Lista de Exercícios Resolvidos sobre Matrizes e Álgebra Linear

Questão 1 Seja A uma matriz quadrada n x n Chamase traço de A a soma tr A a11 a22 ann dos elementos aii de sua diagonal Prove que trA B trA trB trαA αtrA se α R e que trAB trBA Questão 2 A matriz a seguir representa a quantidade de três produtos P1 P2 P3 vendidos por três vendedores V1 V2 V3 de uma loja onde cada elemento aij representa a quantidade do produto Pi vendido por Vj i j 1 2 3 P1 V1 5 7 10 V2 V3 P2 6 2 3 P3 5 8 1 Sabendose que após vendidos cada produto P1 P2 e P3 possui 10 15 e 20 reais de lucro respectivamente determine a A quantidade de produtos vendidos por cada vendedor e qual vendedor vendeu mais produtos b Qual vendedor obteve o maior lucro e qual obteve o menor lucro c Quantos produtos P1 e P3 os vendedores V1 e V2 venderam Questão 3 Sejam A e B matrizes 3 x 3 com B invertível Prove que A e B1AB têm o mesmo traço Questão 4 Seja A a1 b1 a2 b2 tal que det A 0 Resolva os sistemas de equações lineares a1x1 b1x2 1 a2x1 b2x2 0 a1y1 b1y2 0 a2y1 b2y2 1 e obtenha uma fórmula explícita para a matriz inversa A1 x1 y1 x2 y2 Questão 5 Construa a matriz A aij3x3 definida por aij 1ij se i j 0 se i j Questão 6 Determine m n p e q de modo que m 2m p p n n q 3q 7 8 1 5 Questão 7 Se A 2 1 3 1 B 1 2 1 0 e C 4 1 2 1 calcule uma matriz X de ordem 2 tal que X A2 B X3 C Questão 8 Dados A 3 2 5 1 e B 0 1 3 0 mostre que AB BA Questão 9 Sejam A uma matriz m x n e B uma matriz m x p A afirmação falsa é a A B existe se e somente se n p b A At implica m n c AB existe se e somente se n p d ABt existe se e somente se n p e At B sempre existe Questão 10 Considere as matrizes A aij 4 x 7 onde aij i j B bij 7 x 9 onde bij i C cij tal que C AB O elemento c63 a é 112