Equações Diferenciais de Segunda Ordem - Aplicações em Molas e Vibrações

1 Teoria das Aplicações de Equações Diferenciais Módulo 220232 Prof Marcos Vinícius Ribeiro Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda Ordem Fonte Stewart J Cálculo Volume 2 4ªEdição Editoram Thomson Learning 2001 p11381145 Vibrando Molas Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola que está na vertical ou na horizontal sobre uma superfície A lei de Hooke nos diz que se a mola estiver esticadaou comprimida x unidades do comprimento natural então ela exerce uma força proporcional a x Força restauradora kx Onde k é uma constante positivachamada de constante da mola Se ignorarmos qualquer força de resistência externadevido à resistência do ar ou atrito então pela Segunda Lei de Newton força é igual a massa vezes aceleração teremos 0 ou 2 2 2 2 kx dt m d x kx dt m d x Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem Sua equação auxiliar é mr2 k 0 Com as raízes cos a solução geral é Assim onde 2 1 t c sen t c x t k m i r Este tipo de movimento é chamado de movimento harmônico simples Vibrações Amortecidas Livres Consideremos o movimento de uma mola que está sujeita a uma força de atritono caso da mola horizontal ou a uma força de amortecimento no caso de uma mola vertical que se movimenta de um fluido Um exemplo é a força de amortecimento proporcionada pelo choque absorvido em um carro ou uma bicicleta Vamos supor que a força de amortecimento seja proporcional à velocidade da massa e atue na direção oposta ao movimento Isso tem sido confirmado pelo menos aproximadamente para alguns experimentos físicos Assim dt c dx força de amortecime nto Onde c é uma constante positiva chamada de constante de amortecimento Assim nesse caso a Segunda lei de Newton fornece dt c dx kx dt m d x força restauradora força de amortecime nto 2 2 ou 0 0 2 2 cx kx mx ou kx dt c dx dt d x m Esta última equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem e sua equação auxiliar é mr2 cr k 0 Uma equação do segundo grau com am bc ck e cujo discriminante é mk c ac b 4 ou seja 4 2 2 Sendo assim as raízes são m c r m c r 2 e 2 2 1 Logo teremos que discutir três casos Caso 1 0 superamortecimento Nesse caso r1 e r2 são raízes distintas e r t r t c e c e x 2 1 2 1 Uma vez que c m e k são todas positivas temos que a c logo as raízes r1 e r2 dadas pela equação devem ser ambas negativas Isso mostra que 0 quando t x Os gráficos característicos de x como uma função de t estão mostrados abaixo Note que as oscilações não ocorrem já que c2 4mk significa que há uma forte força de amortecimentoóleo de alta viscosidade ou graxa comparada com uma sem resistência ou de massa pequena Caso 2 0 amortecimento crítico 2 Esse caso corresponde a raízes iguais logo m c r r 2 2 1 e a solução é dada por c t e c m t c x 2 2 1 E um gráfico característico é mostrado na figura abaixo É análogo ao caso 1 mas o amortecimento é suficiente para suprimir as vibrações Qualquer decréscimo na viscosidade do fluido leva a vibrações do próximo caso que veremos 0 Caso 3 0 subamortecido Aqui as raízes são complexas i m c r r 2 2 1 onde m c mk 2 4 2 e a solução é dada por cos 2 1 2 t c sen t c e x c m t Vemos que há oscilações que estão amortecidas pelo fator c m t e 2 Uma vez que c 0 e m 0 temos c2m 0 logo t e c m t 0 quando 2 Isso implica que t x 0 quando isto é o movimento decai a 0 quando o tempo crexe Um gráfico característico é mostrado abaixo Vibrações Forçadas Suponha que em adição à força restauradora e à força de amortecimento o movimento da mola seja afetado pela força externa Ft Então a Segunda lei de Newton fornece força restauradora força de amortecime nto força externa 2 2 2 2 F t dt c dx kx dt d x m dt d x m Assim em lugar da equação homogênea que tínhamos o movimento da mola é agora governado pela seguinte equação diferencial não Homogênea 2 2 F t cx kx mx ou F t kx dt dx c dt m d x Uma força externa que ocorre comumente é uma função força periódica k m t F F t onde cos 0 0 0 e nesse caso e na falta de uma força de amortecimentoc0 teremos a seguinte equação para o deslocamento cos cos 0 2 0 2 0 2 1 t m F t c sen t c x t Finalmente se 0 então a freqüência aplicada reforça a freqüência natural e o resultado são vibrações de grande amplitude Esse é o fenômeno da RESSONÂNCIA 3 Circuito Elétrico Sistema MassaMola Amortecedor Torção 1 2 2 E t C Q dt R dQ dt L d Q 2 2 F t kx dt c dx dt m d x 2 2 T t k dt c d dt I d Movimento de rotação de um peso à ponta de um cabo elástico 1 t E C R L dQ dt I Q eletromotr iz força elastância a resistênci carga indutância corrente t F k c m dt dx x externa força da mola constante nto amortecime massa velocidade to deslocamen T t k c I dt d externa força elástica constante nto amortecime de Inércia momento angular velocidade to angular deslocamen Lista de Exercícios Modulo 2 Prof Marcos Vinícius Ribeiro 01 Determine a solução das seguintes Equações Diferenciais Ordináriashomogêneas utilizando a Transformada de Laplace a y 2y 2y 0 y0 0 y0 3 b y 2y 8y 0 y0 1 y0 8 c y 4y 5y 0 y0 1 y0 3 d 4y 4y 3y 0 y0 8 y0 0 e 9y 6y y 0 y0 3 y0 1 f y 4y 4y 0 y0 2 y0 3 4 02 Determine a solução das seguintes Equações Diferenciais Ordinárias utilizando a Transformada de Laplace a y 9y 6cos3t y0 2 y0 0 b y 3y 2y 6et y0 3 y0 3 c y 2y 2y 10sen2t y0 1 y0 3 d y 4y 5y 5 y0 1 y0 1 e y 6y 9y 4et y0 2 y0 4 f y 3y 3t y0 1 y0 2 g y 3y 2y et y0 3 y0 5 h y 3y 4y 0 y0 1 y0 0 i y y sent y0 1 y0 0 j 1 0 1 0 3 2 5 e y com y sen t y y y Resposta da j F Ó R M U L A S f t a t t 2 t n e at senbt cosbt senhbt coshbt F s 2 2 b s b 2 2 b s s 2 2 b s b 2 2 b s s f t t ne at e atsenbt e atcosbt e atsenhbt e atcoshbt F s a n 1 s n 2 2 b a s b 2 2 b a s a s 𝑏 𝑠 𝑎2 𝑏2 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎2 𝑏2 Equivalência 2 2 cosh at at at at e e senh at e e e at G A B A Exercício 01 Exercício 02 a yt 3 3 3 t senh e t t e t senh 3 3 a yt 15 2 15 3 3 15 cos 3 e 9t sen t t b yt t t e e 2 4 2 b yt t t e e 2 2 c yt sen t t e t 2 cos c 8 cos 3 2 2cos2 sen t e t e t sen t y t t t d yt t t t e e e 2 2 2 3 5 d yt sen t e t 2 1 e yt 3 2 3 t e t e yt t t e e 3 a s 1 2s 2 3s n sn 1 1 s a 5 f yt 2 2 t e t f yt 9 5 9 4 3 2 3 2 e t t t g yt t t t e t e e 12 9 2 2 Sabese que 2 2 cosh at at at at e e senh at e e e at h yt 5 4 5 4 t t e e i yt sen t senh t t 2 1 cosh Lembra 03 Determinar a Transformada de Laplace Fs dados a 144 6 7 e3 t t f t b 9 5 5 4 t sen e t f t c cosh 5 7 4 3 1 t e t f t d te sen t t f t 2 3 Resposta 7 7 3 5 s s F Resposta 2 2 5 4 9 9 5 s s F Resposta 5 7 4 2 3 1 3 1 s s s F Resposta 2 2 13 6 12 4 s s s s F 04 Determinar a AntiTransformada de Laplace ft dados a 46 14 1 4 2 s s s s F b 74 10 23 8 2 s s s s F c 2 2 3 2 s s s s s F d 2 2 3 1 2 s s s s s F Resposta 3 3 9 3 cosh 4 7 7 t senh e t e t f t t Resposta 7 9 cos7 8 5 5 t sen e t e t f t t Resposta t t t e e te t f 3 1 2 3 1 2 2 Resposta e sent t e e t f t t t 5 3 5 4 3 5 4 cos Bom Trabalho Deus te abençoe APLICAÇÕES de Equações Diferenciais 01 Um indutor de 2H está associado em série com um resistor de 12 e um capacitor de 16 F 1 O conjunto é alimentado por uma fem de E 24 volts em que no instante inicial a carga e a corrente são nulas Determine a carga e a corrente no circuito 02 Uma mola com massa de 2 kg tem uma constante de amortecimento 14 e uma força de 6N é necessária para manter a mola esticada 05 m além de seu comprimento natural A mola é esticada 1 m além de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero Determine a posição da massa em qualquer instante tx 15e6t 65et 03 Suponha que uma mola esteja imersa em um fluído com constante de amortecimento c 40 Determine a posição da massa em qualquer instante t se ela iniciar da posição de equilíbrio e for dado um empurrãoimpulso para inicialo com velocidade inicial 06 ms considere m 2 e K 128 6 04 Um indutor de 1 H um resistor de 6 e um capacitor de 18 F estão associados em série com uma fem de 12 volts Determine a carga e a corrente no circuito 05 Uma mola com massa de 3 kg é mantida esticada 06 além de seu comprimento natural por uma força de 20 N Se a mola começar em sua posição de equilíbrio mas um empurrão der sua velocidade inicial de 12 ms determine a posição da massa depois de t segundos x 036sen10t3 06 Uma mola com massa de 4 kg tem um comprimento natural de 1 m e é mantida até um comprimento de 13 m por uma força de 243 N se a mola for comprimida até um comprimento de 08 m e então for solta com velocidade zero determine a posição da massa em qualquer instante t 07 Uma mola com uma massa de 3 Kg tem uma constante de amortecimento 30 e a constante da mola é 123 a Determine a posição da massa no instante t se ele começar em uma posição de equilíbrio com uma velocidade de 2 ms b Construa o gráfico da função posição da massa 08 Um circuito em série consiste em um resistor de 20 um indutor com 1H um capacitor com C 0002F e uma bateria de 12 V Se a carga inicial e a corrente forem 0 encontre a cara e a corrente no instante t 09 Um circuito em série contém um resistor com 24 um indutor com L 2H um capacitor com C 0005F e uma bateria de 12V A carga inicial é Q 0001 C e a corrente inicial é 0 Determine a carga e a corrente no instante t 10 No exercício 08 é substituída por um gerador produzindo uma voltagem de Et 12sen10t Determine a carga e a corrente no instante t 11 A bateria do exercício 09 é substituída por um gerado produzindo uma voltagem de Et 12sen10t Determine a carga e a corrente no instante t 12 Em cada um dos circuitos abaixo determinar a carga Qt e a corrente it considerando nulas as condições iniciais a Circuito série com V 100cos10t L 1H R 40 C 16mF b Circuito série com V sent L 1H R 4 C 4 F 1 c Circuito série com V sen2t R 10 C 2 F 1 d Circuito série com V cos2t L 1H R 4 e Circuito série com V cos2t L 1H C 4 F 1 13 Um indutor de 3H está em série com um resistor de 30 e com uma fem de 150 volts Supondo que em t 0 a corrente é zero determinar a corrente em um tempo qualquer 14 Um capacitor de 05F está associado em série com um resistor de 20 e uma fem de 10 volts Determinar a carga e a corrente no circuito 15 Um indutor de 1 H e um capacitor de 05 F estão associados em série com uma fem de 12 volts Determinar a carga e a corrente no circuito F Ó R M U L A S f t a t t 2 t n e at senbt cosbt senhbt coshbt F s 2 2 b s b 2 2 b s s 2 2 b s b 2 2 b s s f t t ne at e atsenbt e atcosbt e atsenhbt e atcoshbt F s a n 1 s n 2 2 b a s b 2 2 b a s a s 𝑏 𝑠 𝑎2 𝑏2 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎2 𝑏2 a s 1 2s 2 3s n sn 1 1 s a 7 Circuito RLC série em relação a carga 1 2 2 E t C q Rq Lq ou E t C Q dt dQ R dt L d Q em relação a Corrente 1 2 2 E t C I dt R dI dt L d I Vibrações Forçadas 2 2 F t cx kx mx ou F t kx dt dx c dt m d x Transformada de Laplace das DERIVADAS 0 y sY s L y t Y s L y t 0 0 2 y sy s Y s t L y 0 0 0 2 3 y sy s y s Y s t L y Equivalência com funções hiperbólicas 2 cosh 2 x x x x e e x e e senhx Respostas das Aplicações 1 it 6e2t 6e4t t t e e q t 4 2 2 3 3 2 3 2 t t e e x t 6 5 1 5 6 3 t t e e x t 16 4 20 1 20 1 4 it 6e2t 6e4t t t e e q t 4 2 2 3 3 2 3 5 t x t 3 0 36sen 10 6 t x t 2 cos 9 20 7 t e x t t sen 4 2 1 5 8 sen20 250 3 cos20 125 3 125 3 10 10 t e t e q t t t it 5 3 e10t sen20t 8 9 cos8 1000 59 sen8 4000 177 50 3 6 6 t e t e q t t t it 80 59 e6t sen8t 10 cos10 250 3 sen10 125 3 cos20 250 3 sen20 500 3 10 10 t t t e t e q t t t 25 cos10 6 25 sen10 3 cos20 25 6 sen20 50 9 10 10 t t t e t e i t t t 11 20 cos10 1 cos8 1000 51 sen8 4000 153 6 6 t t e t e q t t t 2 sen10 1 sen8 80 51 6 t t e i t t 12 a 694 sen10 64 697 cos10 84 cos15 697 84 sen15 2091 464 20 20 t t t e t e q t t t 694 sen10 840 697 cos10 640 cos15 697 640 sen15 2091 13060 20 20 t t t e t e i t t t b 25 sen 3 25 cos 4 5 1 25 4 2 2 t t te e q t t t 25 sen 4 25 cos 3 5 2 25 3 2 2 t t te e i t t t c 202 sen2 1 cos2 101 5 101 5 5 1 t t e t q t 101sen2 10 101cos2 1 101 1 5 1 t t e t i t d 10 sen2 1 20 cos2 1 20 1 4 t t e q t t 10 sen2 1 5 cos2 1 5 1 4 t t e i t t e 4 sen2 1 t t q t 4 sen2 1 2 cos2 1 t t t i t 13 2 1 5 2 1 10 t e q t t it 55e10t 14 t e q t 10 5 5 it 05e01t 15 t q t 2 6cos 6 t i t 2 6 2 sen