Prova de Cálculo 1 - Universidade Federal do Espírito Santo

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF Célculo 1 MAT09570 151021 manha Leia com atencao Justifique suas respostas 1 Calcule 10 a limz40 Aplicando a Regra de LHopital duas vezes e usando o limite fundamental trigonométrico i sen F 1 cose sng 1 snc 1 r0 403 230 1202 a0 24 dasd oc 24 et 4 10 b Jc wm t 05 Substituindo uIngz du 1xdx teuIne1 x euIne4Ine 4 05 1 fi ay 12 e Satu fo du 2u 221 2 tv ina 1 Vu 1 I 15 c a equacao da reta tangente a curva y re no ponto 1 1e 10 Derivando com respeito a x yi e 26 22x e 1 2x 1 05 Para x 1 y 1e temos y e1 2 e e uma equacao da reta tangente pretendida é y e ea 1 15 d fo t sin 2tdt 10 Integrando por partes duas vezes obtemos a primitiva da funcao inte granda 2 lis t sen 2tdt t cos 2tdt 3 cos 2t 2tdt t sen 2t xt cos 2t 5 sen 5t sen st cos cos 2t xt sen 2t t cos 2t C cos t sen 2t t cos 4 2 2 1 1 G 5 cos 2 ot sen 2tC 05 Assim pelo TFC 2 1 1 x fe sen 2tdt cos 2 t sen 2t 4 2 2 0 1 In 0 19 0 17 py 008 an rl cos 5 15 2 Suponha que 4x 9y 36 onde xy sao fungdes de t Se dxdt 3 encontre dydt quando x 2 e y 253 075 Derivando com respeito a t dx dy 82 18y 0 ar Tar dx dy 4r 9y 0 aE a 075 Para 2 e y 253 dxdt 3 temos 2 d 423 9 2v53 0 dy 6V5 24 ie dy 4 dt V5 3 Seja R a regiao do plano zy delimitada pelas curvas y x e y x7 Seja So sdlido obtido por revolucao de R em torno da reta y 2 Escreva uma integral que represente o volume de S Obs As curvas intersetamse quando x 27 6 224 x1206 zxOourv1 075 a usando o método das cascas cilindricas A ye Bs 2 ee NY x es Uma casca ao nivel y 01 tem altura y y e raio 2 y donde o volume de S é 1 2n2wa vac 0 075 b usando o método do fatiamento 3 Zz i Uma fatia ao nivel x 01 origina uma arruela com area Aa 11 ea Wing 12 27 2 Va donde o volume de S é 1 1 Aadx nf 2 22 2 Vzda 0 0 4 Considere uma fungao f de dominio R com assintota horizontal y 2 tal que f0 1e tal que fx ES Acerca de f determine 05 a os intervalos onde é crescentedecrescente O sinal da derivada f é 0 sinal do numerador 6z pois 0 denominador x 3 6 positivo para todo o x donde f2 0 x 0 e pelo Teste CD f é decrescente em 0 00 e é crescente em o0 0 10 b os intervalos onde tem concavidade para cimabaixo 05 Derivando com a Regra do Quociente e simplificando o fator x 3 fx 6x 3 6a 2x 3 Qe x 34 62 3 242 x 38 2 yg 1 x 33 05 4 Analogamente a a note que o sinal de f e o sinal da expressao x2 1 Note que y x2 1 tem como grafico uma parabola com a concavidade voltada para cima sendo portanto negativa entre os zeros ie em 1 1 e positiva em 1 e em 1 Pelo Teste da Concavidade con cluımos que f tem concavidade voltada para cima em 1 e em 1 e tem concavidade voltada para baixo em 1 1 c um esboco indicando explicitamente extremos e pontos de inflexao caso exis 05 tam De a b existe um unico maximo f0 1 tratase mesmo de maximo global e existem pontos de inflexao 1 f1 1 f1 Um exemplo 5