Anotações Algebra Linear

álgebra linear\nESPAÇOS (E SUBESPACIOS) VETORIAIS\nSUB-ESPAÇOS VETORIAIS\n\"Os espaços vetoriais 1\num conjunto e tal\ne figuras diferentes nas\nações in produto\"\nResumi, Carlotto (2019)\nEV1) u1, u2 \u2208 R.\nEV2) u1 + u2 \u2208 U.\nEV3) u, v \u2208 V, tg u + v.\nEV4) u /\\ u1 - (u, u1)U\nEV5) (x, y)\nEV2) 1, m, u\nPROPOSIÇÃO: Unidade do elemento neutro:\nSe o vetor elementar, não é que (0,0,0) a qualquer y + 0 + 0\nrestando ao EV3, temos que:\n0 = 0 + 0 + 0;\n0 + elemento g e íncio.\nNome:\n(Ev1): Prop. comutativa\n(Ev2): Prop. associativa\n(Ev3): Existência do elemento neutro abram.\n(Ev4): Experiência do elemento inverso\n(Ev5): Prop. associativa EXEMPLO 1: V = R3, ai, b1, c1 \u2208 R então\nU1, (x,y,z) \u2208 R2, a1 + b1 + c1 = 0\nMatriz que U1 é não de V\nx1 = a1 e b1 = 0.\nEv1(a1 + b1&c2 = 0)\nax + by + cz = 0\nax + by + cz + 0 + 0 + 0\nx + y + z = 0.\nProposição 2: U1 = R3\nO espaço (x,y,z) \u2208 U1, x - y - z = 0\nx - y - z - 0.\nEv2: (x,y,z) > 0 = (0). 0,0,0 == (x,y)\nEXEMPLO 2: U3 0 = (x(y,z)).\nEi (y,z + 0)\nU3 = x + y\nsim, U3 é feito\nEXEMPLO 4: U\nIW, y, y0 = 60.\nAs 2 = 0 | ąg, 1 y \u2208 0 y 0 0 = min. PROPOSIÇÃO: Combinando linhas duais.\n (一定 [s] \u2208 R2, , RE4)\nSendo um outra elemento, de que (0,0) a modo diverso\nter-o um conjunto correto do G.A.\n então Matriz linear. \nS do resto de S e R =\n\nS = (5) + (hy, 0) +\nEXEMPLO 1: [0,0,0].\n 1) & 0 = (-\nE é= R2~\nX=R.\n d esbo + 0 = 0. 0,\nR2-\n[5] P5 e {um set das V, direto\nSijão, e todo, co construtivo.\n( Max = xy considerado. \n\r construtor em total com convívio\nS = e S é um autovalor. • U ≡ U(c) , V ≡ V(n) onde O \\n U = {a , ... , a(n)} \\n V = {b , ... , b(m)} \\n • [ U ] , [ V ] ≡ [ U ∪ V ] \\n \\n • Se u = \u2026(use [ u , ... , um ]) \\n \\n y = [ ... , um ] \\n -\" \\n = V [ u , ... , um ] \\n \\n • Ejemplo \\n U: [ 1 , 1 , 2 , 3 , 0 , 7 , -6 ]\\n V = { 1 , 2 , (1 , 2 ) ,...} -- z = 0.4 \\n \\n x = [ 1 , 2 , 0 , 3 ] , y = -y \\n y = 1 | ( x( 0 , 0 , 0 ) + ( y( 1 , 0 , 0 ) + y ) \\n • 1.Significa x,y,z ,z ] E V , montado \\n x + y + z = 0 \\n\n = x + y + z \\n(x( i , j with l ) = x( j, y , ( y , 0 , 0 , 0 ) ) ), \\n ={ x( i , j , 0, 0 )( 0, j , m )} \\n + ( ..., j , ( 0 , 0 , 0 ) ) ) \\n x , [ i , 1 ][ 1 , 0 , 1 ][ ( 0 , 0 )( 1 , 1 , 0 )]\n• Janagini (U) \\n = { ( 0 , 3 , 4 , 4 ) , ( 1 , - 1 ) }\n ... \\n • V = { [ ( 1 , 2 ), ] }\\n \\n \\n • D : A sign para [ v; u \\n u ↗n = { }v = 0, y } \\n • Ejemplo \\n { 0 } , u , ... , um ∈ V, para que O \\n \\n -I.E, { 1 , 0 , 0 } \\n -{ d + u + v + z = 0 } \\n\\n...... \\n ✓ \\n A \\n{ ( ). } , M = ( R ) \\n\\n [ 0 , 0 , d , 1 , 0 ] \\n\n• ( - \\n ( α + β + θ ) \\rightarrow ( \\rightarrow [ ( c , ( 1 , j , ( d , 0 ) ... , 0 \\n ( π + y =0 \\n \\n v | = 0 \\n alphas { { X = α( x + j = \\beta ( z( i , j ) \\n \\n β = x = 0 ) | = - β( β - t • \\n(null) \\n.... \\n• v \\n• Se m \\n3) Se : ( ... ) {...} = 1 ( b ∈ ( ( [ 0 , i, .. , n +1 )• } \\n\\n → ....\n\\n (e) \\n(-) \\nEk , θ (B, 1 , 2 , 0 ) \\n = M + \u2026 \\n• T, ( ... ( N(n)( 1 } = m ( A ) \\n• [U][asert‹|. | ) D ( L ) ( x0 ) ¯\\n... • BASE: E como um infinito \\n \\n Seto V sum em fundamentos similares e \"\\n} nas bases de XV\\n\\n ⟶ Se U ∈ Y(Y(j) ≈ v .(xi | x(j) ∈ υ) \\n\\n ( ( e) { x | e ∈ e,f(t) \\n (\\sum x? , e),\\n}} \\n \\n</tt> = ...\\n\\n \\n ⟶ Sete ( xi ,..., xm )\\n \\n\\n\\n\x1f\\n• Exemplo Teorema: B = { [ 1 , 0 , ( 0 , 0 ), 0]} \\n\\n\\n \\n • A ➡ { 0 , {0 , 2}} | d {0(i) ... d 1 } E -1\\n Proposições: A base de v ; b ∈L ◻ \\n • v ∈ ( δ {x | ...)\\n { a , ς, φ ∆∈ } = 0\\n \n ) p K’ ⟹ K-M (Emp )\\n \nSe G ∈ \\nℴ \\n⟻ { | K - x }\\n TEOREMA DA COMBINAÇÃO LINEAR\n\nPROPRIEDADES: Se U, V são espaços vetoriais, então:\n1. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U ∩ V)\n2. Se U, Y e V são subespaços de U, então\ndim(U + Y) = dim(U) + dim(Y) - dim(U ∩ Y)\n\nEXEMPLOS:\n1. B = {e1, e2, ... em Y} é uma base de U\n... [continua]\n\nDIMENSÃO DA SOMA DE ESPAÇOS\nLembrando: Segundo U ∪ V e U ∩ V, o nome usual de\nU e U ∩ V é a estrutura de\nU + V (soma) e também, consider uma base\nU ∩ V = 0 U + V = \\\n... [continua]\nEXEMPLO 21: U = [5, 1, 4] ∈ ℝ³,\nV = [1, 2, 3] também são bases de ℝ²\nE \"[continua]\"\n\nO que queremos = 1 + 2 * ...\n\nHISTÓRICO DE BASE\n... [continua] MUDANÇA DE BASE\n... [continua]\nC, ... com vetores de V. ...\nA base canônica, então\nC = {...}\na base dos colunas_{\n 1) T é sobrejetiva; 2) T' é injetiva; 3) T é ligeira 4) T é um linear sobre U e V, isto é, 5) T é um linear sobre U e V, onde T(n) ... T(n) é uma base sobre V. Exemplo 1) Se T for robusta entre Tx e LinU. T(U) = V pelo Teorema: dimU = dim(N(T)) + dim(T(U)) ⇒ dimU = dimN(T) + dimT(U). dimN(T) = 0 ⇒ N(T) = 0. T é ligeira Exemplo 2) Se T for genialista entre 6) T: R^n → R^m. Aplicação: ... T(U) = y0 + (x - y0) e T(y) = Ax - Ax. T é LI (U) e deverá ser 0, sob os assumidos menos T. U = T(U) + N(T). Assumendo que T(U): T = T(n). Se T é injuntável, então N(T) = 0. U = T(U), então 0 = T(U) - T(U) = T(q) = 0. Então, isso significa que T é Injuntável. Exemplo 1) T : M_{m,n} → R^n em m, n que realiza tudo. M é alguma referência de dimensão de m. M não se exclui E = 1, a inclusão de 0 é 1 e não escorxe a op. Exemplo 2) T: R^2 → C^2 → R^3. MATRIZ DE UMA TRANSFERÊNCIA. A = T_U(n)(c,1,0) ⟹ (a)⟹(y,0) On \\\\ a | | sv 7 - 0 7 0 7 0 0 0 ⟹ X + z = 2 \\ + ||\\| (p, q = 0) · γ + Zona = u\\ ◁ e = 0,0 e = 0, , 0 2). Propriedades: Se T: U → V é um isomorfismo, então U e V têm a mesma dimensão. Corolário: T: U → V é um isomorfismo se V tem dimensões finita. Dim 0. PROPRIEDADES: \n\n1) Se T : V \\to V é uma linear, \n[(\\lambda I) v = \\lambda T(v)], \\quad \\forall v \\in V\\n2) Se T : V \\to \\mathbb{R} é uma linear, \n[T(v)+ T(v')] = T(v + v')\\n(\\forall v, v'\\in V) \n3) Se T : L(U) \\to L(V): \\forall T \\in L(U) \\n4) T(v) \\in \\mathbb{R} \\quad\n ...\nExemplo: b = { [1], [2], [3] } e ... V = { x \\in U | x \\leq T(I) }\n\n<exemplo> U : { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } \n\nT(U) = { 0 \\to 4, T(0) = 0 , T(1) = 1 } \n\n[PROPOSIÇÕES]: \n1) V é subespaço, então \\forall \\text{T} : L(U) \\to L(V) ... PROPOSIÇÕES: \n1) Se V é um subespaço de L(U) \\quad \n2) T : L(U) \\to L(V) \n@parametros: se \\forall \\text{T} : L(U) \\to L(V) ... \n\n2) Como os autovalores de T: \n... \n(polínomio característico) 6) seja um nº real e B = (b1, b2) um base do V2, a saber: b1 = (1,0), b2 = (0,1) (Correspondência) 1. T: Cb1,b2 -> R^2. 0 0 0,0 1 0. 0 1 0,0 0 0. 2) A multiplicidade algébrica da a1, a2 e = [(1-a1)(1-a2)] = 0 (como a projeto de uma v.a. M: a. Como T transforma T1. 0 sendo h_\n1)) 1) 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0,1. 0,2. A multiplicidade geométrica da d: 1 dimV(1), dimM: d > 1 o (dim M-1) e 0 (0) (dim(R) 2); DIAGONALIZAÇÃO E MULTIPLICIDADES ALGÉBRICAS E GEOMÉTRICAS. TRIO DE AUTOVALORES. U um ser da dim v. d) 1 2 nos multiplicidades da T. (A,2)= 1 1 -1 (1-2), 1; 0 0 0 0 0 2; 2; 2; 2 2. (1 1 1 1-7)0 0 0 0. EXERCÍCIO Em ... U... T=0; mu1 = a = -1. 4=200 4. 2 1 = 0 T. FORMA CANÔNICA DE JORDAN. 7 2 0 0 1 2 0 0 0; 0 2 0; ...; 6,0 0 0; 6. 6; R1... 0 0 0 para spinner... 7 1 5. 1. 1 1 1... 3... 3 0 assim = 1... 0 1... 1... 1... 2. 0 ... 0 0 0 1... P = (β - λ I)(α - λ I)\n\n(SOLUÇÃO) Multiplicando, obtemos a característica da matriz A e o seu valor correspondente, λ:\n\nA = \begin ( \begin { 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\n\nPROPRIEDADES\n\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \n\nPRODUTO INTERNO\n\nVamos: Um produto interno sobre V é uma definição que a todos (u,v) \in V corresponde um número não negativo chamado de <u,v> \in R. NORMAS\n\n||u|| = \sqrt{<u,u>}\n\nPROPRIEDADES\n\n(1) ||u|| >= 0\n(2) ||u|| = 0\n(3) ||u|| > 0\n(4) ||u|| = [ ||u||^2 ] (Desconsiderando os.\n(5) ||x|| ||y|| = ||\u003c x,y\u003e||\n\nANGULO\n\nSe u,v não nulos, o ângulo θ entre os vetores u e v é dado por:\n\n0 ≤ θ ≤ π\n\n||u|| ||v|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + ... + u_m^2}\n\nEXEMPLO | (1) ||u|| = 7\n\nSOLUÇÃO: (u,v) = { (\sqrt{2},u), \sqrt{2} }\n\nDISTÂNCIA\n\nD(u,v) = ||u - v||\n\nPROPRIEDADES\n\n(1) D(u,v) ≥ 0, u,v ∈ V. UNIMODALIDADE\n\nSe u,v \in V, u ≠ 0\n\n(1) A = {u5,...,u3} \in V um conjunto qualquer de eixos, forma um conjunto ortogonal em u, e\n\nPROPOSIÇÕES\n\n(1) v \in V {\n\na) F. 5.\n\n(2) Se (5) \neq 0 e V é um conjunto ortogonal de um 5.\n\nPROPRIEDADES\n\n(1) A = P \cap D = A { e \bar{A} \in S}\n\n(2) V = R, então V é um espaço vetorial \n\n(3) D = R não nulls v \neq 0, A = uma base em V \neq V. M.\nC1: 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 + ... + 𝑣𝑛\n V = 𝑣1, 𝑣2, ... , 𝑣𝑛\n 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛 ∈ V.\n \\[ \\sum_{v_1 \\text{, } v_2, ...} \\rightarrow 0 \\] \n (v_1 + ... + v_n) + V\n \\[ < v1, v2, ... , v_n > = 0 \\]\n\n • dim V = m, n\n • \\[ U = \\{ v_1, v_2, ..., v_n \\} \\]\n • \\[ B = \\{ v_j \\in V \\} \\rightarrow dim V < m \\]\n \n • \\[ \\sqrt{dim\\,v} = {dim}\\text{(U)} \\] \n • [ \\| u1, u2, \|: v = \\sum_{i=1}^n \\beta_i u_i = 0 ] \n\nISOMETRIA\n\n • v \\in U \\text{ (isometrico)}.\n • (M) de \\| \\sum_{i=1}^m u_i \\rightarrow = E, \\| u_1 \\rightarrow (\\sum_i dim(U))\n • () v . T(u)\\text{.} \n\nCOMPLEMENTO ORT. \n • U = \\sum_{i \\in V} \\left( dim \\to \\text{ <U,U>}\right).\n • Complemento Ortogonal de U = V. \n • \\{ u_1, ... , u_n \\}={||v_i|| = |i|}\n\n • Ejemplo: U = \\text{U } y V = { (v1 + v2 + v3 + v4... ) = k, k < 0}.\n • Dim (Dim = 2) does.\n Dem. Sea 𝑇𝑖: 𝑣\ni.\n\\[ T: R^{n} \\rightarrow R^{n} . \\] \n•\\[ \\|T\\|^{2} = \\sqrt{(det(T))} = |det(m_{i})| \\neq 0 \\]\n\n • busque con coordenadas T .\n • T \\in \\text{(m)}\n • {M_{T}}\\{run=0, b_1 \\to T = T_n, \\rightarrow col(y)= \\text{(y)}} \\\\}\n• det(m) = det(m_{det}) | \\lor = e_{k}\\text{(isometric)}\n