Lista de Exercícios Resolvidos - Sequências e Séries Numéricas

Lista de Exercícios Sobre Sequências e Séries 1 Mostre que xn cospi n nao tem limite 2 Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências 3 Mostre que as sequências sqrtnn e sqrtna com a 0 convergem para 1 4 Mostre que limn o infty sqrtnn infty 5 Determine os quatro primeiros termos de cada sequência analise a sua convergência e encontre o limite caso exista a an fracn2n2 b xn 1n1 en c b fracsqrtnn d yn frac1n2n e cn fracenn2e2n 2n f tn fracsin2n1n2n1 6 Seja a sequência definida pela recorrência left beginarrayl x0 1 xn1 fracxn232xn endarray right Sabendo que ele converge para valor positivo encontre o seu limite 7 Verifique a convergência das seguintes séries a sum frac1n n1n b sumn1infty frac1sqrtn c sum frac2n1nn d sumk2infty fraccospi nn2 e sum frac2 cos nn f sum frac1 1n42n g sum fraccos nsqrtn3 h sum frac2nn i sumn5infty 1n fracn1n2 j sum fracnnn 8 Podemos aplicar o teste da razão no ít em f da questão acima Justifique 9 Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral a sum frac1n2 b sum 2nn c sumk0infty fracn1n d sum frac1n n2nn 10 Obtenha o valor usando séries geométricas a sumn3infty pi frac122n7 b 25 underline31 underline31 ldots 11 Mostre que se 0 a0 leq a1 leq a2 leq a3 leq cdots então a série alternada sumn0infty 1n ai diverge 12 Mostre que a séries harmônica alternada sumn1infty frac1n1n converge e estime o valor com erro máximo de 02 13 Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências a sum 1n sqrtnxn b sum fracenn xn c sum fracen22n x sqrt33n5 14 Determine o intervalo de convergência a sum n xn b sum frac1n xn c sum fracn3n1 x2n d sum fracln n2n x sqrt2n 15 Encontre a série de potência de a arctanx2 sabendo que arctanx frac11x2 b arcsen x usando arcsenx frac1sqrt1x2 e a série binomial 1xk 1 kx frackk12 x2 frackk1k23 x3 cdots 16 Mostre que 1xk 1 kx frackk12 x2 frackk1k23 x3 cdots 17 Encontre a série de Maclaurin de fx int0x et2 dt 18 Mostre que a função fx sen x pode ser representado como série de Taylor em torno de fracpi2 para todo x 19 Seja fx frac12x3 a Encontre a Série de Maclaurin de f sem usar a série binomial e mostre que a série representa a função em 11 b Usando a série obtida acima encontre a expressão de int11 frac12x3 dx 20 Encontre a série de Taylor de cos x em torno de fracpi2 21 Encontre a representação em série de potências e determine o seu raio de convergência a lnfrac12 3x b fsqrtx onde 0 1 f0 0 e fx frac11x4 22 Verifique a convergência das séries a sum frac1nen b sum fracsen n cos fracn2n2 23 Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias a sum fracn2nnn xn b sum en x32n 24 Encontre o limite da sequência convergente an tal que a0 1 e an1 an frac12n1 para n 1 Entregar seguintes exercícios resolvidos da lista ou do livro até P1 Um sobre sequências Um sobre séries geométrica Um sobre séries alternada que envolve estimativa de erros Um sobre teste da raiz ou da razão Um sobre séries de potências para obter raio e intervalo de convergências Um sobre séries de potências que representa a função conhecida Mais dois a sua escolha Respostas e dicas 1 Use a subsequencia 2 Reescreva o que foi feito na aula ou no livro 3 Use a função ln 4 Dica n geq left fracn2 rightfracn2 5 a limn o infty an infty b limn o infty xn emptyset c limn o infty bn 0 d limn o infty yn 0 e limn o infty cn 0 f limn o infty tn frac12 6 limn o infty xn sqrt3 Dica Chame o limite de L e aplique o limite na fórmula de recorrência 7 a b e e divergem c d f g h e j convergem absolutamente i converge condicionalmente 8 Não Porquê 9 a c e d convergem b diverge 10 a é frac8pi3 b é frac2510 frac31990 frac2506990 Dica 25 underline31 underline31 ldots 25 0031 000031 ldots 11 Dica mostre que limn o infty an eq 0 12 Terá que somar até n 5 O valor aproximado é frac4760 13 Sendo c o centro e R o raio será a c 0 R 1 b c 0 R infty c c sqrt3 R sqrt3frac4e 14 a emptyset b I mathbbR c I 13 d I sqrt2 2 sqrt2 2 15 a arctan x é a soma da série de potências Integrando teremos a série de arctan x Substitua o x2 nesta série b Integrando a serie binomial que representa o arcsen x teremos o arcsen x 16 Use a série de Maclaurin 17 Obter a séries de Maclaurin diretamente não é fácil Encontre a séries de Maclaurin de et e partir dele obtenha a series de et2 e calcule a integral 18 Mostre que todas derivadas são limitadas 19 a fx sumn0infty frac1n n2n12 imes 2n3 xn mostre que limn o infty left fracfn1xin xn1n1 right 0 para x 1 Depois mostre que a séries converge para x 1 e use o Teorema de Abel a séries de potências é contínua o intervalo de convergência b int11 fx dx sumn0infty frac1n n22 imes 2n3 sumn0infty fracn22 imes 2n3 20 sumn0infty frac1n2n1 leftx fracpi2 right2n1 21 a sumn0infty 1n 6n1 xn raio frac16 b 1 sumn1infty frac1n1 xn2n 2n 1 r 1 22 Todas convergem 23 a raio infty b raio frac1e 24 limn o infty an 2 Dica Mostre que an sumi0n left frac12 righti frac12 aplicar limite em ambos lados da relação de recorrência não resolve Cálculo 3 1 Sendo xn cos nπ 1n Se realizarmos a soma x1 Σn0N 1n 1 1 1 1 1 1 1 1 N termos Essa soma é indeterminada depende dos N termos Portanto limn xn limn cos nπ indeterminada 2 Teorema de Sanduiche para sequências Segundo três sequências annZ bnnZ e cnnZ de modo que an bn cn para n N Se limn an L e limn cn L Portanto limn bn L Dem Dado ε 0 existe n1 N tal que se n n1 temos L ε an L ε existe n2 N tal que se n n2 temos L ε cn L ε Tome n0 maxn1 n2 N Se n n0 Temos L ε an bn cn L ε ou seja bn L ε 3 Temos que an nn então limn nn limn eln n n limn eln n 1n limn e1n ln n limn eln nn 1 limn an 1 e agora bn na com a 0 limn na limn eln n a limn eln a n 1 logo lim n bn 2 Temos que lim n ⁿn lim n elnⁿn lim n eln nn usando a aproximação ln n n ln n n lim n en ln n nn lim n eln n 1 lim n ne ou seja se cn ⁿn lim n cn 3 Sendo an n²n2 a₀ 0 a₁ 13 a₂ 12 a₃ 95 Divergente ao seu Limite lim n n²n2 lim n n1 2n lim n nlim n 1 2n 1 4 b Sendo xn 1n1 en então x₀ 1 x₁ e x₂ e² e x₃ e³ lim n 1n1 en claramente divergente c Sendo bn nn então b₀ 0 b₁ 1 b₂ 22 e b₃ 36 logo lim n nn lim n eln nn lim n eln n ln n lim n eln n eln n lim n n en ln n n lim n n enn 0 Convergente d Sendo yn 1n 2n então y₀ 1 y₁ 12 y₂ 124 e y₃ 1720 5 logo lim n 1n 2n lim n eln 1n 2n lim n 1n eln 2n lim n 1n e2n ln 2n 2n lim n 1n e2n 2n2n lim n 1n e2n2n Como e 2n lim n yn 0 Convergente e Sendo cn en n2 e2n 2n então c₀ 1 c₁ e 1e² 2 c₂ e4 4e4 4 e c₃ e6 9e6 6 logo lim n en n2e2n 2n LH lim n cn 2n2 e2n LH lim n en 2 4 e2n lim n 14 cen lim n 14 cen 0 Convergente b Temos que Σ n1 1n então Σ n1 1n Σ n1 1n12 Psérie com p 1 Divergente c Temos que Σ n1 2n1nn então Teste da raiz lim n n2 n1nn lim n n2 2nn lim n 2n2 0 1 Convergente d Temos que Σ k1 coskπn2 então an cosnπn2 1nn2 Série Alternada Portanto an1 1n1n12 an 1nn2 e Também Como xn L xn1 L com n logo L L2 32L 2L2 L2 3 L2 3 L 3 7 Convergência de séries a Temos que Σ n1 1nn1n então Pelo teste da razão lim n n2n1n1n lim n nn2n12 lim n n2 2nn2 2n1 lim n 1 2n1 2n 1n2 1 Como o limite vale 1 não podemos afirmar nada Logo lim n 1nn1n lim n 1nn lim n 1nn Divergente d Sendo tn sen 2n1 1 2n 1 então t0 sen 1 t1 sen 3 1 3 t2 sen 5 1 5 e t3 sen 6 1 6 logo lim n sen 2n1 1 2n 1 lim n sen 2n1 2n 1 1 2n 1 0 com n lim n sen 2n1 2n 1 Como 1 sen 2n1 1 e 2n 1 com n Portanto lim n tn 0 Convergente c Temos que x0 1 xn1 xn2 3 2xn Sabendo que a sequêcia converge então lim n xn1 lim n xn2 3 2xn 7 Lim n 1n n2 0 ou seja é convergente e Temos que Σ n1 to 2 cos n n então Sabemos que an cos n n diverge pois Lim n cos n n e como 2 cos n n cos n n Concluímos pelo teste da comparação que Σ n1 to 2 cos n n diverge também f Temos que Σ n0 to 1 1n 42n então Lim n 1 1n 42n Lim n 1 42n 1n 42n Lim n 1 16n 1n 16n 0 Convergente g Temos que Σ n1 to cos n n3 então Lim x cos n n3 0 pois 1 cos 1 e n3 com n Concluímos que a série é convergente h Temos que Σ n0 to 2n n então teste da razão Lim n 2n1 n1 2n n Lim n 2n1 n 2n n1 Lim n 2 n n n1 Lim n 2 n1 0 Converge i Temos que Σ n5 to 1n n1 n2 então an 1n n1 n2 série alternada logo an1 an 1n1 n2 n12 1n n1 n2 e também Lim n 1n n1 n2 Lim n 1n n 1n n2 0 ou seja é convergente j Temos que Σ n0 to n nn então teste da razão Lim n n1 n1n1 n nn Lim n nn n1 n1n1 n Lim n n n1n n1 n1 Lim n n n1n 1e 1 limite fundamental Convergente k Não é possível devido ao numerador 1 1n afinal não há como saber o módulo da série l a Sudo Σ n1 to 1 n2 então teste da integral an 1n2 fx 1x2 logo 1x2 dx 1x 11 1 Convergente b sendo 2nn então teste da raiz lim n ⁿ2nn lim n ⁿ2nn lim n 2n Divergente c sendo n1n então teste da raiz lim n ⁿn1n lim n ⁿn1n 13 lim n ⁿn1 lim n ⁿn lim n e1n lnn 1 lim n ⁿn 1 0 Convergente d sendo 1n n 2nn então teste da raiz lim n ⁿ1n n 2nn lim n ⁿn2nn lim n n 2n 0 Convergente e séries geométricas temos que π 122n7 π 125 14n 12 128π 14n 145 14 32π 14n1 14 an1 a 1r com r1 então 32π 14n1 32π 1 14 128π 3 b temos que 25331 25313131 25 31103 31105 vou seja a 31103 e r 1105 portanto 2531 25 25103 11102 25 311000 99100 2510 31990 1253495 logo 25331 1253495 15 1 Temos que Σn0 1ⁿ aₙ Para que uma série alternada seja convergente é necessário que ela satisfaça duas condições i aₙ1 aₙ e como 0 a₀ a₁ a₂ a₃ ela não satisfaz pois é crescente ii lim n aₙ 0 Por ser crescente lim n aₙ 0 logo ela não satisfaz Faz Portanto é divergente 2 Temos que Σn1 1ⁿ¹ n i 0 bₙ1 bₙ logo 0 1n1 1n ii lim n bₙ lim n 1n Podemos estimar a soma Σn1 1ⁿ¹ n s 1 12 13 14 15 Como n 5 15 02 Erro máximo Então s 1 12 13 14 15 0783 3 Centro e raio de convergência Σn1 1ⁿ n xⁿ Pelo teste da razão lim n 1ⁿ¹ n1 xⁿ¹ 1ⁿ n xⁿ lim n n1n x lim n 1 1n x x 1 1 x 1 Centro de convergência 1 x 1 Raio de convergência R 1 b Σn0 eⁿ n xⁿ Pelo teste da razão lim n eⁿ1 xⁿ1 n1 eⁿ xⁿ n lim n n n n1 e x lim n c n1 x 0 ou seja o centro de convergência é toda a reta real e o raio de convergência é infinito c Σn0 cⁿ 2²ⁿ x 3³ⁿ5 Pelo teste da razão lim n cn1 x 33n154n1 cn x 33n54n lim n en1 x 33n2 4n en x 33n5 4n1 lim n e x 33 4 1 ou seja 1 e x 33 4 1 ³4e 3 x ³4e 3 centro de convergência Raio de convergência R ³4e 19 Intervalo de convergência a n0 n xn Pelo teste da razão lim n n1 xn1 n xn lim n n1 x 1 lim n n1x 1 Só haverá convergência se x 0 logo esse é o intervalo de convergência b n1 xn n Pelo teste da razão lim n xn1 n1 xn n lim n xn1 n xn n1 lim n x n1 0 intervalo de convergência x c n0 n3 n1 x2n Pelo teste da razão lim n n13 x2n1 n1 n3 x2n n1 lim n n13 x2n1 n1 n1 n3 x2n lim n n14 n3 n2 x lim n n4 1 1n4 n4 1 2n x lim n 1 1n4 1 2n x 1 x 1 1 x 1 intervalo de convergência d n0 ln n 2n x 2n Pelo teste da razão lim n lnn1 x 2n1 2n1 ln n x 2n 2n lim n lnn1 2n x 2n1 ln n 2n1 x 2n lim n lnn1 ln n 12 x 2 lim n 1 12 x 2 lim n 1 21 1n x 2 x 2 2 1 1 x 2 2 1 2 2 x 2 2 intervalo de convergência 15 Série de potência a sendo ddx arctgx 11x2 então Sabemos que 11u Σ un com u1 n0 u x2 logo 11x2 Σ x2n Σ x2n n0 n0 Portanto arctgx Σ xn dx Σ x2n dx n0 n0 arctgx Σ x2n12n1 n0 Fazendo x x2 arctgx2 Σ x22n12n1 n0 arctgx2 Σ x4n22n1 n0 29 b Sabemos que ddx arcsenx 11x2 1x212 Da série binomial 1uk 1 kx kk12 x2 kk1k23 x3 Fazendo u x2 1x212 1 12x2 12322 x22 1232523 x23 1 Σ 135 2n12n n x2n n1 Portanto arcsenx dx1x2 1 Σ 135 2n12n n x2n n1 arcsenx x Σ 135 2n12n12n n x2n1 n1 23 16 Série de Taylor fx Σ fn0n xn u sendo fx1xk n0 f0 1 f0 k10k1 k f0 kk110k2 f0 kk1 fiv0 kk1k210k3 fv0 kk1kk2 em seja fx Σ fn0n xn f00 x0 f01 x f02 x2 f03 x3 n0 fx 1 kx kk12 x2 kk1k23 x3 1xk 17 Série de Maclaurin Temos que fx 0x et2 dt u sendo que eu Σ xnn u u t2 n0 et2 Σ t2nn Σ t2nn n0 29 Pelo teste da razão Lim n 1n1n2n3x2n436 1n n1n2x2n36 Lim n n2n3 n1n2 x2 Lim n n3n1 x2 Lim n 13n 11n x2 x2 1 1 x2 1 2 x 2 a série representa a função em 22 b E agora 11 dx2x3 n0 11 1n n1n2 362n xn dx n0 1n n1n22n36 xn1n1 11 11 dx2x3 n0 1n n1n22n36 1 1n1n1 19 sendo fx 12x3 a série de Maclaurin fx n0 fn0 n xn f0 18 f0 316 f0 1232 f0 6064 e f0 360128 então fx 18 316 x 38 12 x2 6064 13 x3 360128 14 x4 e agora usando a série binomial fx 12x3 12 1 x23 18 1 x23 vou seja fx 18 n0 1n n1n22 x2n fx n0 1n n1n2 16 x2n Portanto fx 0x et2 dt n0 0x t2n n dt fx n0 t2n1 2n1 0x n0 x2n1 2n1 ou seja fx n0 x2n1 2n1 18 Série de Fourier fx n0 fnπ2n x π2n sendo fx sen x fπ2 1 fπ20 fπ21 fπ20 fIVπ2 1 então fx 1 12 xπ22 14 xπ24 fx n0 1k x2n 2n 20 Série de Taylor Sendo fx cos x em x π2 temos que fx Σ n0 fnπ2 n x π2n fπ2 0 fπ2 1 fπ2 0 fπ2 1 fπ2 0 fVπ2 1 fIVπ2 0 fVπ2 1 fx x π2 13 x π23 15 x π25 17 x π27 21 Série de potências e raio de convergência a fx ln12 3x fx Σ n0 fn0 n xn f0 ln12 ln2 f0 6 f0 36 f0 423 e fIV0 7776 então fx ln2 6x 18x2 72x3 324x4 fx Σ n1 1n 12 3xn n Pelo teste da raiz lim n n1n 12 3xn n lim n n12 3xn n lim n 12 3x nn 12 3x 1 1 12 3x 1 16 x 13 Portanto 13 16 2 14 r 14 Raio de convergência b Particularmente não entendi essa questão acredito que há erro de digitação 22 Convergência de séries Σ n0 1n en Essa é uma série alternada logo i an1 an ii lim n an 0 logo logo 1 en1 1 en lim n 1 en 0 Convergente b Σ n1 sin n cos n2 n2 Fazendo lim n sin n cos n2 n2 0 pois Ld Convergente sin n cos n2 Funções periódicas 23 centro e raio de convergência a Σ n1 n2n nn xn Pelo teste da razão lim n n12n1 xn1 n1n1 n2n xn nn Lim n n d2n 2 nn n 1n d n2n xn 1 xn Lim n n d2n 2 nn n 1 n n d n2n x Lim n n d2n 2 n dn d x1 n n2n Lim n n dn d n2n n x 0 cou seja x u o raio é infinito b n0 to en x 32n Pelo teste da raiz lim n nen x 32n lim x nx 3n en lim n x 3e x 3e 1 1 x 3e 1 e 3 x 3 e Intervalo de convergência 34 e o raio R e 3 24 Limite da sequência a0 1 e an 1 an 1 2n 1 com n 1 sinceramente não sei como chegar no termo geral da sequência acredito que seja por somas parciais Uma vez que sabemos que an u0 to 12u 1 2 u0 to 12u 12 12u 12 an u0 to 14 12j j 1 212 1 2 PG