Solução de Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos de Runge-Kutta e Método de Euler

EFB 108 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 15 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias MÉTODOS DE RUNGEKUTTA quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Método de Euler Dada uma função y yx pela expansão em Série de Taylor 𝑦 𝑥 ℎ 𝑦𝑥 ℎ 𝑦𝑥 ℎ2 2 𝑦𝑥 ℎ3 3 𝑦𝑥 ℎ𝑛 𝑛 𝑦 𝑛 𝑥 Termo genérico para 𝑛 𝑦𝑖1 𝑦𝑖 ℎ𝑦𝑥𝑖 𝑦𝑖 Expressão do Método de Euler Como obter quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta Métodos para resolução numérica de EDOs de 1ª ordem na forma 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 Carl David Runge Martin Wilhelm Kutta Têm como base o truncamento da série de Taylor de 𝑦𝑥 ℎ quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta Métodos para resolução numérica de EDOs de 1ª ordem na forma 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 Têm como base o truncamento da série de Taylor de 𝑦𝑥 ℎ Aproximam as derivadas de ordem superior A ordem dos métodos depende do ponto em que a série de Taylor é truncada quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta de 2ª ordem A ideia básica de todos os métodos de RungeKutta é evoluir de 𝑦𝑥𝑖 para 𝑦𝑥𝑖1 empregando uma estimativa da inclinação de 𝑦 em 𝑥𝑖 𝑦 𝑥𝑖1 𝑦 𝑥𝑖 ℎ 𝑦 𝑥𝑖 ℎ2 2 𝑦 𝑥𝑖 No método de 2ª ordem a ideia central é combinar duas estimativas preliminares em pontos distintos entre 𝑥𝑖 e 𝑥𝑖1 e combiná las para gerar uma estimativa de melhor qualidade para a inclinação em 𝑥𝑖 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta de 2ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Métodos de RungeKutta de 2ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Voltando ao ex do tanque Considere um tanque cilíndrico vertical contendo água com uma válvula de abertura instalada em sua base Quando essa válvula é acionada a água escoará rapidamente quando o tanque estiver cheio e mais lentamente conforme continua a ser drenado A taxa pela qual o nível de água diminui no tanque é expressa por 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑘 𝑦 em que 𝑘 é uma constante dependente da forma e da área do orifício de saída e também da área da seção transversal do tanque O nível da água no tanque 𝑦 é medido em metros e o tempo 𝑡 em minutos Utilize o Método de RungeKutta de 2ª ordem a Admita que 𝑘 006 e empregue o Método de RungeKutta de 2ª ordem com passo de 05 minuto para determinar quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m b Construa o gráfico da evolução do nível de água no tanque a partir das duas soluções obtidas pelos métodos anteriores analítico Euler e RK2 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Método de RungeKutta de 4ª ordem A ideia básica de todos os métodos de RungeKutta é evoluir de 𝑦𝑥𝑖 para 𝑦𝑥𝑖1 empregando uma estimativa da inclinação de 𝑦 em 𝑥𝑖 No método de 4ª ordem a ideia central é combinar quatro estimativas preliminares em pontos distintos entre 𝑥𝑖 e 𝑥𝑖1 e combinálas para gerar uma estimativa de qualidade para a inclinação em 𝑥𝑖 𝑦 𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 2 𝑦 𝑥𝑖1 𝑦 𝑥𝑖 ℎ 𝑦 𝑥𝑖 ℎ2 2 𝑦 𝑥𝑖 ℎ3 3 𝑦 𝑥𝑖 ℎ4 4 𝑦 4 𝑥𝑖 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Método de RungeKutta de 4ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Método de RungeKutta de 4ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Método de RungeKutta de 4ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Propagação de Erro Erro local Gerado pela expressão da aproximação de 𝑦𝑖1 devido ao truncamento da série de Taylor Diminui com o aumento do número de subintervalos Erro acumulado Soma dos erros locais Quanto maior o número de subintervalos e consequentemente de cálculos maior a propagação de erros quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Propagação de Erro Erro 𝑛 Erro local Erro acumulado Erro global 𝑛ó𝑡𝑖𝑚𝑜 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Resolver a EDO 𝑦 𝑦 para 𝑥 01 Utilizar 10 subintervalos 𝑛 10 Compare o resultado com aquele obtido a partir da solução analítica da equação diferencial Condições iniciais 𝑥0 0 𝑦 𝑥0 1 Método de RungeKutta de 4ª ordem quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Propagação de Erro Erro da solução da EDO 𝑦 𝑦 no intervalo 01 usando precisão de 8 algarismos significativos 𝒏 Euler RK2 RK4 1 72101 10 12101 100 13102 1000 14103 10000 14104 100000 49105 1000000 20104 10000000 12101 22101 42103 45105 56107 39107 38105 19104 12101 99103 20106 39107 32107 39107 38105 19104 12101 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Propagação de Erro Erro da solução da EDO 𝑦 𝑦 no intervalo 01 104 103 102 10 1 105 106 107 1 102 104 106 Euler RK2 RK4 quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Noções de Estabilidade Para que uma EDO de 1a ordem tenha solução estável 𝑦 𝑎𝑥 𝜆𝑦 𝑐 Euler 0 𝜆ℎ 20 RK3 0 𝜆ℎ 251 RK4 0 𝜆ℎ 278 Uma solução numérica é estável se pequenas variações nas condições provocarem pequenas variações na solução quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Resolva o exercício anterior utilizando o Método de RungeKutta de 4ª ordem a Admita que 𝑘 006 e empregue o Método de RungeKutta de 4ª ordem com passo de 05 minuto para determinar quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no instante de abertura da válvula for de 3 m b Construa o gráfico da evolução do nível de água no tanque a partir das soluções obtidas pelos métodos anteriores analítico Euler RK2 e RK4 Esta apresentação faz parte do material didático da disciplina EFB108 Matemática Computacional e é complementada por notas de aulas e literatura indicada no Plano de Ensino O estudo desta apresentação não exime o aluno do acompanhamento das aulas Professores Eduardo Nadaleto da Matta Lilian de Cássia Santos Victorino Ricardo Caranicola Caleffo