Transformacao Linear - Autovalores Autovetores Nucleo e Imagem

1 Dada a transformação linear T R2 R2 onde T x y xy xy a Domínio e Imagem de T b Encontre o ker T c Achar os autovalores e autovetores de T d T admite base de autovetores de T Exiba esta base em caso afirmativo e Dimensão de ker t e Im T f Verifique o TNI Álgebra Linear 1 T R2 R2 T x y x y x y a O domínio e a imagem de T denotados por DomT e ImT são R2 b O núcleo é definido como Ker T x y R T x y 0 0 Logo precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem x y 0 e x y 0 Se x y 0 então x y Substituindo o valor na primeira equação x y 0 x x 0 2x 0 x 0 y 0 Portanto Ker T 0 0 c Um vetor v R2 é um autovetor se existe λ R tal que Tv λv Vamos determinálos A matriz canônica da transformação T é A 1 1 1 1 Os autovalores são as raízes do polinômio característico detA λI det1 λ 1 1 1 λ 1 λ1 λ 1 λ2 1 1 λ2 2 Os autovalores são λ1 2 e λ2 2 O autovetor v1 é tal que 1 λ1 1 1 1 λ1 v1 0 0 1 2 1 1 1 2 x1 x2 0 0 Escalonando a matriz com a operação L2 L1 L2 1 2 obtemos L 2 1 x₁ 0 0 0 x₂ 0 Este sistema possui infinitas soluções logo todo vetor da forma v₁ 1 2 1 t t ℝ é um autovetor de λ₁ 2 Realizando o mesmo processo para λ₂ 2 Temos 2 2 1 x₁ 0 2 1 2 x₂ 0 Fazendo L₂ L₁ L₂ 1 2 obtemos 1 2 1 x₁ 0 0 0 x₂ 0 Logo todo vetor da forma v₂ 1 2 1 t t ℝ é um autovetor de λ₂ 2 d A transformação T admite uma base de autovetores se os autovetores formarem uma base para ℝ² Uma base deve ser LI e deve gerar todos os elementos de ℝ² Temos que 12 1 12 1 é uma base para ℝ² LI para verificar que é LI devemos ver que a 1 2 1 b 1 2 1 0 Se e somente se a b 0 a b 0 a b a 1 2 b 1 2 0 a a 2 b b 2 0 b b 2 b b 2 0 2b 2 0 b 0 Gerador Vamos mostrar que 01 e 10 são gerados por 1 2 1 e 1 2 1 10 122 1 2 1 122 1 2 1 122 122 122 122 0 2222 0 10 01 1 222 1 2 1 1 222 1 2 1 1 222 1 222 1 222 1 222 0 2222 01 e Ker T 00 e este espaço tem dimensão 0 O vetor nulo é o único vetor presente e ele não pode ser multiplicado por um escalar não nulo para gerar outro vetor diferente Portanto não há vetores LI neste conjunto e a dimensão é o número de vetores LI necessários para gerar o espaço Já ImT R2 e tem dimensão 2 f O TNI diz que dado T U V temos dimU dimkerT dimImT No nosso caso temos T R2 R2 e dim R2 dimker T dimIm T 2 0 2 Verdade