Integrais Duplas sobre Domínios Quaisquer - Aplicação e Resolução de Exercícios

Cálculo Diferencial e Integral III Unidade 1 Integrais Duplas Aula 3 Integrais duplas sobre domínios quaisquer aplicação GT2 Considerar a região R do planoxy delimitada pelos crivos de curvas de equações dadas por y x² y 8 x² bem como a função fx y 1 x y para realizar as seguintes subtarefas t1 Descrever cada equação considerada no GT2 na Língua Materna t2 Representar a região R no Registro Gráfico t3 Representar a região R analiticamente no Registro Algébrico t4 Representar no Registro Gráfico o sólido Q delimitado inferiormente pela região R superiormente por um crivo de gráfico de f e lateralmente pela superfície emanada de R ao gráfico de f Obs Utilizar um CAS caso necessário t5 Calcular a integral dupla de f sobre a região R Resolução da t1 do GT2 Para realizar essa tarefa isto é descrever cada equação considerada no GT2 devemos afirmar que y x² e y 8 x² são equações de parábolas sendo a primeira de concavidade voltada para cima ao longo do eixoy com vértice na origem do sistema de coordenadas e a segunda com a côncava voltada para baixo também ao longo do eixoy tendo vértice no ponto 08 Resolução da t2 do GT2 Para realizar essa tarefa isto é representar a região R no registro gráfico devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas plano traçar os crivos das duas parábolas descritas na realização da t1 de sorte que se intersectem Procedendo deste modo obtemos o resultado apresentado na Figura 2 Figura 2 3 Cálculo Diferencial e Integral III Unidade 1 Integrais Duplas Aula 3 Integrais Duplas Resolução da t5 do GT2 Para realizar esta tarefa isto é Calcular a integral dupla de f sobre a região R devemos inicialmente estabelecer a integral dupla e em seguida proceder com os cálculos por integração sucessiva Assim utilizando os resultados na realização da tarefas anteriores podemos apresentar a seguinte integral dupla no registro algébrico e proceder com os cálculos necessários explicando cada etapa IDfR 2 2 x² 8x² 1 x y dy dx Calculando a primitiva do integrando em relação a y e aplicando a 2ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo TFC temos IDfR 2 2 y xy y²2 x² 8x² dx Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2ª parte do TFC temos Cálculo Diferencial e Integral III Unidade 1 Integrais Duplas Aula 3 Integrais Duplas Resolução da t3 do GT2 Para realizar esta subtarefa isto é representar a região R analiticamente devemos inicialmente decidir pelo tipo de região para em seguida utilizar a representação analítica adequada Nesse caso RRx R xy R² a x b g1x y g2 x Fazendo y yv ou seja x² 8x² temos x 2 Assim diremos que a 2 e b 2 Com efeito a representação analítica de R é R xy R² 2 x 2 x² y 8 x² Resolução da t4 do GT2 Podemos representar a função fx y 1 x y no registro gráfico utilizando as técnicas do ambiente papellápis porque tratase de uma superfície plana de equação z 1 x y Mas Maple Cálculo Diferencial e Integral III Unidade 1 Integrais Duplas Aula 3 Integrais Duplas Resolução da t5 Continuação IDfR 2 2 y xy y²2 x² 8x² dx Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2ª parte do TFC temos IDfR 2 2 8 x² x8 x² 8 x²²2 x² xx² x²2 dx Realizando o tratamento algébrico do integrando na variável x temos IDfR 2 2 40 8x 10x² 2x³ dx Calculando a primitiva do integrando em relação a x e aplicando a 2ª parte do TFC temos IDfR 40x 4x² 103 x³ 12 x4 2 2 Substituindo convenientemente os limites de x isto é desenvolvendo a aplicação da 2ª parte do TFC temos IDfR 80 16 103 x 8 12 x 16 80 16 103 x 8 12 x 16 Desenvolvendo o devido tratamento numérico temos IDfR 2 x 80 203 x 8 Multiplicado o número 2 por 80 e o 20 por 8 temos IDfR 160 1603 Multiplicando 160 por 3 e subtraindo 160 do resultado desta multiplicação conservando o 3 no denominador temos IDfR 3203 Que é o valor numérico da Integral Dupla da função f sobre R 2 2 x² 8x² 1 x y dy dx 3203 5