VA Final Algebra Linear UFRPE - Resolucao de Questoes e Transformacoes

Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Professor Dr Deibsom Silva Nome VA Final de Álgebra Linear NI LF1 20211 Questão 1 20 Sejam α t2 t 1 2 e β t2 1 t 1 1 bases ordenadas de P2 a Calcule Iβ b Se uα 2 1 3T calcule uβ Expresse u como um vetor de P2 Questão 2 30 Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Justificandoas caso verdadeira ou dando um contraexemplo caso falsa a Sejam v1 v2 vn vetores de um espaço vetorial V Se W spanv1 v2 vn então dimW n b Seja V um espaço vetorial Se W V é subespaço vetorial de V então dimW dimV c Sejam U e V espaços vetoriais e T U V uma transformação linear injetora Se u1 u2 un U são LI então Tu1 Tu2 Tun V são também LI Questão 3 20 Seja T R3 P2 uma transformação linear tal que Tβα 1 0 1 1 3 1 1 0 1 Onde α 0 1 0 1 0 1 1 0 0 e β t2 1 t 2 são bases ordenadas de R3 e P2 respectivamente a Calcule T2 1 3 b Calcule a dimensão do núcleo e da imagem de T T é um isomorfismo Questão 4 30 a Encontre a transformação linear T R3 R3 tal que T1 0 0 1 0 1 T0 1 0 0 1 0 e T0 0 1 1 0 2 b Verifique se a transformação linear do item a é diagonalizável Em caso afirmativo exiba sua matriz diagonal Boa Prova ① α t2 t1 2 β t2 1 t 1 1 T P2 P2 α β a t2 αt2 1 βt 1 γ t2 αt2 α βt β γ α 1 β 0 β α γ 0 γ 1 α 1 β 0 γ 1 t 1 αt2 1 βt 1 γ t 1 αt2 α βt β γ α 0 β 1 α β γ 0 γ 1 2 αt2 1 βt 1 γ 2 αt2 α βt β γ α 0 β 0 γ 2 Iβα 1 0 0 0 1 0 1 1 2 b Iβα μα 2 1 3T μβ 2t2 1 1 t 1 1 3 2t2 2 t 1 3 2t2 t 5 2t2 t 5 2 a Falso O conjunto de geradores precisa ser LI para que dim W n v1 001 v2 020 v3 101 v4 010 W 001 020 101 010T dim W 3 pois v4 2v2 b Falso Só é válido para espaços de dimensão finita 2 c Verdade Se Tu1 Tu2 Tuk a1 Tu1 a2 Tu2 ak Tuk 0 Como T é linear Ta1 u1 ak uk 0 Como T é injetora a1 u1 ak uk 0 Como u1 uk é LI a1 ak 0 e assim Tu1 Tu2 Tuk é LI 4 2 T100 101 T010 010 T001 102 xyz x 100 y 010 z 001 Txyz x T100 y T010 z T001 Txyz x 101 y 010 z 102 Txyz x z y x 2z 6 1 0 1 0 1 0 1 0 2 Autovalor 1 λ 0 1 0 1 λ 0 1 0 2 λ 0 1 λ2 2 λ 1 1 λ 0 1 2λ λ2 2 λ 1 λ 0 2 λ 4λ 2λ2 2λ2 λ3 1 λ 0 λ3 4λ2 4λ 1 0 λ3 4λ2 4λ 1 x1 λ2 3λ1 λ1 é raiz λ1 λ2 3λ 1 0 λ2 3λ 10 Δ9 411 Δ5 λ 3 5 2 λ 3 5 2 λ 3 5 2 Autovetores λ1 0 0 1 0 0 0 1 0 1x y z 0 0 0 x0 zx0 zx 010 y010 v1010 Para λ 3 5 2 5 12 0 1 x y z 0 0 5 12 5 12 0 1 0 5 12 x z 0 z 5 1 2 x 5 12 y0 y0 x 5 1 2 z 0 v2 1 0 5 1 2 x 0 5 1 2 x x 1 0 5 1 2 Para λ 3 5 2 5 1 2 0 1 x y z 0 0 0 0 5 1 2 0 5 1 2 0 0 1 y0 x 5 1 2 y 0 5 1 2 x z 0 173 52 1 0 1 Como temos três autovalores L1 segue que o operador é diagonalizavel e sua matriz diagonal D₁ 1 0 0 0 352 0 0 0 352 3 T 0 1 0 t² t 3 T 1 0 1 3t T 1 0 0 t² t 3 x y z a t² b t c 0 1 0 1 1 3 1 0 1 0 3 0 1 0 0 1 1 3 x y z a 0 1 0 b 1 0 1 c 1 0 0 x y z b c a b b c x a y b z x y z y 0 1 0 z 1 0 1 x z 1 0 0 T x y z y T 0 1 0 z T 1 0 1 x z T 1 0 T x y z y 1 1 3 z 0 3 0 x z 1 1 3 T x y z y y 3y 0 3z 0 z x x z 3x 3z T x y z y z x y x 2 z 3 y 3 x 3 z T x y z y z x t² y x 2 z t 3 y 3 x 3 z T 2 1 3 1 32 t² 1 2 6 t 3 6 9 2 t² 7 t 6 6 Nuc T y z x 0 y x 2 z 0 3 z 0 3 y 3 x 3 z 0 z 0 x y 0 x y y y 0 Nuc T 1 1 0 dim Nuc T 1 T não é monomorfismo pois T não é injetora Nuc T 0