Trigonometria e Geometria Analítica

Exercícios de Revisão Trigonometria 1 Considere uma planta topográfica onde dois lados adjacentes de um triângulo retângulo têm 158 cm e 119 cm Calcule os ângulos que a diagonal deste triângulo retângulo faz com ambos os lados utilizando trigonometria para análise de ângulos em levantamentos planimétricos 2 Em um projeto viário uma rampa uniforme sobe 105 km ao longo de um trecho com 600 km de comprimento distância inclinada Determine o ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal essencial para o cálculo de corte e aterro em projetos de rodovias 3 Em um levantamento topográfico de um terreno um triângulo retângulo apresenta catetos com 45 m e 58 m Determine os outros ângulos e o comprimento da hipotenusa aplicando trigonometria para definir as dimensões exatas do terreno 4 Em um triângulo de lados a b e c 41 Em um levantamento planimétrico considere um triângulo com ângulos A 5400 e B 6700 e um lado a 139 m Calcule os lados b e c para garantir precisão nos cálculos 42 Para um triângulo com A 3815 B 2938 e lado b 162 m determine os lados a e c aplicando as leis da trigonometria para verificar a consistência dos dados coletados 5 Considere um triângulo de lados a 8 m b 9 m e c 12 m medidos em um levantamento topográfico Determine os ângulos internos para validar a consistência dos dados e obter uma representação precisa 6 Em um levantamento topográfico considere um triângulo com A 7512 b 43 m e c 35 m Calcule os ângulos restantes utilizando trigonometria para garantir precisão nas medições B e C 7 Para um triângulo com lados a 62 m b 78 m e A 5200 determine a área aplicando fórmulas trigonométricas essencial para a análise de áreas em projetos de loteamento 8 Determine a área de um triângulo com lados medindo 325 m 256 m e 189 m utilizando a fórmula de Heron fundamental para a determinação de áreas em levantamentos topográficos Exercício Item Resultado Exercício Item Resultado 1 Ângulo 1 6 Ângulo B Ângulo 2 Ângulo C 2 Ângulo 7 Área 3 Ângulo 1 8 Área Ângulo 2 Comprimento hipotenusa 4 b c 5 Ângulo A Ângulo B Ângulo C Exercícios de Revisão Geometria Analítica 1 Em um levantamento topográfico represente graficamente no plano cartesiano o polígono cujas coordenadas dos vértices são A 3 2 D 5 0 B 1 3 E 2 3 C 3 5 F 0 2 Observações I Unidade de medida linear metro II Empregar escala 1100 2 Calcular pelo método das coordenadas Gauss a área do polígono a que se refere o exercício anterior Utilize o método das coordenadas método de Gauss para calcular a área do polígono representado na questão anterior Este cálculo é crucial para a determinação precisa de áreas em levantamentos topográficos garantindo a correta delimitação de terrenos 3 Ainda com relação ao mesmo polígono unindose por meio de uma linha os vértices A e D qual o valor do ângulo agudo α formado entre AD e o eixo das abscissas Qual o comprimento de AD Considerando o mesmo polígono una os vértices A e D por uma linha reta Determine o valor do ângulo agudo α formado entre a linha AD e o eixo das abscissas assim como o comprimento do segmento AD Esses cálculos são essenciais para a análise de direções e distâncias em projetos de engenharia civil 4 As coordenadas polares dos vértices de um triângulo são A 4243 m 450000 B 7616 m 231155 C 5000 m 000000 Calcular as respectivas coordenadas retangulares ou cartesianas Esta conversão é importante para integrar dados polares em sistemas de coordenadas cartesianas amplamente utilizados em levantamentos topográficos Exercício Item Resultado 2 Área 3 α AD 4 Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de C Resolução da Questão 1 Análise de Ângulos em Levantamento Planimétrico Matheus Duarte March 12 2025 Problema 1 Resolução Cálculando a Hipotenusa Aplicando o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa c c 158 cm² 119 cm² 24964 14161 39125 1978 cm Fazendo a Determinação dos Ângulos Utilizando a função tangente para calcular os ângulos Ângulo θ adjacente ao lado de 158 cm tanθ 119158 0753 θ arctan0753 37 Ângulo φ adjacente ao lado de 119 cm tanφ 158119 1327 φ arctan1327 53 Problema 2 Resolução Modelagem Trigonométrica A rampa forma um triângulo retângulo onde Altura cateto oposto 105 km Comprimento da rampa hipotenusa 600 km Fazendo a Aplicação do Seno A relação trigonométrica é dada por sinθ cateto opostohipotenusa 105600 Cálculando o valor do Seno sinθ 105600 0175 Determinação do Ângulo Utilizando a função arcoseno θ arcsin0175 1008 Arredondamento para Precisão Prática Em projetos viários adotase uma casa decimal θ 101 Problema 3 Resolução Cálculando a Hipotenusa Aplicando o Teorema de Pitágoras c 45 m² 58 m² 2025 3364 5389 734 m Arredondando para uma casa decimal c 73 m Determinação dos Ângulos Ângulo θ oposto ao cateto de 45 m tanθ 4558 07759 θ arctan07759 378 Ângulo φ oposto ao cateto de 58 m φ 90 θ 90 378 522 Problema 41 Dados Ângulos  5400 B 6700 Lado a 139 m Resolução Determinando o ângulo Ĉ Ĉ 180 5400 6700 5900 Aplicando a Lei dos Senos asin bsin B csin Ĉ Lado b b a sin B sin  139 sin 67 sin 54 139 09205 08090 158 m Lado c c a sin Ĉ sin  139 sin 59 sin 54 139 08572 08090 147 m Problema 42 Dados ˆAngulos ˆA 3815 ˆB 2938 Lado b 16 2 m Resolucao Determinando o ˆangulo ˆC ˆC 180 3815 2938 11207 Aplicando a Lei dos Senos a sin ˆA b sin ˆB c sin ˆC Lado a a b sin ˆA sin ˆB 16 2 sin 38 25 sin 29 63 16 2 0 6202 0 4947 20 3 m Lado c c b sin ˆC sin ˆB 16 2 sin 112 12 sin 29 63 16 2 0 9272 0 4947 30 4 m Problema 5 Resolucao Verificacao da Desigualdade Triangular a b c 8 9 12 a c b 8 12 9 b c a 9 12 8 Calculo dos ˆAngulos via Lei dos Cossenos ˆAngulo ˆA cos ˆA 92 122 82 2 9 12 161 216 0 7454 ˆA 41 8 ˆAngulo ˆB cos ˆB 82 122 92 2 8 12 127 192 0 6615 ˆB 48 5 ˆAngulo ˆC ˆC 180 41 8 48 5 89 7 Problema 6 Resolucao Convertendo ˆA para Graus Decimais 7512 75 12 60 75 2 3 Calculando o Lado a Lei dos Cossenos a2 b2 c2 2bc cos a2 432 352 2 43 35 cos75 2 a2 1849 1225 3010 02588 2293012 a 2293012 4788 m Calculando B Lei dos Senos a sin b sin B sin B b sin a sin B 43 sin75 2 4788 43 09659 4788 0867 B arcsin0867 60 0 ou 600 Calcular C Soma dos Ângulos C 180  B 180 75 2 60 0 44 8 ou 4448 Problema 7 Resolução Fórmula da Área Área 12 a b sinθ Substituição dos Valores Área 12 62 78 sin52 Cálculo do Seno sin52 07880 Cálculo Final Área 05 62 78 07880 191 m2 Problema 8 Resolução Calculando o semiperímetro s s a b c 2 325 256 189 2 770 2 385 m Aplicando a Fórmula de Heron Área ss as bs c Substituindo os valores Área 385 385 325 385 256 385 189 Calculando cada termo dentro da raiz s a 385 325 60 m s b 385 256 129 m s c 385 189 196 m Multiplicando os termos 385 60 129 196 385 60 25284 23100 25284 584604400 m2 Calculando a raiz quadrada Area 584604400 24180 m2 5