Conceitos Básicos sobre Vetores: Grandezas Escalares e Vetoriais

VETORES O Tratamento Geométrico Grandezas escalares representadas por um número real apenas Por exemplo massa temperatura dimensão etc Grandezas vetoriais devem ser representadas por módulo ou comprimento ou intensidade direção e sentido Na figura abaixo notamos em a que a reta r2 tem uma direção diferente das retas r1 e r3 Em b fica claro que existem dois sentidos em uma mesma direção Vetores 2 Na figura abaixo notamos em a que a reta r2 tem uma direção diferente das retas r1 e r3 Em b fica claro que existem dois sentidos em uma mesma direção Vetores 3 Dois pontos não coincidentes de uma reta determinam um segmento dessa reta Quando orientamos esse segmento passamos a ter um segmento orientado de reta AB ou AB cuja origem é A e a extremidade é B Onde A distância de A até B é o módulo ou norma do segmento orientado AB A direção de AB é a mesma da reta suporte r u de qualquer outra que lhe seja paralela O sentido de AB é de A para B Vetores 6 C D E G F H I J Ԧ𝑣 Vetores 7 Casos particulares Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são paralelos e indicase por 𝑢 Ԧ𝑣 se os seus representantes tiverem a mesma direção Na Figura temse 𝑢 Ԧ𝑣 𝑤 na qual 𝑢 e Ԧ𝑣 têm o mesmo sentido enquanto 𝑢 e Ԧ𝑣 têm sentido contrário ao de 𝑤 Vetores 8 Casos particulares Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são iguais e indicase por 𝑢 Ԧ𝑣 se tiverem iguais o módulo a direção e o sentido Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ou vetor nulo que é indicado por 0 ou AA a origem coincide com a extremidade Pelo fato de esse vetor não possuir direção e sentido definidos considerase o vetor zero paralelo a qualquer vetor Vetores 9 Casos particulares A cada vetor não nulo Ԧ𝑣 corresponde um vetor oposto Ԧ𝑣 de mesmo módulo e mesma direção de Ԧ𝑣 porém de sentido contrário Se Ԧ𝑣 𝐴𝐵 o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵 ou seja 𝐵𝐴 𝐴𝐵 Vetores 10 Casos particulares Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são ortogonais e indicase por 𝑢 Ԧ𝑣 se algum representante de 𝑢 formar ângulo reto com algum representante de Ԧ𝑣 Figura a A Figura b apresenta dois representantes de 𝑢 e Ԧ𝑣 com origem no ponto A formando ângulo reto Vetores 11 Casos particulares Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano no qual esses vetores estão representados É importante observar que dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 quaisquer são sempre coplanares pois basta considerar um ponto P no espaço e com origem nele traçar os dois representantes de 𝑢 e Ԧ𝑣 pertencendo ao plano π ver Figura que passa por aquele ponto Casos particulares Exercício 1 Quizizz Vetores 14 Adição de vetores Para descobrir a soma de dois vetores como 𝑢 Ԧ𝑣 sendo 𝑢 𝐴𝐵 e Ԧ𝑣 𝐵𝐶 devemos representar os segmentos de reta e ao final representarmos o vetor soma 𝑢 Ԧ𝑣 𝐴𝐶 Vetores 15 Adição de vetores Outra forma de encontrar esse resultado é criar um paralelogramo sendo o vetor soma a diagonal do mesmo Vetores 16 Adição de vetores Caso 𝑢 e Ԧ𝑣 sejam paralelos a soma se dá da mesma forma como representado na figura abaixo para 𝑢 Ԧ𝑣 no mesmo sentido em a e em sentidos opostos em b Vetores 17 Adição de vetores Para três ou mais vetores aplicase o mesmo procedimento a Caso a extremidade do último vetor coincida com a origem do primeiro a soma é o vetor 0 b Vetores 18 Adição de vetores O vetor 𝑢 Ԧ𝑣 escrevese 𝑢 Ԧ𝑣 é chamado de diferença entre 𝑢 e Ԧ𝑣 Exercício 2 e AC EO i MO NP Vetores 22 Multiplicação de um vetor por um número real Na multiplicação de um número real α e de um vetor v α interfere no comprimento de v k LP PN NF Vetores 23 Multiplicação de um vetor por um número real Considerando o ponto O como origem de Ԧ𝑣 e de todos os vetores α Ԧ𝑣 que lhe são paralelos se fizermos α assumir todos os valores reais teremos representados em uma só reta todos os vetores paralelos a Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 2 Ԧ𝑣 3 Ԧ𝑣 2 Ԧ𝑣 3 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 Vetores 24 Multiplicação de um vetor por um número real Por outro lado supondo 𝑢 Ԧ𝑣 sempre existe um número real α tal que 𝑢 α Ԧ𝑣 A B C D E F Vetores 25 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre os vetores não nulos 𝑢 e Ԧ𝑣 é o ângulo formado por duas semirretas OA e OB de mesma origem O ver Figura na qual 𝑢 𝑂𝐴 Ԧ𝑣 𝑂𝐵 0º θ 180º Vetores 26 Ângulo entre dois vetores Vetores 28 Exercício 4 Determine uma expressão para o vetor Ԧ𝑥 em função de 𝑢 e Ԧ𝑣 O Tratamento Algébrico Vetores 29 𝑣1 𝑣2 3𝑣1 2𝑣2 𝒖 O Tratamento Algébrico Vetores 30 𝑣1 𝑣2 2𝑣1 2𝑣2 𝑤 O Tratamento Algébrico Vetores 31 𝑣1 𝑣2 𝒖 𝑤 O Tratamento Algébrico Vetores 32 De modo geral dados dois vetores quaisquer 𝑣1 e 𝑣2 não paralelos para cada vetor Ԧ𝑣 representado no mesmo plano de 𝑣1 e 𝑣2 existe uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que Ԧ𝑣 a1 𝑣1 a2 𝑣2 O Tratamento Algébrico Vetores 33 Ԧ𝑣 a1 𝑣1 a2 𝑣2 Ԧ𝑣 combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2 𝑣1 𝑣2 base da combinação linear a1 a2 componentes de Ԧ𝑣 na base específica O Tratamento Algébrico Vetores 34 Entre as infinitas bases no plano uma delas é particularmente importante Tratase da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xy Os vetores ortogonais e unitários neste caso são simbolizados por Ԧ𝑖 e Ԧ𝑗 ambos com origem em O e extremidades em 1 0 e 0 1 respectivamente ver Figura 1 Sendo a base C Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 chamada canónica Portanto Ԧ𝑖 1 0 e Ԧ𝑗 0 1 O Tratamento Algébrico Vetores 35 Daqui por diante trataremos somente da base canônica Dado um vetor Ԧ𝑣 qualquer do plano existe uma só dupla de números x e y tal que Ԧ𝑣 xԦ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 Operações com vetores Vetores 36 IGUALDADE ENTRE VETORES Dois vetores 𝑢 x1 y1 e Ԧ𝑣 x2 y2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y2 Exemplo Os vetores 𝑢 a1 4 e Ԧ𝑣 5 2b6 são iguais se e somente se Operações com vetores Vetores 37 ADIÇÃO DE VETORES Sejam os vetores 𝑢 x1 y1 e Ԧ𝑣 x2 y2 o vetor 𝑢 Ԧ𝑣 é dado por 𝑢 Ԧ𝑣 x1 x2 y1 y2 Operações com vetores Vetores 38 MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL Sejam o vetores 𝑢 x1 y1 e um número real α o vetor α 𝑢 αx1 αy1 Vetores 39 Exercícios 5 Dados os vetores 𝑢 2 3 e Ԧ𝑣 1 4 determinar 3𝑢 2 Ԧ𝑣 e 3𝑢 2 Ԧ𝑣 6 Determinar o vetor Ԧ𝑥 na igualdade 3 Ԧ𝑥 2𝑢 ½ Ԧ𝑣 Ԧ𝑥 sendo que 𝑢 3 1 e Ԧ𝑣 2 4 7 Sendo Ԧ𝑣 10 2 𝑣1 3 5 𝑣2 1 2 e Ԧ𝑣 a1𝑣1 a2𝑣2 encontre a1 e a2 Vetores 40 𝐴𝐵 x2 x1 y2 y1 Considerando que os pontos A e B tenham as seguintes coordenadas A x1 y1 e 𝐵 x2 y2 podemos definir o vetor 𝐴𝐵 como sendo Vetor definido por dois pontos Vetores 41 É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido Vetor definido por dois pontos Vetor definido por dois pontos Vetores 42 Por outro lado sempre que tivermos Ԧ𝑣 𝐴𝐵 ou Ԧ𝑣 B A podemos também concluir que B A Ԧ𝑣 ou B A 𝐴𝐵 ou seja o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B Por exemplo B A Ԧ𝑣 2 3 3 1 1 4 D C Ԧ𝑣 1 2 3 1 4 3 P O Ԧ𝑣 0 0 3 1 3 1 Vetores 43 Exercício 8 Dados os pontos A1 2 B3 1 e C2 4 determine as coordenadas do ponto D de modo que 𝐶𝐷 ½ 𝐴𝐵 Vetores 44 Seja o segmento de extremos A x1 y1 e 𝐵 x2 y2 e definindo M x y como o ponto médio de AB podemos calcular M da seguinte forma Ponto Médio 𝑀 x1x2 2 y1y2 2 Vetores 45 Vimos que se dois vetores 𝑢 x1 y1 e Ԧ𝑣 x2 y2 são paralelos existe um número real α tal que 𝑢 α Ԧ𝑣 ou seja Paralelismo entre dois vetores x1 y1 αx2 y2 x1 y1 α x2 α y2 Aplicando a condição de igualdade temos que x1 α x2 y1 α y2 x1 x2 y1 y2 𝛼 Essa é a condição de paralelismo de dois vetores ou seja dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais Vetores 46 O módulo ou norma de um vetor representa o tamanho desse vetor Se o vetor estiver expresso em função das suas componentes seja na forma analítica ou na base canônica podemos calcular seu módulo aplicando o teorema de Pitágoras Módulo de um vetor Ԧ𝑣 𝑥2 𝑦² Vetores 47 Esse cálculo do módulo também pode ser usado para se calcular a distância entre dois pontos Módulo de um vetor 𝑑𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝑥2 𝑥1 𝑦2 𝑦1 𝑑𝐴𝐵 𝑥2 𝑥1 𝑦2 𝑦1 Vetores 48 Versor ou Vetor Unitário 43 𝑢𝑣 Ԧ𝑣 Ԧ𝑣 Vetores 49 Dados os pontos A2 1 e B 1 4 e os vetores 𝑢 1 3 e Ԧ𝑣 2 1 determinar Exercício 9 a 𝑢 b 𝑢 Ԧ𝑣 c 2𝑢 3 Ԧ𝑣 d A distância entre os pontos A e B e O unitário de 𝐴𝐵 f O módulo do unitário 𝐴𝐵 Vetores 50 Exercício 10 Determinar no eixo Ox um ponto P que seja equidistante dos pontos A1 2 e B54 Vetores 51 Exercício 11 Dado o vetor Ԧ𝑣 2 1 encontrar o vetor paralelo a Ԧ𝑣 que possua a o mesmo sentido de Ԧ𝑣 e três vezes o módulo de Ԧ𝑣 b sentido contrário ao de Ԧ𝑣 e a metade do módulo de Ԧ𝑣 c o mesmo sentido de Ԧ𝑣 módulo 4 d sentido contrário ao de Ԧ𝑣 e módulo 2 Vetores no espaço Vetores no espaço Vetores 54 Vetores no espaço The 3D Coordinate System GeoGebra 3D Vector Components Dynamic Illustrator GeoGebra Vetores 55 Vetores no espaço Igualdade operações vetor definido por dois pontos ponto médio paralelismo módulo de um vetor As definições e conclusões no espaço relativas aos títulos anteriores são análogas às do plano Vetores 57 Exercício 13 Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD sendo dados A3 2 4 B5 1 3 e CO 1 2 A Figura 165 apresenta um paralelogramo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2 1 e 3 Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido sabendo que A2 1 2 Determine uma expressão para o vetor Ԧ𝑥 em função de 𝑢 e Ԧ𝑣 Dados os pontos A2 1 e B 1 4 e os vetores ü 1 3 e v 2 1 determinar