Prova de Cálculo 1 - Universidade Federal do Espírito Santo

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE P3 Caleulo 1 MAT09570 250322 tarde Leia com atencao Justifique suas respostas 1 Determine cossec 1a 10 a a Substituindo u 1z du 1x7dz 2 1 1 aera cossec 7udu cotg uC cotg z C 2 10 b le Ide 1 Desenhando a curva y x 1 observase que fy x 1dx expressa a soma das areas de dois triangulos Um triangulo tem base e altura igual a 2 e outro tem base e altura igual a 1 daf f ja Idx 241252 Solugao alternativa como x1l x21 x 1 la i obtemos 2 1 2 jn tfde f je tae le Ide 1 alt 1 1 2 1 ade f x 1dx il 1 F 2 12 4 2 4 2 1 1 12 112 2 2 121 1232412 52 1 Vax 4 15 c Se usando a substituigaéo 7 2sec0 x 10 Substituindo x 2sec 00 072 dx 2sec 6 tg 0 Va4 Asec 6 1 14 tg 22 2 te 8 Vx24 2 tg 0 tix ar TES 28006 tg odd 2x 4 sec 6 tg 20d0 se 6 1dé tg 64C 05 Voltando varidvel x lembre do calculo acima Vx 4 2 tg 6 Dai Vr 4 Vee 4 arctan C 2 2 Altenativamente como x 2sec0 cos 6 2x também pode escrever 6 arccos 2ax 1 20 d e sen rdx 0 15 Integrando por partes duas vezes derivando a fungao trigonométrica e primitivado a fungao exponencial obtemos 1 1 I e sen xdx e cos dx e sen a5 0 0 1 f e sen adx e cos 2p e sen 2g 0 I I e cos ao e sen ao 05 Donde 2 21 e cos a e sen 2g 1 I 5 e cos a e sen zl 1 T 51ecos1esen10 d 2x 10 e cos t7dt dx 0 Pelo TFC temos fer cos tdt G2xr G0 em que Gu cos u Usando a Regra da Cadeia d 2x cos tdt G 2x 2 2 cos 42 dx 0 2 Seja a 0 e considere a regiao R do plano xy delimitada pelas curvas y e 1 x 0 a y 0 e considere o sdlido S obtido por revolugao de R em torno do e1xo y 15 a Esboce a regiao R e determine sua area 075 ea a i i I I X G 075 A area é dada por y e ldx e 2p e a 10 ea1 10 b Escreva uma integral que expresse o volume de S pelo método das cascas cilindricas Nao calcule a integral 3 4a fe a es y i U U a 4 x Uma casca tipica ao nivel x 0a tem altura e 1 e raio x donde o volume é dado por a Qrue 1dz 0 10 c Escreva uma integral que expresse o volume de S pelo método das fatias Nao calcule a integral 74 a in FARR Shee te a Uma fatia tipica ao nivel y 0e 1 é uma arruela de raio externo a e de raio interno xy em que e 1 yie xy Iny 1 donde o volume é dado por e1 na mlny 1dy 0 4