhas Armann Ingolfsson Thomas A Grossman 2002 De Mesquita e Hernandez 2006 3 Metodologia O suplemento implementa um modelo de simulação e foi desenvolvido segundo as determinações metodológicas de Chwif Medina 2015 e estruturandose sob três etapas conforme descritas a seguir a Concepção modelo Estudo dos sistemas de filas MM1 e seus conceitos Delimitouse as fórmulas conceituais a ser utilizadas e o tratamento dos dados de entrada no sistema distribuição de Poisson para taxa de chegada e a distribuição exponencial para taxa de serviço b Implementação do modelo As fórmulas conceituais para modelar um sistema de simulação MM1 foram adaptadas a linguagem de macros VBA objetivando o desenvolvimento de um suplemento ao Microsoft Excel 2016 para fins didáticos Os testes foram realizados em um computador um computador com processador Intel R Core TM i53210M CPU 230GHz memoria RAM 800 GB com sistema operacional de Windows 10 64 bits Nesta etapa comparouse os resultados com o modelo conceitual validandoos c Análise dos resultados do modelo Após a replicação do modelo considerado realizou se uma representação gráfica da fila gerada e atendimento prestado em um gráfico de Gantt 4 Descrição do Problema Uma simulação apenas produz dados estáveis a partir do momento em que se encontra em regime permanente Dessa forma é importante estabilizar a simulação rodandoa por algum tempo sem que haja coleta de dados até supor que o sistema simulado atingiu condições de estado estável Esse período que objetiva basicamente atingir uma condição de estado estável para então coletar dados é comumente chamado de período de aquecimento Existem três possibilidades para se garantir a acurácia dos dados coletados durante o estado em regime permanente 1 Iniciar a simulação em condições próximas àquela esperada em regime permanente 2 Simular o modelo por um tempo de simulação extenso 3 Eliminar valores gerados durante o período transitório Uma técnica possível para encontrar o período de aquecimento sistêmico é utilizar uma amostra piloto Basicamente extraise da população neste caso replicar o modelo um número n de amostras e construir o intervalo de confiança do parâmetro desejado Se a precisão h do intervalo obtido ainda não for menor do que a precisão desejada h então o número de amostras replicações necessário pode ser obtido pela equação 15 Chwif e Medina 2015 𝑛 𝑛 ℎ ℎ 2 15 O suplemento do Excel para experimentar simulações de fila foi desenvolvido com auxílio XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 da linguagem VBA A estrutura do modelo comporta um único servidor e condicionamento de fila do tipo first in first out FIFO caracterizandose como um sistema MM1 O conjunto de instruções referente a mensuração dos parâmetros para comparar com resultados do modelo teórico segue o fluxo proposto na Figura 3 Figura 3 Metodologia de simulação Fonte Elaborado pelos autores 2017 Para representar os conceitos apresentados a elaboração do modelo de simulação das filas MM1 incorporou ao núcleo do suplemento as equações de 16 a 23 propostas por Perim 1995 e adaptadas a este experimento e dispostas na Tabela 3 Tabela 3 Equações do sistema de fila MM1 para simulação Parâmetros Representação Taxa de chegadas 𝑟𝑖 ln 1 𝜇 𝜆 16 Taxa de serviço 𝑟𝑖 ln 1 𝜇 µ 17 Instante de chegada 𝑎𝑖 𝑎𝑖1 𝑟𝑖 18 Início de atendimento 𝑏𝑖 max 𝑎𝑖 𝑐𝑖1 19 Instante do fim do atendimento 𝑐𝑖 𝑏𝑖1 𝑠𝑖 20 Tempo de espera na fila 𝑤𝑖 𝑏𝑖 𝑎𝑖 21 Tempo do sistema 𝑢𝑖 𝑐𝑖 𝑎𝑖 22 Tempo ocioso 𝑜𝑖 𝑏𝑖 𝑐𝑖1 23 Número aleatório ente 0 e 1 u 24 Fonte Adaptado de Perin 1995 O suplemento desenvolvido intenciona por experimentação confrontar os resultados obtidos por intermédio da simulação com o modelo teórico Equações de número 1 a 6 representam o modelo teórico de modo a validar que as soluções obtidas por uma abordagem de simulação são aproximadas e confiáveis Os parâmetros do modelo teórico são vertidos para o modelo de simulação por meio das Equações 25 a 30 apresentadas na Tabela 4 que são igualmente incorporadas ao núcleo do aplicativo Tabela 4 Equações para simulação do modelo MM1 Parâmetros Representação Equação Taxa de utilização ρ 1 𝑜𝑖 𝑐𝑖 25 N de clientes no sistema L 𝑢𝑖 𝑐𝑖 26 XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 N de clientes na fila Lq 𝑤𝑖 𝑐𝑖 27 Tempo de serviço W 𝑢𝑖 𝑛 28 Tempo Previsto na fila Wq 𝑤𝑖 𝑛 29 Probabilidade de que o sistema esteja vazio Po 1 𝜌 30 Fonte Adaptado de Prado 2014b e Perin 1995 O experimento adota para simular modelo e comparar com o modelo teórico os seguintes valores de entrada Tempo médio entre chegada E X1 de 1 minuto Tempo médio entre atendimento E X2 de 05 minuto O tempo entre chegadas e tempo de atendimento foram modelados como variáveis aleatórias com distribuição exponencial Deste modo o inverso de EX1 e EX2 representam respectivamente os valores da chegada λ e atendimento μ por unidade de tempo conforme as fórmulas 31 e 32 𝜆 1 𝐸𝑋1 31 𝜇 1 𝐸𝑋2 32 Desta forma a taxa de chegada λ é 1 e o nível de serviço µ é 2 No Modelo de simulação o método da transformada inversa foi usado para gerar os valores de ri Eq 16 e si Eq 17 de maneira aleatória A análise de um sistema de filas fundamentase geralmente no comportamento do sistema em estado de equilíbrio regime permanente alcançado após um tempo expressivo de operação do sistema Assim sendo é oportuno perguntar quanto tempo devese simular para se obter uma precisão aproximada ou igual aos valores teóricos A Equação 15 foi implementada no núcleo do aplicativo Porém uma vez que modelos de simulação lidam com números aleatórios a cada amostra gerada um desvio padrão distinto também é gerado implicando em grande variabilidade no tempo de simulação para um mesmo experimento Como a precisão h do intervalo obtido deve ser menor do que a desejada h para o número de replicações necessárias considerouse a precisão desejada h igual a um percentual da precisão h resultando na seguinte expressão ℎ ℎ 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 ℎ 33 A Equação 33 absorve a variabilidade no número de replicações a cada amostra gerada Desse modo quanto maior o percentual almejado menor será h em relação a h elevando o número de replicações e consequentemente a precisão da simulação Considerando que sempre que ρ tende para 1 a fila tende a aumentar infinitamente Sistemas estáveis restringem λ μ ou ρ 1 Assim é valido ressaltar que quanto mais ρ se aproximar de 1 mais elevado será o percentual almejado para se obter uma precisão adequada na simulação 5 Experimentos e Discussão dos Resultados Adotouse 06 como percentual almejado sendo hh se faz necessário aumentar o tempo de simulação a partir da amostrapiloto sendo sugerido aproximadamente 625 minutos de simulação como a taxa de chegadas é igual 1 o número usuários n fica próximo do tempo de simulação para estabilização do modelo de simulação A Figura 4 apresenta uma adaptação dos parâmetros XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 de cálculo da Equação 15 Figura 4 Tela do menu Fonte Elaborado pelos autores 2017 Após a replicação pôdese observar os histogramas dos tempos entre chegadas e tempos de serviço gerados na simulação Figura 5 para avaliar comparativamente os tempos entre chegadas e atendimentos gerados pela simulação com os valores encontrados no modelo teórico Figura 5 Tela histograma Fonte Elaborado pelos autores 2017 Aplicando as fórmulas do modelo teórico exponencial temse a média 1 λ e variância 1 λ2 Os histogramas são gerados no núcleo do aplicativo a partir dos dados de ri e si agrupados em tabelas de frequência com intervalos de classe Comparativamente ri apresentou uma média de 113 versus 100 no teórico e variância de 091 versus 100 no teórico Da mesma forma si apresentou uma média de 058 versus 050 no teórico e variância de 024 versus 025 no teórico XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 Na sequência os resultados da simulação podem ser confrontados com o modelo teórico na Figura 6 Figura 6 Valores simulados e valores teóricos Fonte Elaborado pelos autores 2017 Os gráficos na Figura 7 referentes ao tempo médio de fila e ocupação do servidor demonstram que o tempo estipulado de simulação foi suficiente para convergir o resultado simulado Wq 049 e ρ 050 ao teórico Wq 050 e ρ 050 alcançados portanto no regime estável Figura 7 Tela resultados Fonte Elaborado pelos autores 2017 As representações gráficas de simulações de filas de planilhas podem ser usadas para ensinar sobre filas e processos de enfileiramento dentro de um conceito de produção de objetos de aprendizagem materiais digitais reutilizáveis Um gráfico de clientes mostra a experiência individual de cada cliente na fila considerando o momento de chegada início e fim de atendimento e mostrando claramente o tempo de fila e tempo de serviço para cada cliente O efeito cumulativo exerce uma influência sob o comportamento da fila ilustrando como um longo tempo de serviço pode causar atrasos para muitos clientes A forma encontrada para representação gráfica do servidor foi o gráfico de Gantt Figura 8 que mostra a experiência do servidor ilustrando como os clientes se acumulam e a natureza dos períodos de ociosidade O gráfico está interligado à simulação da planilha e é atualizado instantaneamente quando a simulação é rodada Os gráficos ilustram a evolução completa da fila permitindo assim fornecer XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 uma visão dinâmica da fila podendo este ser filtrado entre intervalos específicos Eles podem ser usados para ensinar os alunos sobre a natureza das filas e apoiar o aprendizado ativo onde os alunos articulam por si mesmos a causa dos comportamentos de fila Figura 8 Resultado da simulação no gráfico de Gantt Fonte Elaborado pelos autores 2017 6 Considerações finais O trabalho tem uma implementação bastante simplificada e é útil para testar cenários hipotéticos Foi possível mostrar a influência da calibração de alguns parâmetros que afetam a qualidade dos resultados em um modelo de simulação O suplemento pode ser utilizado no ensino de sistemas de filas permitindo a criação de cenários e variações dos parâmetros taxa de chegada e taxa de atendimento Assim toda a dinâmica da fila poderá ser visualizada por meio do gráfico de Gantt O presente artigo não demonstra a realização da implementação do suplemento e etapas de cálculos porém isto pode ser verificado obtendo o suplemento no link abaixo possíveis erros serão corrigidos sempre que notificado httpsdrivegooglecomdrivefolders0Bw8wBFyJHomWc25SdE9maE4wRDguspsha ring Este suplemento pode evoluir para apresentar outros modelos de filas 7 Referências Akhavian R e Behzadan A H 2014 Evaluation of queuing systems for knowledgebased simulation of construction processes Automation in Construction 47 3749 doi101016jautcon201407007 Arenales M Yanasse H 2011 Pesquisa Operacional para Cursos de Engenharia Campus ABEPRO EdsElsevier Editora 2011 Rio de Janeiro XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017 Armann Ingolfsson Thomas A Grossman J 2002 Graphical Spreadsheet Simulation of Queues INFORMS Transactions on Education January 2014 7285 doi101287ited538 Artalejo J R LopezHerrero M J 2007 Algorithmic approximations for the busy period distribution of the MMc retrial queue European Journal of Operational Research 1763 16871702 doi101016jejor200510034 Boshkoska B M Damij N 2015 Abdominal surgery process modeling framework for simulation using spreadsheets Computer Methods and Programs in Biomedicine 1211 1 13 doi101016jcmpb201505001 Chubachi I S e Gomes L P 2016 Teoria das filas um estudo de caso Regit 51 Chwif L e Medina A C 2015 Modelagem e simulação de eventos discretos teoria aplicações Edição 4a Elsevier Goldsman D Wilson J R 2010 A Brief History Of Simulation Revisited Hillier F S e Lieberman G J 2013 Introduçao a Pesquisa Operacional A E Ltda Ed 9o ed McGrawHill Higher Education Porto Alegre RS Krivitsky P N 2016 Using contrastive divergence to seed Monte Carlo MLE for exponential family random graph models Computational Statistics Data Analysis xxxx 113 doi101016jcsda201610015 Lindley D V 1952 The Theory of Queues with a Single Server Proceedings Cambridge Philosophy Society October 277289 doi101017S0305004100027638 Mesquita M A De e Hernandez A E 2006 Discreteevent simulation of queues with spreadsheets A teaching case Proceedings Winter Simulation Conference December 2006 22772283 doi101109WSC2006323053 Michel I Uepa S 2011 Estudo para A Comparação Entre Os Modelos De Filas M M C E M Ek C Aplicada Em Uma Panificadora 112 Moore J H e Weatherford L R 2005 Tomada de decisão em administração com planilhas eletrônicas Bookman Perim C F 1995 Introdução À Simulação de Sistemas Ed da Uni Campinas Prado D 2014a Usando o Arena em Simulação Falconi Ed 2014 Belo Horizonte MG Prado D 2014b Teoria das Filas e da Simulação Falconi EdBelo Horizonte MG Editora de Desenvolvimento 5o ed Vol 2 Salvador HG Antonio VL J 2015 Propiedades de sistemas tipo MG1K con estaciones en serie Ingeniería Investigación y Tecnología 163 345354 doi101016jriit201505006 Sana A 2017 Teaching fundamental concepts of coastal engineering using excel spreadsheet Computer Applications in Engineering Education 252 304310 doi101002cae21798 Viti F e van Zuylen H J 2010 Probabilistic models for queues at fixed control signals Transportation Research Part B Methodological 441 120135 doi101016jtrb200905001 XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional BlumenauSC 27 a 30 de Agosto de 2017