Transformacoes Lineares e Espacos Vetoriais - Lista de Exercicios Resolvidos

6 Descreva explicitamente uma transformação linear T ℂ³ ℂ³ tal que sua imagem seja o espaço gerado pelos vetores u 2i 1 3 e v 0 i 1 i Sugestão combine o resultado do exercício anterior com o Teorema 32 RESPOSTA 6 pág 58 Txyz 2ix x iy 1 iy 3x 7 Seja A ℝ² ℝ² o operador linear dado por Axy 5x 4y 3x 2y Para quais valores de λ ℝ existem vetores não nulos u ℝ² tais que Au λu Esses vetores u são únicos para cada λ fixado Determine esses vetores O que você pode concluir dos vetores associados a cada λ RESPOSTA λ 1 λ 2 Esses vetores não são únicos Para λ 1 W₁ u ℝ² Au 1u yy ℝ² y ℝ 11 Para λ 2 W₂ u ℝ² Au 2u 4y3y ℝ² y ℝ 43 Para cada λ os vetores associados a λ formam um subespaço do ℝ² 1 Sejam V M₄ₓ₁ℝ W M₃ₓ₁ℝ e T V W a transformação linear dada por TX AX sendo A uma 3 x 4 matriz fixa sobre o corpo ℝ Mostre que se T é a Transformação Linear Nula então A é a 3 x 4 matriz nula O₃ₓ₄ RESPOSTA T x y z wT A x y z wT a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ x y z wT Temos então 0 0 0T T 1 0 0 0T A 1 0 0 0T a₁₁ a₂₁ a₃₁T Analogamente 0 0 0T a₁₂ a₂₂ a₃₂T a₁₃ a₂₃ a₃₃T a₁₄ a₂₄ a₃₄T e portanto A 0 matriz nula