Produto Vetorial: Definições e Propriedades

Produto vetorial Geometria analítica e Álgebra linear Discussão preliminar Antes de definirmos produto vetorial de dois vetores u e v faremos algumas considerações importantes a O produto vetorial é um vetor ao contrário do produto escalar uv que é um escalar número real b Para simplicidade de cálculo do produto vetorial faremos uso de determinantes Um determinante de ordem 2 é definido como Definição de produto vetorial Chamase produto vetorial de dois vetores u x₁ i y₁ j z₁ k e v x₂ i y₂ j z₂ k tomados nessa ordem e se representam por u v ao vetor u v y₁ z₂ y₂ z₁ i x₁ z₂ x₂ z₁ j x₁ y₂ x₂ y₁ k O produto vetorial de u por v também é indicado por u v e lêse u vetorial v Definição de produto vetorial Exemplo Exemplo Propriedades do produto vetorial Levandose em consideração as afirmações feitas sobre as propriedades dos determinantes concluímos de imediato que 1 overlinev imes overlineu overlineu imes overlinev ou seja os vetores overlinev imes overlineu e overlineu imes overlinev são opostos Figura 31 pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial overlineu imes overlinev implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2 ou seja troca de sinal de todas as suas componentes Por outro lado como overlineu imes overlinev eq overlinev imes overlineu concluise que o produto vetorial não é comutativo ao contrário do produto escalar overlineu cdot overlinev overlinev cdot overlineu Portanto no produto vetorial a ordem dos fatores é importante Propriedades do produto vetorial 2 𝓾𝓿𝟎 se e somente se 𝓾𝓿 pois nesse caso todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais Estão aí também incluídos os casos particulares I 𝓾𝓾𝟎 determinantes de ordem 2 com linhas iguais II 𝓾𝟎𝟎 determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção seu sentido e seu comprimento A seguir passaremos a definir o vetor 𝓾𝓿 no caso de 𝓾 Características do vetor 𝒖 𝒗 Características do vetor 𝒖 𝒗 Características do vetor 𝒖 𝒗 Características do vetor 𝒖 𝒗 Características do vetor 𝒖 𝒗 Características do vetor 𝒖 𝒗 Produto vetorial da base canônica 𝒊 𝒋 𝒌 𝒊 𝒋 𝒌 Produto vetorial da base canônica 𝒊 𝒋 𝒌 𝒊 0 𝒌 𝒋 𝒋 𝒌 0 𝒊 𝒌 𝒋 𝒊 0 Produto vetorial da base canônica Exemplo Se 𝓾3𝓲𝓳2𝓴 𝓿2𝓲4𝓳𝓴 e 𝔀𝓲𝓴 determinar a 𝓾𝓾 b 2𝓿3𝓿 c 𝓾𝔀𝔀𝓾 d 𝓾𝓿𝓿𝓾 e 𝓾𝓿𝔀 f 𝓾𝓿𝔀 Dados os pontos A2 1 1 B3 0 1 e C2 1 3 determinar o ponto D tal que AD BC AC Sejam os vetores mathbfu 1 1 4 e mathbfv 3 2 2 Determinar um vetor que seja a ortogonal a mathbfu e mathbfv b ortogonal a mathbfu e mathbfv e unitário c ortogonal a mathbfu e mathbfv e tenha módulo 4 d ortogonal a mathbfu e mathbfv e tenha cota igual a 7 Determinar o vetor mathbfx tal que mathbfx seja ortogonal ao eixo dos y e mathbfu mathbfx imes mathbfv sendo mathbfu 1 1 1 e mathbfv 2 1 1 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Propriedades do produto vetorial 1 O produto vetorial não é associativo ou seja em geral é u v w u v w Basta considerar por exemplo i j j k j i enquanto que i j j i 0 0 Propriedades do produto vetorial 2 Para quaisquer vetores u v w e o escalar α são válidas as propriedades I u v w u v u w e u v w u w v w II α u v αu v u αv III u v w u v w Exemplo Dados os pontos A2 1 1 B3 1 0 e C4 2 2 determinar a a área do triângulo ABC b a altura do triângulo relativa ao vértice C