Integração Numérica: Métodos de Trapézios e Regras de Simpson

EFB 108 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 13 Integração Numérica PRIMEIRA E SEGUNDA REGRAS DE SIMPSON Método dos Trapézios 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥 Dois pontos definem uma reta Função de interpolação linear Erro 𝐼𝑁 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥1 2 𝑥1 𝑥0 Método dos Trapézios Primeira Regra de Simpson 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥 𝑥2 Três pontos definem um polinômio de segundo grau Função de interpolação parabólica Primeira Regra de Simpson Primeira Regra de Simpson Primeira Regra de Simpson IN frach3 fx0 4fx1 fx2 IN frach3 fx0 4fx1 fx2 frach3 fx2 4fx3 fx4 Primeira Regra de Simpson 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝐼𝑁 ℎ 3 𝑓 𝑥0 4𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 ℎ 3 𝑓 𝑥2 4𝑓 𝑥3 𝑓𝑥4 ℎ 3 𝑓 𝑥𝑛2 4𝑓 𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 Primeira Regra de Simpson Primeira Regra de Simpson Primeira Regra de Simpson 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝐼𝑁 ℎ 3 𝑓 𝑥0 4𝑓 𝑥1 2𝑓 𝑥2 4𝑓 𝑥3 2𝑓 𝑥4 4𝑓 𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 𝐼𝑁 ℎ 3 𝑓 𝑥0 4 𝑗0 𝑛2 2 𝑓 𝑥2𝑗1 2 𝑗1 𝑛2 2 𝑓 𝑥2𝑗 𝑓𝑥𝑛 𝑗 0 2𝑗 1 1 𝑗 1 2𝑗 2 𝑗 1 2𝑗 1 3 𝑗 2 2𝑗 4 Índice ímpar Índice par múltiplo de 2 múltiplo de 2 Segunda Regra de Simpson Segunda Regra de Simpson Para 𝑛 subintervalos 𝐼𝑁 3ℎ 8 𝑓 𝑥0 3𝑓 𝑥1 3𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥3 3ℎ 8 𝑓 𝑥3 3𝑓 𝑥4 3𝑓 𝑥5 𝑓 𝑥6 3ℎ 8 𝑓 𝑥𝑛3 3𝑓 𝑥𝑛2 3𝑓 𝑥𝑛1 𝑓 𝑥𝑛 Agrupando os termos semelhantes 𝐼𝑁 3ℎ 8 𝑓 𝑥0 3𝑓 𝑥1 3𝑓 𝑥2 𝑓 𝑥3 Segunda Regra de Simpson Segunda Regra de Simpson 𝐼𝑁 3ℎ 8 𝑓 𝑥0 3 𝑗1 𝑛 3 𝑓 𝑥3𝑗2 𝑓𝑥3𝑗1 2 𝑗1 𝑛3 3 𝑓𝑥3𝑗 𝑓 𝑥𝑛 𝑗 1 3𝑗 2 1 e 3𝑗 1 2 𝑗 1 3𝑗 3 𝑗 2 3𝑗 2 4 e 3𝑗 1 5 𝑗 2 3𝑗 6 𝑗 3 3𝑗 2 7 e 3𝑗 1 8 𝑗 3 3𝑗 9 múltiplo de 3 múltiplo de 3 Resumindo os métodos Aproxima 𝑓 𝑥 por uma reta Apresenta maior erro quando comparado as Regras de Simpson para um mesmo número de subintervalos Não existe restrições quanto ao número de subintervalos Método dos Trapézios Resumindo os métodos Aproxima 𝑓 𝑥 por uma parábola O polinômio interpolador aproxima melhor a função original Restrições Mínimo de 2 subintervalos O número de subintervalos deve ser múltiplo de 2 Primeira Regra de Simpson Resumindo os métodos Aproxima 𝑓 𝑥 por uma função cúbica Restrições Mínimo de 3 subintervalos O número de subintervalos deve ser múltiplo de 3 Segunda Regra de Simpson Erro de truncamento da interpolação Não é possível calcular o erro cometido na integração numérica Podese calcular o erro máximo cometido na interpolação como forma de se conhecer a ordem de grandeza do erro no resultado Esta técnica permite determinar o número de subintervalos necessários para obter o erro desejável desde que conhecida a forma analítica da função Erro de truncamento da interpolação ou cota máxima do erro de truncamento Método dos Trapézios 𝐸 𝑏 𝑎 3 12 𝑛2 𝑓 𝜉 com 𝑎 𝜉 𝑏 Maior valor em módulo da segunda derivada de 𝑓𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝜉 Erro de truncamento da interpolação 1ª Regra de Simpson 𝐸 𝑏 𝑎 5 180 𝑛4 𝑓𝐼𝑉 𝜉 com 𝑎 𝜉 𝑏 2ª Regra de Simpson 𝐸 𝑏 𝑎 5 80 𝑛4 𝑓𝐼𝑉 𝜉 com 𝑎 𝜉 𝑏 Maior valor em módulo da quarta derivada de 𝑓𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 O erro da 2ª Regra de Simpson é maior do que o erro da 1ª regra Erro de truncamento da interpolação Exercício 1 Calcule 𝐼 0 1 cos 𝑥 1𝑥 𝑑𝑥 empregando os três métodos estudados com 19 𝑛 24 aplicando o mesmo número de subintervalos para a Primeira e a Segunda Regras de Simpson Exercício 2 A força a ser exercida por um motor a jato sobre um foguete para colocar um satélite em órbita geoestacionária é expressa por 𝑭 𝒓 𝒌 𝒓𝟐 em que 𝒌 é uma constante positiva e 𝒓 é a distância do satélite ao centro da Terra Desejase determinar o trabalho exercido pelo motor para levar um foguete da superfície da Terra até uma órbita geoestacionária a 36000 𝑘𝑚 de altitude em relação à superfície da Terra sabendo que o trabalho é dado por W 𝑎 𝑏 𝐹𝑟 𝑑𝑟 Dados considere o raio da Terra igual a 6400 km e k 18431011 a Expor a função na 𝑭 𝒓 𝒌 𝒓𝟐 forma discreta Adote um número de subintervalos compatível com os três métodos estudados Regra dos Trapézios Primeira e Segunda Regras de Simpson b Determine o trabalho 𝑾 exercido pelo motor Utilize os três métodos estudados para resolver numericamente a integral 𝑎 𝑏 𝐹𝑟 𝑑𝑟 Esta apresentação faz parte do material didático da disciplina EFB108 Matemática Computacional e é complementada por notas de aulas e literatura indicada no Plano de Ensino O estudo desta apresentação não exime o aluno do acompanhamento das aulas Professores Eduardo Nadaleto da Matta Lilian de Cássia Santos Victorino Ricardo Caranicola Caleffo