Trabalho Avaliativo sobre Sistemas de Equações Lineares

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA Ciências Exatas e Tecnológicas 1ª Fase Professor Diogo Luiz de Oliveira Componente Curricular Matemática e Tecnologia Aplicada à Engenharia I Trabalho Avaliativo I ALUNOS Data de Entrega até 10 de setembro de 2022 após esta data será descontado 01 ponto por dia de atraso Grupos de até 3 integrantes Este trabalho consistirá na resolução de quatro problemas aplicados à resolução de sistemas de equações lineares Peso do trabalho na média final 10 Questão 1 25 pontos Sabese que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A 180 unidades de vitamina B 140 unidades de vitamina C 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada foram estudados cinco alimentos Fixada a mesma quantidade 1 grama de cada alimento determinouse que O alimento I tem 1 unidade de vitamina A 10 unidades de vitamina B 1 unidade de vitamina C 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E O alimento II tem 9 unidades de vitamina A 1 unidade de vitamina B 0 unidades de vitamina C 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E O alimento III tem 2 unidades de A 2 unidades de B 5 unidades de C 1 unidade de D e 2 unidades de E O alimento IV tem 1 unidade de A 1 unidade de B 1 unidade de C 2 unidades de D e 13 unidades de E O alimento V tem 1 unidade de A 1 unidade de B 1 unidade de C 9 unidades de D e 2 unidades de E a Indicando por x a quantidade em gramas ingerida do alimento tipo I y a quantidade ingerida do alimento tipo II z do alimento tipo III w do alimento tipo IV e t do alimento tipo V escreva o sistema de equações lineares para determinação de quantos gramas de cada um dos alimentos devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada b Reescreva o sistema de equações lineares na forma matricial c Determine o número de soluções do sistema de equações d Qual o grau de liberdade do sistema de equações e Quantos gramas de cada um dos alimentos I II III IV e V devem ser ingeridos diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada Questão 2 25 pontos Quatro tipos de materiais particulados estão distribuídos por quatro provetas e em cada proveta os materiais são dispostos em camadas não misturadas de modo que seja possível medir facilmente o volume de cada material em cada uma delas Dado que possamos medir a massa total de cada proveta e que saibamos a massa da proveta vazia queremos calcular a densidade de cada um dos materiais Para colocar o problema em termos matemáticos chamemos os materiais de A B C e D e suas densidades respectivas de ρA ρB ρC e ρD Entre os dados disponíveis para resolvêlo estão a massa total de cada uma das provetas numeradas de 1 a 4 sendo m1 541 g m2 598 g m3 466 g e m4 544 g já descontada a tara das provetas Além disso temos o volume de cada um dos materiais em cada uma das provetas Chamaremos de V1A V1B V1C e V1D o volume dos materiais A B C e D na Proveta 1 V2A V2B V2C e V2D o volume dos materiais A B C e D na Proveta 2 e assim por diante Estes valores estão representados na tabela a seguir Como a densidade é a razão entre massa e volume a massa do material A na Proveta 1 é V1AρA Estendendo esse raciocínio para os demais materiais obtemos que a massa total m1 contida na Proveta 1 é a Seguindo este modelo e substituindo os valores numéricos conhecidos monte o sistema de equações que ao ser resolvido determinará as densidades desconhecidas ρA ρB ρC e ρD b Reescreva o sistema de equações lineares na forma matricial c Determine o número de soluções do sistema de equações e o seu grau de liberdade d Determine a densidade de cada um dos materiais e Qual a massa de uma amostra de 150 mL do material A Questao 3 25 pontos A distribuigaéo de temperaturas numa placa fina pode ser encontrada se forem conhecidas as temperaturas ao longo das arestas da placa Podese adotar um modelo matematico que consiste em marcar pontos de malha na placa de forma a dividila em regides A andlise pode ser baseada na seguinte propriedade de temperatura de equilibrio em cada ponto de malha interior a temperatura é aproximadamente igual a média aritmética das temperaturas dos quatro pontos de malha adjacente Seja a placa ilustrada abaixo 8 2 26 o 2 e 4 Sa o Considerando os nove pontos de malha da placa as temperaturas nesses pontos foram denotadas por ti t2to Aplicando a propriedade da média aritmética citada acima para determinar as temperaturas t e tz obtémse t20042 4 at tzt2 a7 4 a Seguindo a propriedade das médias aritméticas monte as equagdes para determinacao de temperaturas no demais pontos da malha b Escreva o sistema de equagdes na forma matricial Qual o numero de equacodes e de incdgnitas do problema c Determine o nimero de solug6es e 0 grau de liberdade do problema d Qual o valor encontrado para t4 e Qual a temperatura do ponto 8 Questao 4 25 pontos Introducao Quando uma reacgao quimica ocorre certas moléculas os reagentes se combinam para formar novas moléculas os produtos Uma equagao quimica balanceada é uma equaao algébrica que da o numero relativo de reagentes e produtos na reagdo e tem 0 mesmo nimero de atomos de cada tipo dos lados esquerdo e direito A equacao é usualmente escrita com os reagentes a esquerda os produtos a direita e uma seta entre os dois lados para mostrar a direcdo da reacao Por exemplo para a reacgao na qual os gases hidrogénio H2 e oxigénio Oz se combinam para formar 4gua H2O uma equacgao quimica balanceada é 2H2 O 2H2O indicando que duas moléculas de hidrogénio se combinam com uma molécula de oxigénio para formar duas moléculas de 4gua Observe que a equacao esta balanceada pois ha quatro atomos de hidrogénio e dois atomos de oxigénio em cada lado Embora o método de tentativa e erro frequentemente funcione em exemplos simples o processo de balanceamento de equacgdes quimicas na verdade envolve a resolugao de um sistema de equacoes lineares homogéneo e por essa razio podemos usar as técnicas que desenvolvemos para evitar os chutes Problema A combustao de aménia NH3 em oxigénio produz nitrogénio N2 e agua conforme a equaao quimica wNH xO yN2 zHO onde w x y e z sao os numeros de moléculas de amO6nia oxigénio nitrogénio e 4gua a serem determinados a Monte o sistema de equac6es algébricas que quando resolvido determinara os valores dos parametros desconhecidos b Determine 0 ntmero de solug6es que este problema pode apresentar c Quais os valores de w x y e z que satisfazem a equado quimica d Verifique se w 23 x 12 y13 e z 1 uma solucao do problema e Escreva a equacao quimica balanceada desta reacao utilizando os menores valores inteiros possiveis para os parametros encontrados