Teorema de Euler para Poliedros Sólidos Platônicos

AULA 7 Parte 2 POLIEDROS SÓLIDOS PLATÔNICOS LEONHARD EULER Teorema de Euler para poliedros Seja mathcalP um poliedro convexo Então V A F 2 onde V é o número de vértices de mathcalP A arestas F faces Exemplo a Determine a soma total Sp dos ângulos internos das faces de um tetraedro de três modos diferentes i somando os ângulos internos de cada face do tetraedro uma a uma ii somando os ângulos internos do poliedro de d Número total de arestas do tetraedro N 6 Soma dos mínimos da arestas de cada face N nF1 nF2 nF3 nF4 onde nFi o número de arestas de face Fi Então no caso do tetraedro N 3 3 3 3 N 12 observe que N 2A porque cada aresta é contada duas vezes nessa soma Demonstrar i Primeiro vamos calcular a soma Si dos ângulos internos de cada face i e obter a soma total ST S1 S2 SF onde F é o número de faces do poliedro Lembrese a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é S n2π a β γ 32π π Podemos agora obter ST ST S1 S2 SF nα 2π m2β m2π onde m é o número da lado da face i 4 i F Onde seguese foi ST π m1 m2 mF 2 2 2 F2F Portanto ST 2π A F ii Calculamos a soma dos ângulos internos das faces do poliedro de outra maneira projetando a parte iluminada e a parte sombre no plano de projeção OBS A soma dos ângulos internos de um polígono não se altera quando o projetamos em um plano que não é ortogonal ao plano que contém o polígono S n2π Calculamos agora a soma dos ângulos internos das faces iluminadas soma dos ângulos internos do contorno Sk πV0 2 onde V0 é o número de vértices do contorno soma dos ângulos internos nos vértices iluminados que não estão no contorno Si 2πV1 onde V1 é o número de vértices iluminados que não estão no contorno Portanto S Sk Si S πV0 2 2πV1 Vamos agora somar do ângulos internos das faces sombrias S πV0 2 2πV2 onde V2 é o número de vértices não iluminados que estão no contorno A soma total dos ângulos internos do poliedro é ST S S πV0 2 2πV1 πV0 2 2πV2 2πV0 V1 V2 2 2πV 2 onde V é o número de vértices do poliedro Igualando as duas expressões obtidas nos itens i e ii concluímos que 2π AF 2π V2 Onde seguese que AF V2 Portanto VAF 2