Prova de Cálculo e Otimização de Funções

Universidade Federal do Espirito Santo Departamento de Matematica CCE PF Céleulo 1 MAT09570 181220 manha Leia com atencao Justifique suas respostas 1 Determine a 15 limp oW5a 3a V5a 22 Vda 8a V5a 2x lim 5x 3a V5ax 2a lim V 5a 3a 5a 22 ey aN V5ax 8a 5x 2x im 5x 3a 5x 2x woo 5a 32 Vda 2x x in woo 5x 3a V5x 2x 1 1 go Vata is 230 Tatas ae T70O Tar OO se fee 4 oe pee 1 1 b 10 Sendo fa e e7 encontre uma formula para a nésima derivada de f fa para todo n f x ae be f a azet 4 b2e7 ot f x aeet bee ot f x ate 4 hte oe fae x gre 4 1be 2 25 Sejam a b nimeros reais Seja f a funcao definida abaixo fla 7x b r0 cos ax 72 2 sen 2r x 0 a Se escolhermos a 1 e b 2 a funcao f é continua no ponto x 0 b Determine a e b para que f seja diferencidvel no ponto x 0 1 a Paraa1eb 2 temos que f0 2 enquanto lim cos a 22 x sen 2x 0 z0 pois cos 72 0 e como sen 22 é limitado e x tende a zero temos 0 resultado pelo teorema do confronto Portanto como f0 4 lim9 fx a funcgao nao é continua no ponto x 0 b Para ser diferencidvel devemos ter limp 9 Hh 0 limp so Hh 0 limps0 Thob8 limp59 cos ne antisen 2hb 7 limp jo SPneye sen CU him 50 F Temos que b 0 para o limite limp9 i acima existir Por outro lado o limite h 2 h3sen 2h h 2 lim Ser trey eee ah 12 hsen 2h jim Ae tre ah dy lim h sen 2h h0 h h0 h h0 ie Dy L2 O limite Lz O pelo teorema do confronto O limite L pode ser calculado usando LHopital obtemos Ty mn CS h0 1 Portanto a 7eb0 3 25 Um tijolo no formato de um paralelepipedo é construido de forma que o seu comprimento seja o dobro da sua espessura e sua area total seja 2cm Encontre as dimensdes que maximizarao o volume do tijolo 22 Observe que a area total do tijolo é dada por Ap 22447422424222z Ar 6xz Segundo as especificacoes a area total Ary deve ser igual a 2 Arp 4a 6xrz 2 42 6rz 227 32z1 3ez 122 1 22 z 32 2 Desse modo a formula para o volume V x como funcao de x fica sendo V x 2x x 1 2x2 3x 2 3x 2x3 Para encontrar as dimensoes que maximizarao o volume vamos encontrar os numeros crıticos de V x V x 2 31 6x2 Resolvendo a equacao V x 0 temos V x 0 2 31 6x2 0 6x2 1 x 1 6 Note que x 0 uma vez que ele representa uma das dimensoes do tijolo Alem disso V x 0 x 1 6 V x 0 x 1 6 Logo x 1 6 fornece o volume maximo A dimensao z correspondente e z 1 2x2 3x z 1 2 6 3 6 4 6 3 6 4 6 6 3 2 6 9 Portanto as dimensoes desejadas sao 2 6 1 6 e 2 6 9 4 25 Calcule a area delimitada pelas curvas fx lnx2 gx x2 4 x 1 e x 3 3 As curvas f e g se interceptam apenas no ponto x 2 Temos que se 1 x 2 temos x 4 0 entao gx fx no intervalo 12 Por outro lado gx fa no intervalo 23 Além disso a funcao f Ina2 x 2 Fa Inz2 2 assim a area procurada é dada pela integral A f7In2 a 4 de Jp a 4 Inx2 dx 2 233 42 233 42 AP n2 de 4 fp Ina2 dx Para integrar Ina2 usamos integracao por partes Seja u Ina2 du 57y 12 da 5 da du dx v2 3 3 3 Ina2 da 2 Inx2 1dx 31n32 In12 2 1 1 Portanto a drea A 4 31n32 In12 2 6 3ln32 In12 4