Aplicação de Séries transformadas de Fourier

NOME DA FACULDADE Nome do Autor APLICAÇÃO DE SÉRIESTRANSFORMADAS DE FOURIER Cidade 2024 Nome do Autor APLICAÇÃO DE SÉRIESTRANSFORMADAS DE FOURIER Trabalho apresentado ao curso de Graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade NOME como requisito à obtenção de título em nível de especialização em Engenharia Elétrica Orientador Cidade 2024 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO5 2 DESENVOLVIMENTO7 21 Serie de Fourier7 211 Solução da Equação do Calor utilizando Séries de Fourier7 22 Transformada de Fourier9 221 Solução da Equação da Onda utilizando Transformada de Fourier10 23 Equação de Laplace e Séries de Fourier11 231 Solução da Equação de Laplace11 3 CONCLUSÃO12 REFERÊNCIAS14 5 1 INTRODUÇÃO As séries e transformadas de Fourier são ferramentas matemáticas poderosas que podem ser usadas para analisar e resolver uma variedade de problemas em vários campos como física engenharia processamento de sinais e equações diferenciais parciais EDPs A utilização de técnicas como essas torna possível dividir funções complexas em partes mais simples o que permite a análise e manipulação dessas funções de forma mais eficiente Jean Baptiste Joseph Fourier1 é reconhecido por estabelecer a estudo sobre a divisão de funções periódicos em sequências trigonométricas que convergem as séries de Fourier Figura 1 Jean Baptiste Joseph Fourier Fonte Matheus Henry Przygocki Uma função periódica pode ser representada como uma soma infinita de senos e cossenos usando a série de Fourier O matemático francês JeanBaptiste Joseph Fourier sugeriu que qualquer função periódica poderia ser decomposta em uma soma de funções trigonométricas Essa noção é essencial em vários campos da física e da engenharia principalmente na análise de sinais e na solução de equações diferenciais Para uma função periódica fx com período T a série de Fourier é dada por 1 Matemático e físico francês nascido em Auxerre em 21 de março de 1768 e falecido em Paris em 16 de maio de 1830 6 Onde Esses coeficientes an e bn determinam as amplitudes das componentes senoidais e cossenoidais da função Figura 2 Soma das quatro primeiras harmônicas da função gt t Figura 3 Soma das oito primeiras harmônicas da função gt t 7 Figura 4 Soma das 16 primeiras harmônicas da função gt t Figura 5 Soma das 32 primeiras harmônicas da função gt t 2 DESENVOLVIMENTO As transformadas de Fourier e as séries de Fourier são muito úteis quando se trata de resolver problemas complexos Principalmente quando se trata de equações diferenciais parciais EDPs Vamos examinar como essas ferramentas são usadas em vários tipos de EDPs como equações de calor onda e Laplace 21 Serie de Fourier A Série de Fourier é utilizada para expressar uma função periódica fx como uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais Esta representação é extremamente útil na solução de EDPs com condições de contorno periódicas 211 Solução da Equação do Calor utilizando Séries de Fourier Consideremos a equação do calor em uma barra de comprimento L 8 Onde u xt é a temperatura ao longo da barra x 0 L e t 0t Suponha que temos as seguintes condições de contorno e inicial u0t0 e u Lt0a barra tem extremidades mantidas a zero grau ux0 fx distribuição inicial de temperatura ao longo da barra Passo 1 Separação de Variáveis Para resolver a equação assumimos uma solução na forma de produto de funções Substituindo na equação do calor obtemos Dividindo ambos os lados por αXxTt obtemos Onde λ é uma constante de separação Isso resulta em duas equações diferenciais ordinárias Equação de Xx Equação de Tt 9 Passo 2 Resolução das Equações A equação para Xx é uma equação diferencial ordinária EDO com solução Aplicando as condições de contorno X0 0 e XL 0 encontramos que λ nπ 2 e a solução para Xx é A equação para Tt é uma EDO linear de primeira ordem com solução Passo 3 Solução Geral A solução geral para uxt é uma soma infinita das soluções particulares Os coeficientes Cn são determinados pela condição inicial ux0 fx 22 Transformada de Fourier 10 221 Solução da Equação da Onda utilizando Transformada de Fourier Considere a equação da onda em uma dimensão espacial onde uxt representa a posição de uma partícula na posição x e no tempo t e c é a velocidade de propagação da onda Passo 1 Aplicação da Transformada de Fourier Aplicamos a Transformada de Fourier no espaço x denotada por ûξt A transformada da equação da onda resulta em uma equação diferencial ordinária no tempo Passo 2 Resolução da Equação no Domínio da Frequência A solução geral desta EDO é Onde Aξ e Bξ são determinados pelas condições iniciais ux0 fx e ux 0 t gx Passo 3 Transformada Inversa de Fourier 11 Para obter a solução no espaço x aplicamos a Transformada Inversa de Fourier Onde Aξ e Bξ são as transformadas de Fourier das condições iniciais Dessa forma obtemos a solução da equação da onda 23 Equação de Laplace e Séries de Fourier 231 Solução da Equação de Laplace Consideremos a equação de Laplace em duas dimensões Com condições de contorno dadas em um domínio retangular 0L 0H Passo 1 Separação de Variáveis Assumimos uma solução do tipo Substituindo na equação de Laplace obtemos 12 Isso resulta em duas EDOs Para Xx Para Yy Passo 2 Resolução das Equações Dependendo do valor de λ a solução de Xx pode ser uma combinação de senos e cossenos ou exponenciais Para condições de contorno simples como u0y uLy0 Xx terá a forma de senos Passo 3 Série de Fourier para a Solução Geral A solução geral é uma combinação de séries de Fourier para Xx e Yy Os coeficientes An e Bn são determinados pelas condições de contorno no eixo y 3 CONCLUSÃO A solução de equações diferenciais parciais EDPs depende de séries de Fourier e transformadas de Fourier que são essenciais em várias áreas de ciência e engenharia A decomposição de funções complexas em componentes mais simples como senos cossenos e exponenciais é possível com esses métodos matemáticos Isso facilita a solução e a análise de problemas complexos A aplicação principal das Séries de Fourier é a resolução de EDPs em domínios finitos com condições de contorno definidas ou periódicas A equação do calor 13 clássica mostra a distribuição de temperatura ao longo do tempo em uma barra cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante A equação diferencial parcial pode ser transformada em uma sequência de equações diferenciais ordinárias que podem ser resolvidas analíticamente usando o método de separação de variáveis e a expansão da solução em uma série de Fourier No entanto as transformadas de Fourier são muito úteis para resolver EDPs em domínios infinitos ou para lidar com funções não periódicas Elas simplificam a solução das EDPs convertendo a equação original no domínio do tempo ou do espaço em uma equação no domínio da frequência Por exemplo é possível resolver eficientemente a equação da onda usando a transformada de Fourier Essa técnica permite obter uma solução geral invertendo a transformada após a solução no domínio da frequência Desse modo a série de Fourier para domínios retangulares pode ser usada para abordar a equação de Laplace que é essencial para problemas de potencial e campos Isso transforma o problema em uma soma infinita de soluções particulares que satisfazem as condições de contorno Essas técnicas não apenas simplificam o processo de solução mas também fornecem uma compreensão mais profunda do comportamento das soluções principalmente em relação à distribuição de frequências e modos de vibração em sistemas físicos Os fenômenos como a propagação de ondas a difusão de calor e a distribuição de potenciais em eletrostática e mecânica dos fluidos dependem da capacidade de decompor funções complexas em partes mais simples 14 REFERÊNCIAS NIVALDO A L Três mitos sobre a função delta de Dirac In Revista Brasileira de Ensino de Física2011 1 Nr1 S1 3 URL httpswwwscielobrjrbefa cHNzPzQHXNYcqwjCwgRkhZv langptformatpdf FELIPE FELIX SOUTO E MARTA CILENE G Sobre séries de Fourier In Revista Eletrônica Paulista de Matemática 2016 8 Nr1 S1 15 URL httpswwwfcunespbrHomeDepartamentosMatematicarevistacqd2228v08a04 sobre seriesdefourierpdf ISSN23169664 FIGUEIREDO Djairo Guedes de Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais Rio de Janeiro Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPq 1977 William E BOYCE e Richard C D Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 2010 Bd Nona Edição LTC ISBN9785216 17563 NOME DA FACULDADE Nome do Autor APLICAÇÃO DE SÉRIESTRANSFORMADAS DE FOURIER Cidade 2024 Nome do Autor APLICAÇÃO DE SÉRIESTRANSFORMADAS DE FOURIER Trabalho apresentado ao curso de Graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade NOME como requisito à obtenção de título em nível de especialização em Engenharia Elétrica Orientador Cidade 2024 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 5 2 DESENVOLVIMENTO 7 21 Serie de Fourier 7 211 Solução da Equação do Calor utilizando Séries de Fourier 7 22 Transformada de Fourier 9 221 Solução da Equação da Onda utilizando Transformada de Fourier 10 23 Equação de Laplace e Séries de Fourier 11 231 Solução da Equação de Laplace 11 3 CONCLUSÃO 12 REFERÊNCIAS 14 5 1 INTRODUÇÃO As séries e transformadas de Fourier são ferramentas matemáticas poderosas que podem ser usadas para analisar e resolver uma variedade de problemas em vários campos como física engenharia processamento de sinais e equações diferenciais parciais EDPs A utilização de técnicas como essas torna possível dividir funções complexas em partes mais simples o que permite a análise e manipulação dessas funções de forma mais eficiente Jean Baptiste Joseph Fourier1 é reconhecido por estabelecer a estudo sobre a divisão de funções periódicos em sequências trigonométricas que convergem as séries de Fourier Figura 1 Jean Baptiste Joseph Fourier Fonte Matheus Henry Przygocki Uma função periódica pode ser representada como uma soma infinita de senos e cossenos usando a série de Fourier O matemático francês JeanBaptiste Joseph Fourier sugeriu que qualquer função periódica poderia ser decomposta em uma soma de funções trigonométricas Essa noção é essencial em vários campos da física e da engenharia principalmente na análise de sinais e na solução de equações diferenciais Para uma função periódica fx com período T a série de Fourier é dada por 1 Matemático e físico francês nascido em Auxerre em 21 de março de 1768 e falecido em Paris em 16 de maio de 1830 6 Onde Esses coeficientes 𝒂𝒏 e 𝒃𝒏 determinam as amplitudes das componentes senoidais e cossenoidais da função Figura 2 Soma das quatro primeiras harmônicas da função gt t Figura 3 Soma das oito primeiras harmônicas da função gt t 7 Figura 4 Soma das 16 primeiras harmônicas da função gt t Figura 5 Soma das 32 primeiras harmônicas da função gt t 2 DESENVOLVIMENTO As transformadas de Fourier e as séries de Fourier são muito úteis quando se trata de resolver problemas complexos Principalmente quando se trata de equações diferenciais parciais EDPs Vamos examinar como essas ferramentas são usadas em vários tipos de EDPs como equações de calor onda e Laplace 21 Serie de Fourier A Série de Fourier é utilizada para expressar uma função periódica fx como uma soma infinita de funções senoidais e cossenoidais Esta representação é extremamente útil na solução de EDPs com condições de contorno periódicas 211 Solução da Equação do Calor utilizando Séries de Fourier Consideremos a equação do calor em uma barra de comprimento L 8 Onde u xt é a temperatura ao longo da barra x 0 L e t 0t Suponha que temos as seguintes condições de contorno e inicial u0t0 e u Lt0a barra tem extremidades mantidas a zero grau ux0 fx distribuição inicial de temperatura ao longo da barra Passo 1 Separação de Variáveis Para resolver a equação assumimos uma solução na forma de produto de funções Substituindo na equação do calor obtemos Dividindo ambos os lados por αXxTt obtemos Onde λ é uma constante de separação Isso resulta em duas equações diferenciais ordinárias Equação de Xx Equação de Tt 9 Passo 2 Resolução das Equações A equação para Xx é uma equação diferencial ordinária EDO com solução Aplicando as condições de contorno X0 0 e XL 0 encontramos que λ 𝐧𝛑 𝟐 e a solução para Xx é A equação para Tt é uma EDO linear de primeira ordem com solução Passo 3 Solução Geral A solução geral para uxt é uma soma infinita das soluções particulares Os coeficientes 𝑪𝒏 são determinados pela condição inicial ux0 fx 22 Transformada de Fourier 10 221 Solução da Equação da Onda utilizando Transformada de Fourier Considere a equação da onda em uma dimensão espacial onde uxt representa a posição de uma partícula na posição x e no tempo t e c é a velocidade de propagação da onda Passo 1 Aplicação da Transformada de Fourier Aplicamos a Transformada de Fourier no espaço x denotada por ûξt A transformada da equação da onda resulta em uma equação diferencial ordinária no tempo Passo 2 Resolução da Equação no Domínio da Frequência A solução geral desta EDO é Onde Aξ e Bξ são determinados pelas condições iniciais ux0 fx e 𝐮𝐱𝟎 𝐭 gx Passo 3 Transformada Inversa de Fourier 11 Para obter a solução no espaço x aplicamos a Transformada Inversa de Fourier Onde Aξ e Bξ são as transformadas de Fourier das condições iniciais Dessa forma obtemos a solução da equação da onda 23 Equação de Laplace e Séries de Fourier 231 Solução da Equação de Laplace Consideremos a equação de Laplace em duas dimensões Com condições de contorno dadas em um domínio retangular 0L 0H Passo 1 Separação de Variáveis Assumimos uma solução do tipo Substituindo na equação de Laplace obtemos 12 Isso resulta em duas EDOs Para Xx Para Yy Passo 2 Resolução das Equações Dependendo do valor de λ a solução de Xx pode ser uma combinação de senos e cossenos ou exponenciais Para condições de contorno simples como u0y uLy0 Xx terá a forma de senos Passo 3 Série de Fourier para a Solução Geral A solução geral é uma combinação de séries de Fourier para Xx e Yy Os coeficientes 𝑨𝒏 e 𝑩𝒏 são determinados pelas condições de contorno no eixo y 3 CONCLUSÃO A solução de equações diferenciais parciais EDPs depende de séries de Fourier e transformadas de Fourier que são essenciais em várias áreas de ciência e engenharia A decomposição de funções complexas em componentes mais simples como senos cossenos e exponenciais é possível com esses métodos matemáticos Isso facilita a solução e a análise de problemas complexos A aplicação principal das Séries de Fourier é a resolução de EDPs em domínios finitos com condições de contorno definidas ou periódicas A equação do calor 13 clássica mostra a distribuição de temperatura ao longo do tempo em uma barra cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante A equação diferencial parcial pode ser transformada em uma sequência de equações diferenciais ordinárias que podem ser resolvidas analíticamente usando o método de separação de variáveis e a expansão da solução em uma série de Fourier No entanto as transformadas de Fourier são muito úteis para resolver EDPs em domínios infinitos ou para lidar com funções não periódicas Elas simplificam a solução das EDPs convertendo a equação original no domínio do tempo ou do espaço em uma equação no domínio da frequência Por exemplo é possível resolver eficientemente a equação da onda usando a transformada de Fourier Essa técnica permite obter uma solução geral invertendo a transformada após a solução no domínio da frequência Desse modo a série de Fourier para domínios retangulares pode ser usada para abordar a equação de Laplace que é essencial para problemas de potencial e campos Isso transforma o problema em uma soma infinita de soluções particulares que satisfazem as condições de contorno Essas técnicas não apenas simplificam o processo de solução mas também fornecem uma compreensão mais profunda do comportamento das soluções principalmente em relação à distribuição de frequências e modos de vibração em sistemas físicos Os fenômenos como a propagação de ondas a difusão de calor e a distribuição de potenciais em eletrostática e mecânica dos fluidos dependem da capacidade de decompor funções complexas em partes mais simples 14 REFERÊNCIAS NIVALDO A L Três mitos sobre a função delta de Dirac In Revista Brasileira de Ensino de Física2011 1 Nr1 S1 3 URL httpswwwscielobrjrbefa cHNzPzQHXNYcqwjCwgRkhZv langptformatpdf FELIPE FELIX SOUTO E MARTA CILENE G Sobre séries de Fourier In Revista Eletrônica Paulista de Matemática 2016 8 Nr1 S1 15 URL httpswwwfcunespbrHomeDepartamentosMatematicarevistacqd2228v08a04 sobre seriesdefourierpdf ISSN23169664 FIGUEIREDO Djairo Guedes de Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais Rio de Janeiro Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPq 1977 William E BOYCE e Richard C D Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 2010 Bd Nona Edição LTC ISBN9785216 17563