Prova de Cálculo 1 - P3

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE P3 Caleulo 1 MAT09570 041021 tarde Leia com atencgao Justifique suas respostas 1 Considere a regiao R do plano xy delimitada pelas curvas y e 120 y1 e considere o sélido S obtido por revolugao de R em torno do eixo 10 a Esboce a regiao R e determine sua area 05 Wn x 2 es Cee Intersecgoes eX 11 x In2 05 A area é In2 ie 1 e 1da 2x e 2Im2 2 01 2In21 0 10 b Escreva a integral que expressa o volume de S pelo método das cascas cilindricas Nao calcule a integral 1 a ae A A A a fp x ae Uma casca ao nivel y 01 tem raio y e altura Iny 1donde o volume pretendido é dado por 1 Qry Iny 1dy 0 20 c Determine o volume de S pelo método do fatiamento f aro 4 Uma fatia ao nivel x 0ln2 é uma arruela com raio externo 1 raio interno e 1 e Area Ax 71 re 1 volume pretendido é dado 2 por In2 In2 Axdz nf 1 e 1dx 0 0 In2 n f 1 e 2e 1dx 0 In2 nf e 4 Qe dx 0 1 In2 50 26 2 0 1 1 dem 20 442 3 2442 7 4 7 5 2 Determine 10 a PCa a cos xdx m2 n2 a a cos xdx PP sen xdx a sen aly 0 0 cos al tn2a la2a 15 b fi aay1 dz a0 10 Substituindo u127a du 22a7dx z0ul1 rau0 a 2 3 0 aayf1 de Judu 0 a 2h 05 3210 3 I 30 3 15 farhesn 075 A decomposicao em fracdes parciais é 1 6x A in B Qe1f1 21 1 donde 1 62 Ax 1 B2x 1 Para x 1 obtemos 7 B Para x 12 obtemos 4 A2 A 8 075 Portanto 1 6 1 1 lots 3snet e 4n2x 17lnx1C 20 d f age usando uma substituicao trigonométrica 05 Substituindo x 2tand6 72 72 da 2 cos sec 0d0 Var242sec0 temos x 3 L dz ios A sec 0dé 8Vx744 10 Continuando e substituindo u sec 9 du sec 6 tan 0d0 21 6 tan 0 sec6a occ 6 1 tan sec 6d0 fe ldu 3 utC 3 sec secOC 3 05 4 Finalmente como x2 tan temos x74 tan sec 6 1 donde sec 1 x4 e secO 1 224 Como 71272 segue que 1 secO V1224 gV4t2 e T 4 4023 Fa 4 02 C 24 2 5