Trabalho Derivadas

SEMINÁRIO APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA ENGENHARIA Informações sobre o trabalho Objetivo Mostrar aos alunos as mais diversas aplicações da matemática estimulando a curiosidade e motivandoos através do uso das ferramentas aprendidas na disciplina dentro do próprio curso e das demais áreas da Engenharia Deverá escolher um problema diferente relacionado à Engenharia pode ser relacionado à Engenharia de Biprocessos e Biotecnologia mas não é obrigatório Para escolher o problema você pode utilizar as referências da disciplina ou outras referências extras e conversar com os professores do curso Lembrese que todas as referências utilizadas precisam ser citadas no trabalho O problema escolhido deve ser resolvido usando alguma ferramenta vista no decorrer da disciplina de Cálculo 2 Cálculo de funções de várias variáveis Os resultados deverão ser apresentados e também entregues Critérios a serem avaliados Organização e uso do tempo na apresentação Apresentação do problema contextualizado à Engenharia Resolução do problema utilizando alguma ferramenta aprendida na disciplina Interpretação dos dados e resultados obtidos Pode haver nota extra pela criatividade e dificuldade do problema Fazer entrega do desenvolvimento O desenvolvimento cálculos esboços identidades seria interessante criar um exemplo de problema relacionado à Engenharia que possa ser resolvido utilizando as ferramentas de Cálculo de Funções de Várias Variáveis conforme solicitado no seminário X OBSERVAÇÃO Tem que ter as referências de onde foi retirado o trabalho e deve ser escrito pode documento Word e também quero uma apresentação em slides canvas Desde já obrigado X Exemplos que podem ser usados Derivadas Parciais Direcional Diferenciais Vetor Gradiente Plano Tangente Derivação Implícita Uma aplicação de Derivadas Parciais Vetor Gradiente e Plano Tangente na Engenharia Fernandes 24 de Junho de 2025 1 Introdução As derivadas parciais o vetor gradiente e os planos tangentes são ferramentas fundamentais no cálculo multivariado e têm ampla aplicação em diversas áreas da engenharia Este trabalho tem como objetivo apresentar uma aplicação concreta e acessível desses conceitos no contexto da engenharia utilizando uma abordagem didática voltada para estudantes de graduação 2 Desenvolvimento 21 Derivadas Parciais Dada uma função de duas variáveis fxy as derivadas parciais representam as taxas de variação de f em relação a cada variável mantendo a outra constante Por exemplo fx lim h0 fxhy fxyh 22 Vetor Gradiente O vetor gradiente de uma função fxy é o vetor composto pelas derivadas parciais fxy fx fy Este vetor aponta na direção da máxima taxa de crescimento da função 23 Plano Tangente Dada uma função z fxy o plano tangente ao gráfico de f no ponto x0y0 é dado por Txy fx0y0 fxx0y0x x0 fyx0y0y y0 Aplicacoes em Engenharia 2 3 Aplicacao na Engenharia Temperatura em uma Placa Metalica 31 Descricao do Problema Considere uma placa metalica plana cuja temperatura em um ponto x y e dada pela funcao Tx y 100 x2 y2 Podemos gerar utilizando o software GNU Octave a superfıcie dessa funcao Observe a imagem abaixo Queremos determinar A direcao na qual a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto x0 y0 O plano tangente ao grafico da temperatura no ponto x0 y0 A interpretacao fısica desses resultados no contexto da engenharia termica 32 Calculo do Gradiente Seja Tx y 100 x2 y2 As derivadas parciais sao T x 2x T y 2y Assim o vetor gradiente e Tx y 2x 2y No ponto 3 4 temos T3 4 6 8 A direcao de maior aumento da temperatura e 6 8 isto e voltando ao centro da placa Aplicacoes em Engenharia 3 33 Plano Tangente Sabemos que T3 4 100 9 16 75 O plano tangente e Tx y 75 6x 3 8y 4 75 6x 18 8y 32 125 6x 8y Utilizando novamente o GNU Octave para gerar a visualizacao do resultado O vetor gradiente aponta para a direcao de maior variacao da temperatura sendo util para prever o fluxo de calor O plano tangente fornece uma aproximacao linear da superfıcie de temperatura sendo relevante por exemplo na simulacao computacional e na analise local de falhas termicas Esse modelo pode ser estendido para funcoes tridimensionais e utilizado em problemas de transferˆencia de calor engenharia de materiais geotermia e modelagem de gradientes de concentracao em reacoes quımicas Alem disso podese aplicar metodos numericos para estimar gradientes em superfıcies discretas 4 Conclusao Este trabalho demonstrou como conceitos de calculo multivariado se aplicam diretamente a problemas de engenharia O uso de derivadas parciais vetores gradientes e planos tan gentes permite nao apenas a compreensao matematica de fenˆomenos fısicos mas tambem sua modelagem e analise computacional Referˆencias 1 Stewart J 2013 Calculo Cengage Learning