Integrais de Superfícies: Teoremas e Definições

1 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 43 Integrais de Superfícies Nessa seção estudaremos as técnicas de cálculo de integrais de funções sobre superfícies Para isso nos restringimos sobre superfícies mais simples possíveis bem conhecidas pelos estudantes desde os cursos de Geometria Espacial e Geometria Analítica Com efeito apresentamos inicialmente algumas considerações preliminares como segue 431 Considerações preliminares Suponhamos que S seja uma superfície de equação conhecida Se a projeção dessa superfície S sobre um plano coordenado é uma região do tipo Rx ou do tipo Ry ou ainda do tipo Rz então diremos que S tem uma projeção regular Assim conforme mostrado na Figura 46 denotaremos as projeções de S no planoxy no planoxz e no planoyz por Rxy Rxz e Ryz respectivamente Nessas projeções diremos que S é uma superfície de equação z f x y y h x z e x k y z respectivamente Figura 46 Visualização de projeções S sobre planos coordenados a Projeção regular de S no planoxy b Projeção regular de S no planoxz c Projeção regular de S no planoyz Admitimos também que as funções f h e k sejam dotadas de derivadas parciais primeiras contínuas em Rxy Rxz e Ryz respectivamente O nosso objetivo principal é definir a integral de uma função de três variáveis gxyz contínua sobre a superfície S como segue 432 Desenvolvimento preliminar para a definição da integral de superfície Consideramos primeiro o caso em que S seja uma superfície de equação z f x y conforme mostrado na Figura 47 Figura 47 Visualização da projeção S no planoxy Tk e Sk denotam o crivo porção do plano tangente a S no ponto Bk e a porção de S cuja projeção no planoxy corresponde a região Rk Calculando o valor funcional de g em cada ponto Bk de S e formando a soma de Riemann de g temos 2 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 k k k k k g x y z T Assim a integral de superfície de gx y z sobre S denotada por S g x y z dS é o limite desta soma de Riemann quando a norma de partição comprimento de maior subintervalo tende para zero Ou seja 0 lim k k k k k S P g x y z dS g x y z T Eq6 desde que o limite exista Se a superfície S é composta por um conjunto finito de superfícies regulares S1 S2Sn então a integral apresentada acima deve ser estabelecida como o resultado da adição das integrais de g sobre as Sn Além disso sublinhase que se a função gxyz é constante igual a um isto é g x y z 1 para todo xyz em S então integral de superfície calcula a área da superfície S 433 Aplicação da definição da integral de superfície Nas aplicações da definição da integral de superfície consideramos a diferencial dS da área de superfície conforme descrito da Definição 26 fornecida na Unidade 1 do primeiro módulo ou equivalentemente fazendo 0 z f x y z f x y consideramos F x y z z f x y ou seja F x y z 0 Calando as derivadas parciais de F definimos a dS como segue 2 2 2 x y z dS F x y z F x y z F x y z dA Mas de F x y z z f x y temse que e 1 x x y y z F x y z f x y F x y z f x y F x y z Seguese que 2 2 1 x y dS f x y f x y dA Assim a integral de superfície definida na Eq6 pode ser calculada utilizando a técnica apresentada na Eq7 do teorema de cálculo de integrais de superfície no caso em que S tem projeção regular no planoxy De forma análoga apresentamse na Eq8 e Eq9 as técnicas de cálculo de integrais de superfície no caso em que S tem projeção regular no planoxz e planoyz respectivamente Teorema de cálculo de integrais de superfície 43 Se S é uma superfície regular nas condições estabelecidas nas considerações preliminares e gxyz é uma função contínua sobre a superfície S então 2 2 1 xy x y S R g x y z dS g x y f x y f x y f x y dA 2 2 1 xz x z S R g x y z dS g x h x z z h x z h x z dA 2 2 1 xy y z S R g x y z dS g k y z y z k y z k y z dA Eq7 Eq8 Eq9 Mobilizados esses saberes no bloco logos juntamente com os conhecimentos acumulados até então estamos aptos a passar para o bloco práxis de integrais de superfícies 3 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 434 Do bloco logos da seção 431 a 433 ao bloco práxis GERADOR DE TAREFAS 5 Quadro 42 Gestão de tarefa como primeiro exemplo de aplicação de Integrais de Superfície GT1 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 0 z x y compreendido entre as superfícies de equações dadas por z 2 e z 5 assim como a função 2 g x y z x z para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT5 t2 Representar o crivo C no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT5 t3 Calcular a integral de superfície de gxyz sobre o crivo C de S Resolução da t1 do GT5 Para realizar essa tarefa devemos afirmar que 2 2 2 0 z x y ou ainda 2 2 z x y é a equação da superfície cônica circular de duas folhas com vértices na origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional ao longo do eixoz tendo interceptos nas bissetrizes dos planos coordenados x0z e y0z Ao passo que z 2 e z 5 são as equações das superfícies planas paralelas ao planoxy contendo o ponto 002 e 005 respectivamente Resolução da t2 do GT5 Para realizar esta tarefa isto é representar o crivo C de S no registro gráfico podemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional 2 Representar a circunferência Cir1 de raio 2 e Cir2 de raio 5 na superfície plana de equação z 2 e z 5 respectivamente centrada no ponto 002 e 005 respectivamente 3 Representar o crivo C da superfície cónica delimitado inferiormente por Cir1 e superiormente por Cir2 4 Representar a projeção do crivo C no planoxy Aplicando essas técnicas obtemos o resultado que apresentamos na Figura 48 Figura 48 Visualização do crivo de S e a sua projeção no planoxy Resolução da t3 do GT5 Para realizar esta tarefa isto é calcular a integral de superfície de gxyz sobre o crivo C devemos aplicar a técnica do teorema identificada por Eq7 ou seja a aplicação da seguinte integral 4 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 2 2 1 xy x y S R g x y z dS g x y f x y f x y f x y dA Eq10 Para isso devemos a partir da equação da superfície S identificar a função f Assim sendo de 2 2 2 0 z x y ou ainda 2 2 z x y para z positivo podemos escrever z f x y Logo temos que 2 2 f x y x y ou 1 2 2 2 f x y x y Em seguida devemos calcular as derivadas parciais primeiras de f Assim para derivada parcial de f em relação a x temos 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x x x x x f x y x y x f x y f x y x y x y Eq11 Para derivada parcial de f em relação a y temos 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 y y y y y f x y x y y f x y f x y x y x y Eq12 De Eq11 e Eq12 temos que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y x y x y f x y f x y x y x y x y Þ 2 2 1 2 x y f x y f x y Retomando a Eq10 temos portanto que resolver a seguinte integral 𝑥2𝑧𝑑𝑆 𝑆 𝑥2 𝑅𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2 2 𝑑𝐴 Eq13 Para obtermos os limites de integração assim como a decisão sobre a ordem de integração devemos representar a região Rxy analiticamente no registro algébrico Ora observando a Figura 47 podemos conceber que Rxy é uma região polar anular delimitada pelas circunferências de raio 2 e de raio 5 ambas centradas na origem do eixopolar coincidente com a origem do sistema de coordenadas cartesianas plano Assim Rxy pode ser representada analiticamente da seguinte forma 2 2 50 2 Rxy r r Assim lembrando que em coordenadas polares cos x r e 2 2 2 x y r então encarando Rxy como uma região do tipo R seguese a partir de Eq13 que podemos estabelecer a integral de superfície que na sequência resolveremos sucessivamente explicando cada etapa 2 5 2 2 2 0 2 cos 2 S x zdS r r rdrd Manipulando inicialmente as potências da variável r e colocando a constante 2 em evidência temos 2 5 4 2 0 2 2 r cos drd Calculando a primitiva do integrando em relação a r e aplicando a 2a parte do TFC temos 5 5 2 2 0 2 2 cos 5 r d Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável r temos 2 2 0 3125 32 2 cos 5 5 d Temos que 3125 32 3125 32 3093 5 5 5 5 Seguese portanto que 2 2 0 3093 2 cos 5 d Utilizando a relação trigonométrica denominada ângulo metade isto é 2 1 cos 2 1 cos2 temos 5 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 2 0 3093 2 1 cos2 10 d Calculando a primitiva do integrando em relação a e aplicando a 2a parte do TFC temos 2 0 3093 1 2 sen 2 10 2 Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável temos 3093 3093 2 2 0 2 10 5 Que é o resultado da integral de superfície de g sobre o crivo C de S A título de treinamento considerar as seguintes tarefas propostas para o estudante TAREFAS PROPOSTOS GERADOR DE TAREFAS 6 GT2 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 9 0 z x y onde C é o hemisférico da S e a função 2 g x y z x para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna aa equação considerada na GT6 t2 Representar o crivo C no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT6 t3 Calcular a integral de superfície de gxyz sobre o crivo C de S GERADOR DE TAREFAS 7 GT3 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2z x y localizado no interior da superfície de equação 2 2 2y x y bem como a função 2 2 1 g x y z x y para realizar as três tarefas propostas na GT6 GERADOR DE TAREFAS 8 GT4 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 x y z localizado no primeiro octante bem como a função g x y z x y z para realizar as três tarefas propostas na GT6 Passamos a seguir ao estudo de integral do fluxo de um campo vetorial 6 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 435 Integral do fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície S Consideramos uma superfície S e um vetor unitário n normal a S no ponto xyz da S conforme mostrado na Figura 49 Figura 49 Visualização de uma superfície S e um vetor normal Definimos a integral do fluxo do campo vetorial F sobre S por S F n dS Para determinarmos a expressão do vetor n podemos proceder como segue Se S é a superfície de equação dada por z f x y então conforme já vimos podemos escrever 0 z f x y Assim fazendo g x y z z f x y podemos afirmar que S é também superfície da equação g x y z 0 Sabendose que o gradiente de g isto é g x y z é um vetor normal a superfície S no ponto xyz podemos obter um vetor normal unitário n através de g escrevendo 2 2 i j k 1 x y x y g x y z n g x y z f x y f x y f x y f x y Essa fórmula pode ser deduzida de maneira equivalente se S tem projeção regular nos outros dois planos coordenando ou equivalentemente se S é uma superfície de equação dada por y h x z ou por x k y z Todas as superfícies S que consideraremos nas aplicações são orientadas ou podem ser orientadas no sentido em que existe um vetor unitário normal n em cada ponto xyz que não seja da fronteira de S e que os componentes de n sejam funções contínuas Admite se também que a superfície S tenha dois lados No caso da superfície de equação dada por z f x y nos referimos o lado de cima e o lado de baixo Se a superfície S é fechada como elipsoide por exemplo consideramos a parte interior e a parte exterior de S Essas restrições excluem por exemplo as superfícies unilaterais tal como a faixa de Möbius que leva esse nome em homenagem ao matemático alemão August Ferdinand Möbius 17901868 ver foto na Figura 410 A faixa de Möbius pode ser confeccionada considerando uma faixa de papel retangular e dar meia volta em uma das extremidades em seguida emendar na outra pelas extremidades Na Figura 410 b apresentase uma das ilustrações dessa faixa 7 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Figura 410 Visualização de uma Foto de A F Möbius e a referida faixa August Ferdinand Möbius Faixa de Möbius A faixa de Möbius é uma superfície não orientada Fisicamente a integral do fluxo pode ser interpretada encarado a superfície S como uma membrana delgada através do qual passa um fluido Suponhamos portanto que a superfície S seja imersa em um fluido com um campo vetorial F Assim cada vetor do campo é a velocidade de uma partícula do fluido Com efeito a integral S F n dS exprime o volume total do fluido que atravessa a superfície S em uma unidade de tempo Essa quantidade é denominada fluxo de F através de S ou sobre S Se a superfície S e o campo F satisfazem as condições aqui estabelecidas então temse a seguinte definição para fluxo de um campo vetorial Definição 41 de fluxo de um campo vetorial O fluxo de um campo vetorial F através de S ou sobre uma superfície S é dado por S F n dS O campo vetorial considerado na definição 41 pode representar o fluxo de valor estacionário ou um gás que se expande uniformemente ou um campo estudado na teoria da eletricidade Nesses casos o fluxo é uma medida de quantidade de calor que atravessa a superfície S do fluxo de gás através de S ou do fluxo elétrico ou magnético através de S respectivamente Mobilizados esses saberes juntamente com os conhecimentos acumulados até então podemos passar para o bloco práxis de integrais de superfícies 436 Do bloco logos da seção 435 ao bloco práxis exemplo e exercícios GERADOR DE TAREFAS 9 Quadro 43 Gestão de tarefa como exemplo de aplicação de Integrais de fluxo de um campo vetorial GT5 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 z x y para z 11 e o campo vetorial dado por 5 i 5 j k F x y z x y z para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna a equação e a inequação consideradas na GT9 t2 Representar o crivo C no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT9 8 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 St3 Determinar o fluxo de F sobre a superfície S Resolução da t1 do GT9 Para realizar essa tarefa devemos afirmar que 2 2 2 z x y é a equação da superfície parabólica paraboloide circular de vértice no ponto 002 com concavidade voltada para cima ao longo do eixoz Ao passo que z 11 é a inequação do subespaço tridimensional limitado superiormente pela superfície plana de equação dada por z 11 paralela ao planoxy passando no ponto 0011 do eixoz Resolução da t2 do GT9 Para realizar esta tarefa isto é representar o crivo C de S no registro gráfico podemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional 2 Representar a circunferência de raio 3 determinada pela interseção do paraboloide com a superfície plana descritas na realização da t1 da GT9 igualandose assim as equações 2 2 2 z x y e z 11 3 Aplicar a técnica de interpretação global de objetos geométricos para representar a parabolóide descrita na t1 da GT9 4 Representar a projeção ortogonal do parabolóide sobre o planoxy que consiste em um disco de raio 3 centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas plano Aplicando essas técnicas obtemos o resultado apresentado na Figura 411 Figura 411 Visualização o crivo C de S e da sua projeção Rxy no registro gráfico Resolução da t3 do GT9 Para realizar esta tarefa isto é determinar o fluxo F sobre a superfície S devemos aplicar a definição do fluxo ou seja calcular a seguinte integral S F n dS Eq14 Para isso devemos a partir da equação da superfície S identificar a função f escrevendo z f x y e a função g fazendo g x y z z f x y e em seguida determinar o vetor unitário n normal a S em um ponto xyz na direção do vetor gradiente da função g Ou seja g x y z n g x y z Eq15 Procedendo assim então da equação 2 2 2 z x y de S podemos escrever 2 2 2 0 z x y Assim temse que 0 z f x y onde 2 2 2 f x y x y Fazendo 2 2 2 2 2 2 g x y z z x y z x y temos que o gradiente da função g é 2 i 2 j k g x y z x y Substituindo a expressão do gradiente na Eq15 obtemos 2 2 2 i 2 j k 4 4 1 x y g x y z n g x y z x y 9 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Pelo enunciado de GT9 temos ainda que o campo vetorial F é 5 i 5 j k F x y z x y z Assim podemos calcular o produto escalar F n necessário no integrando do fluxo Daí temse que 2 2 2 2 2 2 2 i 2 j k 5 i 5 j k 4 4 1 10 10 4 4 1 x y F n x y z x y x y z x y Pela Eq7 vimos que o dS é dado por 2 2 1 x y dS f x y f x y dA Assim utilizando as derivadas parciais da função destacada acima temos que 2 2 4 4 1 dS x y dA Tendo essas informações disponíveis podemos calcular o valor algébrico da expressão F ndS ou seja 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 4 4 1 10 10 4 4 1 x y z F ndS x y dA F ndS x y z dA x y Dessa forma o fluxo de F sobre a superfície S é calculado pela integral 2 2 10 10 xy S R F n dS x y z dA onde Rxy é a projeção da superfície S sobre o planoxy que conforme mostrado na Figura 49 é uma região polar circular de raio 3 pois igualando a 2 2 2 z x y com z 11 temse 2 2 9 x y Assim a região polar delimitada pelas circunferências dessas equações é dada analiticamente no registro algébrico por 2 0 3 0 2 Rxy r r Encarando Rxy como uma região do tipo R e reescrevendo a expressão 2 2 10 10 x y z do integrando em coordenadas polares isto é 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 2 10 2 2 11 x y z x y x y r r r devemos calcular o fluxo de F sobre S estabelecendo a seguinte integral que resolveremos sucessivamente explicando cada etapa 2 3 2 0 0 2 11 S F ndS r rdrd Manipulando inicialmente 2 2 11r por r temos 2 3 3 0 0 2 11 r r drd Calculando a primitiva do integrando em relação a r e aplicando a 2a parte do TFC temos 3 2 2 4 0 0 11 4 r r d Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável r temos 2 0 11 9 81 4 d Temos que 11 891 927 9 81 9 4 4 4 Seguese portanto que 2 0 927 4 d Calculando a primitiva de 1 em relação a e aplicando a 2a parte do TFC temos 927 2 Sendo portanto o fluxo de F sobre S A título de treinamento considerar os seguintes exercícios propostos aos estudantes EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 GERADOR DE TAREFAS 10 GT6 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 z x y situado no primeiro octante para z 4 e o campo vetorial dado por 2 2 2 2 z i z j k F x y z x y x y z para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT10 t2 Representar o crivo C no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT10 t3 Determinar o fluxo de F através de S GERADOR DE TAREFAS 11 GT7 Considerar a superfície S do sólido delimitado pelas superfícies de equações dadas por 2 2 z x y e z 16 assim como o campo vetorial F dado por i j k F x y z x y z para realizar as três tarefas propostas na GT10 GERADOR DE TAREFAS 12 GT8 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 36 0 z x y onde C é o hemisférico da S e campo vetorial F dado por i j k F x y z x y z para realizar as três tarefas propostas na T10 GERADOR DE TAREFAS 7 GT9 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 z x y localizado no interior da superfície de equação 2 2 9 x y bem como campo vetorial F dado por F x y z 3i 4j 5k para realizar as três tarefas propostas na T10 GERADOR DE TAREFAS 14 GT10 Considerar o crivo C da superfície S de equação dada por 2 2 2 x y z localizado no primeiro octante bem como o campo vetorial F dado por i j zk F x y z x y para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna equação da superfície S considerada na GT14 t2 Representar o crivo C no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT14 t3 Encontrar o valor numérico do fluxo de F sobre a superfície S Passamos a seguir ao estudo do teorema da divergência ou de Gauss 11 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 44 O Teorema da Divergência ou de Gauss O teorema da divergência também conhecido como o teorema de Gauss em homenagem ao alemão Carl Friedrich Gauss 17771855 ilustrado na Figura 412 é considerado como um dos mais importantes teoremas do Cálculo Vetorial Como veremos nessa seção o teorema de Gauss estabelece o fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície fechada S que é fronteira de um espaço tridimensional Q Uma esfera uma elipsoide um paralelepípedo ou um cubo por exemplo são espaço de fronteira S Figura 412 Ilustração de uma das fotos de Gauss O teorema de Gauss ou da divergência pode ser enunciado como segue Teorema de Gauss 44 Seja Q um espaço tridimensional delimitado pela superfície fechada S e n um vetor normal unitário exterior a S em um ponto xyz Se F é uma função vetorial dotada de derivadas parciais contínuas sobre Q então S Q F ndS F dV Isto é o fluxo de F sobre S é igual a integral tripla da divergente de F sobre Q Demonstração Suponhamos que F seja uma função vetorial ou igualmente o campo vetorial considerado no teorema de componentes Mxyz Nxyz e Pxyz que são funções escalares contínuas dotadas de derivadas parciais primeiras contínuas Para simplificarmos a notação escrevemos 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑀i 𝑁j 𝑃𝑘 Assim utilizando a definição da divergente de F denotada por 𝐹 no segundo membro e as propriedades do produto interno ou produto escalar no primeiro membro da equação que exprime o teorema de Gauus podemos reescrever a referida equação da seguinte forma i j k S Q M N P M n N n P n dS dV x y z Eq16 Dessa forma para provar essa igualdade é suficiente mostrarmos que i S Q M M n dS dV x Eq17 j S Q N N n dS dV y Eq18 k S Q P P n dS dV z Eq19 12 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Pelo comportamento das três últimas igualdades podese conjecturar que as suas provas são equivalentes Assim validar Eq16 basta provarmos uma das três Escolhendo a última Eq19 restringimonos no caso em que o espaço tridimensional Q é delimitado superiormente pelo crivo S1 da superfície de equação dada por 1 z x y inferiormente pelo crivo S2 da superfície de equação dada por 2 z x y lateralmente pela superfície S3 emanada da fronteira se S2 até a fronteira de S1 de sorte que o espaço tridimensional Q seja localizado acima de uma região regular do planoxy conforme mostrado na Figura 413 Figura 413 Visualização do espaço Q no registro gráfico Podemos avaliar e determinar o vetor normal unitário sobre S considerando S1 S2 e S3 Ora podese notar a partir da Figura 413 que os vetores normais a S em S3 são todos paralelos ao planoxy logo o componente k dos vetores n em S3 se anula Assim temse que k 0 n Dessa forma considerando apenas a S1 e S2 o primeiro membro da Eq19 pode ser restabelecido da seguinte forma 1 2 k k k S S S P n dS P n dS P n dS Com base nos conhecimentos adquiridos até então para determinarmos um vetor normal a S1 fazemos 1 1 g x y z z x y Seguese portanto que 𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔1𝑥 𝑦 𝑧 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔1𝑥 𝑦 𝑧 𝜔1𝑥𝑥 𝑦𝑖 𝜔1𝑦𝑥 𝑦𝑗 𝑘 𝜔1𝑥𝑥 𝑦 2 𝜔1𝑦𝑥 𝑦 2 1 Assim sabendose que o vetor k 001 temse que 2 2 1 1 2 2 1 1 k k k 1 1 1 x y x y n x y x y x y x y Lembrando que 2 2 1 1 1 x y dS x y x y dA 13 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Seguese que k ndS dA porque os radicais se cancelam Portanto fazendo a devida substituição dos dados na integral 1 k S P n dS escrevemos 1 1 k S R P n dS P x y x y dA Eq20 Procedendo de maneira análoga sobre S2 lembrandose que os vetores normais a S2 apontam para baixo logo negativos obtémse a seguinte integral 2 2 k S R P n dS P x y x y dA Eq21 Adicionando as integrais do fluxo sobre S1 e S2 obtidos em Eq20 e Eq21 membro a membro temse 1 2 1 2 1 2 k k k S S S R R R P n dS P n dS P n dS P x y x y dA P x y x y dA P x y x y P x y x y dA 2 1 x y R Q x y P P x y z dA dV z z Logo concluise que k S Q P P n dS dV z cqd Mobilizados esses saberes juntamente com os conhecimentos acumulados até então podemos passar para o bloco práxis de integrais de superfícies 441 Do bloco logos da seção 44 ao bloco práxis exemplo e exercícios GERADOR DE TAREFAS 15 GT11 Considerar o espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos de superfícies de equações dadas por x 0 6 0 z x 3 2 0 z y e 2 4 0 z y assim como o campo vetorial dado por 2 3 2 2 2 i cos j k yz F x y z xy e y xz x y para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT15 t2 Representar o espaço tridimensional Q no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT15 t3 Aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo de F sobre a superfície S de Q Resolução da t1 do GT15 Para realizar essa tarefa devemos afirmarmos que no contexto da tarefa x 0 é a equação da superfície plana correspondente ao planoyz cf Figura 415a 6 0 z x é a equação da superfície plana cf Figura 415b secante aos planos coordenados xOy e yOz ao longo das retas de equações x 6 e 6 z respectivamente 3 2 0 z y ou equivalentemente 3 2 z y é a equação da superfície cilíndrica parabólica calha 1 cf Figura 415c tangente ao planoxy ao longo do eixox tendo a com concavidade voltada para cima do semiespaço que contém o eixoz positivo Ao passo que 𝑧 4 𝑦2 0 ou equivalentemente 𝑧 4 𝑦2 é a equação da superfície cilíndrica parabólica calha 2 cf Figura 415d tangente ao planoz4 de equação z 4 paralelo ao planoxy ao longo da reta de equação z 4 contida no planoxz e tem a concavidade voltada para baixo deste planoz4 14 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Resolução da t2 do GT15 Para realizar esta tarefa isto é representar o espaço tridimensional Q no registro gráfico podemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional SCCT separadamente para cada suplicie 2 Representar a superfície de equação x 0 no 1o SCCT hachurando um crivo retangular do planoyz visualizando S1 cf Figura 415a contendo o ponto 000 3 Traçar no 2o SCCT um crivo C1 da reta de equação x 6 e C2 da equação z 6 descritas na realização de T1 de T15 por simetria sendo cada crivo contendo o ponto 600 e 006 respectivamente Unir as extremidades de C1 e de C2 por dois segmentos paralelos entre si visualizando S2 de equação 6 0 z x na Figura 415b 4 Traçar no 3o SCCT dois crivos C3 e C4 da parábola de equação 3 2 z y sendo C3 contido no planoyz e C4 como translação ortogonal do C3 contido em um plano de equação 0 6 x x paralelo ao planoyz Unir as extremidades de C3 e de C4 por dois segmentos paralelos entre si visualizando S3 de equação 3 2 z y Figura 415c calha1 5 Traçar no 3o SCCT dois crivos C5 e C6 da parábola de equação 2 4 z y sendo C5 contido no planoyz e C6 como translação ortogonal do C5 contido no mesmo plano de equação 0 6 x x considerado na 4 Unir em seguida as extremidades de C3 e de C4 por dois segmentos paralelos entre si visualizando S4 de equação 2 6 z y Figura 415d calha2 6 Observar que com aplicação das técnicas 4 e 5 é possível notar que as superfícies calha1 e calha2 se interceptam ao longo da superfície plana de equação z 3 Pois igualando as equações que as determinam temse que y 1 e substituindo esse valor de y tanto em 3 2 z y quanto em 2 4 z y obtémse z 3 7 Observar que S2 secciona S3 8 Representar todas superfícies S1 S2 S3 e S4 em um mesmo SCCT cf Figura 415e 9 Reunir os crivos das superfícies S1 S2 S3 e S4 que formam o contorno S do espaço tridimensional Q em um mesmo SCCT visualizando Q cf Figura 415f Aplicando essas técnicas obtémse o resultado mostrado na Figura 415 Figura 415 Processo de representação do sólido Q no registro gráfico a Crivo do Plano yz b S2 Crivo do plano de 6 0 z x c Superfície cilíndrica de 3 2 z y d Superfície cilíndrica de 2 4 z y e Reunião de Crivos de superfícies em um SCCT f Espaço tridimensional Q Sólido Q 6 0 z x 2 4 z y 3 2 z y S 15 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Resolução da t3 do GT15 Podemos ver a partir da Figura 415 a ilustração de alguns normais unitários exterior a superfície S que delimita Q Calcular o fluxo de F sobre a superfície S aplicando diretamente a integral de superfície se torna uma tarefa laboriosa Contudo com a aplicação do teorema de Gauss simplificamse os cálculos Assim ao invés de calcularmos a integral de superfície indicada no primeiro membro de Eq22 estabelecida no teorema de Gauss calculamos a integral tripla a direita S Q F ndS F dV Eq22 Para isso devemos primeiro calcular a divergente F da função vetorial F fornecida na T15 Assim de 2 3 2 2 2 i cos j k yz F x y z xy e y xz x y Eq23 temos que 2 2 2 2 3 5 F x y z y y y Eq24 Conhecida a expressão da função divergente devemos em seguida fornecer a representação analítica do sólido Q que revela os limites de integração Mas pela Figura 415 é possível conjecturamos que a melhor projeção regular de Q é uma região Ryz ou seja um subconjunto do planoyz Tal região é delimitada inferiormente pela parábola de 3 2 z y e superiormente pela parábola de equação 2 4 z y no planoyz com y variando de 1 a 1 pois igualando as duas equações temos 2 2 2 2 3 4 4 4 1 1 y y y y y Além disso observando ainda a Figura 415 f é possível vermos que x varia da superfície plana de equação x 0 até ao plano inclinado de equação 6 0 z x Assim o sólido Q é dado analiticamente no registro algébrico por 3 2 2 0 6 1 1 3 4 Q x y z x z y y z y Assim devemos calcular o fluxo de F sobre S estabelecendo a seguinte integral tripla que resolveremos sucessivamente por iteração explicando cada etapa 𝐹 𝑛𝑑𝑆 𝑆 5𝑦2 6𝑧 0 4𝑦2 3𝑦2 1 1 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 Calculando a primitiva do integrando 4y2 em relação a x e aplicando a 2a parte do TFC temos 5𝑦2𝑥0 6𝑧 4𝑦2 3𝑦2 1 1 𝑑𝑧𝑑𝑦 Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável x temos 5𝑦26 𝑧 4𝑦2 3𝑦2 1 1 𝑑𝑧𝑑𝑦 Temos que 2 2 2 4 6 24 4 y x z y x y xz Segue se portanto que 30𝑦2 5𝑦2𝑧 4𝑦2 3𝑦2 1 1 𝑑𝑧𝑑𝑦 Calculando a primitiva do integrando em relação a z e aplicando a 2a parte do TFC temos 30𝑦2𝑧 52𝑦2𝑧23𝑦2 4𝑦2 1 1 𝑑𝑦 Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável z temos 30𝑦24 𝑦2 52𝑦24 𝑦22 1 1 30𝑦23𝑦2 52𝑦23𝑦22𝑑𝑧 Realizando o devido tratamento algébrico do integrando e aplicando a simetria do sólido em relação ao plano de equação y 0 obtemos 2 120𝑦2 30𝑦4 40𝑦2 20𝑦4 52𝑦6 1 0 90𝑦4 452𝑦6𝑑𝑧 Realizando o devido tratamento algébrico do integrando obtemos 1 2 4 6 2 0 80 100 20 y y y dy Calculando a primitiva do integrando em relação a y e aplicando a 2a parte do TFC temos 16 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 1 3 5 7 0 80 20 2 20 3 7 y y y Desenvolvendo a aplicação do TFC para a variável y e realizando consequentemente o devido tratamento numérico obtemos 80 20 400 2 20 3 7 21 Que é o fluxo de F sobre S ou seja 400 S F ndS 21 A título de treinamento considerar os seguintes exercícios propostos EXERCÍCIOS PROPOSTOS GERADOR DE TAREFAS 16 GT12 Considerar o espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos de superfícies de equações dadas por z 0 e 2 2 16 x y assim como o campo vetorial dado por 3 3 2 3 i j k F x y z x y y z x z para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT15 t2 Representar o espaço tridimensional Q no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT15 t3 Aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo de F sobre a superfície S de Q GERADOR DE TAREFAS 17 GT13 Considerar o espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos de superfícies de equações dadas por z 0 e 2 2 16 x y assim como o campo vetorial dado por 3 3 2 3 i j k F x y z x y y z x z para realizar as três tarefas propostas na T16 GERADOR DE TAREFAS 18 GT14 Considerar a superfície S do espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos de superfícies de equações dadas por 2 2 2 x y z e o campo vetorial dado por 2 sen i j 3 k F x y z y x y z x z para realizar as três tarefas propostas na T16 GERADOR DE TAREFAS 19 GT15 Considerar a superfície S do espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos de superfícies de equações dadas por z 25 e 2 2 z x y bem como o campo vetorial dado por 2 2 3 i cos j sec k F x y z xy x z z x y para realizar as três tarefas propostas na T16 GERADOR DE TAREFAS 20 GT16 Considerar o espaço tridimensional Q delimitado pela superfície de equação dada por 2 2 2 36 x y z e o campo vetorial dado por i j k F x y z x y z para realizar as seguintes tarefas 17 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT15 t2 Representar o espaço tridimensional Q no registro gráfico e a sua projeção regular utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT15 t3 Verificar o teorema de Gauss calculando tanto a integral de superfície quanto a integral tripla sobre Q Passamos a seguir ao estudo do teorema de Stokes 45 O Teorema de Stokes O teorema de Stokes assim denominado em homenagem ao matemático e físico inglês George Gabriel Stokes 18191903 ilustrado na Figura 416 a pode ser entendido como uma extensão da forma vetorial do teorema de Green rot C R F TdS F k dA na qual C é a curva fronteira da região R para uma curva fechada simples parcialmente suave C do espaço tridimensional que seja a fronteira de uma superfície S conforme mostrado na Figura 416 b No caso ilustrado nessa figura S é a superfície de equação dada por z f x y com f dotada de derivadas parciais primeiras contínuas Figura 416 Ilustração de uma foto de G G Stokes e de uma superfície S de fronteira C C1 é a projeção da curva C sobre o planoxy delimitando a região R do tipo considerada no teorema de Green Além disso temse que n é um vetor unitário normal a S A direção positiva da curva C de S segue a direção positiva da curva C1 e T é um vetor tangente a curva C de S na direção positiva da curva C Assim o teorema de Stokes pode ser enunciado como segue Teorema de Stokes 45 A integral curvilínea do componente tangencial do campo vetorial F considerada uma vez ao longo da curva C na direção positiva é igual a integral de superfície do componente rotacional de F sobre a superfície S Isto é rot C S F TdS F ndS Se F é um campo de força então o teorema de Stokes afirma que o trabalho realizado por F ao longo da curva C é igual ao fluxo do rotacional F sobre a superfície S Conforme vimos anteriormente a integral curvilínea apresentada no primeiro membro do teorema de Stokes também pode ser estabelecida como segue C F dr a b 18 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 onde r e o vetor posição de um ponto xyz da curva C A demonstração do teorema de Stokes pode ser encontrada em textos de Cálculos Avançados Nesse módulo nos apropriamos do resultado desse teorema na realização de tarefas que se alimentam desse saber Assim passamos a ser ao bloco práxis 451 Do bloco logos da seção 45 ao bloco práxis exemplo e exercícios GERADOR DE TAREFAS 15 Quadro 421 Gestão de tarefa como exemplo de aplicação do teorema de Stokes GT17 Considerar a superfície S de equação dada por 2 2 x y z para x 9 e a curva C de S que consiste no seu traço para x 9 assim como o campo vetorial dado por 3 i 4 j 5 k F x y z z x y para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna as equações e a inequação consideradas na GT21 t2 Representar a superfície S no registro gráfico evidenciando as curvas C e C1 e a projeção regular R de S de fronteira C1 utilizando o resultado obtido na realização de T1 de GT21 e em conformidade os conhecimentos obtidos no bloco logos t3 Verificar o teorema de Stokes Resolução da t1 do GT21 Para realizar essa tarefa é suficiente lembrar que 2 2 x y z é a equação do paraboloide circular de vértice na origem do sistema de coordenadas ortogonais tridimensional com concavidade voltada ao longo do eixox com x 0 9 x é a inequação do subespaço tridimensional limitado superiormente pela superfície plana de equação dada por x 9 paralela ao planoyz passando no ponto 009 do eixox Resolução da t2 do GT21 Para realizar esta tarefa isto é representar o crivo C de S no registro gráfico podemos aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional 2 Representar a circunferência de raio 3 determinada pela interseção do paraboloide com a superfície plana descritas na realização da t1 de GT21 igualandose assim as equações 2 2 x y z e x 9 3 Aplicar a técnica de interpretação global de objetos geométricos para representar a parabolóide descrita na t1 de GT21 4 Representar a projeção ortogonal do parabolóide sobre o planoyz que consiste em um disco de raio 3 centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional e contido no planoyz Aplicando essas técnicas convenientemente podese obter resultado equivalente a este apresentado na Figura 417 produzido no ambiente computacional Figura 417 Visualização o crivo C de S e da sua projeção Rxy no registro gráfico 19 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Resolução da t3 do GT21 Para realizar esta tarefa isto é verificar o teorema de Stokes devemos calcular tanto a integral curvilínea do primeiro membro quanto integral de superfície no segundo da equação indicada no nesse teorema que retomamos na Eq25 rot C S F TdS F ndS Eq25 Podemos começar com qualquer uma delas De um lado para realizar a integral curvilínea do componente tangencial do campo vetorial F considerada uma vez ao longo da curva C na direção positiva podemos inicialmente considerar ar a relação C C F TdS F dr mencionada no bloco logos Assim sabendo que 3 i 4 j 5 k F x y z z x y e i j k dr dx dy dz seguese que 3 i 4 j 5 k i j k 3 4 5 F dr z x y dx dy dz zdx xdy ydz Dessa forma podemos calcular a seguinte integral descrevendo os passos necessários com base nos dados fornecidos na GT21 bem como pelos acumulados até então 3 4 5 C C F TdS zdx xdy ydz Sendo C a curva de equação 2 2 9 y z no planoyz correspondente a projeção ortogonal da fronteira de S nesse plano onde x0 temse que dx 0 Daí seguese que 5 C ydz Parametrizando a curva C por 3cos y e 3sen z onde 0 2 temos que 3cos dz d Substituindo na integral 5 C ydz temos 2 0 53cos 3cos d Realizando o tratamento algébrico do integrando temos 2 2 0 45cos d Utilizando a propriedade trigonométrica ângulo metade temos 2 0 45 1 cos2 2 d Calculando a primitiva do integrando em relação a e aplicando a 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo temos 2 0 45 sen2 2 2 Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo temos C1 R S C x 9 x 0 z z y x 20 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 45 sen4 2 0 2 2 Realizando o devido tratamento numérico obtemos 45 A integral curvilínea do componente tangencial do campo vetorial F considerada uma vez ao longo da curva C na direção positiva De outro lado para calcularmos a integral de superfície do componente rotacional de F sobre a superfície S isto é a rot S F ndS devemos inicialmente encontrar a expressão do vetor n considerando o vetor gradiente de S Ora vimos que g x y z x h y z é também equação da superfície S de equação 2 2 x y z onde fazemos 2 2 h y z y z Devemos portanto calcular o gradiente de 2 2 g x y z x y z Ou seja i 2 j 2 k g x y z y z Vimos que g x y z n g x y z Daí temos 2 2 i 2 j 2 k 4 4 1 y z n y z Devemos em seguida calcular rotF Utilizando o falso determinante temos i j k rot 5 0 i 3 0 j 4 0 k 5 i 3 j 4 k 3 4 5 F x y z z x y Substituindo a expressão de n e do rotF na integral rot S F ndS temos 2 2 2 2 i 2 j 2 k rot 5 i 3 j 4 k 4 4 1 5 6 8 4 4 1 S S S y z F ndS dS y z y z dS y z Aplicando o teorema de cálculo de integral de superfícies lembrando que dS é dado por 2 2 4 4 1 y z dA temos que calcular a seguinte integral onde R é a projeção ortogonal de S sobre o planoyz mostrada na realização da St2 Figura 417 rot 5 6 8 S R F ndS y z dA Sendo R uma região polar círculo de raio 3 dada analiticamente por 2 0 30 2 R r r podemos calcular essa integral em coordenadas polares no planoyz Assim fazendo cos y r e sen z r temos a seguinte integral 2 3 0 0 5 6 cos 8 sen r r rdrd Realizando o tratamento algébrico do integrando obtemos 2 3 2 2 0 0 5 6 cos 8 sen r r r drd Calculando a primitiva do integrando em relação a r e aplicando 2a parte do TFC temos 3 2 2 3 3 0 0 5 8 2 cos sen 2 3 r r r d Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo para r temos 2 0 45 54cos 72sen 2 d Calculando a primitiva do integrando em relação a e aplicando 2a parte do TFC temos 2 0 45 54sen 72cos 2 Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo para temos 45 0 72 0 0 72 Logo rot 45 S F ndS 21 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 Verificandose assim o Teorema de Stokes conforme requerido na T3 de GT21 A título de treinamento considerar os seguintes exercícios propostos EXERCÍCIOS PROPOSTOS GERADOR DE TAREFAS 22 GT18 Considerar a superfície S de equação dada por 2 2 4 x y z para x 0 e a curva C de S que consiste no traço desta para x 0 assim como o campo vetorial dado por i j k F x y z z x y para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna as equações e a inequação consideradas na GT22 t2 Representar a superfície S no registro gráfico evidenciando as curvas C e C1 e a projeção regular R de S de fronteira C1 utilizando o resultado obtido na realização de T1 de GT22 e em conformidade os conhecimentos obtidos no bloco logos t3 Verificar o teorema de Stokes GERADOR DE TAREFAS 23 GT19 Considerar o crivo da superfície S de equação dada por 3 3 3 12 x y z no primeiro octante e o campo vetorial dado por 2 2 2 i j k F x y z y z x para realizar as três tarefas propostas no GT22 GERADOR DE TAREFAS 24 GT20 Considerar a curva C que é fronteira da superfície S quadrada de vértices identificados pelos pontos 505 005 055 e 555 bem como o campo vetorial dado por F xyz yzi xyj xzk para realizar as seguintes tarefas t1 Representar a superfície S no registro gráfico evidenciando as curvas C e C1 e a projeção regular R de S de fronteira C1 sobre um plano coordenado conveniente t2 Verificar o teorema de Stokes GERADOR DE TAREFAS 25 GT21 Considerar a superfície S de equação dada por 2 2 64 z x y para z 0 e a curva C de S que consiste no traço desta superfície para x 0 assim como o campo vetorial dado por 10 7 i 3 j cos2 k F x y z y e x para realizar as três tarefas propostas no GT22 Não é o fim é apenas um novo começo 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÁVILA Geraldo Cálculo 3 Funções de Várias Variáveis Rio De Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora 1983 CHEVALLARD Y 1992 Concepts fondamentaux de la didactique perspectives apportées par une approche anthropologique Recherches en Didactique des Mathématiques V 12 n1 p 73112 22 Afonso Henriques Módulos de Cálculo Unidade 4 Teoremas UESC 2021 DUVAL R 1993 Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée Annales de didactique et de sciences cognitives IREM de Strasbourg v 5 p 3565 LEITHOLD Louis O Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Harbra Vol 2 HENRIQUES A Lenseignement et lapprentissage des intégrales multiples analyse didactique intégrant lusage du logiciel Maple UJFGrenoble Lab Leibniz 2006 HENRIQUES A Saberes Universitários e as suas relações na Educação Básica Uma análise institucional em torno do Cálculo Diferencial e Integral e das Geometrias Via Litterarum Editora 2019 MUNEM Mustafa A E Foulis David J Cálculo Rio de Janeiro Guanabara 2 Vol1 e 2 SPEIGEL MR Cálculo Avançado Resumo Da Teoria São Paulo McgrawHill do Brasil 1972 SWOKOWSKI E W Cálculo com geometria analítica Tradução Alfredo Alves de Faria 2a ed Makron Books Vol 2 São Paulo Brasil 1994 THOMAS JÚNIOR George B E Finney ROSS L Cálculo e Geometria Analítica Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Ltda Vols 1 2 e 3 THOMAS JÚNIOR George B Cálculo Rio De Janeiro Livros Técnicos e Científicos Ltda Vols 1 a 3 VEJA AS CAPAS DE ALGUMAS DESSAS REFERÊNCIAS DE LIVROS PARA CONSULTA TENHA UM BOM ESTUDO