Prova Discursiva Geometria Analitica

Questão 2/5 Dada a reta de equação r: y = ax + b e que passa pelos pontos A (2, 8) e B (4, 0), calcule a soma das variáveis a + b. p/ o ponto A=(2,8) => 8 = a.2 + b p/ o ponto B = (4,0) => 0 = a.4 + b Resolver o sistema de equações {8 = 2a + b {0 = 4a + b a=-4/ } b = 16/ } (-1) a+b=-4+16 a+b=12// Resposta:Comentário do corretor:Prova realizada de forma impressa! Questão 3/5 O vetor v⃗ representado na figura a seguir tem seus catetos: oposto e adjacente com valores de 6 e 8 respectivamente, com base nesses dados calcule o módulo desse vetor. |𝑣⃗| = √6^2 + 8^2 |𝑣⃗| = √36 + 64 |𝑣⃗| = √100 |𝑣⃗| = 10 Questão 1/5 Calcule as equações paramétricas de uma reta que passa por P(1,5,-1) e é ortogonal às retas r e s. r: (x, y, z) = (3, -1, t) e s: (x, y, z) = (t, t-3, 3-2t), com t ∈ ℝ: vetor diretor de r => 𝑏⃗𝑟 = (0, 0, 1) vetor diretor de s => 𝑏⃗𝑠 = (1, 1, -2) reta ortogonal a r e s obtido de 𝑏⃗𝑟 x 𝑏⃗𝑠 | i j k | | 0 0 1 | | 1 1 -2 | - i + j = (-1, 1, 0) Equação da reta q g: P + t 𝑏⃗𝑞 𝑞: (x, y, z) = (1,5,-1) + t (-1, 1, 0) (x, y, z) = (1-t , 5+t , -1) Equação paramétrica {x = 1-t y = 5+t z = -1 Resposta:Comentário do corretor:Prova realizada de forma impressa! Questão 5/5 Dados os vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\), conforme na figura a seguir, calcule |\vec{u} + \vec{v}|. \vec{u} = (5, \sqrt{75}) \vec{v} = (2,5, -5) \vec{u} + \vec{v} = (5, \sqrt{75}) + (2,5, -5) \vec{u} + \vec{v} = (7,5, \sqrt{75} - 5) |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{(7,5)^2 + (2,5)^2} |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{56,25 + 6,25} |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{62,5} |\vec{u} + \vec{v}| = 7,91 Resposta:Comentário do corretor:Prova realizada de forma impressa! Questão 1/5 Qual a distância entre os pontos A (2, 2, 4) e B (5, 5, 2)? Nota: 0.0 Resposta:Comentário do corretor:Prova realizada de forma impressa! Questão 2/5 Dados os planos \alpha: 2x - y - z + 18 = 0 e \beta: -x - y + 2z - 23 = 0, calcule o ângulo formado entre eles: Nota: 0.0 Questão 3/5 Calcule as equações paramétricas de uma reta que passa por P(1,5,-1) e é ortogonal às retas r e s: r: (x, y, z) = (3, -1, t) e s: (x, y, z) = (t, t - 3, -2t), com t \in \mathbb{R}. Nota: 0.0 Resposta:Comentário do corretor:Prova realizada de forma impressa! Questão 4/5 Calcule o valor do vetor \( \overrightarrow{AB} \) de ponto inicial em A = (1, 2, 3) e final em B = (8, 6, 7) como uma combinação linear dos vetores \( \vec{i}=(1,0,0)\), \( \vec{j}=(0,1,0)\) e \( \vec{k}=(0,0,1)\). \( \overrightarrow{AB} = B - A = (8,6,7) - (1,2,3) \) \( \overrightarrow{AB} = (7,4,4) \) \( (7,4,4) = a\cdot(1,0,0) + b\cdot(0,1,0) + c\cdot(0,0,1) \) \( (7,4,4) = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) \) \( (7,4,4) = (a,b,c) \) \( \overrightarrow{AB} = 7\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k} \) Resposta: Comentário do corretor: Prova realizada de forma impressa! Questão 5/5 Seja \( \beta \) a inclinação do vetor de ponto inicial em P e final em Q, indicado na figura, a seguir, a qual também nos informa a medida de dois catetos (\( 7\sqrt{3} \) e 7). Calcule o valor desse ângulo \( \beta \). Resposta: Comentário do corretor: Prova realizada de forma impressa! Questão 1/5 - Geometria Analítica Seja \( -3x + ay + bz + c = 0 \) a equação do plano que passa pelos pontos A = (0, 1, 2), B = (2, 4, -1) e C = (2, 1, 1). Então, \( a + b + c \) vale: p/ o ponto A = (0,1,2) \Rightarrow -3(0) + a(1) + b(2) + c = 0 \quad a + 2b + c = 0 \] p/ o ponto B = (2,4,-1) \Rightarrow -3(2) + a(4) + b(-1) + c = 0 \quad -6 + 4a - b + c = 0 p/ o ponto C = (2,1,1) \Rightarrow -3(2) + a(1) + b(1) + c = 0 \quad -6 + a + b + c = 0 \quad -6 + a + b + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 6 Questão 2/5 - Geometria Analítica Calcule o valor do vetor \( \overrightarrow{AB} \) de ponto inicial em A = (1, 2, 3) e final em B = (8, 6, 7) como uma combinação linear dos vetores \( \vec{i}=(1,0,0)\), \( \vec{j}=(0,1,0)\) e \( \vec{k}=(0,0,1)\). \( \overrightarrow{AB} = B - A = (8,6,7) - (1,2,3) \) \( \overrightarrow{AB} = (7,4,4) \) \( (7,4,4) = a\cdot(1,0,0) + b\cdot(0,1,0) + c\cdot(0,0,1) \) \( (7,4,4) = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) \) \( (7,4,4) = (a,b,c) \) Nota: 0.0 Questão 3/5 - Geometria Analítica Calcule o valor do cateto "b", do triângulo retângulo indicado na figura a seguir: Teorema de Pitágoras \( 15^2 = 7^2 + b^2 \) \( b^2 = 15^2 - 7^2 \) \( b^2 = 225 - 49 \) \( b^2 = 176 \) \( b = \sqrt{176} \) \( b = 13,27 \) ou Resposta possível: \(176 = 2^4 \cdot 11\) \( b = \sqrt{176} \) \( b = \sqrt{2^4 \cdot 11} \) \( b = 4\sqrt{11} \) Questão 4/5 - Geometria Analítica Calcule as equações paramétricas de uma reta que passa por P(1,5,-1) e é ortogonal às retas r e s. r: (x, y, z) = (3, -1, t) e s: (x, y, z) = (t, t-3, 3-2t), com t ∈ ℜ: vetor diretor de r → b_r = (0,0,1) vetor diretor de s → b_s = (1,1,-2) vetor ortogonal a r e s obtido de b_r x b_s x y z | | | 0 0 1 i j k 1 1 -2 = -xi + yj = (-1,1,0) q = P + t b_q q: (x,y,z) = (1,5,-1) + t (-1,1,0) (x, y, z) = (1-t, 5+t, -1) Equação paramétrica { x = 1-t y = 5+t z = -1