Integrais Duplas em Coordenadas Polares: Análise e Cálculo da Região e Volume

Aula 4 Integrais duplas em Coordenadas Polares GT2 Considerar as curvas de equações dadas por x² y² 1 x² y² 25 e a função f de duas variáveis dada por fx y 5 x² y² para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação e a função fornecida nos geradorS GT2 t2 Representar no registro gráfico a região R do plano delimitada por crivos restritos de curvas de equações dadas no GT2 t3 Descrever na língua materna a região R obtida na realização de t2 t4 Representar no registro gráfico o espaço tridimensional sólido Q delimitado inferiormente pela região R superiormente por crivo restrito do gráfico da função f e lateralmente pelas superfícies amendadas da fronteira de R ao crio restrito do gráfico de f t5 Representar a região R analiticamente no registro algébrico t6 Calcular a medida da área da região R t7 Calcular a medida do volume do sólido Q Resolução De forma análoga a GT1 acompanhamos a seguir a resolução de cada uma dessas tarefas 4 Resolução Para realizarmos a t1 devemos lembrar que ambas equações x² y² 1 e x² y² 25 são casos particulares de equação geral de uma circunferência de raio r centrada em um ponto x1 y2 dada por x x1² y y1² r² Assim podemos afirmar que x² y² 1 e x² y² 25 são equações de circunferências sendo a primeira de raio 1 e a segunda de 5 centradas na origem do sistema de coordenadas Para realizarmos a t2 devemos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas no plano e transformálas para a circunferência em conformidade com a descrição apresentada na realização da t1 Procedendo dessa forma obtemos o resultado apresentado na Figura 4 Para realizarmos a t3 isto é descrever na língua materna a região R obtida na realização de t2 é suficiente afirmarmos que R é um semicircular compreendendo entre a circunferência de raio 1 e a raio 5 centradas na origem Para realizarmos a t4 podemos utilizar as técnicas do ambiente papéisalgoritmos como também do ambiente computacional Mobilizando estes últimos em especial o software Maple temos Para realizarmos a t5 Isto é representar a região R analiticamente no registro algébrico observamos primeiro o caso a equação x² y² 1 Representação gráfica analítica da região circular R em coordenadas cartesianas 5 x² y² 1 Representação gráfica analítica da região circular R em coordenadas polares Representação analítica da região circular R em coordenadas polares fora da região R 6 Para realizarmos a t6 É importante lembrarmos que na aula anterior e no momento assinalado que realizamos o estudo sobre Integrais duplas tanto em coordenadas cartesianas quanto coordenadas polares aprenderam que Se f é uma constante igual a um isto é fx y 1 ou fr θ 1 respectivamente então Calcula a medida da área da região R