Avaliação Final de Geometria Analítica e Álgebra Linear - Engenharia

CENTRO UNIVERSITÁRIO PARAÍSO AVALIAÇÃO FINAL 20232 Curso Engenharia de Produção Engenharia Civil Turno N Semestre Ano I Data 1812 Disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora Samuell Aquino Alunoa Nota Material a ser consultado Data de devolução da Avaliação Corrigida Importante Consulta é diferente de cópia Assim não será aceita a cópia de qualquer material QUESTÃO 1 20 PONTOS Se u 3 1 e v 1 2 determine a u v b uv c u x v d o vetor w de forma que u v 3w 2u w QUESTÃO 2 20 PONTOS Sejam A 1 2 3 e B 2 3 1 Escreva equações da reta que passa por A e B nas formas vetorial paramétrica simétrica e reduzida em função de x QUESTÃO 3 20 PONTOS Mostre que as retas r e s são concorrentes determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas r x 2 2λ y 4 λ z 3λ s x 1 λ y 2λ z 2λ QUESTÃO 4 20 PONTOS Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso a π contém A 1 1 0 e B 1 1 1 e é paralelo a u 2 1 0 b π contém A 1 1 1 B 2 1 1 e C 1 1 0 QUESTÃO 5 20 PONTOS Obtenha a interseção da reta r com o plano π a r X 1 1 0 λ1 1 1 π x y z 2 0 b r x12 y52 z22 π x y z 3 0 ① a Temos que u v 3 1 1 2 2 1 u v 2² 1² 4 1 5 b uv 3 1 1 2 3 2 5 c Temse u x v 3 1 1 2 6 1 5 d Temos que u v 3w 2u w 3w w 2u u v 4w u v E do tem a 4w 2 1 w 14 2 1 w 12 14 ② Um vetor diretor de tal reta é u AB 2 3 1 1 2 3 u 3 1 2 Assim sua equação vetorial será x A λu x 1 2 3 λ 3 1 2 λ R Já as equações paramétricas são x x₀ ab y y₀ bt z z₀ ct t R Como x₀ y₀ z₀ 1 2 3 e a b c 3 1 2 u obtemos x 1 3t y 2 1t z 3 2t t R e a equação simétrica é tal que x x0 a y y0 b z z0 c x 1 3 y 2 1 z 3 2 de x 1 3 y 2 1 y 2 x 1 3 x 3 1 3 y x 3 1 3 2 y x 3 7 3 e de z 3 2 x 1 3 z 3 2x 1 3 2x 3 2 3 z 2x 3 2 3 3 z 2x 3 7 3 logo a equação reduzida é y x 3 7 3 z 2x 3 7 3 Os vetores diretores de r e s são respectivamente u 2 1 3 v 1 2 2 E para lambda0 temos A 240 r B 100 s BA 240 100 140 de modo que o produto misto entre u v e BA é 2 1 3 1 2 2 1 4 0 0 2 12 6 16 10 10 0 Logo r e s não concorrentes Um vetor normal n a b c do plano determinado por elas é tal que n u v i j k 2 1 3 1 2 2 4 1 3 assim a equação do plano é tal que a x b y c z d 0 4x 1y 3z d 0 Como B 1 0 0 está no plano segue que 4 1 1 0 3 0 d 0 d 4 Portanto 4x y 3z 4 0 é a equação do plano determinado por r e s 4 a O vetor AB 1 1 1 110 AB 0 2 1 está em π Assim um vetor normal do plano é n AB u i j k 0 2 1 2 1 0 1 2 4 A equação geral do plano é a x b y c z d 0 1 x 2 y 4 z d 0 É como A π segue que 1 1 2 1 4 0 d 0 1 d 0 d 1 Portanto π x 2y 4z 1 0 b Sendo AB 211 111 102 AC 110 111 021 vetores de π então um vetor normal é n AB x AC i j k 1 0 2 0 2 1 442 Logo 4x y 2z d 0 E como A π 41 1 21 d 0 4 1 2 d 0 5 d 0 d 5 Então π 4x y 2z 5 0 ⑤ a As equações paramétricas de r são x 1 λ y 1 λ z λ λ ℝ Substituindo na equação de π x y z 2 0 1 1 λ 2 0 4 λ 0 λ 4 x 1 4 5 y 1 4 3 z 4 4 Portanto a interseção é o ponto 5 3 4 b As equações paramétricas de r são x 1 2λ y 5 2λ z 2 2λ λ ℝ No plano obtemos x y z 3 0 1 2λ 5 2λ 2 2λ 3 0 6λ 3 0 6λ 3 3 2λ 1 Logo x 1 1 y 5 1 z 2 1 x 2 y 4 z 1 A interseção é 2 4 1