Trabalho e Energia - Método da Carga Unitária - Exemplos Resolvidos 3 - Prof Filipe Anacleto

I_4 = \int_{1}^{1} -6 dx I_4 = \frac{1}{2} (1)(-6)(1) I_4 = -3 L = 1 m_1 = 1 M_2 = -6 I = \frac{1}{2} m_1 M_2 L U_e^* = U_i^* U_e^* = 1 \cdot \theta_A U_i^* = \sum \frac{mM}{EI} dx U_i^* = \frac{I_4 + I_2 + I_3}{EI} U_i^* = \frac{-3 + \left( \frac{136}{9} \right) + \left( \frac{22}{9} \right)}{(3.2 \cdot 10^3)} U_i^* = 0,00455 kJ 1 \cdot \theta_A = 0,00455 \theta_A = 0,00455 \text{ rad} I_4 = -3 \text{ kN}^2\text{m}^3 I_2 = \frac{136}{9} \text{ kN}^2\text{m}^3 I_3 = \frac{22}{9} \text{ kN}^2\text{m}^3 EI = 3,2 \cdot 10^3 \text{ kN} \cdot \text{m}^2 U_i^* = \sum \frac{mM}{EI} dx U_i^* = \sum \frac{mM dx}{EI} U_i^* = \frac{I_4 + I_2 + I_3}{EI} Valores das integrais I_2 e I_3 já calculados anteriormente. I_4 = \int_{1}^{1} -6 dx Carregamento virtual Carregamento real Carregamento virtual [kN, m] Deformação associada ao carregamento real ΔA θA Vce* = Uei* dUce* = F* dx dUci* = σ* ε dV Vci* = Σ ∫ mM/EI dx Δ Vce* = 1 - ΔA dUce* = M* dθ Carregamento virtual [kN m] mB = 1 · 1 = 1 kN·m Uei* = Σ ∫ mM/EI dx Uei* = Σ ∫ mMdx/EI Uei* = (I1 + I2 + I3)/EI I1 = ∫ .dx I2 = ∫ .dx I3 = ∫ .dx Carregamento virtual Carregamento real [kN, m] I_1 = \int_{1}^{1} \hspace{-1em} {}^{-6} \hspace{0.5em} dx \\ I_1 = \frac{1}{3} (1)(-6)(1) \\ I_1 = -2 \\ | kN, m | \\ | kN^2 \cdot m^3 | \\ L = 1 \\ m_2 = 1 \\ M_2 = -6 \\ I = \frac{1}{3} m_2M_2L \\ 0 \hspace{1em} x \\ L \hspace{1em} m_2 \qquad M_2 \\ [ C ] \quad [3] I_2 = \int_{1}^{2} \hspace{-0.5em} {}^{0.3} \hspace{0.5em} \int_{6}^{1} \hspace{-1em} {}^{17} \hspace{0.5em} {}^{18} \hspace{0.5em} dx \\ I_2 = \frac{1}{6} [(1)(-6) + (0.3)(18)](2) + \frac{1}{3} [(1) + (0.3)](17)(2) \\ I_2 = \frac{136}{9} \\ | kN, m | \\ | kN^2 \cdot m^3 | \\ L = 2 \\ m_1 = 1 \\ m_2 = 0.3 \\ M_1 = -6 \\ M_2 = 18 \\ M_3 = 17 \\ I = \frac{1}{6} (m_1M_1 + m_2M_2)L + \frac{1}{3} (m_1 + m_2)M_3L \\ 0 \hspace{1em} x \\ L \hspace{1em} m_1 \qquad m_2 \qquad \hspace{1.5em} M_3 \qquad M_2 \\ L/2 \qquad [ D ] \quad [9] I_3 = \int_{1}^{1} \hspace{-0.5em} {}^{0.3} \hspace{0.5em} \int_{18}^{1} \hspace{-1em} {}^{8} \hspace{0.5em} dx \\ I_3 = \frac{1}{6} (0.3) [2(18) + (8)](1) \\ I_3 = \frac{22}{9} \\ | kN, m | \\ | kN^2 \cdot m^3 | \\ L = 1 \\ m_1 = 0.3 \\ M_1 = 18 \\ M_2 = 8 \\ I = \frac{1}{6} m_1 (2M_1 + M_2)L \\ 0 \hspace{1em} x \\ L \hspace{1em} m_1 \qquad \hspace{2em} M_1 \qquad M_2 \\ L \qquad [ B ] \quad [4] [ kN, m ] θ_A = 0,00455 rad Δ_A = 0,00486 m Considere o pórtico plano esquematizado abaixo. Determine o deslocamento horizontal em B. Considere a ligação entre as barras em D rígida, e que em B o vínculo da barra AB, com a barra vertical contínua CD, é articulado. Dados: P = 8 kN q = 5 kN/m a = 1,5 m b = 4 m h_1 = 2,5 m h_2 = 3 m I = 75 ⋅ 10⁻⁶ m⁴ E = 200 GPa [ kN, m ] Carregamento real Carregamento virtual 1 [kN, m] U^*_e = U^*_i dU^*_e = F^* dx dU^*_e = M^* d\theta dU^*_i = \sigma^* \epsilon dV U^*_e = 1\cdot \Delta_{Bx} U^*_i = \sum \int \frac{mM}{EI} dx Carregamento real 16 8 4 5 8 9 15 1,5 1,5 4 3 2,5 MB = 8\cdot2,5 = 20 \text{ kN\cdot m} MD = 9\cdot4- \frac{5\cdot4^2}{2} = -4 \text{ kN\cdot m} MF = 4\cdot1,5 = 6 \text{ kN\cdot m} 5\cdot\frac{4^2}{8} = 10 q L z Mo = \frac{qL^2}{8} Diagrama de momento fletor [kN, m] Diagrama de momento fletor Carregamento virtual 0 1 m_B 1 5/8 m_D 1,5 1,5 4 3 2,5 | kN, m | 2,5 2,5 Diagrama de momento fletor m_B = 1 * 2,5 = 2,5 kN*m m_D = 5/8 * 4 = 2,5 kN*m Carregamento virtual Carregamento real 3 4 2,5 2,5 | kN, m | 2,5 4 6 4 8 20 Diagramas de momento fletor U_i^* = Σ ∫ mM / EI dx U_i^* = ∫ mM dx / EI U_i^* = I_1 + I_2 + I_3 / EI I_1 = ∫ 2.5 20 / 2.5 2.5 dx I_2 = ∫ 2.5 20 / 3 3 -4 dx I_3 = ∫ 2.5 -4 8 / 4 2 2 dx I_1 = ∫ 2.5 20 / 2.5 2.5 dx I_1 = 1/3 (2.5)(20)(2.5) I_1 = 125/3 | kN^2*m^3 | L = 2,5 m_2 = 2,5 M_2 = 20 I = 1/3 m_2 M_2 L 0 L x m_2 M_2 C 3 I_2 = \int_{3}^{3} \frac{2.5}{20} + (-4) \, dx I_2 = \frac{1}{2} (2.5) [(20) + (-4)] (3) I_2 = 60 [L = 3\, m_1 = 2,5\, M_1 = 20\, M_2 = -4] I = \frac{1}{2} m_1 (M_1 + M_2) L I_3 = \int_{4}^{2} \frac{2.5}{-4} + 8 \, dx I_3 = \frac{1}{6} (2.5) [(-4) + 2(8)] (4) I_3 = 20 [L = 4\, m_1 = 2,5\, M_1 = -4\, M_3 = 8] I = \frac{1}{6} m_1 (M_1 + 2M_3) L U_e^* = U_i^* U_e^* = 1 \cdot \Delta_{Bz} U_i^* = \sum \int \frac{mM}{EI} \, dx U_i^* = \frac{I_1 + I_2 + I_3}{EI} U_i^* = \frac{\left(\frac{125}{3}\right) + (60) + (20)}{(15 \cdot 10^3)} U_i^* = 0,0081 \, kJ 1 \cdot \Delta_{Bz} = 0,008T \Delta_{Bz} = 0,0081 \, m [I_1 = \frac{125}{3} \, kN^2 \cdot m^3\, I_2 = 60 \, kN^2 \cdot m^3\, I_3 = 20 \, kN^2 \cdot m^3\, EI = 15 \cdot 10^3 \, kN \cdot m^2] Carreamento real [ kN, m ] ∆By ∆Byz ∆Byz = 0,0081 m Deformação associada ao carregamento real