Funções Ortogonais Séries de Fourier Séries de Fourier do Seno e do Cosseno

i fx 0 π x 0 sen x 0 x π j fx 0 π2 x 0 cos x 0 x π2 k fx 0 2 x 1 2 1 x 0 1 0 x 1 0 1 x 2 l fx 0 2 x 0 x 0 x 1 1 1 x 2 m fx 1 5 x 0 1 x 0 x 5 n fx 2 x 2 x 0 2 0 x 2 o fx ex π x π p fx 0 π x 0 ex 1 0 x π 2 Utilizando o resultado do item e do exercício anterior mostre que π2 6 1 122 132 142 e π2 12 1 122 132 142 3 Com o auxílio do problema anterior ache uma série que dê o valor numérico de π2 8 4 Utilizando o resultado do item g do exercício 1 mostre que π 4 1 13 15 17 5 Utilizando o resultado do item i do exercício 1 mostre que π 4 12 113 135 157 179 Seção III SÉRIES DE FOURIER DO SENO E DO COSSENO 1 Determine se a função é par ímpar ou nenhuma das duas a fx sen 3x b fx x cos 3x c fx x2 x d fx x3 4x e fx ex f fx x5 g fx x2 1 x 0 x2 0 x 1 h fx x 5 2 x 0 x 5 0 x 2 i fx x3 0 x 2 j fx 2 x 1 2 Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos conforme o caso a fx 1 π x 0 1 0 x π b fx 1 2 x 1 0 1 x 1 1 1 x 2 c fx x π x π d fx x π x π e fx x2 1 x 1 f fx xx 1 x 1 g fx π2 x2 π x π h fx x3 π x π i fx x 1 π x 0 x 1 0 x π j fx x 1 1 x 0 x 1 0 x 1 k fx 1 2 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 1 1 x 2 l fx π 2π x π x π x π π π x 2π m fx sen x π x π n fx cos x π2 x π2 3 Determine desenvolvimentos de meiointervalo em senos e cossenos para a função dada a fx 1 0 x 12 0 12 x 1 b fx 0 0 x 12 1 12 x 1 c fx cos x 0 x π2 d fx sen x 0 x π e fx x 0 x π2 π x π2 x π f fx 0 0 x π x π π x 2π g fx x 0 x 1 1 1 x 2 h fx 1 0 x 1 2 x 1 x 2 i fx x2 x 0 x 1 j fx x2x 0 x 2 Seção I Funções Ortogonais 1 Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado a f1x x f2x x2 2 2 b f1x ex f2x xex ex 0 2 c f1x x f2x cos 2x π2 π2 d f1x x3 f2x x2 1 1 1 e f1x cos x f2x sen2 x 0 π f f1x ex f2x sen x π4 5π4 2 Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado Ache a norma de cada função do conjunto a sen x sen 3x sen 5x 0 π2 b cos x cos 3x cos 5x 0 π2 c sen nx n 123 0 π2 3 Verifique por integração direta que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada no intervalo dado a H0x 1 H1x 2x H2x 4x2 2 wx ex2 b L0x 1 L1x x 1 L2x 12 x2 2x 1 wx ex 0 Seção II SÉRIES DE FOURIER 1 Ache a Série de Fourier no intervalo dado a fx 0 π x 0 1 0 x π b fx 1 π x 0 2 0 x π c fx 1 1 x 0 x 0 x 1 d fx 0 1 x 0 x 0 x 1 e fx 0 π x 0 x2 0 x π f fx π2 π x 0 π2 x2 0 x π g fx x π π x π h fx 3 2x π x π