Aplicação de Séries transformadas de Fourier

Sumário 1 Introdução 2 2 Desenvolvimento 3 3 Aplicações das Séries e transformadas de Fourier em EDPs 4 31 Equação da onda 5 32 Equação de Schrödinger 15 4 Conclusão 17 Referências 17 1 1 Introdução O estudo de funções matemáticas e especificamente suas implicações tanto do ponto de vista da matemática pura como também das aplicações consiste um grande ramo da análise matemática KREYSZIG 1989 Nesse contexto um fascinante tópico de estudo e pesquisa se abre as séries e transformadas de Fourier KREYSZIG 1989 ARFKEN G WEBER 2005 Com efeito as séries e a transformada de Fourier desempenham papel fundamental no es tudo de problemas físicos e matemáticos Desenvolvidas por JeanBaptiste Joseph Fourier no início do século XIX essas séries permitiram uma compreensão mais clara de fenômenos rela cionados à propagação de calor vibrações mecânicas e ondas sonoras e eletromagnéticas entre outros Historicamente Fourier apresentou suas ideias em seu trabalho Théorie analytique de la chaleurTeoria Analítica do Calor em 1822 Ele propôs que qualquer função periódica in dependentemente de suas discontínuas ou formas complexas poderia ser expressa como uma soma infinita de senos e cossenos Esta ideia era revolucionária para a época e enfrentou re sistência de seus contemporâneos que estavam acostumados com funções contínuas e suaves ARFKEN G WEBER 2005 O desenvolvimento das séries de Fourier abriu novas direções para análises matemáticas Elas forneceram uma nova metodologia para resolver equações diferenciais parciais um desafio comum na modelagem de fenômenos físicos No decorrer do século XIX matemáticos como Dirichlet e Riemann refinaram a definição e as condições sob as quais as séries de Fourier convergem para uma determinada função As séries ajudaram a inaugurar a análise harmônica e a teoria das funções de variável real A Transformada de Fourier é uma extensão natural das séries de Fourier e desempenha um papel crucial na análise de funções nãoperiódicas Enquanto as séries de Fourier são limitadas a funções periódicas a Transformada de Fourier possibilita a representação de qualquer função periódica ou não em termos de suas componentes de frequênciar GONDAR J L CIPOLATTI 2016 BOYCE W DIPRIMA 2015 Esta capacidade de decompor funções em frequências fundamentais é essencial em muitas áreas da ciência e engenharia Historicamente a Transformada de Fourier GONDAR J L CIPOLATTI 2016 começou a tomar forma no final do século XIX e no início do século XX quando matemáticos e físicos procuravam maneiras de lidar com pulsos e sinais que não se repetem Esse desenvolvimento foi ainda mais impulsionado pela revolução industrial e o advento de tecnologias que exigiam melhor compreensão e manipulação de sinais e sistemas dinâmicos Tendo isso em vista iremos nesse trabalho apresentar aplicações das séries e transformadas de Fourier na solução de alguns problemas interessantes Com efeito abordaremos os proble mas voltados para a área de EDPs em que nós resolveremos duas equações diferenciais parci ais de forma analítica usando esses métodos No primeiro problema resolveremos a equação da onda NUSSENZVEIG 2018 FEYNMAN LEIGHTON SANDS 1965 e no segundo re 2 31 Equação da onda Consideremos o problema de encontrar ux t para a corda de comprimento L 1 e c2 1 quando a velocidade inicial for zero e a deflexão inicial com pequenos valores de k for como se segue Ademais consideraremos dois casos distintos para fx que são dados por 1 fx k sin2πx 3 fx kx1 x os quais representam ux 0 fx Solução aspectos gerais Primeiramente vamos determinar as soluções de forma geral visto que temos o mesmo problema de valor inicial e os casos diferem apenas do contorno associado a deflexão sofrida pela corda Então de maneira geral nosso problema consiste em resolver a EDP da onda 2u t2 c22u x2 sob algumas condições Primeiro temos que c2 1 logo a EDP fica da seguinte forma 2u t2 2u x2 Com as condições de contorno e iniciais podemos escrever o problema de forma geral como 2u t2 2u x2 u0 t 0 u1 t 0 utx 0 0 ux 0 fx 8 e então devemos resolver 8 Observação as duas primeiras condições após a EDP são os contornos e as duas últimas condições as condições do problema no início De posse disso vamos a solução em algumas Etapas sendo essas Passo 1 Separação de variáveis Passo 2 Impor as condições de contorno Passo 3 Solução final usando a linearidade e séries de Fourier 5 Passo 1 Vamos usar o método de separação de variáveis assim buscaremos uma solução ux t da forma ux t ϕxgt Então levando na EDP temos 2u x2 2u t2 2ϕxgt x2 2ϕxgt t2 9 gt2ϕx x2 ϕx2gt t2 10 1 ϕx 2ϕx x2 1 gt 2gt t2 11 Como as equações acima estão postas unicamente numa mesma variável e temos uma igual dade então isso nos mostra que ambos os lados da igualdade acima são constantes portanto podemos separálas por uma constante de integração a qual colocaremos como sendo p2 onde p R com efeito teremos 1 ϕx d2ϕx dx2 p2 1 gt d2gt dt2 p2 Então organizando as equações acima obtemos d2ϕx dx2 p2ϕ 0 d2gt dt2 p2g 0 Agora vamos resolver cada uma das equações Por sorte ambas são essencialmente o mesmo tipo de equação diferendo apenas pela variável x e função incógnita Assim resolveremos a seguinte EDO mais geral d2yq dq2 p2y 0 12 Para resolvermos essa EDO buscamos uma solução do tipo yq erq o que nos dá o seguinte 6 ux t ϕxgt 13 A cospx B sinpxC cospt D sinpt 14 Condições de contorno Impondo as condições de contorno temos que u0 t 0 e u1 t 0 para todo t logo isso nos dá i u0 t 0 u0 t ϕ0gt 0 15 u1 t 0 u1 t ϕ1gt 0 16 logo isso nos dá que ϕ0 ϕ1 0 no entanto sabemos a forma de ϕ logo para esses casos teremos ϕ0 0 A cos0 B sin0 0 A cos0 0 A 0 logo a constante A é determinada sendo nula Agora para a outra condição teremos ϕ1 0 B sinp 0 B sinp 0 evidentemente B não pode ser zero pois caso fosse teríamos que ϕx 0 para todo x o que é falso Logo devemos ter que sinp 0 ou seja sinp 0 p arcsin0 p πn onde n é um inteiro Com isso obtemos a seguinte solução para ϕx ϕx B sinnπx Ademais como obtemos uma forma para p a solução gt também modificase dessa vez 8