Lista de Exercíos 1 Calc 4b-2018 1

UNIVERSIDADE TECNOL´OGICA FEDERAL DE PARAN´A Campus Curitiba - PR Departamento Acad^emico de Matem´atica - DAMAT SEMESTRE C´ODIGO DISCIPLINA TURMA CURSO 2018-1 MA74C C´alculo 4 B S21 Engs Professor Lista de Exerc´ıcios Sala, Local e Data Per´ıodo N´ıvel F´elix G´omez Primeira E-108; E-208; CT, 18/03/2018 4 M´edio 1 S´eries de Fourier 1.] Encontre os coeficientes de Fourier da fun¸c˜ao peri´odica, f definida pela regra f(x) =    −k se − π < x < 0 k se 0 < x < π e f(x + 2π) = f(x) As fun¸c˜oes desta classe representam for¸cas externas agindo em sistemas mecˆanicos, for¸cas eletromotrizes em circuitos el´etricos etc. Observamos que o valor f(x) em um ´unico ponto n˜ao perturba a integral; logo, podemos admitir f(x) n˜ao definida em x = 0, x = π e x = −π. 2.] Reveja os m´etodos de integra¸c˜ao para as integrais com maior possibilidade de aparecer nas f´ormulas de Euler, como, por exemplo, as integrais definidas das fun¸c˜oes x cos nx, x2 sen nx, e−2x cos nx, etc. 3.] Entendemos por per´ıodo fundamental como o menor per´ıodo positivo. Encontre-o para as seguintes fun¸c˜oes a) cos x b) sen x c) cos 2x d) sen 2x e) cos πx f) sen πx g) cos 2πx h) sen 2πx 4.] Mostre que a fun¸c˜ao f = constante ´e peri´odica com qualquer per´ıodo, mas n˜ao possui per´ıodo funda- mental. 5.] O per´ıodo fundamental ´e o menor per´ıodo positivo. Encontre-o para as seguintes fun¸c˜oes a) cos nx b) sen nx c) cos 2πx k d) sen 2πx k e) cos 2πnx k f) sen 2πnx k g) cos 2πx h) sen 2πx 6.] Se as fun¸c˜oes f e g tˆem o per´ıodo T, mostre que h = af + bg onde a e b constantes, tem o per´ıodo T. Portanto, todas as fun¸c˜oes de per´ıodo T formam um espa¸co vetorial 7.] Se f tem per´ıodo T, mostre que f(ax) com a ̸= 0 e f(x/b) com b ̸= 0, s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas na vari´avel x e tˆem os per´ıodos T/a e bT respectivamente. Forne¸ca exemplos para ilustrar. 8.] Esboce ou fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao f, que tem per´ıodo 2π, e definidas por a) f(x) = x, −π < x < π b) f(x) = e−|x|, −π < x < π c) f(x) = π − |x|, −π < x < π d) f(x) = | sen 2x|, −π < xπ 9.] Mostrando os detalhes, encontre a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f dada que se sup˜oe ter o per´ıodo 2π. Esboce ou represente graficamente as somas parciais at´e a parte contendo os termos cos 5x e sen 5x a) f(x) = x2 − π < x < π b) f(x) = x2 0 < x < 2π c) f(x) =    −4x se − π < x < π 4x se 0 < x < π d) f(x) =    x2 se − π/2 < x < π/2 π2/4 se π/2 < x < 3π/2 2 S´eries de Fourier de Per´ıodo 2L 1.] Encontre a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao onda retangular peri´odica dada por f(x) =          0 se − 2 < x < −1 k se − 1 < x < 1 0 se 1 < x < 2 T = 2L = 4, L = 2 2.] Encontre a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao onda retangular peri´odica definida por f(x) =    −k se − 2 < x < 0 k se 0 < x < 2 T = 2L = 4, L = 2 3.] Um tens˜ao senoidal E sen ωt, onde t ´e o tempo, atravessa um retificador de meia-onda que absorve a por¸c˜ao negativa da onda. Encontre a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao peri´odica resultante u(t) =    0 se − L < t < 0 E sen ωt se 0 < t < L T = 2L = 2π ω , L = π ω 4.] Mostre as respostas das seguintes quest˜oes (a) Graficar a fun¸c˜ao f(x) =      −3 se − 6 < x < 0 3 se 0 < x < 6 T = 2L = 12, L = 6 (b) Encontre os coeficientes de Fourier correspondentes `a fun¸c˜ao do item anterior. (c) Escrever a s´erie de Fourier correspondente. (d) Redefinir a fun¸c˜ao nos pontos, x0 = −6, x1 = 0, x2 = 6 de maneira que a s´erie de Fourier convirja para f(x) no intervalo fechado −6 ≤ x ≤ 6. 2 5.] Encontre a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f, de per´ıodo T = 2L e fa¸ca um gr´afico ou esbo¸co das trˆes primeiras somas parciais. Mostre os detalhes das contas que fizer. a) f(x) = x2, −1 < x < 1, T = 2 b) f(x) = πx3 2 , −1 < x < 1, T = 2 c) f(x) = sen πx, 0 < x < 1, T = 1 d) f(x) = cos πx, −1 2 < x < 1 2, T = 1 e) f(x) = |x|, −1 < x < 1, T = 2 f) f(x) = 1 − x2, −1 < x < 1, T = 2 g) f(x) =    −1 se − 2 < x < 0 1 se 0 < x < 2 h) f(x) =    0 se − 2 < x < 0 4 se 0 < x < 2 T = 4 T = 4 i) f(x) =    0 se − 2 < x < 0 x se 0 < x < 2 j) f(x) =          −x se − 1 < x < 0 x se 0 < x < 1 1 se 1 < x < 3 T = 4 T = 4 l) f(x) =    1 + x se − 1 < x < 0 1 − x se 0 < x < 1 T = 2 3 Fun¸c˜oes Pares e ´Impares 1.] As seguintes fun¸c˜oes s˜ao pares, ´ımpares ou nem pares nem ´ımpares? a) |x| b) sen nx c) x + x2 d) e−|x| e) ln x f) x cosh x 2.] As seguintes fun¸c˜oes s˜ao pares, ´ımpares ou nem pares nem ´ımpares? a) sen x2 b) sen2 x c) x senh x d) | x3| e) eπx f) xex g) tan 2x h) x 1 + x2 3.] As fun¸c˜oes a seguir s˜ao, que se sup˜oem ser peri´odicas e de per´ıodo 2π, s˜ao pares, ´ımpares, ou nem pares nem ´ımpares? a) f(x) = x3 − π < x < π b) f(x) = x2 − π/2 < x < 3π/2 c) f(x) = e−4x − π < x < π d) f(x) = x3 sen x − π < x < π e) f(x) = x| x| − x3 − π < x < π f) f(x) = 1 − x + x3 − x5 − π < x < π g) f(x) =            1 1 + x2 se − π < x < 0 − 1 1 + x2 se 0 < x < π 3 4 S´eries de Fourier de Fun¸c˜oes Pares ´Impares 1.] Seja f definida no restante da reta de maneira a ser peri´odica de per´ıodo 2L tal que f(x) = x, −L < x < L e f(−L) = f(L) = 0 A fun¸c˜ao assim definida ´e conhecida como fun¸c˜ao dente de serra. Encontre a s´erie de Fourier desta fun¸c˜ao. 2.] Resolver as seguintes quest˜oes (a) Expandir a fun¸c˜ao h(x) = cos x, 0 < x < π em s´eries de Fourier de senos. (b) Como deve ser definida a fun¸c˜ao h em x = 0 e em x = π de maneira que a s´erie convirja no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ π? 3.] Considere a fun¸c˜ao f(x) = sen x, 0 < x < π. Encontre a s´erie de Fourier em cossenos. 4.] Considere a fun¸c˜ao g(x) = x, 0 < x < 3. Encontre sua expans˜ao em s´erie de Fourier no intervalo ]0, 3[ em senos e cossenos. 5.] Seja a fun¸c˜ao f : [0, π] → R tal que f(x) = x. Escreva f como uma s´erie de Fourier em a) senos b) cossenos c) cossenos e senos. Comente e justifique cada caso. 6.] Expandir em s´erie de Fourier a seguinte fun¸c˜ao: f(x) =      2 − x se 0 < x < 4 x − 6 se 4 < x < 8 T = 2L = 16, L = 8 7.] A fun¸c˜ao dada ´e para ou ´ımpar? Encontre a sua s´erie de Fourier. Fa¸ca um esbo¸co ou gr´afico da fun¸c˜ao e de algunas somas parciais. Mostre os detalhes das contas que fizer. a) f(x) = π − |x| − π < x < π b) f(x) = 2x|x| − 1 < x < 1 c) f(x) =    x se − π/2 < x < π/2 π − x se π/2 < x < 3π/2 d) f(x) =    πe−x se − π < x < 0 πex se 0 < x < π e) f(x) =    2 se − 2 < x < 0 0 se 0 < x < 2 f) f(x) =    1 − |x|/2 se − 2 < x < 2 0 se 0 < x < 6 T = 8 4 5 Expans˜oes de Meia-Escala 1.] Seja uma uma fun¸c˜ao f definida por f(x) =    1 − x se 0 < x ≤ 1 0 se 1 < x ≤ 2 Represente f como por uma s´erie em cossenos ou por uma em senos. Esboce o gr´afico da soma de cada uma dessas s´eries para −6 ≤ x ≤ 6. 2.] Encontre as duas expans˜oes, em s´eries de cossenos e s´eries de senos da fun¸c˜ao triˆangulo, f(x) =              2k L x se 0 < x < L 2 2k L (L − x) se L 2 < x < L 3.] Encontre (a) a s´erie de Fourier de cossenos, (b) a s´erie de Fourier de senos. Fa¸ca um esbo¸co de f(x) e de suas extens˜oes peri´odicas. Mostre os detalhes das contas que fizer. a) f(x) = 1 0 < x < 2 b) f(x) = x 0 < x < 1/2 c) f(x) = 2 − x 0 < x < 2 d) f(x) = x 0 < x < L e) f(x) = x2 0 < x < L f) f(x) = π − x 0 < x < π g) f(x) =    0 se 0 < x < 2 1 se 2 < x < 4 h) f(x) =    1 se 0 < x < 1 2 se 1 < x < 2 i) f(x) =    x se 0 < x < π/2 π/2 se π/2 < x < π 4.] Em cada um dos seguintes problemas ´e dada uma fun¸c˜ao f em um intervalo de comprimento L. Em cada caso, esboce os gr´aficos das extens˜oes par e ´ımpar de f de per´ıodo 2L, a) f(x) =    x se 0 ≤ x < 2 1 se 2 ≤ x < 3 b) f(x) =    0 se 0 ≤ x < 1 x − 1 se 1 ≤ x < 2 c) f(x) = 2 − x, 0 < x < 2 d) f(x) = x − 3, 0 < x < 4 e) f(x) =    0 se 0 ≤ x < 1 1 se 1 ≤ x < 2 f) f(x) = 4 − x2, 0 < x < 1 6 Convergˆencia de Fourier 1.] Seja a fun¸c˜ao f definida por, f(x) =    0 se − L < x < 0 L se 0 < x < L 5 e definida fora desse intervalo de maneira que f(x+2L) = f(x) para todo x. Deixamos temporariamente em aberto a defini¸c˜ao de f nos pontos x = 0, x = L e x = −L. Encontre a s´erie de Fourier desta fun¸c˜ao e determine onde ela converge. 2.] Encontre a expans˜ao em s´eries de Fourier da fun¸c˜ao f. Explique porque o Teorema de Fourier pode ser aplicado e calcule o valor da s´erie de Fourier em cada ponto de descontinuidade de f no intervalo [−π, π] e nos pontos x = ±π f(x) =      − sen x se − π ≤ x < 0 0 se 0 ≤ x ≤ π 7 S´eries de Fourier Complexas 1.] Fa¸ca uma revis˜ao do c´alculo, se¸c˜ao de n´umeros complexos. 2.] Mostre que os coeficientes complexos de Fourier de uma fun¸c˜ao par s˜ao reais e que os de uma fun¸c˜ao ´ımpar s˜ao imagin´arios puros. 3.] Mostre que os coeficientes de Fourier s˜ao dados por a0 = c0, an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n) 4.] Encontre a s´erie Fourier complexa das fun¸c˜oes e obtenha a partir delas a s´erie de Fourier real. a) f(x) = ex, −π < x < π e f(x + 2π) = f(x) b) f(x) = x, −π < x < π d) f(x) = x2, −π < x < π e) f(x) = x, 0 < x < 2π 5.] Encontre a s´erie de Fourier complexa da fun¸c˜ao f tal que a) f(x) =    −1 se − π < x < 0 1 se 0 < x < π. b) f(x) =    0 se − π < x < 0; 1 se 0 < x < π e obtenha a partir dela a s´erie de Fourier real. 8 Oscila¸c˜oes For¸cadas 1.] ´E conhecido que as oscila¸c˜oes for¸cadas de um corpo de massa m em uma mola de m´odulo k s˜ao gover- nadas pela EDO n˜ao homogˆenea, my′′ + cy′ + ky = r(t), y = y(t) (1) onde y(t) ´e o deslocamento em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao de repouso, c ´e a constante de amortecimento, k ´a constante da mola, de natureza el´astica e r(t) ´e a for¸ca externa dependente do tempo t. Seu an´alogo, num circuito RLC ´e governado pela EDO n˜ao homogˆenea L I′′ + RI′ + 1 C I = E′(t) 6 Se na equa¸c˜ao diferencial (1) fazemos m = 1 (g), c = 0, 05 (g/s) e k = 25 (g/s2) de maneira que (1) torna-se y′′ + (0, 05)y′ + 25y = r(t) onde r(t) ´e medida em g · cm/s2. Fazendo r(t) = π 2 + |t|, −π < t < π e r(t + 2π) = r(t). Encontre a solu¸c˜ao y de regime permanente. (a) Obtenha a f´ormula para a amplitude, Cn a partir dos coeficientes An e Bn obtidos na solu¸c˜ao do problema. (b) O que aconteceria `as amplitudes Cn e, portanto, `a forma da vibra¸c˜ao, se mud´assemos o valor da constante da mola para k = 9? E se us´assemos uma mola mais dura, com k = 81? (c) Substitua a constante de amortecimento c por 0, 02 e examine como isso altera a sa´ıda. (d) O que aconteceria se substitu´ıssemos r(t) por sua derivada (onda retangular)? Qual ´e a raz˜ao entre esse novo valor de Cn e os anteriores? 2.] Encontre a solu¸c˜ao de regime permanente da EDO n˜ao homogˆenea y′′ + cy′ + y = r(t), c > 0 para r(t) conforme dada. Mostre todos os detalhes das contas. a) r(t) = an cos nt b) r(t) = sen 3t c) r(t) = n ∑ k=1 bk sen kt d) r(t) =    πt se − π/2 < t < π/2 π(π − t) se π/2 < t < 3π/2 r(t + 2π) = r(t) 9 Aproxima¸c˜ao por Polinˆomios Trigonom´etricos 1.] Calcule o erro m´ınimo E∗ do polinˆomio F(x) com n = 1, 2, . . . , 10, 20, . . . 100 e 1000 em rela¸c˜ao a fun¸c˜ao f dada por f(x) = x + π, −π < x < π no intervalo fechado [−π, π]. 2.] Encontre o polinˆomio trigonom´etrico F(x) da forma F(x) = A0 + n ∑ k=1 (Ak cos kx + Bk sen kx) com n fixo. para o qual o erro quadrado em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao f(x) definida em −π ≤ x ≤ π ´e m´ınimo e calcule o valor m´ınimo para n = 1, 2, . . . 5 a) f(x) = x − π < x < π b) f(x) = x2 − π < x < π c) f(x) = |x| − π < x < π d) f(x) = x3 − π < x < π e) f(x) = | sen x| − π < x < π f) f(x) = e|x| − π < x < π 7 3.] Supondo que a s´erie de Fourier correspondente a f(x) converge uniformemente para f(x) no intervalo ] − L, L[, prove a seguinte identidade, 1 L ∫ L −L {f(x)}2 dx = a2 o 2 + ∑ n≥1 ( a2 n + b2 n ) 4.] Expandir a fun¸c˜ao f : R → R tal que f(x) = x no intervalo [0, 2] em s´eries de senos e s´eries de cossenos. 5.] Escreva a identidade de M. A. Parseval correspondente a s´erie de Fourier em cossenos do exerc´ıcio anterior. 6.] Calcular utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior a soma da s´erie num´erica ∑ n≥1 1 n4 . 7.] Provar que para todo M ∈ N fixo, 1 L ∫ L −L {f(x)}2 dx ≥ a2 o 2 + M ∑ n=1 [ a2 n + b2 n ] onde an e bn s˜ao os coeficientes de Fourier correspondentes a f cont´ınua por se¸c˜oes em [−L, L]. 8