Prova de Cálculo 1 - Universidade Federal do Espírito Santo

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE P3 CAaleulo 1 MAT 1592509570 120822 Manha Leia com atencao Justifique suas respostas 40 1 Considere a regiao R do plano xy delimitada pelas curvas x y 3 7 4e considere o solido S obtido por revolugao de R em torno da reta y 1 a Esboce a regiao R e determine sua area 075 Intersegaéo das curvas rA4 v y 3 ocorre para 4 y 3 jy3 2ie ylouy5 Assim a area é 075 1 5 5 try er ydy 4 y 3dy 1 1 33 5 ty a 3 1 8 8 9 4 3 3 16 16 3 32 b Escreva uma integral que expresse o volume de S pelo método das cascas cilindricas Nao calcule a integral 10 altura eee 5 LL YI 0 1 2 3 5 6 7 8 8 wee Uma casca ao nivel y 15 tem raio y 1 e altura 4 y 3 donde o volume é dado por 2 2m Di w3ldy 1 c Escreva uma integral que expresse o volume de S pelo método das fatias Nao calcule a integral 2 i raio externo raio interno oe 0 1 2 3 5 6 7 8 9 wee 10 Uma fatia ao nivel x 04 é um anel com raios externointerno dados por yx 1 em que yx 3 2 ie yx 3 Vz ie yx 34 Vx ou yx 32z Ou seja 0 raio externo é 2 z 0 raio interno é 2 z Assim o volume é 05 4 n2 V2 2 Vz2de 0 60 2 Determine a Je sen 2 1dx 15 Integrando por partes U2 dv sen 2x 1dx dudx y Siew Gart 2 1 2 1 ose Qrtdr fer ates 2 1 2 1 sen 2e1 cos 2a r 4 2 1 2x 2e 1 0 ew e 3 075 ue1e du 2e 1 Substituindo zr0u1 vclsue4l1 075 1 92a e741 2 1 1 2 tt tt In uls T in e 1 In1 Ine 1 3a 1 d c xa 1 075 2 1 3 Substituindo a ee du 3x ldx 075 241 1 jes f paee nll tn a 40 xx 1 u 075 Alternativamente podemos decompor em fracoes parciais 327 1 A BrC ee21 2 a4 327 1 Az 1 BrtCz AB3 Igualando coeficientes C 0 donde A1 B2C0O0e A1 075 1 2 T f 24 ode Info Info 1 x 1 como na resolugao mais curta acima Va 2 d de dica complete quadrados x 10 4 Completando quadrados x2x2 22x11 x11 Substituindo c1sec 0 072 dx sec tg 0 x 1 1 Vsec01 tg 6 tg 6 pois tg 00 Assim Vx 2 tg 0 r fara f Bi seco tg 0d0 x1 sec 6 te 0d0 se 0 1d0 te d8dC 05 Voltando a x pelos cdlculos acima em chaves tg 6 Vx 2x Assim 6 arctg Vx 2r7e T Vax 2 arctg Vx 2274C 5