Notas de Aula: Introdução às Equações Diferenciais Parciais

Notas de Aula Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais Rodney Josue Biezuner 1 Departamento de Matematica Instituto de Ciˆencias Exatas ICEx Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Notas de aula da disciplina Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais dos Cursos de Bacharelado em Matematica e Matematica Computacional lecionada pelo autor durante trˆes semestres entre 2005 e 2007 12 de outubro de 2007 1Email rodneymatufmgbr homepage httpwwwmatufmgbrrodney Sumario 0 Introducao 5 01 Conducao do Calor em uma Barra 5 011 Modelagem Fısica e Matematica do Problema 5 012 Algumas Formas mais Gerais para a Equacao do Calor 9 013 Condicao Inicial e Condicao de Fronteira 10 014 Solucao do Modelo Matematico O Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier 11 015 Exercıcios 15 02 Leis de Conservacao e Relacoes Constitutivas 15 021 Lei de Conservacao Unidimensional 15 022 Lei de Conservacao em Varias Dimensoes 17 023 Relacoes Constitutivas 18 024 Exercıcios 19 1 Series de Fourier 20 11 Propriedades das Funcoes Seno e Cosseno 20 111 Periodicidade 20 112 Relacoes de Ortogonalidade 22 113 Produto Interno no Espaco das Funcoes QuadradoIntegraveis 23 114 Exercıcios 24 12 Calculo dos Coeficientes da Serie de Fourier 25 13 Teorema de Fourier 27 131 Existˆencia da Serie de Fourier 28 132 Funcoes Contınuas por Partes 28 133 O Teorema de Fourier 30 134 Estimativa dos Coeficientes de Fourier 33 135 Series de Fourier de Funcoes Pares e Impares 36 136 Extensoes Periodicas Pares e Impares de Funcoes Definidas em Intervalos 38 137 Exercıcios 40 14 Convergˆencia da Serie de Fourier 43 141 Convergˆencia Puntual da Serie de Fourier Demonstracao do Teorema de Fourier 43 142 Diferenciacao e Integracao Termo a Termo da Serie de Fourier 48 143 Desigualdade de Bessel 53 144 Convergˆencia Uniforme da Serie de Fourier 55 145 Identidade de Parseval 57 146 Sistemas Ortogonais 61 147 Exercıcios 62 1 Rodney Josue Biezuner 2 2 Equacao do Calor Unidimensional 63 21 Existˆencia Unicidade e Estabilidade da Solucao para o Problema de Dirichlet 63 211 Existˆencia de Solucao para o Problema de Dirichlet 65 212 Princıpio do Maximo 70 213 Unicidade e Estabilidade de Solucoes para o Problema de Dirichlet Geral 71 22 Problema de Dirichlet Nao Homogˆeneo 73 23 Problema de Neumann 74 24 Problema de Robin 76 25 Unicidade de Solucao para os Problemas de Neumann e Robin 79 26 Problemas Gerais 81 261 Equacao do calor naohomogˆenea com fonte independente do tempo 81 262 Equacao do calor naohomogˆenea com fonte dependente do tempo 83 263 O problema geral 84 27 Alguns problemas especıficos de conducao do calor 85 271 Problema da barra com conveccao de calor em um extremo 85 272 Condicoes de fronteira de Robin complexas 87 273 Problema do anel circular fino 87 28 Solucao da Equacao do Calor em R Nucleo do Calor 88 281 Solucao do Problema de Cauchy 89 282 O Princıpio do Maximo em R 92 29 Exercıcios 93 3 Equacao da Onda Unidimensional 97 31 Modelo Matematico da Corda Vibrante 97 311 Vibracoes Livres 97 312 Condicoes Iniciais e de Fronteira 98 313 Solucao da Equacao da Onda 99 314 Outros Tipos de Vibracao 99 32 Solucao pelo Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier 100 321 Exercıcios 104 33 A Solucao de DAlembert 106 331 Solucao Geral da Equacao da Onda 106 332 Solucao do Problema de Dirichlet para a Equacao da Onda pelo Metodo de DAlembert108 34 Solucao da Equacao da Onda em R 111 341 Corda Infinita 111 342 Domınio de Dependˆencia e Cone de Influˆencia 112 343 Fenˆomeno de Huygens 112 344 Exercıcios 113 35 Harmˆonicos Energia da Corda e Unicidade de Solucao para a Equacao da Onda 113 351 Harmˆonicos 113 352 Energia da Corda 114 353 Unicidade de Solucao para a Equacao da Onda 117 36 Apˆendice Corda Suspensa 118 4 Equacoes Diferenciais Parciais Bidimensionais 120 41 Series de Fourier Duplas 120 411 Definicao e Calculo dos Coeficientes 120 412 Funcoes de Duas Variaveis Pares e Impares 122 42 A Equacao da Onda Bidimensional 123 421 Problema da Membrana Vibrante 123 Rodney Josue Biezuner 3 422 Solucao do Problema da Membrana Vibrante pelo Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier 123 423 Linhas Nodais 126 43 A Equacao do Calor Bidimensional 126 431 Deducao da Equacao do Calor Tridimensional 126 432 Equacao do Calor Bidimensional 128 433 Solucao do Problema da Conducao do Calor na Chapa Retangular com Margens Man tidas a Temperatura Zero por Separacao de Variaveis e Series de Fourier 129 434 Solucao do Problema da Conducao do Calor na Chapa Retangular Termicamente Iso lada por Separacao de Variaveis e Series de Fourier 131 44 Exercıcios 132 5 A Equacao de Laplace 134 51 Solucao da Equacao de Laplace no Retˆangulo 135 511 Exercıcios 137 52 O Princıpio do Maximo Fraco e a Unicidade de Solucao para a Equacao de Laplace 138 53 Solucao da Equacao de Poisson no Retˆangulo 139 531 Exercıcios 140 54 A Equacao de Laplace no Disco 140 541 A Equacao de Laplace em Coordenadas Polares 140 542 Solucao da Equacao de Laplace no Disco pelo Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier 142 543 Exercıcios 144 55 Funcoes Harmˆonicas e o Princıpio do Maximo Forte 145 551 Identidades de Green 145 552 Funcoes Harmˆonicas e as Propriedades do Valor Medio 147 553 Princıpio do Maximo Forte 149 554 Desigualdade de Harnack 149 56 Solucao da Equacao de Laplace atraves de Funcoes de Green 150 561 Solucao Fundamental da Equacao de Laplace 150 562 Funcao de Green 153 563 Propriedades da Funcao de Green 155 564 Solucao da Equacao de Laplace em Bolas Formula Integral de Poisson 156 565 Exercıcios 159 6 A Equacao da Onda no Disco Vibracoes de uma Membrana Circular 160 61 A Membrana Circular Vibrante Vibracoes Radiais 160 62 Funcoes de Bessel 161 621 Funcoes de Bessel do Primeiro Tipo 162 622 A Funcao Gama 166 623 Exercıcios 166 624 Formulas de Recursao para as Funcoes de Bessel 167 625 Funcoes de Bessel do Segundo Tipo 169 626 Zeros das Funcoes de Bessel 170 63 Series de Funcoes de Bessel e a Solucao do Problema da Membrana Circular Vibrante 173 631 Ortogonalidade das Funcoes de Bessel 173 632 Series de Bessel de ordem p 175 633 Solucao do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial 175 64 A Membrana Circular Vibrante Vibracoes Gerais 176 Rodney Josue Biezuner 4 7 Equacao de Laplace em Domınios Tridimensionais Simetricos 180 71 A Equacao de Laplace em um Cilindro 180 711 A Equacao de Laplace em Coordenadas Cilındricas 180 712 Solucao de um Problema de Laplace no Cilindro 180 713 Funcoes de Bessel Modificadas 182 714 Solucao de outro Problema de Laplace no Cilindro 183 72 A Equacao de Laplace em uma Bola 184 721 A Equacao de Laplace em Coordenadas Esfericas 184 722 A Equacao de Legendre e Polinˆomios de Legendre 185 723 Series de Polinˆomios de Legendre 188 724 Solucao da Equacao de Laplace na Bola com Simetria Radial 189 8 Transformada de Fourier 191 81 A Integral de Fourier 191 811 Exercıcios 193 82 A Transformada de Fourier 194 821 Definicao 194 822 Propriedades Operacionais 197 823 Transformada de Fourier da Funcao Gaussiana 200 824 Tabela de Transformadas de Fourier 202 825 Exercıcios 203 83 O Metodo da Transformada de Fourier 204 831 A Equacao do Calor para uma Barra Infinita 205 832 A Equacao da Onda em uma Corda Infinita 206 833 Exercıcios 207 Capıtulo 0 Introducao Uma equacao diferencial parcial EDP e uma equacao matematica envolvendo derivadas parciais Uma solucao para uma equacao diferencial parcial e uma funcao cujas derivadas parciais satisfazem a equacao Dizemos que uma equacao diferencial parcial tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais alta tem ordem m A maioria das equacoes diferenciais parciais surgem de modelos fısicos Uma outra classe importante surge de problemas em geometria diferencial Nestas notas cada equacao que estudarmos sera precedida pela introducao de um modelo fısico O modelo fısico alem de prover uma motivacao para o estudo de determinada equacao por que estudar exatamente esta equacao diferencial parcial ja que existem infinitas outras possibilidades matematicas sugere as propriedades matematicas que as solucoes desta equacao devem ter e muitas vezes metodos para resolvˆela ou ate mesmo a expressao exata da solucao Como exemplos de areas que sao altamente dependentes do estudo de EDPs destacamos as seguintes acustica aerodinˆamica elasticidade eletrodinˆamica dinˆamica dos fluidos geofısica propagacao de ondas sısmicas transferˆencia do calor meteorologia oceanografia otica prospeccao de petroleo fısica do plasma mecˆanica quˆantica relatividade circulacao de fluidos dentro de organismos vivos e crescimento de tumores Nesta introducao veremos como muitas equacoes diferenciais parciais importantes surgem atraves de leis de conservacao Veremos antes um exemplo concreto a equacao do calor unidimensional que e a forma diferencial da lei de conservacao da energia termica Alem disso introduziremos um metodo de solucao para equacoes diferenciais parciais lineares o metodo de separacao de variaveis e o uso de series de Fourier cuja teoria sera desenvolvida a partir do primeiro capıtulo 01 Conducao do Calor em uma Barra 011 Modelagem Fısica e Matematica do Problema Considere uma barra uniforme de comprimento L feita de material homogˆeneo condutor de calor Por barra uniforme entendemos que ela e geometricamente gerada pela translacao de uma determinada figura geometrica plana na direcao perpendicular ao seu plano em outras palavras um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geometrica como por exemplo um disco cilindro circular reto uma elipse cilindro elıptico reto um triˆangulo prisma reto um retˆangulo paralelepıpedo reto ou qualquer outra figura geometrica plana Em particular a sua secao transversal e sempre igual a esta figura e portanto tem area constante que denotaremos por A Suponha que a superfıcie lateral da barra esteja isolada termicamente de modo a nao permitir transferˆencias de calor atraves dela com o ambiente Transferˆencias de calor se e que acontecem podem ocorrer apenas atraves das extremidades da barra A uniformidade da barra a homogeneidade do material e o isolamento termico lateral implicam que o fluxo de calor acontece somente na direcao longitudinal isto e ao longo do comprimento da barra 5 Rodney Josue Biezuner 6 Portanto este e um problema de conducao de calor unidimensional Em outras palavras as variaveis fısicas sao constantes em cada secao transversal da barra podendo variar apenas de uma secao para outra Consideremos a barra posicionada no eixo x com uma das extremidades na origem x 0 logo a outra extremidade ocupa a posicao x L Queremos determinar como a temperatura em cada ponto da barra varia a medida que o tempo passa Para isso vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra Inicialmente considere duas secoes transversais da barra localizadas em x e x x delimitando uma fatia da barra Atraves destas secoes calor flui entra ou sai para ou desta fatia Denotaremos o fluxo de calor isto e a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de area por φx t no SI o fluxo de calor tem como unidades Joulesm2s φx t fluxo de calor quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de area Se φx t 0 o calor esta fluindo para a esquerda A quantidade total de calor que entra na fatia por unidade de tempo e dada pela diferenca entre a quantidade de calor que entra pela secao transversal em x e a quantidade de calor que sai pela secao transversal em x x isto e φx tA φx x tA E claro que calor pode sair da fatia pela secao transversal em x se φx t 0 assim como calor pode entrar na fatia pela secao transversal em x x se φx x t 0 se a diferenca acima for negativa entao o resultado final e que calor sai da fatia Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em funcao das temperaturas nas secoes transversais que delimitam a fatia atraves da Lei de Conducao do Calor de Fourier esta lei foi empiricamente observada por Fourier Lei de Conducao do Calor de Fourier Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo material e de mesma area igual a A mantidas a temperaturas constantes respectivas T1 e T2 Se elas forem colocadas paralelamente a uma distˆancia d uma da outra havera passagem de calor da placa mais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra por unidade de tempo ou seja a taxa de transferˆencia de calor medida em Jouless e dada por Φ kAT2 T1 d Rodney Josué Biezuner 7 onde k uma constante especifica do material entre as placas chamada condutividade térmica do material Denotemos uxt temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t As segées transversais da barra localizadas em x e x Ax fazem o papel das duas placas P e Px Denote as temperaturas nestas segoes no instante de tempo t por T uxt e Tz ua Azt Entao pela Lei de Fourier o fluxo de calor na direcao positiva do eixo x que passa pela secao transversal localizada em x é dado por lembrese que o fluxo de calor é definido como sendo a taxa de transferéncia de calor por unidade de drea ux Awt uat xt lim k2 ku 2t O Ax0 Ax o de modo que quando a temperatura cresce com 2 uz é positivo mas o calor flui para a esquerda portanto é negativo se a temperatura decresce com 2 uz é negativo e o calor flui para a direita portanto é positivo Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posig6es x ae x b Vamos calcular a quantidade total de calor que entra neste segmento no perfodo de tempo que vai de tg até t Esta é a diferenca entre o calor que entra na secao transversal que ocupa a posicao x a e o calor que sai pela secao transversal que ocupa a posicgao x b durante o periodo de tempo considerado ty ti Q aatAat ob tA dt to to ti kAlusb t uz a t dt to Mas pelo Teorema Fundamental do Calculo podemos escrever b uz bt Usat Uae a t dx a Logo como k é constante pois assumimos que a barra é feita de um tinico material homogéneo temos ty b Q ba Une xt dxdt 1 to a Por outro lado também é observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por uma substancia em um periodo de tempo é diretamente proporcional 4 massa desta substancia e 4 variagao média de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado Q cmAu A constante de proporcionalidade denotada por c depende de cada substancia e é chamada o calor espectfico da substancia em outras palavras o calor especifico nada mais é que a quantidade de calor necessaria para elevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substancia no I o calor especifico tem como unidades JouleskgK Embora o calor especffico de uma substancia em geral varie com a temperatura em que ela se encontra isto 6 c cu para diferengas de temperaturas nao muito grandes o calor especifico é aproximadamente constante Aplicamos esta lei empirica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posigdes x ae x b A variagaéo média da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de tg até t é obtida tomandose a média das variagoes médias das temperaturas de todos os pontos da barra ou seja 1 b Au a uat uato da baJ Rodney Josué Biezuner 8 Pelo Teorema Fundamental do Calculo segue que 1 b ty Au al ue at dz ba Ja Site Logo a quantidade de calor absorvida por este segmento é dada por b ty cm Q cmAu ux t dt da balJa Jt sendo m a massa deste segmento e c o calor especifico do material que constitui a barra Por outro lado escrevendo m pAb a onde p é a densidade volumétrica da barra e trocando a ordem dos limites de integracao obtemos ty b Q cp uz a t dxdt 2 to a Igualando as duas expressdes obtidas em 1 e 2 para a quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x ae x b no periodo de to até t obtemos a equacao do calor em sua forma integral ti b ty b ux t dadt a Une x t dxdt to a to a Mas ab to t sao arbitrarios logo os integrandos sao necessariamente iguais e assim obtemos a equacao do calor na sua forma diferencial 3 k onde K 6 chamada a difusividade térmica do material A equacao 3 é chamada simplesmente cp a equagao do calor e representa a lei de variacéo da temperatura uxt de uma barra uniforme com superficie lateral termicamente isolada Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar do tempo um processo fisico conhecido como difusao Outras quantidades fisicas também se difundem seguindo esta mesma equacao diferencial parcial em situacdes unidimensionais como por exemplo a concentracaéo de substancias quimicas tais como perfumes ou polutantes e por este motivo a equacao 3 também é chamada mais geralmente de equacao de difusao Observagao A forma diferencial da equagao do calor também pode ser obtida mais diretamente De fato diferenciando a lei de Fourier xt kuzat em relagao a x obtemos Por outro lado vimos acima que ty b ti Q ob t datAdt cp ux t dt da to a to Agora ao invés de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter 1 usamos o Teorema Fundamental do Calculo para escrevéla na forma ty ty b J oe ofaniad fF dalet ae at to to a Rodney Josué Biezuner 9 Logo b pty bd pty ox xt dt dx co uza t dt dx a to a to Como a btot sao arbitrarios os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equacao be Cput 5 Igualando as expressoes 4 e 5 para obtemos novamente a equacao do calor 012 Algumas Formas mais Gerais para a Equacao do Calor Pode acontecer que a condutividade térmica ao longo da barra nao seja constante mas dependa de x Esta situagao pode ocorrer por exemplo se tivermos uma barra formada por varias barras cada uma delas constitufda por um material diferente Neste caso usando a lei de Fourier como fizemos para obter 1 desta vez segue que ti Q Albbus0t Kaus at at to e usamos o Teorema Fundamental do Calculo para escrever b Kuabst hausat ff heusetln de a de modo que ty b Q al ha us x to dxdt to a Do mesmo modo pode ocorrer que o calor especifico do material que constitui a barra varie com x assim como a sua densidade linear o que certamente ocorreré na situacao dada acima como exemplo Logo ty b Q al Cx px uza t dadt to a Portanto nesta situacao a equacao do calor que descreve a variacao da temperatura da barra com o passar do tempo se torna Cx px ur kxUele 6 Esta equacao é chamada a equagao do calor na forma divergente Pode também ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regioes da barra devida por exemplo a reacoes quimicas nucleares ou aquecimento elétrico Denotemos qat quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo A quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x a e x b no periodo de to até ty devido ao fendmeno de condugao do calor ao longo da barra deve ser somada a quantidade de calor gerada internamente no segmento durante este periodo antes de igualar 4 expressao obtida em 2 isso nada mais é que a lei de conservacao do calor um caso particular da lei de conservacaéo da energia Pela definigao de qat este calor gerado internamente é dado por ty b qx tA dadt to a Portanto temos que ti b ty b kun x t qx t dxdt uzax t dadt to a to a Rodney Josue Biezuner 10 e daı obtemos a equacao ut Kuxx qx t 7 E claro que nada impede que as duas situacoes acima ocorram simultaneamente Neste caso a equacao completa que descreve o fenˆomeno da conducao de calor na barra sera cxρxut kxuxx qx t 8 013 Condicao Inicial e Condicao de Fronteira A equacao do calor 3 tem um numero infinito de solucoes Por exemplo qualquer funcao constante ux t C ou afim ux t Ax B onde A B C sao quaisquer constantes reais satisfazem 3 Um problema fisico real no caso a distribuicao de temperaturas em uma barra deve ter uma solucao unica Portanto e necessario impor restricoes adicionais sobre o problema de modo que possamos obter uma solucao unica para a equacao do calor Intuitivamente parece obvio que a distribuicao de temperaturas na barra ao longo do tempo depende da distribuicao inicial de temperaturas chamada a condicao inicial do problema ux 0 fx Esta e a unica condicao inicial necessaria Matematicamente esta necessidade e expressa pelo fato da equacao diferencial parcial 3 possuir uma derivada parcial em relacao ao tempo de primeira ordem como no caso de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem em que e necessario saber apenas uma condicao inicial o valor da funcao no instante inicial para se conhecer a solucao unica da equacao Alem disso a distribuicao de temperaturas na barra ao longo do tempo tambem deve depender do que se passa nas extremidades da barra que podem nao estar isoladas termicamente e portanto podem permitir a entrada ou saıda de calor influindo na distribuicao de temperaturas na barra com o passar do tempo As condicoes nas extremidades da barra sao chamadas de condicoes de fronteira Matematicamente isso se deve ao fato da equacao diferencial parcial 3 depender tambem da variavel x Podemos imaginar varios tipos de condicoes de fronteira para o problema da barra 1 Extremidades mantidas a temperaturas constantes u0 t T1 e uL t T2 2 Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com funcoes conhecidas u0 t g1t e uL t g2t 3 Extremidades isoladas termicamente ou seja o fluxo de calor atraves das extremidades e nulo e a barra esta completamente isolada ux0 t uxL t 0 4 Fluxo de calor atraves das extremidades conhecido ux0 t h1t e uxL t h2t 5 Combinacao de quaisquer duas das condicoes acima u0 t 0 e uxL t 0 Rodney Josue Biezuner 11 Com uma condicao inicial e qualquer uma destas condicoes de fronteira o problema matematico esta bem posto admitindo uma unica solucao conforme veremos em detalhes em um capıtulo posterior Uma condicao do tipo 1 ou 2 em que sao dados valores para a solucao da equacao diferencial parcial na fronteira e chamada uma condicao de Dirichlet Uma condicao do tipo 3 ou 4 em que sao dados valores para a derivada da solucao da equacao diferencial parcial na fronteira em relacao a variavel espacial e chamada uma condicao de Neumann Uma condicao mista envolvendo tanto o valor da solucao como o de sua derivada espacial na fronteira exemplificada pela condicao do tipo 5 e chamada uma condicao de Robin Observacao O fato da equacao do calor 3 ter uma derivada parcial em relacao a variavel x de segunda ordem nao tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condicoes de fronteira Se fˆossemos usar a analogia com equacoes diferenciais ordinarias seria por exemplo suficiente especificar u0 t e ux0 t mas este tipo de problema nao tem solucao em geral e chamado sobredeterminado O fato de precisarmos de duas condicoes de fronteira e uma simples consequˆencia da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos no caso a fronteira do segmento 0 L e formada pelos pontos 0 e L Na verdade essencialmente temos apenas uma condicao de fronteira o que ocorre e que no caso de um segmento a fronteira e desconexa e esta condicao de fronteira e mais facilmente expressa por duas sentencas Este conceito ficara mais claro quando estudarmos equacoes diferenciais parciais em regioes do plano e do espaco Uma condicao de fronteira de grande interesse pratico ocorre quando a barra esta em contato com um fluido em movimento como ar ou agua Como exemplo desta situacao imagine uma barra quente em contato com ar mais frio em movimento Calor deixa a barra aquecendo o ar que leva o calor embora no conhecido processo de conveccao Experimentos mostram que o fluxo do calor que deixa a barra e proporcional a diferenca de temperatura entre a barra e a temperatura exterior Kux0 t Hu0 t T T e a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H e chamada o coeficiente de transferˆencia de calor ou coeficiente de conveccao a constante H depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido tais como sua velocidade Esta e a chamada lei de resfriamento de Newton Note que esta condicao de fronteira envolve uma combinacao linear entre u e ux e e uma condicao de Robin Como pela lei de Fourier o fluxo de calor e dado por φ kux temos que φ0 t kHu0 t T de modo que se a barra esta mais quente que o ambiente exterior u0 t T o fluxo e negativo isto e na direcao negativa do eixo x saindo da extremidade da barra localizada em x 0 para o ambiente externo e viceversa Por causa disso no caso da outra extremidade localizada no ponto x L a lei de resfriamento de Newton deve entao ser escrita na forma KuxL t HuL t T 014 Solucao do Modelo Matematico O Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier O modelo matematico que obtivemos para a distribuicao de temperaturas com o passar do tempo em uma barra cuja superfıcie lateral esta isolada termicamente e uma equacao diferencial parcial com condicao inicial e condicao de fronteira Vamos tentar resolver o problema especıfico em que as extremidades da barra estao mantidas a temperatura constante igual a 0 correspondente ao primeiro problema de Dirichlet da subsecao anterior ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 fx se 0 x L u0 t uL t 0 se t 0 9 Tentaremos resolver este problema pelo chamado metodo de separacao de variaveis No metodo de separacao de variaveis supomos que a solucao ux t do problema pode ser escrita como o produto de duas funcoes de uma variavel uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t ux t FxGt 10 Rodney Josué Biezuner 12 Esta é apenas uma suposicao que pode ou nao ser correta na verdade veremos que em geral esta suposigaéo esta errada mas ainda assim ela nos ajudardé a encontrar a solucgao correta para o problema A vantagem de fazer esta suposicao é que ela simplifica consideravelmente o problema transformando um problema de encontrar a solugao de uma equagao diferencial parcial que nao sabemos como resolver em um problema de encontrar a solugao de uma equagao diferencial ordinaria que sabemos resolver De fato substituindo 10 na equacao do calor obtemos FaGt KF xGt donde Fx 1 Gt Fx K Gt Note que o lado esquerdo desta equacao depende apenas de x enquanto que o lado direito depende apenas de t Isso sé pode ser possivel se na verdade ambos os lados forem independentes de z e ft isto é PF 1 Git Pi 1GO Fa K Git onde o R é uma constante Portanto o problema se reduz a resolver duas equacoes diferenciais ordinarias e A equagao diferencial de segunda ordem B oF a O paraQa2L e A equagao diferencial de primeira ordem GtoKGtO0 2 para t 0 Vamos resolver primeiro 11 Fazemos isso apesar dela seruma equagao maiscomplexa que 12 porque as condigoes de fronteira de 9 implicam que F satisfaz as condigoes F0 FL 0 13 De fato a condigdo de fronteira u0t 0 implica que F0Gt 0 para todo t 0 o que por sua vez implica que F0 0 a menos que Gt 0 para todo o que significaria que u 0 uma solugdo que nao nos interessa exceto no caso raro em que a condicao inicial seja também f 0 similarmente a condicaéo de fronteira uLt FLGt 0 implica que FL 0 Assim apesar da equacao 11 ser mais complexa ela esta sujeita a restrigdes o que nao ocorre com a equacao 12 a condigdéo 13 restringe as soluc6es de 11 o que ultimamente limitara os valores possiveis de 7 Em principio ha trés solug6es possiveis dependendo do sinal de o 1 o 0 Neste caso a solugao geral de 11 6 da forma Fa cyeY cgeV Logo a condigao 13 implica que as constantes reais c1c2 devem satisfazer o sistema ci tcg 0 cyeVO c9e7 VIX 0 Mas a unica solugao deste sistema é c cz 0 o que levaria a F 0 portanto u 0 solugao que nao nos interessa a nao ser que a condicao inicial fosse ux 0 0 Rodney Josué Biezuner 13 2 0 IW solugio geral de 11 neste caso 6 da forma Fa ca eg A condicao 13 implica que as constantes reais c1c2 devem satisfazer o sistema c 0 qlbea0 cuja unica solugdo também é c cz 0 e novamente F 0 0 que nao nos interessa 3 0 Denotando 4 o a solugao geral de 11 neste Ultimo caso é da forma Fa c cos X cy sen XX A condicao 13 implica que as constantes reais c1c2 devem satisfazer o sistema cq 0 cgsenAL0 Como nao queremos cz 0 devemos ter sen AL 0 0 que implica AL nz onde n N pode ser um inteiro positivo qualquer Portanto para cada valor de n uma solugaéo nao nula para o problema 11 13 é da forma nt i IE a 14 por este motivo chamada uma autofungao para o problema 11 13 associada ao autovalor 22 yg wa A equagao 12 é imediatamente resolvida através de uma integracao simples A solugdo de 12 é da forma Gt ce onde R é uma constante real Comovorvalorde o para queo problema 9 tena solugées nao nulas6 0 dado em 15 segue que para cada valor de n temos uma solugao relevante de 12 dada por a menos da Ponstente nx yey Gae 2 16 Segue que para cada n 1 23 temos uma fungao nin nt Un apt 2 sen z que é uma solucaéo para a equagéo diferencial parcial do problema 9 satisfazendo as suas condigdes de fronteira Por outro lado precisamos de uma solugao que também satisfaga a condigao inicial ux 0 fx Logo as solucdes que encontramos sé funcionam se a fungao fx tem uma forma muito particular ou seja se fx for um miiltiplo escalar da fungao seno Por exemplo se fx 3sen oa entao 9 tem solugaéo uxt 3u1 5 se fx 17sen Fe entao 9 tem solucaéo uxt 17us Rodney Josué Biezuner 14 E ébvio que isso raramente ocorre Na verdade porém ainda podemos obter solugdes para o problema 9 a partir destas solucées se fx for apenas uma combinagao linear de senos Por exemplo T on se fx 3sen re 25 sen Th entao 9 tem solugdo uxt 3u1 25u9 Qn 2 227 9017 2 se fx 4sen Zt7 ssa ze V5sen entao 9 tem solugéo uazt 4u2 3 U2 V5ugo1 Isso 6 verdade porque a equagao do calor é uma equagao linear o que significa que combinagoes lineares de solugoes da equagao diferencial sao também solugoes da equagao diferencial e além disso as condigdes de fronteira de 9 sio homogéneas logo combinac6es lineares de solug6es que satisfazem as condicgdes de fronteira continuam satisfazendo as condicgoes de fronteira veja o Exercicio 01 Assim qualquer expressao N uzyt a Cr Up yt n1 é uma solugdo da equagio do calor satisfazendo as condigées de fronteira em 9 Em particular se N nt Oo a Go Sem as n1 segue que a ng Kt nh wayt SO cre 2 sen a 17 o n1 Mas na maioria dos casos a temperatura inicial f nao é uma combinagao linear de senos Entao Fourier em 1807 teve a idéia de tomar combinac6es lineares infinitas isto é séries infinitas assumindo que toda fungao pode ser escrita como uma série infinita de senos Em outras palavras assumindo que podemios escrever toda fungao f na forma eo nt ia bs Gy sen n1 para certos coeficientes bem determinados c o que atualmente chamamos a série de Fourier de f entaovo oe ns Key nt uayt YO ene 2 sen z 18 n1 Isso nos leva as seguintes indagacoes 1 Serd que toda fungao fx realmente pode ser escrita como uma série de Fourier 2 Se a resposta a pergunta anterior for negativa quais sao as fungoes que possuem séries de Fourier Sera que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidade significativa das fungoes que surgem nos problemas praticos 3 Mesmo que fa possa ser representada por uma série de Fourier seré que a série definida acima para uat converge para uma fungao diferencidvel em t e duas vezes diferencidvel em x que é a solugao de 9 Rodney Josue Biezuner 15 Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as series de Fourier Faremos isso no proximo capıtulo Observacao Note que nem o candidato a solucao 18 e nem mesmo a solucao 17 sao produtos de duas funcoes de uma variavel uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t elas sao na realidade somas de produtos de funcoes de uma variavel soma finita em um caso soma infinita no outro Portanto a suposicao inicial de que partimos no metodo de separacao de variaveis e errada para a maioria das condicoes iniciais a nao ser que elas sejam multiplos de sennπxL Mas usando a linearidade da equacao do calor pudemos usar as solucoes obtidas atraves do metodo de separacao de variaveis e a partir delas construir a solucao para o problema geral Este e um metodo frequentemente usado em ciˆencias exatas simplificar um problema complexo atraves de uma suposicao que em geral nao e valida mas a partir da solucao para o problema simplificado construir a solucao correta para o problema complicado 015 Exercıcios Exercıcio 01 Mostre que a equacao do calor e linear isto e se u1x t e u2x t sao solucoes da equacao diferencial parcial ut Kuxx entao au1x t bu2x t tambem e quaisquer que sejam a b R Alem disso se elas satisfazem as condicoes de fronteira homogˆeneas u0 t uL t 0 entao au1x t bu2x t tambem satisfaz Exercıcio 02 Mostre que a equacao mais geral do calor cxρxut Kxuxx qx t tambem e uma equacao linear Exercıcio 03 Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato a solucao para o seguinte problema de valor inicial com condicao de fronteira de Neumann homogˆenea ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux0 t uxL t 0 se t 0 ux 0 fx se 0 x L 02 Leis de Conservacao e Relacoes Constitutivas 021 Lei de Conservacao Unidimensional A deducao da equacao do calor e um exemplo de uma situacao bem mais geral Muitas das equacoes fundamentais que aparecem nas ciˆencias naturais sao obtidas atraves de leis de conservacao Leis de conservacao sao essencialmente leis de balanceamento expressando o fato de que alguma substˆancia e balanceada Aqui o termo substˆancia pode indicar uma substˆancia realmente material ou ate mesmo um conceito abstrato tal como energia ou uma populacao de animais Por exemplo a primeira lei da ter modinˆamica e a lei de conservacao da energia a variacao de energia interna de um sistema e igual ao calor total adicionado ao sistema mais o trabalho realizado sobre o sistema Como outro exemplo considere um fluido escoando em alguma regiao do espaco consistindo de substˆancias sofrendo reacoes quımicas para cada substˆancia quımica individual a taxa de variacao da quantidade total da substˆancia na regiao e igual a taxa com que a substˆancia flui para dentro da regiao menos a taxa com que ela flui para fora da regiao mais a taxa com que ela e criada ou consumida pelas reacoes quımicas Como ultimo exemplo a taxa de variacao de uma dada populacao de animais em uma regiao e igual a taxa de nascimentos menos a taxa de mortes mais a taxa de migracao para dentro ou fora da regiao Matematicamente leis de conservacao traduzemse em equacoes integrais de onde podem ser deduzidas equacoes diferenciais na maior parte dos casos Estas equacoes descrevem como o processo evolui com o tempo Por este motivo elas sao tambem chamadas de equacoes de evolucao Vamos examinar primeiro o caso unidimensional Rodney Josué Biezuner 16 Seja u uz t a densidade ou concentragéo de alguma substancia por unidade de volume que depende apenas de uma varidvel espacial R e do tempo t 0 Novamente enfatizamos que a substancia cuja densidade estamos medindo pode ser massa momento energia populacao ou qualquer outra coisa material ou abstrata Por exemplo no caso da equacao do calor a temperatura u é uma medida da densidade de energia térmica De fato se eat denota a densidade de energia térmica isto é a quantidade de energia térmica por unidade de volume entao a densidade de energia térmica e a temperatura estao relacionadas através da equacao ext cxpxuxt cujo significado é a energia térmica por unidade de volume é igual 4 energia térmica por unidade de massa por unidade de temperatura ie o calor especifico vezes a temperatura vezes a densidade volumétrica de massa Imaginamos que a substancia esta distribuida em um tubo uniforme com secao transversal de area constante A Por hipdtese wu é constante em cada secéo transversal do tubo variando apenas na diregao x Considere um segmento arbitradrio do tubo entre as segdes transversais localizadas em z aeem x b Chamamos este segmento de volume de controle A quantidade total da substancia dentro do volume de controle no instante de tempo t é ne b Quantidade total da substancia thAdz dentro do volume de controle a ula tA de Assuma agora que existe movimento da substancia através do tubo na direcao axial Definimos o fluxo axt da substancia no tempo t como sendo a quantidade da substancia fluindo através da secao transversal em x no tempo t por unidade de area por unidade de tempo Assim as dimensoes de sao quantidade da substancia area x tempo Por convengao sera positivo se a substancia estiver se movendo na diregaéo positiva do eixo xz e negativo se ela estiver se movendo na direcao negativa do eixo x Portanto no tempo f a quantidade liquida de substancia permanecendo no volume de controle sera a diferenca entre a quantidade da substancia entrando em x a e a quantidade da substancia saindo em x b Taxa de transferéncia liquida da substancia thA 0 tA para dentro do volume de controle oat 01 A substancia pode ser criada ou destruida dentro do volume de controle por uma fonte interna ou externa A taxa de criacao ou destruicgao da substancia que chamaremos de termo fonte e denotaremos por f xt wu tem dimensoes f quantidade da substancia volume x tempo tendo sinal positivo se a substancia é criada dentro do volume de controle e negativa se a substancia for destrufda dentro do volume de controle Observe que ela pode depender da prépria quantidade da substancia disponivel medida pela densidade u A taxa de criacdo ou destruicgéo da substancia dentro do volume de controle é entaéo dada por a ns b Taxa de criacgao da substancia tuAdz dentro do volume de controle Pla tuA de A lei de conservagao para a substancia pode ser formulada da seguinte forma Taxa de variacao Taxa de transferéncia liquida de substancia oe nt to Taxa de criagao da substancia da quantidade de substancia para dentro do volume de controle dentro do volume de controle dentro do volume de controle através de sua fronteira ou em termos matematicos apés cancelar o termo comum A d fe b f ulet de 6at 01 f fleteu ae 19 a a Rodney Josué Biezuner 17 Esta é a lei de conservacao na forma integral valendo mesmo se u ou f nao forem funcgoes diferencidveis o que pode ocorrer em certos fenédmenos fisicos como por exemplo naqueles que envolvem ondas de choque ou outros tipos de descontinuidade Se estas fungdes forem continuamente diferencidveis podemos derivar sob o sinal de integragao na primeira integral d b uat dx uza t da dt Ja a e usar o Teorema Fundamental do Calculo para escrever b ga t db t xx t dx a obtendo a equacao diferencial parcial Ut x fa t u 20 que é a lei de conservacao na forma diferencial 022 Lei de Conservagao em Varias Dimensoes Vamos formular a lei de conservagao nas formas integral e diferencial para os espacos R n 2 oun 3 na verdade tudo o que deduzirmos aqui vale para qualquer n 2 Considere um volume de controle V em IR em que a densidade ou concentragéo u uxt de alguma substancia por unidade de volume depende de n varidveis espaciais x 1 e do tempo t 0 Temos Quantidade total da substancia uxtav dentro do volume de controle V e se fx tu denota o termo fonte Taxa de criagao da substancia t u dV dentro do volume de controle fee uw dV Em n dimensoes o fluxo pode ser em qualquer direcao logo ele 6 uma grandeza vetorial que denotaremos por xt Se 7x denota o vetor unitdério normal apontando para fora da regiao V a taxa de transferéncia liquida da substancia para fora do volume de controle através de sua fronteira OV é dada por Taxa de transferéncia liquida da substancia oxtnxds para fora do volume de controle av A lei de conservagao é portanto d uxtdV oxtnxdS fx tu dV 21 dt Jy av Vv Se u de f forem todas de classe C assim como a regiao V podemos derivar sob o sinal de integracao e usar o Teorema da Divergéncia J oest nbs as div ox av av Vv para obter a lei de conservacgao em forma diferencial uz div d fxtu 22 Rodney Josue Biezuner 18 023 Relacoes Constitutivas A lei de conservacao na forma diferencial e uma equacao diferencial parcial em duas incognitas u e φ Precisamos portanto de uma segunda equacao para obter um sistema bem determinado A equacao adicional e frequentemente baseada nas propriedades fısicas do meio as quais frequentemente decorrem de observacoes empıricas Tais equacoes sao chamadas de relacoes constitutivas ou equacoes de estado Exemplo 01 Equacao do Calor No caso da equacao do calor a relacao constitutiva e a lei de Fourier φx t kuxx t Em dimensoes mais altas a lei de Fourier assume a forma φx t kux t 23 De fato para materiais isotropicos isto e materiais em que nao existem direcoes preferenciais verifica se experimentalmente que o calor flui de pontos quentes para pontos frios na direcao em que a diferenca de temperatura e a maior O fluxo de calor e proporcional a taxa de variacao da temperatura nesta direcao com a constante de proporcionalidade k sendo por definicao a condutividade termica como no caso unidimensional Como sabemos a direcao onde uma funcao cresce mais rapido e exatamente aquela dada pelo vetor gradiente da funcao e o modulo do gradiente fornece a magnitude da taxa de variacao da funcao nesta direcao O sinal negativo ocorre como no caso unidimensional porque o vetor gradiente aponta na direcao de crescimento da temperatura enquanto que o fluxo do calor se da na direcao oposta da temperatura maior para a temperatura menor O fluxo do calor em uma regiao bi ou tridimensional pode ser facilmente visualizado quando se lembra que o gradiente de uma funcao e perpendicular as superfıcies de nıvel da funcao No caso em que a funcao e a temperatura as superfıcies de nıvel sao chamadas superfıcies isotermicas ou simplesmente isotermas Assim o calor flui das isotermas mais quentes para as isotermas mais frias e em cada ponto da isoterma perpendicularmente a isoterma Em outras palavras as linhas de corrente do fluxo de calor correspondem as linhas de fluxo do campo gradiente da temperatura Portanto a equacao do calor em Rn com termo fonte independente de u tem a forma ut Ku fx t 24 onde u denota o laplaciano de u u div u 2u x2 1 2u x2n 25 Exemplo 02 Equacao da Difusao Em muitos outros processos fısicos observase que a substˆancia flui a uma taxa diretamente proporcional ao gradiente de densidade de regioes de maior densidade para regioes de menor densidade Esta relacao geral e chamada de lei de Fick φx t Dux t 26 onde D e a constante de difusao Se o termo fonte e independente de u obtemos a equacao da difusao ut Du fx t 27 O nome difusao vem do fato de que a substˆancia difundese para regioes adjacentes por causa de gradientes ie diferencas de concentracao e nao porque e transportada pela corrente ie nao atraves de conveccao Por este motivo o termo Du e chamado de termo difusivo Rodney Josue Biezuner 19 Alem do calor exemplos de outras substˆancias que se comportam assim sao substˆancias quımicas dissolvidas em algum fluido neste caso u representa a concentracao quımica e ate mesmo populacoes de insetos Alem de ser confirmada atraves de observacoes empıricas a lei de Fick que governa estes e varios outros fenˆomenos fısicos e biologicos pode ser justificada teoricamente atraves de argumentos baseados em modelos probabilısticos e caminhos aleatorios Exemplo 03 Quando o termo fonte nao e independente de u processos governados pela lei de conservacao e pela lei de Fuck sao regidos pela chamada equacao da difusaoreacao ut u fx t u 28 O termo fonte tambem chamado termo de reacao pode ser nao linear em u Exemplos importantes aparecem na teoria de combustao e em biologia Exemplo 04 Equacao da Continuidade Se ρ denota a densidade de um fluido e V e o campo de ve locidades de escoamento do fluido o fluxo de massa taxa de transferˆencia de massa medida em quantidade de massa areatempo e dado por φ ρV Note que a densidade ρ ρx t de um fluido movendose no espaco assim como o seu campo de velocidades V Vx t sao funcoes da posicao no espaco e do instante de tempo considerado A lei de conservacao de massa implica entao a equacao da continuidade ρt divρV 0 A equacao da continuidade e a primeira das equacoes de NavierStokes que governam a dinˆamica dos fluidos Exemplo 05 Equacao da Adveccao Quando a velocidade do fluido e constante o fluxo de massa e dado por uma relacao linear simples No caso unidimensional por exemplo quando o fluido esta restrito a um tubo ou cano o fluxo e φ cu 29 onde c e a velocidade do fluido e denotamos a densidade por u Neste caso a equacao da continuidade tornase ut cux 0 30 Esta e a chamada equacao da adveccao ou equacao do transporte Adveccao referese ao movi mento horizontal de uma propriedade fısica Esta equacao de primeira ordem linear e o modelo mais simples de conveccao 024 Exercıcios Exercıcio 04 Identifique as relacoes constitutivas para as seguintes leis de conservacao escritas em forma diferencial 1 Equacao de Burgers ut u ux 0 2 Equacao de KortewegdeVries KdV ut u ux uxxx 0 3 Equacao dos meios porosos ut uγxx 0 4 Capitulo 1 Séries de Fouri Para determinar a possibilidade de uma determinada funcao poder ser expressa como uma série de Fourier bem como para obter os coeficientes da série de Fourier da fungao quando isso ocorrer precisamos antes estudar certas propriedades das func6es seno e cosseno 11 Propriedades das Funcgoes Seno e Cosseno 111 Periodicidade Definicao Uma fungéo f R R é periddica se existe T R T 0 tal que fa T fx para todo z R O ntmero real T é chamado um periodo para a fungao f Claramente se T é um periodo para a funcgao f entao qualquer multiplo inteiro de T também é um periodo para f 27 2T 3T 3T 4T 4T etc Por exemplo fa 3T fw2TT fa 2T feTT faT fa Definigao O menor periodo positivo de uma fungao periddica f é chamado o periodo fundamental Em geral o periodo fundamental de uma funcao periddica é referido simplesmente como o periodo da fungao Porque o valor de uma fungao periddica repetese a cada intervalo de comprimento igual ao seu periodo para conhecer uma funcao periddica de periodo T basta descrevéla em qualquer intervalo de comprimento T o seu grafico é obtido repetindose o grafico neste intervalo em qualquer outro intervalo de comprimento T Exemplo 11 a As fung6es seno e cosseno sao periddicas e ambas tém perfodo 27 b Fungoes constantes sao fungoes periddicas que nao possuem perfodo fundamental pois qualquer nimero real nao nulo é um periodo para a funcao constante logo nao existe um menor periodo positivo Do mesmo modo a fungao 1 se x é racional fa 0 se x é irracional é uma funcao periddica que nao possui periodo fundamental pois todo ntimero racional nao nulo é um periodo para f observe que ntimeros irracionais nao sao perfodos para f 20 Rodney Josué Biezuner 21 c A fungao fx x x onde é 0 maior inteiro menor que ou igual a x é periddica de periodo 1 1 HN 08 3 1 d Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de fungées periddicas simplemente definindo uma fungao em um intervalo de comprimento T e declarando que ela é periddica de periodo T desta forma definindo ela na reta toda Ou seja suponha que a funcao f foi inicialmente definida no intervalo I de compri mento T dado x R se x J determine um inteiro k tal que kT I k é positivo se x esta localizado esquerda do intervalo I e negativo se x estd a direita de I e defina fa fa kT Desta forma definimos uma fungao f na reta toda que é automaticamente periddica de periodo T Por exemplo podemos definir uma fungao g por 2x se L2a0 gx x seeO0OaJL e declarala periédica de periodo 2D Para que a definicao desta extensao periddica seja consistente observe que o intervalo I deve ser fechado em um extremo e aberto no outro ou se o intervalo I for fechado nos dois extremos a funcao deve ter os mesmos valores nestes extremos Com relagao aos periodos das fungdoes que constituem a série de Fourier fazemos a seguinte importante observacao Rodney Josué Biezuner 22 NTx nnn 2L Proposigaéo 12 As fungdes sen ze cos tém o mesmo pertodo fundamental igual a n Prova De fato na verdade vale a seguinte afirmacao mais geral para qualquer valor a R a 0 2m senax e cosax tém periodo fundamental igual a a Isso pode ser determinado através do seguinte argumento queremos encontrar o menor valor positivo de T para o qual vale senazTsenax para todozR ou seja senazxcosaT cosaxsenaT senax para todo R Para determinar aT o que conseqtientemente determinara JT basta obter os valores de senaT e cosaT pois um angulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno a menos de multiplos de 27 Para isso observamos que a equacao acima é valida para qualquer valor de z Em particular substituindo o valor x 0 na expressao acima obtemos senaT 0 T o que implica que aT é um miltiplo de 7 Agora substituindo o valor 2a na expressao acima obtemos a cosaT 1 Logo aT é necessariamente um miultiplo de 27 Como queremos o menor valor positivo de T segue que aT 27 e portanto 20 T a A mesma concluséo vale para a fungao cosaz jA que a fungao cosseno nada mais é que a funcgdo seno defasada Como conseqiiéncia deste resultado jé que qualquer multiplo inteiro do periodo fundamental é um periodo NX ATX segue que para todo n as funcoes sen Tz COS 7 tém o valor 2L como periodo comum 112 Relagoes de Ortogonalidade Para o cadlculo dos coeficientes da série de Fourier de uma fungéo quando existir as seguintes relagoes de Nx NTX ortogonalidade entre as funcgoes sen Tz COs Tz desempenham um papel fundamental Proposigéo 13 Relacdes de Ortogonalidade Valem as seguintes identidades L Nx Manx cos sen dx0 para todos nm L L L L NTx MTX L cos cos dz sens ts 11 L L L 0 senzm L NTX MTL L senm sen sen dz L L L 0 senm Rodney Josué Biezuner 23 Prova Estas relagoes podem ser obtidas através de integracao direta e uso das identidades trigonométricas Por exemplo se n 4 m escrevemos L nx mmx 1 n mra nmra sen son OE ae 5 cos cos dx L L L 2r L L 11 1 n mra 1 nmra h sen sen 27 nm L ntm L r 0 Se n m escrevemos L Nx Manx L NTZ 2 1 ft 2nrx sen sen dz sen dx 1 cos dx L L L L L 2r L 1 L ana x sen 2 2nt L iy f a 113 Produto Interno no Espaco das Fungoes QuadradoIntegraveis O nome relagées de ortogonalidade devese ao fato de que as expressoes acima significam que as funcoes NTL NTL ae sen Tz COs Tz sao ortogonais no espaco vetorial das funcoes quadradointegraveis definidas no intervalo L L De fato no espago b Lab uw ab R u ax dx 00 a das fungoes definidas no intervalo ab cujo quadrado é integravel podemos definir um produto interno por b uv uaux dx a Porque as fung6es sao quadradointegraveis a integral acima esta bem definida e é finita caso contrario se duas fungoes sao apenas integraveis o produto delas nao é necessariamente integravel tome por exemplo ux v 2 no intervalo 01 De fato como para quaisquer AB R vale a desigualdade 2AB A B segue que b 17 1 fr uxua dx u x dx vx dx ox a 2 a 2 a Como o angulo entre dois vetores é definido por uU 4uv arccos Lt Ile Io segue que duas fungoes sao ortogonais se b uaux dx 0 a Rodney Josué Biezuner 24 114 Exercicios Exercicio 11 Sejam fg R R funcoes periddicas de periodo T Mostre que a f g é periddica de perfodo T b af é periddica de perfodo T para qualquer escalar a R c O conjunto PrR das fungoes periddicas de perfodo T é um subespaco vetorial do espaco FR das funcoes reais definidas na reta d fg é periddica de periodo T e fg é periddica de perfodo T assuma que g nunca se anula x f f é periédica de perfodo aT a we 4 T g f ax é periddica de perfodo a h Se h é uma funcéo qualquer nao necessariamente periddica entao a composta ho f é periddica de periodo T Exercicio 12 Sejam fg R R funcoes periddicas de periodos fundamentais diferentes Podemos concluir que f g é periddica Podemos concluir que f g nao é periddica Exercicio 13 Sejam fi fo R R funcoes periddicas de periodos T 7 respectivamente Prove que se existem inteiros nm tais que nT mT entao f fo é periddica de periodo nT Exercicio 14 Mostre que sen ax sen ba é periédica se e somente se ab é racional Exercicio 15 Seja f R R uma funcao diferencidvel periddica de perfodo T Mostre que f também é periddica de periodo T Exercicio 16 Seja f R R uma funcao periddica de periodo T localmente integravel ie integravel em qualquer intervalo Mostre que a funcgao x Faf fF 0 é periddica de periodo T se e somente se T f0 0 Exercicio 17 Seja f R R uma fungao periddica de periodo T localmente integravel Determine a constante a para que a funcao abaixo seja periddica de periodo T x Fx ft dt az 0 Exercicio 18 Seja f R R uma fungao periddica de periodo T localmente integravel Mostre que aT T t a 0 Exercicio 19 Mostre que uma funcao periddica continua nao constante possui periodo fundamental Rodney Josué Biezuner 25 12 Calculo dos Coeficientes da Série de Fourier Suponha que possamos expressar uma funcao f R R na forma a NTx NTx fa 3th an cos by sen 12 n1 ou seja que o lado direito desta identidade seja uma série convergente que converge para o valor fx em todo ponto R A série no lado direito da expressao acima é chamado a série de Fourier de f O a motivo de termos escolhido escrever ao invés de simplesmente ao ficard claro a seguir Em particular para que isso seja possivel vemos que f tem que ser periddica com periodo 2L pois este é 0 periodo comum NTx NTL x das funcgoes sen Tz cos Tz portanto funcoes definidas na reta toda que nao satisfazem esta condicao nao podem possuir séries de Fourier Suponha além disso que a funcao f seja integrdvel no intervalo L L e que a série do lado direito possa ser integrada termo a termo Obtemos pelas relacoes de ortogonalidade L L 0 L L ao NTx NTx flv dr 2 dx a cos dx b sen dx l 2 Jip a Jo1 L Jo1 L aoL donde 1 fe L Os outros coeficientes também podem ser obtidos facilmente explorando as relacoes de ortogonalidade Mul tiplicando ambos os lados da equacao 12 por cos e integrando de L a L obtemos L NTx ay NTx L mre NTx L marx NTx fees WE ae cos de S an cos cos det bm sen cos de m1 aL donde 1 ft Tx cos dz An c fe z 14 a Por este motivo escrevemos o termo constante da série de Fourier na forma deste modo a formula para os coeficientes a 6 a mesma independente se n 0 oun 0 Analogamente multiplicando ambos os lados da equacao 12 por sen e integrando de L a L obtemos a NTX Dn z fo sen dz 15 Exemplo 14 Admitindo que exista uma série de Fourier que convirja para a funcgao periddica f de perfodo 2L definida no intervalo L L por 2x se La0 fe x seeOaL calcule os seus coeficientes Rodney Josué Biezuner 26 Solucao Temos 1 L 1 0 L 1 L L w fx dx vde xvdx L Lj ep L L 0 L 2 2 Os outros coeficientes podem ser calculados através de integracao por partes Temos an i fa cos de eos de cos dx Lj ep L L L L 0 L 1 L nox L f NTL L nme L ft NTL 2x sen sen dx asen sen dz L nT Lj nm Jip L nT Lj nt Jo L 1 L nra 4 L na cos cos L nen L nn L 1 L L 4 L L 3 cosna s cosna L nt nn n 1 n 7 21 nen cos nT 1 0 se n é par 4L a 2a se nm e 1mpar e bn z Heosen ae F fi oem ao xsen de 1 L nex L f Na L nma Lh Na 2x cos cos dx xcos cos dx L nT Lj nm Jip L nT L nt Jo L 1 L L nra L 4 L na cosna sen cosnma sen L nt n2n Ll ont nen L y 0 Portanto L 4Le 1 2n 1rx fe 3332 Ga LO n1 Observe que a série do lado direito é de fato convergente em todo ponto x ja que os coeficientes 1 2n1 1 diminuem na razao de On 12 eo Go lea série Le é sabidamente convergente Na figura a seguir ilustramos o grafico da série truncada em varios valores de n vermelho corresponde a truncar a série em n 1 azul a truncala em n 2 e verde a truncala em n 3 preto corresponde Rodney Josué Biezuner 27 a truncar a série em n 100 indistingufvel do grdfico da fungaéo f propriamente dita 1 i 06 i 4 4 Y W V V 2 1 0 1 2 x Por outro lado a convergéncia parece ser mais lenta nas quinas isto é nos pontos onde f nao é diferencidvel como pode ser observado na figura acima Para ver isso melhor tome L x 7 de modo que obtemos mr AS 1 m 5 Ds Gana seen Da ou rm 1 1 1 1 i 14444 8 ies 9 557 at Enquanto que 7 31415926536 é uma aproximacao para 7 com 10 casas decimais temos k 1 3141274327 se k 1000 8 S 2 3141589470 se k 100000 2n 1 n1 3141592335 se k 1000000 O 13 Teorema de Fourier Vamos determinar condicoes suficientes para que uma fungao f possua uma série de Fourier e que esta convirja para f pelo menos na maioria dos pontos de seu dominio Rodney Josué Biezuner 28 131 Existéncia da Série de Fourier Primeiramente vamos ver que condicoes a fungao f deve satisfazer para que a sua série de Fourier esteja definida mesmo que ela possa nao convergir para f em nenhum ponto Para que a série de Fourier de f exista os coeficientes de Fourier de f precisam estar definidos Definigao Dizemos que uma funcao integravel f R R é absolutamente integravel no intervalo a b se b fx dx co a Denotamos isso por f L1a b Se f é localmente absolutamente integrdvel isto é se f é absolutamente integravel em todo intervalo denotamos isso por f LiR Proposigao 15 Seja f R R uma fungao periddica de pertodo 2L Se f absolutamente integrdvel no intervalo L L entdo os coeficientes de Fourier de f 1 ft Na dn xcos dz n012 r Z flaeos 1 ft NTL bn i fxsen dz n12 L Jit L estao bem definidos Prova De fato L NTx L Nx L f cos del If x cos a dx If x de co L L L L L L L L NTx NTx fx sen de If x sen dx If x da ox L L L L L a Portanto quando f LjR é uma funcao periddica de perfodo 2L podemos construir formalmente a série a NTx NTx 0 an cos by sen n1 A préxima questao é se esta série converge em cada ponto x e se ela converge para o valor fx 132 Funcgoes Continuas por Partes Definicao Uma fungao real f é continua por partes no intervalo ab se existir um numero finito de pontos a 2 2pn1 Xp 5 tais que i f é continua em cada subintervalo x1 x i 1n ii existem os limites laterais A esquerda e A direita nos extremos de cada subintervalo Exemplo 16 Rodney Josue Biezuner 29 a A funcao fx 1 se n x n 1 e n e par 0 se x n Z 1 se n x n 1 e n e ımpar e contınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta Seus pontos de descontinuidade sao os pontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos sao 1 e 1 1 0 05 3 05x 2 0 1 1 3 2 1 b A funcao gx 1 se x 0 0 se x 0 sen 1 x se x 0 nao e contınua por partes no intervalo 1 1 pois nao existe o limite lateral a direita em x 0 1 0 05 1 x 05 05 1 05 1 0 Rodney Josué Biezuner 30 c Similarmente a fungao 1 sex 0 he4 0 eV 0 sex 0 1 sex 0 nao é continua por partes no intervalo 1 1 pois nao existe o limite lateral 4 esquerda em x 0 2 1 oz 5 1 05 0 05 1 O 133 O Teorema de Fourier Agora enunciaremos o Teorema de Fourier que dé condig6es suficientes sobre uma fungéo periddica f para que a sua série de Fourier convirja puntualmente para f nos pontos de continuidade de f A demonstracéo deste resultado sera adiada para uma secao posterior Teorema 17 Teorema de Fourier Seja f R R uma funcdao periddica de pertodo 2L tal que f e f sao continuas por partes no intervalo LL Entdo a série de Fourier de f a NTx NTx 0 2 S an cos by sen n1 onde 1 Tx adn xcos dz n012 1 NTX bn xsen dx n12 waz fh fos de n 1200 Lr fle converge para fx se f é continua em x e para Mes fen se f descontinua em x Em geral se uma funcao f e a sua derivada f forem continuas por partes diremos simplesmente que f é diferenciavel por partes Observe que se f é continua em x entao a média dos limites laterais de f em x é exatamente igual a fx o teorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente Rodney Josué Biezuner 3l afirmando que se f satisfaz as condigoes do enunciado entao a série de Fourier de f converge sempre para fx fa 5 Exemplo 18 a Defina 1 2 fa2 sen se x 0 0 se x 0 1 Observe que f é continua lim x sen 0 mas f nao é continua por partes pois apesar da derivada xr xv existir em x 0 nao existe nenhum dos limites laterais da derivada em x 0 9 1 1 40 x sen cos se x fx x x 0 se x 0 00 00 j 03 02 qd q 02 03 03 02 fo 1 V2 os o i o mn b Onda quadrada Defina f R R por 0 se L2x0 fay 9 se0OaL e f periddica de periodo 2D TRON 1 ART a 0 0 0 3 2 1 0 1 2 3 Rodney Josué Biezuner 32 Vamos calcular a série de Fourier de f e verificar onde ela converge Temos 1 re L w fo ae dx L Ly 0 1 ft NTx L NTx L nia b an x cos dz cos da sen L L Ax L L nT L lo 0 1 ft NTX L NT2 L nia L by x sen dx sen TE dx cos 1cosnat 1 L I L L nT L lo nt 0 se n é par 4 2L ee se n é impar nT Portanto L wa 1 2n 1rxr v sen Ax 2 T a 2n1 L Veja a figura abaixo representando a soma parcial truncada em n 10 1 0 0 0 4 2 Para os valores de descontinuidade kL k Z os senos se anulam e a série de Fourier de f tem valor igual a 2 exatamente a média dos limites laterais nestes pontos Nos demais pontos a série de Fourier converge para f mas com uma convergéncia lenta ja que os seus coeficientes sao da ordem de 12n 1 c Onda triangular Defina g R R por x x se Lx0Q Na x se0OaL e g periddica de perfodo 2L Observe que g é continua e diferencidvel por partes isto é g é continua por partes logo a série de Fourier de g converge para g em todo ponto O Rodney Josué Biezuner 33 134 Estimativa dos Coeficientes de Fourier Se f possui maior regularidade é possivel provar diretamente que a sua série de Fourier converge sem recorrer ao Teorema de Fourier A idéia é obter estimativas para os coeficientes de Fourier e entaéo usar o teste da comparacao para concluir que a série de Fourier converge Seja f uma fungao periddica de periodo 2L Em primeiro lugar se f é localmente absolutamente in tegravel podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier como joalt Hap cos do f pesfoos ar bf irrayia dn x cos dx x cos dx x dx LJp L LJy L LJy 1 ft 1 1 ft Ibn i een a ite lsen da 7 e de se denotarmos 1 L Mo f fe ae segue que lanbn Mo para todo n 0 16 Em outras palavras se f é localmente absolutamente integravel entao as seqiiéncias a e b dos coefi cientes de Fourier de f sao uniformemente limitadas Se além disso f for continua e diferencidvel e sua derivada ffor localmente absolutamente integravel podemos integrar por partes para obter 1 1 L 1 An il fa cos dex fasen al f sen dex de modo que 1 ZL NTx An f x sen dx 17 nt Jor L Analogamente 1 1 L 1 bn fa sen de f x cos el f cos dx 1 1 NTX fLcosnm fL cosn7 f a cos da nT nm Jp L de modo que 1 ZL NTX b dx 18 oe flwieos xt 18 Segue que 1 fe 1 fe lan Tf 0 wn 2 f lf lae nm Jp L nm Jp 1 fe 1 on fe Peon ae f ie dx Se 1 L M ff feae TJL Rodney Josué Biezuner 34 temos M lanbn para todo n 4 0 19 n Assim neste caso as seqiiéncias a e by dos coeficientes de Fourier de f convergem para 0 a uma taxa proporcional a 1n Se além das hipdteses acima f for duas vezes diferencidvel f for contfnua em L L e a derivada segunda f for localmente absolutamente integravel podemos integrar por partes duas vezes para obter 1 f NX 1 L nim L ft NT2 An fx sen dx fx cos fx cos dx nn Jor L nt nw LlponnJyp L L ZL NTL a fx cos z at 1 f NT2 1 2 nme L ft Na bn fx cos dx fz sen fx sen dr nn Jor L nn nt Llp nn Jyp L L ZL NTL a f 2 sen dx e dai L L NTX L L an ss x cos dz x dx lan fea re pde oay IP ae L ZL NTL L L bn s x sen dx a x da in fea fis a sen de 5 fe de modo que se L L My ff de 7 JL temos My lanbn 72 Para todo n 0 110 Nestas condigoes sem usar o Teorema de Fourier concluimos pelo teste da comparacao que a série de Fourier co 1 converge pois a série é convergente n1 7 Os calculos acima mostram ainda que é possivel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas de uma funcao a partir dos coeficientes de Fourier da propria funcao em certas condicgdes sem que haja a necessidade de calcular novas integrais Na pratica o que estamos fazendo é derivar a série de Fourier termo a termo veja o Teorema 119 e o Exemplo 120 para maiores detalhes Proposigéo 19 Coeficientes de Fourier das Derivadas de uma Fungao Seja f R R uma fungdo periddica de pertodo 2L k vezes diferencidvel tal que f f ff séo continuas em R e f é localmente absolutamente integrdvel Entao se al of denotam os coeficientes de Fourier de f Rodney Josué Biezuner 35 temos para 29k a Tb y ae an DT L ee ye n 2 n 2 gl nn bl nn n L3 ns n L3 nr 4 nin 4 nin ane ya br Ge bn ni rd ni rd 7 OF an se n par i i n se n par uo ni x4 no nd x4 75 Fq On se n impar j1 Gz An se n impar onde 1 se j7 0mod4 ou j 1mod4 on se 7 2mod4 ou j 3mod4 Prova Dos resultados que obtivemos acima segue que 1 Li ft L An fo sen dx 7 f f sen dx on 1 L NTL Li ft NTL L b dx dx a aa Hoos ze cr Felons 7 t Gn donde an nor a bry On L O resultado geral segue por indugao yy nm nm nin in Tm Ep Sn pe nt nm nt n 7 p Ey s n L L Lo 2 gq nny nn vr nin n L n L 2 n L3 n ii nt nt n 7 nin ST Oay FT Tn J Fs EL L L LS A RE yn em meme ont L L Lb ri p4 NT yy nt n 7 b nin b ayy bn bn EL L Ds L4 g PE pa Pm nit em L L L4 pp 30 nT 4 NT n74 nin man pe an osm e assim por diante Rodney Josué Biezuner 36 135 Séries de Fourier de Funcgoes Pares e Impares As séries de Fourier de fungdes pares e de funcgdes impares sio muito mais simples do que as séries de Fourier de funcoes arbitrarias Nas aplicacoes freqtiientemente poderemos arranjar ou definir os parametros do problema de forma a encontrar um ou outro membro destas classes de fungoes Definigao Uma fungao real f R R é par se fx fx e impar se fx f x Exemplo 110 2 4 2n NTE a ox a As fung6es constantes x 7 2 7 e cos Tz Para qualquer n N e e sao funcées pares 3 72n1 NTE x mo b As fung6es x x x e sen para qualquer n N sao fungoes impares c As funcgdes e x 2 1 nao sao nem pares nem fmpares 0 A terminologia parimpar é justificada pela seguinte proposicao Proposigaéo 111 Propriedades elementares das fungdes pares e mpares i A soma de duas fungées pares é uma fungao par a soma de duas fungées tmpares uma fungao tmpar ii A soma de uma fungdo par e uma fungao tmpar nao par nem tmpar iii O produto de duas fungées pares uma fungdo par o produto de duas fungdes impares uma fungdo par iv O produto de uma fungdo par e uma fungao impar é uma fungado tmpar Prova A verificagéo destas propriedades é muito facil por exemplo se f e g sao fmpares entao f 9 f g2 fa g f 9 f92 fg92 fga Fag f92 a Proposigéo 112 Integracao de fungdes pares e fmpares Seja f R R uma fundo localmente in tegrdvel i Se f uma fungao par para todo L R vale L L fx ax 2 fa dx 111 L 0 ii Se f é uma fungao impar para todo L R vale L fa dx 0 112 L Prova Temos L 0 L fo de flo de f fx dz L L 0 Rodney Josué Biezuner 37 Fazendo a mudanga de varidvel t x na primeira integral se f for par temos L 0 L 0 L Jf seoae sn ays pear f seqaee sey L L 0 L 0 L L L f seas f paar2 pejae 0 0 0 ese f for impar temos L 0 L 0 L J tear fo rneays fF pear f rears paar L L 0 L 0 L L eat f fa dx 0 0 0 a Como conseqtiéncia destas duas proposicoes obtemos que a série de Fourier para uma fungao par é uma série de cossenos enquanto que a série de Fourier para uma funcgao impar é uma série de senos Proposigéo 113 Séries de Fourier de fungoes pares e impares i Seja f R R uma fungao par que satisfaz as hipdteses do Teorema de Fourier Entdo a ad 012 dn x cos dr n Lae nr L 0 L 9 9 9 9 9 by 0 para todo n Logo ao NTx fz 2 S an cos Tr n1 ii Seja f R R uma fungao impar que satisfaz as hipdteses do Teorema de Fourier Entdo an 0 para todo n 2 L b if fa sen de n12 Logo NTx fz S On sen Tr n1 Prova Segue imediatamente da expressao para os coeficientes de Fourier dada pelo Teorema 17 juntamente com a proposicao anterior Hf Exemplo 114 Onda em dente de serra Considere a fungao fx 7 se L a L fL fL 0 Rodney Josué Biezuner 38 periddica de periodo 2L 1 3 2 1 1 3 0 Como f éimpar temos a 0e 2 7 Nix 2 NX 2 L nrejE Lt Nix b x sen dx x sen dz x oos cos dx DL fx L L L L nt L lo nt Jo L 2 L nia E 20 Loosnm sen cosnt nt nt Lilo nt 21 nt logo a série de Fourier de f é a série de senos 2b 1 nTe x sen f Z n1 O 136 Extensoes Periddicas Pares e Impares de Funcoes Definidas em Intervalos Dada uma fungao f 0 R definida em um intervalo fechado diferencidvel por partes podemos obter varias séries de Fourier diferentes para f De fato para obter uma série de Fourier para f precisamos estender f a uma fungao definida na reta toda e que seja periddica de periodo 2L No entanto esta extensao pode ser realizada através de uma infinidade de maneiras diferentes desde que a funcao resultante satisfaca as hipdteses do Teorema de Fourier As extensdes mais utilizadas na pratica sio as extensdes de f a uma funcao par de modo que a série de Fourier de f é uma série exclusivamente de cossenos e de f a uma funcgao tmpar de modo que a série de Fourier de f é uma série exclusivamente de senos Qual delas é escolhida depende da aplicacao pratica que se tem em mente como veremos mais tarde embora as vezes a escolha também é ditada pela diferenga da velocidade de convergéncia entre as séries obtidas veja o exemplo a seguir Definigao Extensao periddica par de f Rodney Josué Biezuner 39 Defina fx fx para x L0 e declare f periddica de periodo 2L Definigao Extensao peridéddica impar de f Defina fx f2x para x L0 e declare f periddica de periodo 2L Exemplo 115 Considere a fungdéo fx x se 0 x L Se tomarmos a extensao periddica par de f obteremos a fungao if se LxQ fe x se0OaL fx fw2L que é a onda triangular cuja série de Fourier é a série de cossenos que ja obtivemos anteriormente no Exemplo 14 L 4Le 1 2n 1rx fe 333 Ga LO n1 Por outro lado se tomarmos a extensdo periéddica impar de f redefinindo fL 0 obteremos a funcao fxa se Lal fx fle 2L fL fL 0 que é a onda em dente de serra cuja série de Fourier é a série de senos calculada no Exemplo 114 2b XS 1 nTe fle sea n1 1 Os coeficientes de Fourier da série de cossenos de f decrescem na ordem de enquanto que os n 1 coeficientes de Fourier da série de senos de f decrescem na ordem de Portanto a convergéncia n Rodney Josué Biezuner 40 da expansao em cossenos de f é muito mais rapida do que a convergéncia da expansao em senos de f Isso se deve ao fato de que a extensao de f a uma funcao par ser uma fungao continua na reta toda enquanto que a extensao de f a uma funcao impar é uma fungao que possui descontinuidades nos pontos da forma x 2kL k Z Em geral como vimos na secao sobre estimativas dos coeficientes de Fourier quanto maior a regularidade de f isto é quanto maior o grau de diferenciabilidade de f mais rapida é a convergéncia da sua série de Fourier 0 137 Exercicios Exercicio 110 Calcule a série de Fourier das seguintes funcoes a fx 2 t7 a 7 f é periddica de periodo 27 b fx sena c fx cosa d fx 2 7 a 7 f é periddica de periodo 2r e fx 1senz cos 22 f fx sen x g fx cos x h fx e t u 7 f é periddica de periodo 27 i fz e 17 a a f é periddica de periodo 2r j fx senz isto 6 fx sen se senz 2 0 0 se senz 0 f L se L20 ar k fz L scOaL f periddica de periodo 2L J 0 se Lax0 ver Ql fx we seO cre L f é periddica de periodo 2L jf L see L2az0 er m fz L scOaL f é periddica de periodo 2L L 0 se La n fw4 1 se 5 a 5 f periddica de periodo 2L L 0 se 3 a c aa se axrcd a o fz 0 seaa b f é periddica de periodo 2b a se0O a a a b se b aK a a p f 1 se axauca f é periddica de periodo 2b b se a x b Rodney Josué Biezuner 41 Exercicio 111 Usando algum software matematico Scilab Maple Matlab etc ou algum pacote grafico OpenGL Java2D etc plote os grdficos das somas parciais yr de algumas das séries de Fourier do exercicio anterior para valores de k 1 23510 100 Exercicio 112 Quais sao as relagoes entre os coeficientes de Fourier da funcgao f e da fungao a gx fecceR b g fa e R c gx fcx c 0 Observe que se f tem periodo 2L entaéo g tem periodo 2Lc Exercicio 113 Quais sao as relacoes entre os coeficientes de Fourier das funcgoes f e g e da funcao af Gg onde a 2 R Exercicio 114 Mostre que se f R R é uma fungao par fmpar diferencidvel entao f sera fmpar par Exercicio 115 Existe alguma fungao que é ao mesmo tempo par e impar Exercicio 116 Usando 0 Teorema de Fourier mostre que qualquer funcao f R R continua periddica diferenciadvel por partes pode ser escrita como a soma de uma fungao par e uma funcao impar Exercicio 117 Mostre que qualquer funcao f R R pode ser escrita de maneira tinica como a soma de uma fungao par e uma funcgao impar chamadas as suas componentes par e tmpar Em outras palavras FPOT Sugestao se fx gx hx com g par e h impar qual é o valor de fx Exercicio 118 Prove a seguinte formula devida a Kronecker Se f é uma fungao continua e p é um polinémio de grau N entao or pf p fop fs1Ip fru 6 onde C é uma constante p ppp so as primeiras N derivadas de p f é uma antiderivada de fe parak 1N fry uma antiderivada de fy a Use esta formula para calcular as seguintes integrais para N 1 23 4 7 7 a cosnx e aN senna 0 0 b Calcule a série de Fourier para a funcao f de perfodo 27 definida por fx x se m a 7 c Calcule a série de Fourier para a funcdo f de periodo 27 definida por fx 2 se m a r d Calcule a série de Fourier para a funcao f de perfodo 27m definida por fx 24 se m a a e Calcule a série de Fourier para a funcao f de periodo 27 definida por fx 24 2rx se t a 7 Exercicio 119 Usando a série de Fourier da onda quadrada Exemplo 18 mostre que 7 1 1 1 1 Toy ti ily uy Oy 4 35 7 2n1 n1 Esta é uma maneira rapida de calcular 7 Para responder a esta pergunta use algum software matematico ou desenvolva algum programa simples para calcular as somas parciais desta série Com pare a velocidade de convergéncia desta série com a da série obtida no Exemplo 14 Rodney Josué Biezuner 42 Exercicio 120 Considere a funcao periddica f R R de perfodo 2 definida no intervalo 02 por fx 27 a Calcule a série de Fourier de f b Esboce o grafico de f e o grafico da série de Fourier de f c Usando a série de Fourier de f prove que mr 1 1 1 a Gritgmtptpt a n1 Compare a velocidade de convergéncia desta série com a série do exercicio anterior e com a série do Exemplo 14 Exercicio 121 Mostre que para 0 x 27 podemos escrever 1674 2n 3 3 7 gt 165 ew cos nz l6n S 3 sen n n1 n1 A partir dai deduza as seguintes formulas mol Tm A1 mo 1 907 ent 97 De nt 96 7 De Gn n1 n1 n1 Exercicio 122 Use a série de Fourier da fungao do Exercicio 118 c para obter a seguinte série ae 1 1 1 1 wij ty yt Fy uy 32 33 5378 2n 18 n0 Tente calcular o valor da série so 1 Nas n1 A fungao zeta de Riemann de grande importaéncia em teoria dos nimeros é definida para t 1 por asl Ct S Te n1 Usando séries de Fourier é possivel calcular 2n para qualquer inteiro positivo n como fizemos em alguns casos acima Por exemplo pt 24 67 8 wo ct ne 4 776 78 10 6 90 945 9450 93555 Exercicio 123 Prove que se a RZ entao 2asenamt 1 S 1 cos ax 7 2 S momo n1 para todo x 77z A partir disso derive a seguinte f6rmula devida a Euler co n at 1 14 2a sen amt ea oe Rodney Josué Biezuner 43 14 Convergéncia da Série de Fourier Nesta secao provaremos o Teorema de Fourier entre outras coisas Vale a pena observar antes que embora as hipdteses do Teorema de Fourier nao sejam as mais gerais possfveis existem varios outros teoremas que dao condicoes suficientes para a convergéncia da série de Fourier em um ponto a maioria deles além do nivel deste curso veja o Exercicio 124 nado basta uma funcao ser continua em um ponto para a sua série de Fourier convergir para o valor da fungao naquele ponto na verdade continuidade em um ponto nao garante nem que a série de Fourier seja convergente no ponto De fato em 1873 Du BoisReymond deu um exemplo de uma fungao continua e limitada em 77 cuja série de Fourier diverge na origem trés anos mais tarde ele produziu um exemplo de uma fungao continua tal que em qualquer vizinhanga de seu dominio existe pelo menos um ponto em que sua série de Fourier diverge ou seja que possui um conjunto denso de pontos onde a série de Fourier diverge Por muito tempo nao se sabia sequer se a série de Fourier de uma funcao continua convergia em algum ponto do seu dominio Esta questao foi resolvida em 1966 por Carleson que provou que se f L 17 entao o conjunto de pontos onde a sua série de Fourier nao converge tem medida nula Isso inclui fungoes continuas limitadas que sao evidentemente quadradointegraveis Também no mesmo ano Kahane e Katznelson provaram que dado qualquer subconjunto de medida nula S C 77 existe uma fungao continua em 77 cuja série de Fourier diverge em S mostrando que o resultado de Carleson é 0 melhor possivel Fora da classe das fungoes quadradointegraveis o pior pode ocorrer em 1926 Kolmogorov deu um exemplo de uma fungéo integraével no sentido de Lebesgue cuja série de Fourier diverge em todo ponto Para demonstracg6es avancadas destes resultados veja 7 e 9 141 Convergéncia Puntual da Série de Fourier Demonstragao do Teorema de Fourier A demonstracgaéo do Teorema de Fourier é devida a Dirichlet em 1829 para fungoes limitadas e em 1854 para o caso mais geral O uso do Lema de RiemannLebesgue a seguir permite dar uma demonstracao muito mais curta e assimildvel que a originalmente dada por Dirichlet Lema 116 Lema de RiemannLebesgue 1854 Seja f ab R uma fungao absolutamente integrdvel Entdao b lim fx senta dx 0 113 too a b jim fx costa dx 0 114 a Prova Forneceremos uma demonstracao valida apenas para funcoes continuas por partes j4 que o nosso propésito é provar o Teorema de Fourier na forma enunciada neste capitulo Para uma demonstracao do lema no caso geral veja 4 Consideraremos apenas o primeiro limite j4 que a demonstracaéo do segundo é completamente andloga Como f é continua por partes em ab o intervalo ab pode ser subdividido em um ntimero finito de subintervalos tais que f é continua em cada um destes subintervalos exceto possivelmente nas extremidades JA que o limite da integral no intervalo ab é a soma finita dos limites da integral em cada subintervalo basta provar que o limite é zero em cada um destes subintervalos Podemos portanto assumir sem perda de generalidade que f é continua em ab redefinindo f nos extremos se necessario isto é redefinindo fa fat e fb fb pois o valor da fungéo nas extremidades do intervalo nao afeta o valor da integral Rodney Josué Biezuner 44 Divida o intervalo ab em n subintervalos de comprimentos iguais através dos pontos a 2 21 wo ILn1 Ly 5 Escreva b M1 paisa fx senta dr fx sen ta dx a i0 not Ti1 nal parizi S fies sen ta da fa fa sen ta da i0 vs i0 Se M maxf segue que ab b noi Di41 M1 parigi fa sen ta dx uy senteds fx fa da a i0 7 i0 Temos vid cos ta 1 2 sen ta dx costa41 costa t t t t Além disso sem min feM max f podemos escrever vivi41 wi vi41 n1 Liqn n1 Liqn n1 Sf ite Flas de Ya m ae Ya iss i0 7 i0 v4 i0 n1 n1 S Miri41 Li S Mii41 Vi i0 i0 ou seja a diferenga entre a soma superior e a soma inferior de Riemann na partigao ax71n1 6 Como f é integrdvel em ab pois é continua em ab tanto a soma superior quanto a soma inferior convergem para o valor da integral de f em ab 4 medida que tomamos partic6es do intervalo a b com subintervalos de comprimento cada vez menor ou seja um numero n de pontos cada vez maior Assim dado qualquer O arbitrario por menor que seja podemos sempre encontrar n suficientemente grande para que tenhamos M1 parigi Sf if Fa ae e i0 Portanto obtemos b 2nM Ly Hessento as a Fazendo t oo concluimos que b Hesento ds e a Como é arbitrario temos que ter necessariamente b fx senta dx 0 a a Rodney Josué Biezuner 45 Usando a identidade trigonométrica cosab cosacos bsenasen b a soma parcial da série de Fourier k k Spyx S cos bp sen k1 1 1 k krt k krt 710 d co on BP sen BF son dt pode ser reescrita na forma integral e compacta Sle tf 50 77 kee O ay 115 nx cos LJ 2 oa L Definicao A funcao 11 kra Dyx Z 3 Soom 116 k1 é chamada o ntcleo de Dirichlet O nticleo de Dirichlet é uma fungao par continua e periddica de perfodo 2L Além disso L D dx 1 117 L 1 1 D0 0 Z n 5 Para os nossos propésitos a seguinte expresséo compacta para o ntcleo de Dirichlet que nao envolve uma somatéria seré extremamente util Lema 117 Se 4 2kL k Z entao 12 sen ne bw Dx 118 a ue 21 Prova Temos 1 S cos k6 Re yee k1 k1 Por outro lado se z 4 1 temos 1 gntl lzt2 1lz logo ne 1 ein1e 1 ikO Rodney Josué Biezuner 46 para 0 4 2k7 k Z Portanto nestas condigoes n 1 eino ci82e 102 gin128 e102 pin128 1 20s k Re 1 ei Re 192e102 e92 Re ei02 eid2 Re 2 isen cosn 0 isenn 0 2isen g Re icos sen icosn 40 senn 46 2sen 5 sen senn 40 2sen g il 4 1senn 40 252 seng A identidade que acabamos de obter isto 6 1 1 n 1 sen 5 0 5 d coskd 5p 119 k1 sen 2 é chamada a identidade trigonométrica de Lagrange e é valida para 6 4 2k k Z veja outra maneira de obtéla no Exercicio 123 Tomando 0 obtemos 0 resultado desejado Ml Pela definigao do nucleo de Dirichlet podemos escrever as somas parciais na forma L Srx ftDna t dt 120 L Fazendo a mudanga de varidveis s x t segue que eL etL Spa fa sDns ds fx sDys ds aL xL donde L Snx fa sDns ds 121 L pois ambas f e D tem periodo comum 2L logo o seu produto é uma fungao periddica de periodo 2L e o valor da sua integral sobre qualquer intervalo de comprimento 2L é 0 mesmo Por outro lado usando o fato que D é uma funcao par podemos escrever 0 0 L fx sDns ds fasDns ds fa sDns ds L L 0 donde L Spz fa s fa sDs ds 122 0 Usaremos esta expressao para as somas parciais e o Lema 117 para obter um teste que dara condicoes suficientes para que a série de Fourier de uma fungao convirja para a média dos seus limites laterais Rodney Josué Biezuner AT Teorema 118 Teste de Dini 1880 Seja f R R uma fungdo periddica de pertodo 2L absolutamente integradvel em LL Fixado x L L se existem os limites laterais fx fa e existe do 0 tal que do s Peta tent ile 9 FON a 123 0 Ss entao sex Le Fe 2 Prova Mais uma vez provaremos o resultado apenas para funcoes continuas por partes Denote ga 8 fa s flw F 8 fa se gx 8 1 Por hipstese fixado x existe d9 0 tal que L0 60 Usando o fato que 8 L L 1 D a dx 2 Ds ds L 0 podemos escrever fa fl h h 2 FED ELEY Pipe 4s fle sDalsds flet FeDas ds 0 0 L gx sDys ds 0 Em seguida para qualquer 0 6 69 decompomos L 6 L J sesPalsids gersDalsas gesDns ds 0 0 6 de modo que usando o Lema 117 temos 6 L 1 12 sa ORO Dols has sen 2 V2ms gles 124 2 0 8 2L Js L sen 2L A segunda integral em 124 tornase arbitrariamente pequena quando n oo pelo lema de Riemann Lebesgue aplicado a fungaéo continua por partes note que o denominador nunca se anula no intervalo 4 L ga 8 TS sen 21 Podemos fazer com que a primeira integral de 124 fique arbitrariamente pequena independente de n escolhendo 6 0 suficientemente pequeno De fato pelo Lema 117 temos 12 1 sen ne bP ne us ine 1 1 Dns 55 a9 S op aT sen oF lsen Dai podemos estimar 6 6 6 1 sD s 2 as sDns ee ds a an ds 0 Ss 0 Ss 2L 0 sen 55 Ss Rodney Josué Biezuner 48 Agora observe que a funcgao 8 hs a5 sen 2L é continua no intervalo 0 Z e existe o limite lateral direito em 0 porque pela regra de LH6pital 8 1 21 s0 sen s0 cos T 21 21 2L 2L aT de modo que se definirmos h0 h sera continua no intervalo 0 Z além disso h é crescente neste T intervalo pois TS 1S TS sen 2L L cos aL his as 0 sen 21 pois tany y para y 072 Segue que o valor maximo de h no intervalo 0 LZ é atingido em s L onde h tem valor exatamente igual a L e portanto 8 ay L paratodo s 0 L sen 21 Logo 6 6 x Ss 1 rs Lf eDaioy asl 3 a as 0 Ss 2 0 Ss x8 Assim como 928 é absolutamente integravel em 04 se 6 0 é escolhido suficientemente pequeno 8 podemos garantir que 6 x8 L Daley as e 0 8 qualquer que seja 0 dado Agora estamos em condicées de aplicar o teste de Dini para facilmente provar o Teorema de Fourier Prova do Teorema de Fourier Se f é continua por partes em L LZ entéo em particular os limites laterais existem para todo LL Além disso se f também é continua por partes em L L entao as derivadas laterais em x existem para todo x L L xas flat fim L9 FH prey s0 Ss ttsf COC lim 5 f2 e portanto a integral 6 Setaafes le 9 10 0 8 é finita para algum 6 0 suficientemente pequeno Hf 142 Diferenciagao e Integragao Termo a Termo da Série de Fourier Quando formos resolver equacgoes diferenciais parciais através de séries de Fourier sera importante diferenciar as séries de Fourier termo a termo por exemplo precisaremos calcular uz Uz para o candidato solucao da equacao do calor obtido na Introdugao para verificar se uz Kuz portanto é necessdrio saber em que condig6es isso pode ser feito o resultado a seguir é um caso especial da Proposigao 19 Rodney Josué Biezuner 49 Teorema 119 Diferenciacéo Termo a Termo da Série de Fourier Seja f R R uma fungao periddica de pertodo 2L tal que f continua em R e f continua por partes de modo que vale o Teorema de Fourier e a série de Fourier de f é dada por fx an cos bn sen Entdo a série de Fourier de f a série obtida derivando termo a termo a série de Fourier de f a sen mae my cos a Lo L Lo L Prova Como f é continua por partes em particular é absolutamente integravel logo seus coeficientes de Fourier estao bem definidos Seja 4 RTD op nn n COS nn Sel 20 L L a série de Fourier formal se néo convergir de f Para provar o teorema basta provar que Ao 0 An ae Ons L B OT an L Pelo Teorema Fundamental do Calculo temos 1 1 Ay fede FE f1 0 L porque f tem perfodo 2L logo fZ fL Assumindo para simplificar a demonstracaéo que f é continua podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes 1 ft 1 L L A z Moos ae L risen fs TE seen a FL FB oosnmy La son a co fL cos en Zz snt snt Llc ffs Sb L 1 ft 1 L L By 7 Mosen Fae F fieysen seve te 1 L es al fx cos dx LDJy L ont pan a Rodney Josué Biezuner 50 Exemplo 120 Se f é descontinua entao a conclusao deste teorema falha mesmo que f possua uma série de Fourier que convirja para f em seus pontos de continuidade nao podemos derivar a série de Fourier de f termo a termo para encontrar a série de Fourier de f Por exemplo se f R R é a onda em dente de serra isto é a funcao periddica de periodo 2L definida no intervalo fechado L L por x se La2xlL re 0 sex LL entao a série de Fourier de f é a série de senos dada por 2b 1 nTe x sen I2 bp rE n1 como vimos no Exemplo 114 Como f satisfaz também as hipdéteses do Teorema de Fourier sabemos que f também possui uma série de Fourier que converge para f nos pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade No entanto como f nao é continua ocorre que esta série de Fourier nao pode ser obtida através da derivacao termo a termo da série de Fourier de f De fato a derivada termo a termo da série de Fourier de f Nx jrti ana 2 Ss 1 cos Z n1 nao é nem mesmo uma série convergente em nenhum ponto divergindo tanto nos pontos de descon tinuidade como em pontos de continuidade de f Por exemplo no ponto x 0 a série é co 2S 01 21111 n1 que oscila entre os valores 2 e 0 enquanto que no ponto x L a série é co 2 01 2141141 n1 que oscila entre os valores 2 e 0 Em geral a série diverge em qualquer ponto porque lim cosna 0 n oo para todo R Para provar isso suponha por absurdo que lim cosnz 0 para algum x Isso n oo 2 implica evidentemente que lim cosnz 0 também pois lim cos nz lim cos ne Também nco n co n co segue que lim cos2na 0 pois cos2na é uma subseqiiéncia de cosna Mas entaéo tomando o ncoO limite quando n oo em ambos os lados da identidade trigonométrica 2 1 cos 2nz cos nz 5 obteremos o absurdo 0 12 Isso prova que lim cosna 4 0 para todo x R e portanto a série nco diverge em todos os pontos Podemos calcular a série de Fourier de f diretamente a partir da definigdo de f temos que f 1 se L aL f nao esta definida nos pontos mtiltiplos de L mas podemos redefinir nestes pontos Rodney Josué Biezuner 51 como valendo 1 e é periédica de periodo 2L logo seus coeficientes de Fourier note que f é par sao a f flede f dx 2 L Jo L Jo 1 2 NTX an cos dx 0 LL L by 0 e sua série de Fourier 6 portanto fx 1 Poderiamos ter chegado a este resultado imediatamente sem precisar de calcular os coeficientes de Fourier de f porque a série de Fourier de uma funcéo definida na reta é tinica 0 No caso da questao de se é permitido integrar termo a termo a série de Fourier de f as hipdteses sobre f para que isso seja possivel sao muito mais fracas Podemos integrar a série de Fourier de f termo a termo para obter a integral de f mesmo quando a série de Fourier de f nao converge uniformemente para f De fato podemos integrar a série de Fourier de f mesmo quando a série de Fourier de f nao converge pontualmente para f e mesmo quando ela nao é uma série convergente Para mostrarmos isso vamos provar rigorosamente o resultado intuitivamente dbvio que a integral de uma fungao periddica de periodo T tem o mesmo valor em qualquer intervalo de comprimento T Proposigao 121 Seja f R R uma fungao periddica de pertodo T Entao para qualquer a R vale T atT fede fx dz 0 a Prova Definindo uma fungao F R R por aT Faaf fleae a basta provar que F é constante pois isso implicard que F0 Fa para todo a R Para isso mostraremos que F 0 De fato escrevendo 0 aT a atT Fa f peav f pteae floyd sf pteyae a 0 0 0 segue do teorema fundamental do calculo que Fila fa flaT 0 a Teorema 122 Integracao Termo a Termo da Série de Fourier Seja f R R uma fungdo periddica de pertodo 2L tal que f é continua por partes Entao mesmo se a série de Fourier de f a NTx NTx 0 S an cos by sen n1 nao for convergente ainda assim temos t co ao L An nat by nat xdz t sen cos 1 I 2 T L n L n1 para todo t ER Rodney Josué Biezuner 52 Prova Defina Ft f de 0 2 Em primeiro lugar vamos verificar que F satisfaz as hipdteses do Teorema de Fourier De fato F é periddica de periodo 2D pois t2L do t ao t2L ao Ft 2L f 2 a Fe a fe dix 0 2 0 2 t 2 t2L ao r f F dix t e t2L ao t2L ag ttee t2L 11 re f F ax fl dr f a fx dx z fx dx 2L t 2 t 2 Si t 2LS1 L L flo de f fx dx 0 L L Além disso F é continua na reta toda pois é6 a integral de uma funcao continua por partes e F f é continua por partes por hipdtese Portanto Ff possui uma série de Fourier que converge para F em todo ponto Ag nit nat Ft 2 An cos 2 B sen T Calculando os coeficientes da série de Fourier de F através de integracgao por partes obtemos 1 t 1L t ob ft t An 7 Ft cos dt Ftsen Ft sen dt Ljy L L nr L nm Jip L 1 ft 1 L 7 sen dt Lbp of sen dt nm Jor 2 L nT 2 Jip L L Dp nt 1 nat 1 L nat X L ft nat B Ft dt Fit Ft dt c t sen 2 ool ef t cos 1 ft 1 L 4 2 cos at La cos dt nm Jor 2 L nT 2 Jip L L An nt Falta calcular Ap Para isso notamos que da definigaéo de F segue que F0 0 logo Ao Lab An y An n1 n1 Assim t co co ao L b L bn nit an nat 2 dra nyo nh a4 n a r a Petey nT Ty ET Rodney Josué Biezuner 53 donde t t co co ao L b L bn nit an nat xdxz dz cos sen Ax 2 T not n L n L n1 n1 co ao L An nit by nit t sen cos 1 2 T n L n L n1 como desejado Exemplo 123 A demonstracdo do teorema anterior produz como conseqtiéncia naointencional um teste para determinar que uma determinada série trigonométrica nao pode ser a série de Fourier de nenhuma funcgao continua por partes De fato provamos la que oo t b T a ad eg n1 o que significa em particular que a série n n1 converge Assim por exemplo a série trigonométrica 1 S sen nx os logn nao pode ser a série de Fourier de uma funcao continua por partes porque a série ae n nlogn n1 n2 diverge este exemplo foi dado por Fatou em 1906 O 143 Desigualdade de Bessel Queremos agora estudar como as somas parciais da série de Fourier aproximam a fungao Como conseqtiéncia obteremos uma desigualdade que sera importante no estabelecimento da convergéncia uniforme da série de Fourier na préxima secao Definicao Seja f R R uma funcao periddica de periodo 2L quadradointegravel no intervalo L L O erro quadratico médio na aproximacao de f pelas somas parciais da sua série de Fourier é definido por 1 ft 9 p fa Sax de 125 2L Jp Observe que E nada mais é que a média dos quadrados dos erros fa Snx sobre o intervalo L L dai o nome Teorema 124 Seja f R R uma fungao periddica de pertodo 2L quadradointegrdvel no intervalo L L Entao E f ey ae 2397 ah 126 OL Jip 40 220 h0 Rodney Josué Biezuner 54 Prova Temos 1 fe En 57 f fle Sula dx n OL 1 n Lf rer aet persntayar ff sutey a x xt x nlx x aT nlx DL 2L Jp L Jit 2D Jp Para obter o resultado observe que a segunda integral é 1 1 k k 7 fxSpa dx Z fz s cos bp sen dx 1 1 k 1 k ST fear mi flaycos Fae ng f fa sen der ay nee x the ak 0 k1 enquanto que a terceira integral é usando as relacoes de ortogonalidade 1 L 2 1 a0 kr krax az Su av sf T eeeosAZ besen SH dx 1 a 1 ft k 1 k a e ais cost TE det tse sen dx 2b J 4 2b Jp L 20 Jip L az lS 5 0 a dp 4 2 k1 a Podese provar que dentre os polinémios trigonométricos as somas parciais da série de Fourier de uma fungao séo aquelas que minimizam o erro quadratico médio veja o Exercicio 127 Corolario 125 Desigualdade de Bessel Seja f R R uma fungdo periddica de pertodo 2L quadrado integrdvel no intervalo L L Entdo a 72 2 1 2 2 a2 B il fa de 127 Prova Segue diretamente do teorema anterior lembrando que E 0 por definigao e tomando o limite quando n co Em particular este resultado mostra que os coeficientes de Fourier de uma funcao quadradointegravel sao quadradosomaveis isto é 2 co a9 2 2 2 Do an h oOo Em geral nds nao temos S an 00 ou bn 00 veja por exemplo os coeficientes de Fourier da fungao do Exemplo 114 Mais tarde veremos que a desigualdade de Bessel é uma identidade a identidade de Parseval Rodney Josué Biezuner 55 144 Convergéncia Uniforme da Série de Fourier Para estabelecer que as solucdes das equacoes diferenciais parciais construidas a partir de séries de Fourier como aquela da equacao do calor na Introducao de fato satisfazem as condicgoes de continuidade e diferencia bilidade por exemplo ser de classe C na varidvel x precisaremos de um conceito mais forte de convergéncia do que a convergéncia puntual Definigao Seja fn cj uma seqiiéncia de fungodes reais definidas em um conjunto X Dizemos que a seqtiéncia f converge uniformemente para a funcao f em X e escrevemos f f uniformemente em X se dado 0 existe no N tal que se n no entao lfna fe para todo ae X 128 co Dizemos que a série 5 f de fungoes reais definidas em um conjunto X converge uniformemente n1 so para a funcao f em Xeescrevemos f f uniformemente em X se a seqiiéncia de somas parciais n1 da série converge uniformemente para f Se uma seqtiéncia de fungoes continuas converge puntualmente para uma funcao f a funcao f nao precisa ser continua considere por exemplo a seqiiéncia fx x no intervalo 01 que converge puntualmente para a fungao f definida por fa 1 se x 01 e f0 0 Se a convergéncia for uniforme no entanto a funcao limite é necessariamente continua Teorema 126 Se fnnen wma seqtiéncia de fungdes reais continuas definidas em um conjunto X CR tal que fn f uniformemente em X entao f continua Prova Fixe x9 X Dado 0 existe N N tal que E lfnxz fx 3 Para todo x X Como fy é continua em zo existe d 0 tal que se x xo 6 entao E fx fin 0 3 Portanto se z 2o 6 segue que fx Fxo f fr x fv 0 fv 20 Fo 3 g 3 a co Corolario 127 Se fn é uma série de funcées reais continuas definidas em um conjunto X C R tal se n1 que fn f uniformemente em X entao f é continua n1 Prova Segue imediatamente do teorema anterior porque cada soma parcial de funcoes continuas é uma fungao continua Hf Um teste usualmente facil de aplicar para estabelecer que uma série converge uniformemente é 0 testeM de Weierstrass co Teorema 128 TesteM de Weierstrass Seja f uma série de fungdes reais definidas em um conjunto n1 X Suponha que para cada n N existe M 0 tal que lfn2 M para todo xe X co co ea série M converge Entéo Y fn converge uniformemente n1 n1 Rodney Josué Biezuner 56 co Prova Para cada x X a série fx converge absolutamente pelo teste da comparagao Logo n1 podemos definir uma funcao real f X R por co fx falc n1 co Vamos provar que f f uniformemente em X Para todo x X escreva n1 k love oo love ye So a S a So fale SS My n1 nk1 nk1 nk1 co co Como a série M é convergente dado 0 existe ko N tal quese k ky entéo D Me n1 nko1 Vale a pena observar no entanto que existem séries uniformemente convergentes que nao satisfazem o testeM de Weierstrass Teorema 129 Convergéncia Uniforme da Série de Fourier Seja f R R uma fungdao periddica de pertodo 2L tal que f continua em R e f continua por partes Entdo a série de Fourier de f converge uniformemente em R Prova Vamos estabelecer a convergéncia uniforme da série de Fourier de f a NTx Nx 0 S an cos by sen n1 através do testeM de Weierstrass Basta provar que para todo n existe M 0 tal que NTx NTx lan cos by sen M co easérie 5 M é convergente n1 De fato usando a desigualdade 2AB A B temos que NTx nme 2 2 9 NNX NTx NIL 15 oNtL la cos by sen a cos Tz 2a cos zn sen by sen Tz 2 9 NTX 29 NTL 2a COs Ty 2b sen TT 2 a 02 e dai mais uma vez usando a desigualdade 2AB A B segue que Tx NTX 1 lan cos by sen V2a2 02 27 a2 b2 1 a tn az b2 co 1 Como a série convergente para terminar a demonstragao do teorema falta apenas provar que n1 1 co S n a be n1 Rodney Josué Biezuner 57 é convergente Pela Proposicao 19 os coeficientes de f sao exatamente nt nt an zon e b yo Logo o resultado segue aplicando a desigualdade de Bessel a f oo love L L 2 2 L 2 2 2 2 don 02 SY a Wy Sf P ae TT TT L n1 n1 a 145 Identidade de Parseval Ao invés de considerarmos as somas parciais da série de Fourier vamos aproximar a fungdo através das médias aritméticas das somas parciais O conceito de se tomar as médias aritméticas de somas parciais foi introduzido por Frobenius em 1880 no estudo de séries de poténcias A utilidade do conceito esta na existéncia de séries divergentes tais que as médias aritméticas de suas somas parciais formam uma seqtiéncia convergente enquanto que as seqiiéncias formadas pelas médias aritméticas das somas parciais de séries convergentes certamente sAo convergentes com o limite da seqiiéncia sendo igual ao limite da série tais séries sao chamadas Cesdrosomdveis n Exemplo 130 A série 5 11 é divergente oscila entre 0 e 1 mas a seqiiéncia das médias aritméticas k1 de suas somas parciais é a seqiiéncia o definida por n n O2n1 57 92n F 2n1 2n que converge para 12 Portanto a série 6 Cesarosomavel 0 Em 1904 Féjer provou que a série de Fourier de uma funcao continua por partes é Cesarosomavel ja vimos que a série de Fourier de uma funcéo apenas continua nao precisa ser convergente O resultado de Féjer sera uma ferramenta importante na demonstracao da identidade de Parseval além de servir para provar outros resultados sobre séries de Fourier As médias aritméticas das somas parciais da série de Fourier receberam o nome de somas de Féjer Definicgao Denote por ao Som n Sna ao 4 krax b kr tz y ap cos by sen 2 L L i k1 as somas parciais da série de Fourier de uma funcao f Definimos as somas de Féjer por 1 n Onx y Si x 129 n1 k0 Lembrando que as somas parciais da série de Fourier podem ser escritas na forma L Sux f FDaa that L Rodney Josué Biezuner 58 onde D é 0 ntcleo de Dirichlet definimos Dp 1 para abranjer também o caso n 0 obtemos a seguinte expressao para as somas de Feéjer n tD tdt t D t dt me of fDeHae ft 5 Pile k0 k0 Isso sugere definir o nucleo de Féjer Py2 Dla 130 n nil k k0 Lema 131 O nicleo de Féjer uma funao par continua periddica de pertodo 2L que satisfaz as sequintes propriedades adicionais n1rx Fy a2 131 2L n 1 sen ne 21 para 2kL k Z L Ft dt 1 132 L e 1 n F0 Prova Demonstraremos apenas a primeira identidade ja que as outras identidades e demais propriedades do nucleo de Féjer seguem diretamente da definicao e das correspondentes propriedades do nucleo de Dirichlet Pelo Lema 117 temos 1 k12 pale p So sen PEMD 2Ln1sen 37 b0 Para calcular k12 S sen KAU 2 4 L k0 observamos que para 0 4 2k7 k Z temos n 1 no gen gL eintle S sen 5 6 Im el2 Im v ye Im c k0 k0 k0 a Ultima igualdade segue como no Lema 117 Dai I igl elrey I Lerte I 1cosn 1 isenn 16 m 1 it 102 i2 O 2isen 3 1 iicosn10senn16 1cosn16 1M oF FOO 0 0 2sen 3 2sen 3 sen e DO 2 a sen 2 Rodney Josué Biezuner 59 Tomando 6 segue que 1 1ra 7 sen nt ee 1 sen nt ae F2 ae CESSCCCONSNU COOP mW VQ UOC OL 1 aw aw 20 n 1 a n 1sen OL sen sen a Teorema 132 Teorema de Féjer Seja f R R uma fungdao periddica de pertodo 2L limitada e integrdvel no intervalo LL Entdo se os limites laterais fa fx existem para todo ponto xz ER a seqtiéncia de somas de Féjer converge para a média dos limites laterais em todo ponto x 2 Em particular se f continua em x entaéo onx fa Além disso se f continua a convergéncia é uniforme Prova Usando a expressao obtida logo antes da demonstracgaéo do Teorema 118 L Sol fe s fw 9Das ds 0 e a definicao do ntcleo de Féjer obtemos L OnX fa s fx sFs ds 133 0 Dai como L L l F dx 2 Fs ds L 0 temos como no Lema 117 f2 fl h h one LED EMO Pipa 5 Fle sFalsds f f0 fleFals ds 0 0 L gx 8 Fs ds 0 onde para simplificar a notacao definimos ga8 flws flat fw s fa A existéncia de fx e fx significa que dado 0 existe 6 dx 0 tal que se 0 s 6 temos lets feDI fls Fle ou seja lgx 8 e Além disso como f é limitada temos que gx 8 M Rodney Josué Biezuner 60 se 6 s L para alguma constante M 0 Portanto observe os paralelos com a demonstracaéo do Lema 117 fat fa L raay FFA ales s Pals as 0 6 L Fs ds Mf Fs ds 0 6 L et u Fs ds 6 Para terminar basta provar que L Fsds 0 quando n ov 6 Para isso observe que pelo Lema 131 L L 1 1 L6 1 Fu a saan ds 0 TO TO 5 aL nl Js sen 2Dsen 2241 21 21 quando n oo Finalmente se f é continua entaéo em particular f é uniformemente continua em L L e portanto o mesmo 6 pode ser tomado para todo x R logo a convergéncia é uniforme Observe que o teorema de Féjer aplicase a fungoes periddicas continuas por partes pois elas sao limitadas e localmente integraveis Corolario 133 Sejam fgR R duas funcoes periddicas de periodo 2L e continuas Se elas possuem a mesma série de Fourier entao f g Prova Pois pelo teorema anterior 7x fx e onx ga Corolario 134 Se os coeficientes de Fourier de uma funcdao periddica e continua sao nulos entao ela é a fungdo identicamente nula Podemos agora mostrar que o erro quadratico médio com relagao as somas parciais da série de Fourier tende a 0 quando tomamos somas parciais cada vez maiores como era de se esperar Teorema 135 Seja f R R uma fungao periddica de pertodo 2L quadradointegrdvel no intervalo L L Entao lim F 0 134 noco Prova Se nos limitarmos a funcoes continuas 0 resultado segue do Teorema de Féjer e do Exercicio 127 De fato pelo Teorema de Féjer 0 f uniformemente logo max fx onx 0 quando n oo LL e portanto 1 L 2 a lf a ona de max fxoa 0 quando n ov 20 Jp LL Rodney Josué Biezuner 61 Por outro lado oa é um polinémio trigonométrico de ordem n logo pelo Exercicio 127 Baa fie sutras se pte anlanh L Spa ug L On a x n OL 1 n OL Lb n Para o caso mais geral veja 4 ll Usando os Teoremas 124 e 135 juntos obtemos um resultado mais forte que a desigualdade de Bessel Corolario 136 Identidade de Parseval Seja f R R uma fungdo periddica de pertodo 2L quadrado integrdvel no intervalo L L Entdo Lf 2 ag 2 2 zie d D7 an bn 135 n1 146 Sistemas Ortogonais JA vimos que podemos definir um produto interno no espaco Lab das funcdes quadradointegraveis no intervalo ab por b fa fF fegla ae 136 a A partir do produto interno podemos definir uma norma b 12 2 lil VE Fo ts 137 a Definigao Um conjunto de fungées y C Lab 6 chamado um sistema ortogonal se ele satisfaz as duas condicoes seguintes i Yn Ym 0 sen Am ii en 0 para todo n Se n 1 para todo n entao dizemos que y é um sistema ortonormal kira kra Os conjuntos 4 cos e 4 sen sao exemplos de sistemas ortogonais L n01 L n12 Definigao Um sistema ortogonal y C Lab 6 completo se ele nao for um subconjunto préprio de nenhum outro sistema ortogonal isto é se f yn 0 para todo n entao f 0 Quando dizemos f 0 para uma funcao quadradointegravel queremos dizer que o conjunto dos pontos x tais que fa 4 0 tem medida nula O préximo resultado esclarece melhor o significado da identidade de Parseval Sua demonstracao esta além do nivel deste curso Teorema 137 Um sistema ortogonal yn C Lab é completo se e somente se para toda funcgao f Lab existem coeficientes cn tais que 2 2 fl Soe eal 138 n kra kra Decorre da identidade de Parseval e deste resultado que o sistema ortonormal 1 cos TZ sen Tz n12 é um sistema completo Rodney Josué Biezuner 62 147 Exercicios Exercicio 123 Obtenha a identidade trigonométrica de Legendre 1 1 n psn r 5 0 9 S COs k oO k1 sen 2 de uma maneira diferente da utilizada no Lema 117 usando a identidade trigonométrica 0 1 1 cos k sen senk 0 sen 6 2 2 2 Exercicio 124 Obtenha a identidade trigonométrica 1 n sen 9 Sr sen k 9 2 k0 2 6 sen 2 de uma maneira diferente da utilizada no Lema 131 usando a identidade trigonométrica 0 0 k1 k1 2sen k sen cos 6 cos 6 eg D 2 2 Exercicio 125 Usando o teste de Dini prove o seguinte teorema Lipschitz 1867 Seja f uma fungao periddica localmente integrdvel Se f continua de Lipschitz em algum intervalo aberto centrado em x isto é se existem 6 M 0 tais que fa t fx Mt para todo t 66 entdao a série de Fourier de f converge para fx Exercicio 126 Use o teste de Dini para provar o seguinte resultado Seja f uma fungao periddica localmente integrdvel Se f continua de Holder em algum intervalo aberto centrado em x isto é se existem 6 M 0e0a 1 tais que ft no M para todos st c640 entdao a série de Fourier de f converge para fx Conclua que se uma fungao periddica f localmente integravel tem derivada em x entao a série de Fourier de f converge para fx Exercicio 127 Mostre as que somas parciais da série de Fourier de uma fungao f sao os polindmios trigonométricos que melhor aproximam jf Ou seja se n co krax krax Sn S x cos dysen 3 k1 onde cx dx R sao coeficientes quaisquer e se definirmos o erro quadratico médio com relagao a este polinémio trigonométrico por 1 se 2 Ey x Sx dx oz F Sal entao temos 7 En En 4 Capitulo 2 E ao do Calor Unidi l 21 Existéncia Unicidade e Estabilidade da Solugao para o Prob lema de Dirichlet De acordo com o modelo matematico que obtivemos na Introducgao para a conducao do calor em uma barra uniforme homogénea de comprimento L cuja superficie lateral é isolada termicamente e cujas extremidades sao mantidas temperatura inicial 0 a distribuigéo de temperaturas uxt em um ponto x da barra no instante de tempo t é a solugao do problema de valor inicial e de valor de fronteira ut Kury see0OaLetQ0O u0t uLt 0 se t 0 21 uaz0 fx seeOacL onde K é uma constante positiva e f 0 Z R é uma fungao dada Em outras palavras a distribuigao de temperaturas na barra de acordo com o tempo é governada por uma equacao diferencial parcial a equacao do calor Neste caso a equacao diferencial parcial esta definida na regido aberta R zt R0a Let 0 0L x 000 que 6 uma regiao ilimitada do plano uma faixa retangular ilimitada Na fronteira isto é bordo ou contorno desta regiéo que é constituida pelo segmento de reta 0 L x 0 e pelos raios 0 x 0 00 e L x 0 00 0 valor de ux t esta fixado este tipo de condicao de fronteira em que o valor da solucao u é fixado na fronteira 6 chamada uma condicao de Dirichlet como vimos Através do método de separacéo de varidveis e um argumento indutivo chegamos ao seguinte candidato a uma solucao deste problema n2x NX uat S cre sen tT 22 n1 onde os coeficientes c sao escolhidos de tal forma que podemos escrever a distribuicao inicial de temperaturas f na série de senos co NTx fa Soen sen n1 Pelo Teorema de Fourier sera sempre possivel escrever f desta forma se f e sua derivada f forem continuas por partes neste caso os coeficientes c sao exatamente os coeficientes de Fourier da extensao periddica impar de f 2 fh Tx Cn x sen dx Zl fsa e a série de Fourier de f em x converge para fa em todos os pontos x 0 L exceto se x for um ponto de descontinuidade de f mas existe apenas um ntmero finito de tais pontos 63 Rodney Josué Biezuner 64 E necessario provar que o nosso candidato a solugao wu definido em 22 é de fato uma solugdo para o problema de Dirichlet 21 Para isso precisamos definir mais precisamente o conceito de solucao Talvez surpreendentemente a definigao deste conceito depende fortemente do tipo de aplicagao que se tem em mente ou seja do tipo de resposta que se espera do modelo matematico Por exemplo a fungao fx seeOacLet0 uat 0 sex0LetQ0 1000 see0OaLetQ0O satisfaz todas as condicgdes do problema 21 mas nao parece ser uma solucao fisicamente aceitavel pois os valores da funcao no interior da faixa retangular nao tem qualquer relacgao com os valores na fronteira e nao sofrem nenhuma influéncia destes Em geral esperamos que a distribuigao de temperaturas na barra varie de maneira continua com o tempo a partir da distribuigao de temperaturas inicial e que em qualquer instante de tempo considerado a distribuicao de temperaturas ao longo da barra também seja continua e em particular que nao haja um salto descontinuo na temperatura da barra em seus extremos Estas consideragoes levariam 4 seguinte definigéo de solugao para o problema 21 Dizemos que uma funcdo uR R é uma solugdo de 21 seu O71R u CR e u satisfaz todas as condigées de 21 O simbolo C significa que exigimos que a nossa solucdo tenha derivadas parciais continuas até a segunda ordem em x e derivadas parciais continuas de primeira ordem em t Observe que em particular esta definicgaéo exige que a distribuicao inicial de temperaturas seja continua e que f0 fL 0 note que como conseqiiéncia destes dois fatos a extensdéo periddica impar de f também serdé uma funcao continua No entanto esta condicao sobre f pode ser uma restricao muito grande em certos problemas fisicos e nao corresponder a realidade observada Um exemplo de uma situacao fisica plausivel em que isso nao ocorre é quando consideramos duas barras homogéneas formadas de um mesmo material e possuindo a mesma geometria uniforme inicialmente isoladas uma da outra e do meio ambiente e mantidas a temperaturas constantes mas diferentes por exemplo uma é mantida 4 temperatura constante de 0C enquanto que a outra é mantida 4 temperatura constante de 100C se elas forem colocadas imediatamente uma em contato com a outra através de uma de suas extremidades entao temos um sistema que na pratica é uma unica barra com uma distribuicao inicial de temperaturas dada por uma fungao descontinua porém continua por partes Por outro lado nao é razodvel que a solugdo uxt esteja totalmente desconectada da distribuigaéo de temperaturas inicial Para conciliar estas diferencas utilizaremos a seguinte definicao de solucao para a equacao do calor Definicao Dizemos que uma funcao u R R é uma solugao de 21 se u CR u é continua em Rzt R20aLet 0 lim u2 fx se f é continua em e u satisfaz todas as condig6es de 21 Estas séo condigdes que uma fungdo uxt deve satisfazer para ser considerada uma solucao para o problema de valor inicial e de valor de fronteira 21 O préprio problema de valor de fronteira deve ainda satisfazer duas condigdes importantes para que ele seja considerado um modelo matematico valido para o problema fisico em questao ele deve possuir uma tinica solugado e esta nica solucao deve ser estdvel De fato esperamos que se um problema fisico foi bem compreendido com todas as varidveis levadas em consideragao ele deva ter uma unica solugao se o correspondente modelo matematico possuir mais de uma solugao é sinal de que ele ainda nao é um modelo matematico correto para o problema em questao e que sao necessarias hipdteses adicionais para limitar o numero de solugoes a uma tunica solucao Da mesma forma na medicao experimental de fendmenos fisicos esperamos um certo grau de incerteza e que as medidas obtidas sejam apenas aproximacoes Por exemplo a medicao da temperatura inicial da barra é uma aproximacao e certamente deve conter erros Analogamente nao é razodvel esperar que as temperaturas nas extremidades da barra possam ser mantidas o tempo todo na temperatura exata 0 pequenas flutuagoes em algumas casas Rodney Josué Biezuner 65 decimais devem ocorrer Conseqtientemente a solucao do modelo matematico é apenas uma aproximacao da solugao real Para que ela seja uma boa aproximacao deveremos requerer que a solucao do problema dependa continuamente da condicao inicial e das condicoes de fronteira isto é pequenas mudangas na condigao inicial ou nas condicoes de fronteira acarretam apenas pequenas mudangas na solugao Um problema que satisfaz todas estas condicgoes isto é possui uma solucao unica estavel 6 chamado um problema bemposto no sentido de Hadamard Exemplo 21 Considere o problema de Dirichlet condugao do calor em uma barra infinita Rothe 1928 ut Kuga se ooaocoetQO ux1 fx se wW24 om Este nao é um problema bemposto no sentido de Hadamard De fato se f 0 entao u 0 é a tinica solugao Porém se c Oe fx csen VK entao a solugao é xt ce sen uxt cee ck Embora se escolhermos a constante positiva c suficientemente pequena possamos tornar f tao proxima da fungao identicamente nula quanto desejado a solugao wu acima nao tende a solucao identicamente nula no intervalo 0 t 1 Ao contraério quando c 0 a solugdo tornase ilimitada Logo uma pequena mudana na condicao inicial acarreta uma enorme mudanga na solucao 0 211 Existéncia de Solugao para o Problema de Dirichlet O problema de Dirichlet para a condugao do calor na barra finita é um problema bemposto no sentido de Hadamard A unicidade e a estabilidade da solucdéo seguem do principio do maximo para a equacao do calor conforme veremos no final desta secao A existéncia da solucdo para o problema de Dirichlet homogéneo isto é a confirmacao de que o nosso candidato a solugao é de fato a solucao para o problema segue do teorema a seguir Para provdlo precisaremos de um segundo teste de convergéncia uniforme além do testeM de Weierstrass que estabelece a convergéncia uniforme de uma série de produtos de fungoes Lema 22 Teste de Abel Seja S um conjunto e fn Gn S R seqtiéncias de funcgdes tais que co i SO fn converge uniformemente em S n1 ii ou gn 8 gn41 8 0 Gn4iS gn s para todo n N e para todo s S iii existe uma constante M 0 tal que gn s M para todo n N e para todo s S Entao a série co de fngn n1 converge uniformemente em S Prova O resultado segue através da formula de soma por partes também devida a Abel Ela pode ser co obtida da seguinte forma Denote as somas parciais da série 5 f por n1 n Fn fe k1 Rodney Josué Biezuner 66 Entao para 1 m n temos n n n n Yo fee D5 Fe Fea oe D5 Fege D5 Fer9e km km km km n n1 S Fegk S Fegk1 km km1 n1 n1 Engn S FuGk Fm1gm S FRGgk1 km km de modo que a f6rmula de soma por partes é dada por n n1 S SeGk Fngn Fim19m S Fi Gk1 Gk 23 km km co Assuma agora as hipdéteses deste teorema e denote f fn Como para 1 m n temos n1 n1 So Grt1 9k In 9m km1 segue da formula de soma por partes que n n1 n1 So fe9 Fn9n Fm19m Fe 9x41 9k f a am SY Gra ay km km km1 n1 Fn f9nFm1 f 9m S Fe f e441 ge km co Como fn converge uniformemente existe N suficientemente grande tal que para todo k N temos n1 E Fy f sempre que k n Logo sen m N temos n n1 fa Fn fl gnFm1 flgml S Fe fl lgnva ge km km E E e WS MM S 4M 4M 4M Yo Igev1 IK km 4 E 2 aur 9m co Isso mostra que as somas parciais da série fngn constituem uma seqiiéncia de Cauchy uniforme logo a n1 série converge uniformemente Mi Outro resultado que precisaremos é 0 fato de que podemos derivar termo a termo uma série uniformemente convergente Por sua vez isto segue do fato de podermos integrar termo a termo uma série uniformemente convergente Rodney Josué Biezuner 67 co Lema 23 Integracgaéo termo a termo de uma série uniformemente convergente Seja S fn uma série n1 uniformemente convergente no intervalo ab de fungdes integrdveis limitadas fr ab R Entao o seu limite é integrdvel e bo oo pb XmedL wm a n1 n14 n co Prova Seja F fx a soma parcial de ordem n da série e f fy o limite da série Denote k1 n1 Sn sup f x Fh 2 xab e para uma partigdéo a 41 n1 Ly Ob do intervalo ab sejam m inf f e M sup f wi101 vi10 e denote as somas inferior e superior da fungao no intervalo ab por n n Lsup m a 21 e U inf S M a 21 i1 i1 onde o sup e o inf séo tomados sobre todas as partigdes do intervalo ab Temos b b Fs LU Fn Sn a a Logo 0UL 2s ba Como s 0 porque a convergéncia é uniforme concluimos que U L em outras palavras as somas inferior e superior sao iguais o que significa que f é integravel Para provar a integracao termo a termo escreva b b b b te ea o s tml o0a 0 a a a a a co Lema 24 Derivagéo termo a termo de uma série uniformemente convergente Seja fn uma série n1 puntualmente convergente de fungdes continuamente diferencidveis f ab R tal que a série co fi converge uniformemente em ab Entdo o seu limite é diferencidvel em ab e n1 co co dm dm n1 n1 Prova As derivadas f sao continuamente diferencidveis logo em particular sao integrdveis Podemos portanto aplicar o lema anterior a série das derivadas obtendo para cada zx a x CO oo x co co co PCRS KA Lh OhOLKOLhAw n1 n14 n1 n1 n1 Rodney Josué Biezuner 68 Derivando ambos os lados desta igualdade em relacao a x obtemos o resultado desejado d gy oo d oo rp SnSeSaw n1 n1 n1 a Agora estamos em condigao de provar a existéncia de solugaéo para o problema de Dirichlet para a equacéo de calor unidimensional Teorema 25 Existéncia de Solugéo para o Problema de Dirichlet Homogéneo Seja f 0L R uma funcao continua por partes tal que f também continua por partes Entdao nn iy NTL uat So ene 72 sen n1 com 2 L fa NTE Cn x sen dx LD Jo L é uma solucdao para 21 de classe C em R e continua em R Além disso lim uxt fx se f continua em x Prova Pelo Lema de RiemannLebesgue temos que c 0 quando n ov logo existe M 0 tal que lcn M Portanto para todo t to qualquer que seja to 0 vale oo 22 oo 22 1242 Nx na 7p Seen L2 hen are L2 to n1 n1 A série numérica do lado direito converge por exemplo pelo teste da raiz n2Ktg 2 1n n2 Kt lim G pee lime 7 0 nco n co Segue do testeM de Weierstrass que a série do lado esquerdo converge uniformemente no conjunto 0 L x to 00 e portanto uat é continua neste conjunto Mas to é arbitrario logo isso prova que ux t é continua em FR Agora fixado x 0 LZ diferenciando a série de uxt termo a termo em relagéo a t obtemos a série 2 oe 22 T 9 nn gy NTx aak Don Cyne 2 sen n1 Aplicamos o testeM de Weierstrass a esta série 22 22 nn Ig Nx nn Ig Se Tz sen MY ne pe to n1 n1 Pelo teste da raiz 2 2K to 72 ue 1 2 2Kto lim ne 7 Jim n lime 2 0 n0o noo n0o o lado direito converge logo concluimos que a série do lado esquerdo é uniformemente convergente em t tpco Pelo Lema 24 isto implica que esta série é uat para todo t tp Mas o testeM de Weierstrass também da a convergéncia uniforme desta série em xt 0 LZ x to00 para todo t to Rodney Josué Biezuner 69 portanto concluimos também que ux t é continua em R Analogamente fixado t diferenciando a série de uxt termo a termo duas vezes em relacéo a x obtemos a série 2 22 1 n2x Nx jp S n7cne rz t sen Tt n1 e pelo mesmo argumento concluimos que esta série é Uz xt e que Use xt é continua em R Comparando as duas séries vemos que uzt Kuz2 xt para todo xt R Além disso NTx ux 0 S Cn sen fx n1 u0t uL t 0 Suponha agora que f é continua em xo Considere as séries de func6es definidas no intervalo 0 00 NTXLO fnt cn sen L nen Int e Ke co Pelo Teorema de Fourier 5 fn é uma série numérica convergente e portanto uniformemente em t 0 00 n1 A seqtiéncia de fungoées gp t satisfaz gnt 1 e gni t Gn t para todo n N e para todo t 0 oo o0 nn NTx Pelo teste de Abel conclufmos que ce 7 Kt sen converge uniformemente em t 0oo Em n1 particular uxt ua0 f x Isso termina a demonstracao do teorema Hi Corolario 26 Regularidade da Solugéo da Equacao do Calor A solugdo obtida no teorema anterior é de classe C em R Prova De fato nada nos impede de diferenciar termo a termo a solugdo uxt acima quantas vezes quisermos em relagao a x e t e usar 0 mesmo argumento do teorema teste da raiz e testeM de Weierstrass para concluir a convergéncia uniforme em cada etapa Em linhas gerais ao derivar a série de uxt termo a termo 7 vezes em relacgao a t e 7 vezes em relacao a x obteremos a série oe 2x2 Fey NTx C L 7 S CynPe 1 sen rT n1 onde p 2i j e CL7 é uma constante que depende apenas de L e 7 Logo CL pe Kt NTL v p 2 e Kt t S cnnPe 7 sen So ne 2 n1 n1 Pelo teste da raiz 1n Kt 2 P an Kt lim Ga a limn lime 22 0 logo o lado direito converge e podemos aplicar o testeM de Weierstrass Mi O teorema anterior e seu coroldrio afirmam um resultado muito importante mesmo que a distribuicao inicial de temperaturas nao seja continua o calor se propaga tao rapidamente de modo que quaisquer descontinuidades inicialmente presentes sao suavizadas de tal maneira que imediatamente apds o instante inicial isto é em qualquer instante de tempo t 0 a distribuicéo de temperaturas ja é continua mais Rodney Josué Biezuner 70 que isso ela é suave O motivo disso pode ser melhor compreendido se analizarmos a expressao em série de uxt 2x2 Fey NTx uat S Cpe sen n1 da seguinte forma As exponenciais em tendem a 0 rapidamente como sabemos ser o comportamento de uma exponencial negativa Assim passado um instante de tempo t por menor que seja os termos da série a partir de uma certa ordem sao arbitrariamente pequenos E quase como se pudéssemos desprezar completamente os termos da série a partir de uma certa ordem e a série infinita transformassese em uma série finita A descontinuidade presente na condicao inicial surge exatamente da presencga de um numero infinito de termos da série pois uma série finita combinagaéo linear finita de senos é sempre uma fungao continua e a medida que o tempo passa o efeito é sentido como se um ntimero infinito de termos se anulasse e so restasse um ntmero finito de termos 212 Principio do Maximo Para mostrar que o problema de Dirichlet para a equagao do calor unidimensional é bemposto no sentido de Hadamard usaremos o Principio do Maximo que é um resultado interessante e muito importante por si so Lema 27 Principio do Maximo para a Equacao do Calor Considere o retangulo R 4122 x t1t2 Suponha que uxt RR seja continua em R e satisfacga a equagdao do calor u Kur em RU 4 onde l4 12 x to Entédo 0 mdézimo e o minimo de u sao assumidos em um dos outros trés lados do retangulo R x1 x ti te ly x2 x tr te bs a1 x9 x ti Prova Suponha por absurdo que m max umaxu M 1 Ub2 U3 R Entao existe um ponto o to RU 4 tal que ux to maxzu Defina a fungao Mm 2 vat uat Tp 20 onde L x2 x1 Como em 1 U 2 U 3 temos Mm 3 M vzt m L m M 01 m 1 Smt M e uzo to vxo to M segue que 0 maximo de v também é assumido em um ponto de RU 4 digamos em Zt RU 4 Como t é um ponto de maximo para v devemos ter Ut z t 2 0 Vex Zt 0 Em particular uzZt Ker f Rodney Josue Biezuner 71 Por outro lado da definicao de v para todo x t obtemos vtx t utx t vxxx t uxxx t M m 4L2 e como u satisfaz a equacao do calor segue que vtx t utx t Kuxxx t Kvxxx t K M m 4L2 Kvxxx t para todo x t uma contradicao Para provar que o mınimo de u tambem e atingido em ℓ1 ℓ2 ℓ3 basta observar que u tambem satisfaz a equacao do calor e que min u maxu No caso da equacao do calor o princıpio do maximo nada mais e que a expressao matematica do fato de que o calor flui de regioes mais quentes para regioes mais frias Se a temperatura mais alta da barra estivesse localizada em um ponto x0 com 0 x0 L em um instante t0 0 entao a temperatura estaria crescendo em x0 por algum tempo antes do instante t0 a menos que a temperatura seja a mesma em todos os pontos da barra Mas entao o calor necessario para aumentar a temperatura em x0 deveria vir de algum ponto proximo a x0 com temperatura maior em algum instante de tempo t t0 logo a temperatura mais alta nao pode ocorrer em x0 t0 O mesmo argumento vale para a temperatura mınima A porcao ℓ1 ℓ2 ℓ3 da fronteira R e muitas vezes chamada a fronteira parabolica de R 213 Unicidade e Estabilidade de Solucoes para o Problema de Dirichlet Geral Usando o princıpio do maximo vamos agora demonstrar que o problema de Dirichlet e bemposto no sentido de Hadamard Comecamos provando a unicidade de solucoes Teorema 28 Unicidade da Solucao do Problema de Dirichlet Se existir uma solucao contınua em R para o problema de Dirichlet ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 f x se 0 x L u0 t g t se t 0 uL t h t se t 0 onde f g h sao funcoes quaisquer ela e unica Prova Suponha que u1x t e u2x t sejam duas solucoes contınuas para 21 Entao como a equacao do calor e uma equacao linear a diferenca u u1 u2 e uma solucao contınua do problema de Dirichlet ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 0 se 0 x L u0 t uL t 0 se t 0 Em particular em qualquer retˆangulo RT x t R2 0 x L e 0 t T R segue do princıpio do maximo para a equacao do calor que min R u max R u 0 ou seja u 0 em R Como T 0 e arbitrario segue que u 0 em R Alem disso outra consequˆencia imediata do princıpio do maximo para a equacao do calor e que a solucao de 21 quando existir nunca assume valores negativos se f 0 o que e esperado se a temperatura for medida em graus Kelvin Agora vamos estabelecer a dependˆencia contınua da solucao do problema de Dirichlet geral com relacao aos dados iniciais e as condicoes de fronteira Rodney Josué Biezuner 72 Teorema 29 Estabilidade da Solucao do Problema de Dirichlet Se 0 problema de Dirichlet com condigées inicial e de fronteira continuas possuir uma solugao continua entao ele é bemposto no sentido de Hadamard Prova JA sabemos pelo teorema anterior que se existir solucao continua ela é unica Resta provar apenas a dependéncia continua das solucdes com as condicoes iniciais e de fronteira Mediremos a proximidade das condicoes inicial e de fronteira através da norma do sup Sejam uj e ug solugoes dos problemas de Dirichlet ut Kuz se0OaLetQ0O uax0 fi x sedQaclL u0t gi t set 0 uL t hy t set 0 e Up Kuge seOaLetQO uax0 fo x sedQaclL u0t go t set 0 uL t he t set 0 respectivamente onde f fo 91 921 h2 sao funcoes continuas e limitadas Entao u u ug é solugao do problema de Dirichlet ut Kugy se0OaLet0O ua0 fi 2 fox sedQacL u0t gi t go t set 0 uLt ha t he t set 0 Pelo principio do maximo para a equacao do calor segue que sup ur u2 sup fi fe sup 91 g2 sup hi ha R 0 L 0co 000 sup fi fo sup gi g2 sup hi hol 0 L 0co 0c0 Analogamente considerando u ug uz provamos que sup t u2 sup fi fal sup gi g2 sup hi hol R 0 L 0co 0c0 Reunindo as duas desigualdades obtemos o resultado desejado Para concluir esta secgao analizaremos o comportamento assintdtico da solugao isto é o que acontece quando t oo em outras palavras o que acontece com a distribuicéo de temperaturas na barra depois que transcorreu um intervalo de tempo suficientemente grande na maioria das situacoes em termos fisicos este intervalo pode ser da ordem de minutos segundos ou muito menos que isso Como os coeficientes da série de Fourier de f sao limitados digamos c M para algum M 0 temos nn Ky NTXx nn ee ux t So Jenle 7 lsen M re a n1 n1 ua nat nat at at Definindo a me notando que e e7 e ja que e 1 para t 0 e lembrando que Ce r Sor para r 1 conclufmos que n1 1 fT et Juxt Mat Rodney Josué Biezuner 73 de modo que lim uxt 0 too Isso era esperado jé que as extremidades da barra nao estao termicamente isoladas a temperatura em todos os pontos da barra deve decair até atingir a mesma temperatura que as suas extremidades com o calor escapando da barra através delas Na verdade a desigualdade acima mostra que a temperatura decai rapidamente com decaimento exponencial da ordem de e 22 Problema de Dirichlet Nao Homogéneo Agora consideraremos 0 problema da condugaéo de calor em uma barra uniforme homogénea de comprimento L cuja superficie lateral é isolada termicamente e cujas extremidades sao mantidas a temperaturas constantes TT2 0 respectivamente O modelo matematico para esta situacao é o problema de Dirichlet ut Kury seeQaLetQO u0t Ty set 0 24 uLt To set 0 ux0 fx seOaL Para este problema o principio de superposicao de solugoes nao funciona pois apesar da equagao do calor ser linear as condigoes de contorno nao sao homogéneas Vamos obter a solucao através de algumas consideracoes fisicas E de se esperar que apos decorrido um tempo suficientemente longo devido ao fato do calor se propagar rapidamente os efeitos da distribuicao inicial de temperaturas na barra se dissiparao e sera atingida uma distribuicgao de temperaturas permanente vx ou seja independente do tempo t e da condigao inicial Como v deve obedecer a equacao do calor mas 1 0 segue que v é uma solucao do problema vx 0 se0QaL 25 v0 TvL 7 v échamada a solugaéo de estado estaciondrio Da equagio de v obtemos que ux ax b os valores das constantes ab sao obtidos através das condicdes de contorno de modo que a solugao de estado estacionario é To T va rTy 26 O fato da distribuigao de temperaturas no estado estacionario ter a forma de uma reta é sugerida pela propria equacao do calor u Kuz O significado da equacao é que a variacgao da temperatura uz em um ponto da barra com o passar do tempo é proporcional 4 curvatura da funcao temperatura naquele ponto isto 6 Ura Logo se a curvatura da funcgaéo temperatura é positiva uz 0 concavidade para cima entao u é positiva também e portanto a tendéncia nesta regiao da curva é que as temperaturas aumentem com o passar do tempo diminuindo a concavidade e retificando a curva na regiao se a curvatura da funcao temperatura é negativa tz 0 concavidade para baixo entao u é também negativa o que significa que a tendéncia é que as temperaturas diminuam naquela regiao com o passar do tempo diminuindo a concavidade e rectificando a curva na regiao Para encontrar a solugao uxt para 24 tentamos expresséla como a soma da solugéo de estado estacionario ux e uma outra distribuigdo de temperatura wz t uxt vx wat 27 A distribuicgao de temperatura wat é chamada transiente porque ela desaparece 4 medida que 0 tempo passa ou seja tornase arbitrariamente pequena até o ponto de nao poder ser registrada pelos instrumentos Rodney Josué Biezuner 74 de medicao permanecendo apenas a solucao de estado estaciondrio Como wxt uxt vx segue que wat satisfaz o problema de Dirichlet homogéneo wt Kwee see0OaLet0 t wLt t we0 fa BB 1 se0OaKL cuja solugao jé vimos na segao anterior nn Ky NTx wx t S Cre 2 sen rT 29 n1 a Tn T ca onde agora c sao os coeficientes da série de Fourier de f T isto é i Fa To Ti LT ane 210 C x sen dx TL Jo L L Como vimos no final da segdo anterior de fato wx t 0 quando t co Portanto a solucao do problema 24 é a soma da solugao de estado estaciondrio e a solucao transiente xt T2 Ti T wy nn KY NTs 211 uxt 2 Cre sen L 1 n L n1 23 Problema de Neumann Nesta secao consideraremos o problema da condugao de calor em uma barra uniforme homogénea de compri mento L cuja superficie lateral esta isolada termicamente e cujas extremidades também estao termicamente isoladas de modo que nao ha transferéncia de calor através delas e portanto u0t uzLt 0 Este tipo de condicao de fronteira envolvendo as derivadas de u é chamada uma condicao de Neumann como vimos O modelo matematico para a barra com extremidades isoladas é portanto 0 problema de Neumann homogéneo ut Kury see0OaLetQ uz 0 t uzLt 0 se t 0 212 ux0 fx se0OaL Vamos resolver este problema pelo método de separagao de varidveis Escrevendo uzt FxGt obtemos as equacoes diferenciais ordinarias PF x2 o Fx 0 se0OaJL 213 F0 FL 0 a tinica coisa que mudou aqui foi a condigaéo de contorno desta equagao diferencial e Gt co KGt 0 214 Novamente para resolver 213 precisamos analizar o sinal de o 1 o 0 A solugao geral de 213 é da forma Fx cyeV cge7 Rodney Josué Biezuner 79 de modo que Fx coe ce aeV A condigao de fronteira F0 FL 0 implica que as constantes reais c1c2 devem satisfazer o sistema Co Co 0 cr faev cy faeV7F 0 cuja tinica solugdo é c cg 0 mas Fx 0 nao nos interessa 2 o 0 A solugao geral de 213 é da forma Fx axuce de modo que Fx cy A condigéo de fronteira F0 FL 0 implica c 0 mas desta vez podemos ter cz 4 0 e portanto uma solucao aceitavel é a solucao constante Fx oo 3 0 Denotando a solucao geral de 213 é da forma Fa c cos Ax cy sen Ax de modo que Fa ciAsen Ax c2 cos Ax A condigao de fronteira F0 FL 0 implica que as constantes reais cc2 devem satisfazer o sistema CoA 0 cqAsenAL0 Logo cz 0 e como nao queremos c 0 devemos ter sen AL 0 0 que implica AL nz onde n N pode ser um inteiro positivo qualquer Portanto para cada valor de n uma solugao para 213 é a funcao nt Fa cos Th chamada uma autofungao para o problema 213 associada ao autovalor a 9 Wn A solugao de 214 continua sendo Gt ce Procedendo como fizemos antes concluimos que um candidato a solucao do problema de Neumann ho mogéneo 212 é a fungao 21 hey ene 2M cos 215 uxt Cre FE cos 2 0 n L n1 onde c sao os coeficientes de Fourier da extensao par de f isto é a Na Cn x cos dz n Zl feeos Podese provar rigorosamente que esta é de fato uma solucao para o problema de Neumann homogéneo Rodney Josué Biezuner 76 Teorema 210 Existéncia de Solucao para o Problema de Neumann Homogéneo Seja f 0 L R uma funcao continua por partes tal que f também continua por partes Entdao 1 nn Key Na uat 5 S Cne 22 cos r n1 com 2 L fa QTE Cn x cos dz LD Jo L é uma solugdo para 212 de classe C em R e continua em R Além disso him uat fx se f continua em a Prova A demonstracao é completamente andloga 4 do Teorema 25 Hl Provaremos mais adiante que esta é de fato a unica solugao de 212 e que 212 é um problema bemposto no sentido de Hadamard Nao podemos desta vez usar 0 principio do maximo para a equacao do calor porque os valores de u nao estao especificados na fronteira No entanto dadas as condicoes nas extremidades através de argumentos fisicos é de se esperar que u atinja os seus valores maximo e minimo em t 0 De fato como as extremidades permanecem termicamente isoladas 0 tempo todo calor nao pode entrar na barra através delas Em particular a temperatura nao pode atingir o maximo em uma extremidade em algum instante de tempo to 0 pois o calor necessdrio para atingir esta temperatura teria que vir de algum ponto prdéximo dentro da barra em algum instante de tempo anterior Este novo tipo de principio do maximo sera provado para situacoes mais gerais mais adiante Finalmente observe que como a barra esté completamente isolada do meio ambiente em outras palavras constitui um sistema fechado o contetido total de calor na barra permanece constante E entao de se esperar que quaisquer diferencas de temperatura entre pontos da barra presentes na distribuicao inicial de temperatura desaparecerao e a temperatura em qualquer ponto da barra tendera ao valor médio da distribuigao inicial de temperaturas Dizendo isso de outra maneira esperamos que a solucao de estado estacionario neste caso é a funcao constante igual 4 média da temperatura inicial De fato analizando da mesma forma que fizemos na secao anterior concluimos que 1 1 lim uat c9 ft dt 216 toco 2 L 0 24 Problema de Robin Considere agora o problema da condugao de calor em uma barra uniforme homogénea de comprimento L cuja superficie lateral esta isolada termicamente uma das extremidades é mantida 4 temperatura constante zero e a outra extremidade é termicamente isolada digamos u0t uLt 0 Esta é uma condicao de fronteira mista em parte da fronteira impomos uma condicao de Dirichlet e na outra parte uma condicao de Neumann Esta condigao de fronteira também é chamada condicao de Robin como vimos mais especificamente esta é uma condicao de Robin homogénea O modelo matematico para esta situacao é ut Kugy seeOaLet0O u0t uzLt 0 set 0 217 ux0 fx seOaL Resolveremos este problema também pelo método de separacéo de varidveis Escrevendo uxt FaGt obtemos como de costume as equagoes diferenciais ordindrias PF x2 o Fx 0 se0OaJL 218 F0 FL 0 Rodney Josué Biezuner 77 e Gt co KGt 0 Para resolver 218 analizamos o sinal de a 1 o 0 A solugao geral de 218 é da forma Fx cye ce V de modo que Fx ci VoeV ce faeV A condigao de fronteira F0 FL 0 implica que as constantes reais cc2 devem satisfazer o sistema cq cg 0 ey Jaev coJaeV7r 0 cuja nica solucgao é c co 0 o que nao nos interessa 2 o 0 A solugao geral de 218 é da forma F c4 0c de modo que Fx cy A condigao de fronteira F0 FL 0 implica c co 0 e novamente isto nao é interessante 3 0 Denotando a solucao geral de 218 é da forma Fa c cos Ax c2 sen Ax de modo que Fx ciAsen Ax cA cos Ax A condigao de fronteira F0 FL 0 implica que as constantes reais cc2 devem satisfazer o sistema C 0 cAcosAL 0 oa 2n 1r Como nao queremos cy 0 devemos ter cos AL 0 0 que implica AL 3 onde n N pode ser um inteiro positivo qualquer Portanto para cada valor de n uma solucao para 218 é a fungao 2n1 Fa sen Cnr chamada uma autofungao para o problema 218 associada ao autovalor gd2 2n Ln 40 Portanto um candidato a solugdéo do problema com condigées de fronteira mistas 217 sera a fungao Co Qn1 x py 2n 1rx t Te a ux dX C2n1 4L sen OL Rodney Josué Biezuner 78 se pudermos encontrar uma série de Fourier para a condicao inicial f da forma co 2n 1rax Fle Seay sen CR Ver n1 ee 2nml i o que nao é imediatamente claro pois a nao é um inteiro No entanto podemos imaginar que 2D esta fazendo o papel de L na série de Fourier de modo que o que temos que obter é uma extensao periddica mpar de periodo 42 de f Ainda assim sobra o problema de que aparecem apenas os termos de coeficiente impar nesta série de senos de f Precisamos determinar uma extensao impar de f de tal modo que os coeficientes TX de Fourier de f correspondentes aos inteiros pares sejam iguais a zero Observando que as funcoes sen OL sao impares em relacao a reta x L se n é par e pares se n é impar parece razoavel considerar a extensao para f que é par em relacao a esta reta de forma a eliminar os coeficientes pares Assim definimos a seguinte extensao para f fx se0OaKcL fz fQL2 seLu2L fx se 2La0 f é periddica de periodo 4L observe que ao extendermos f no intervalo L2L o fizemos de tal modo que o grafico de fé simétrico em relacao a reta x L ou seja f é uma funcao par em relagao a esta reta Os coeficientes de Fourier desta extensao de f sao dados por an 0 Q 2h NTX 1 NTX 1 2 NTX bn x sen dz x sen dx 2L x sen dx naa Tosa te ar 5 fo feysen i aet sf etasen 1 nx 1 f nm2L t x sen dx t sen dt rf f sez f te 1 Tx 1 nat x sen dx t cosnm sen dt tf teyon aes tf 3 1 Tx 1 nat x sen dx t1 sen dt 7 ff fesen Fares foc sean 0 se n é par 2 Tx x sen dx se n é impar 7 fersea p Uma vez estabelecidos os coeficientes do candidato a solugao podese provar rigorosamente que este é de fato uma solucao para o problema de Robin homogéneo Teorema 211 Existéncia de Solugéo para o Problema de Robin Homogéneo Seja f 0L R uma funcao continua por partes tal que f também continua por partes Entdao co Q2n1 x Fey 2n 1ra ux t S C2n1 4L sen oR n1 com L 2 2n 1rax Cn1 x sen dx é uma solugdo para 217 de classe C em R e continua em R Além disso lim uat fx se f continua em a Rodney Josué Biezuner 79 Prova A demonstracao deste caso também é completamente andloga 4 do Teorema 25 Hl Veremos na prdéxima segao que 217 é um problema bemposto no sentido de Hadamard 25 Unicidade de Solugao para os Problemas de Neumann e Robin Vamos ver agora como usar o principio do maximo levando em conta as condicoes de fronteira Lema 212 Principio do Maximo para a Equacao do Calor com Condig6es de Fronteira Sejam R zt eR 0a4Let0 Rrathe RtT Suponha que wu Rr R seja continua em Rr e satisfaca a equacdo do calor u Kugy em Rr Denote por ORr RrRr a fronteira parabélica de Rr Entao wu atinge os seus valores maximo e minimo em Rr na fronteira parabélica 0Rr Denote ORr at 0RrxOetOb OLRr 2t 0RrcLetO Sejam ay b1 a2 b2 R constantes nadonegativas tais que ab nao sao simultaneamente nulas e az be nao sao simultaneamente nulas 1 Suponha que u satisfaz a condigao de fronteira au0t bjuz 0t 0 set So 219 Se u atinge um minimo negativo em R entéo u atinge este valor minimo em 0RrOoRT se u atinge um mdzimo positivo em R entdo u atinge este valor méximo em 0RrORr 2 Suponha que u satisfaz a condicgao de fronteira aguLt bo Lt0 set 0 220 Se u atinge um minimo negativo em R entdo u atinge este valor minimo em 0RrOLRr se u atinge um mdzimo positivo em R entdo u atinge este valor méximo em 0RrOLRr Prova Jé sabemos pelo principio do maximo Lema 27 que u atinge os seus valores méximo e minimo em Rr na fronteira parabdlica 0Rr de Rr Vamos provar 1 Assuma que u satisfaz a condigéo de fronteira 219 que wu atinge um minimo negativo e suponha por absurdo que u atinge este minimo negativo em OoRrT isto 6 que existe tg 0 tal que u0to m0 e mM min uw ORrIRTr Como o minimo ocorre em 0 to devemos ter uz 0 to 0 Daf segue da condigéo 219 e das hipdteses sobre os coeficientes ab que Ux 0 to 0 caso contrario terfamos a u 0t bi uz 0t 0 pois ab nao sao simultaneamente nulos u 0to 0 nao implica em contradicao pois pode ser que a 0 Agora defina uma fungao v Rr R por Mm v xt uxt z 01 u nt Rodney Josue Biezuner 80 Entao v e contınua e satisfaz a equacao do calor logo v tambem atinge o seu valor mınimo na fronteira parabolica RT Por outro lado v u em 0RT mas se x t RT 0RT temos v x t u x t M m 2L L M M m 2 M m 2 m o que prova que v tem um mınimo em 0 t0 contradizendo o fato que vx 0 t0 ux 0 t0 M m 2L M m 2L 0 Para provar o resultado sobre o maximo basta considerar u A demonstracao de 2 e analoga bastando considerar v x t u x t M m 2L L x Corolario 213 Suponha que u R R e uma solucao contınua para o problema ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 fx se 0 x L a1u 0 t b1ux 0 t 0 se t 0 a2u L t b2ux L t 0 se t 0 Se m0 min 0L f x e M0 max 0L f x entao min 0 m0 u x t max 0 M0 para todo x t R Prova Seja T 0 arbitrario Pelo princıpio do maximo u atinge o seu valor maximo M em RT na fronteira parabolica RT Ou M 0 e entao u x t 0 para todo t T ou M 0 Neste ultimo caso pelo lema anterior segue que u atinge o seu maximo em RT 0RT LRT logo u x t M0 para todo t T Como T e arbitrario isso prova que u max 0 M0 em R A demonstracao da outra desigualdade e analoga Provaremos agora a unicidade e a estabilidade da solucao para os problemas de Neumann e de Robin Teorema 214 Unicidade da Solucao para Problemas de Neumann e de Robin Se o problema ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 fx se 0 x L a1u 0 t b1ux 0 t g t se t 0 a2u L t b2ux L t h t se t 0 possuir solucao contınua entao ela e unica Prova Se u1 u2 sao duas solucoes para este problema entao u u1 u2 e solucao de ut Kuxx se 0 x L e t 0 ux 0 0 se 0 x L a1u 0 t b1ux 0 t 0 se t 0 a2u L t b2ux L t 0 se t 0 e o resultado segue imediatamente do Corolario 213 A estabilidade com relacao a condicao inicial e vista no Exercıcio 213 para a estabilidade com relacao as condicoes de fronteira veja 5 Rodney Josue Biezuner 81 26 Problemas Gerais Quando ha geracao interna de calor a equacao diferencial parcial que modela a conducao de calor na barra e como vimos na Introducao ut Kuxx qx t se 0 x L e t 0 221 Quando a geracao interna de calor independe do tempo a resolucao e em geral mais simples 261 Equacao do calor naohomogˆenea com fonte independente do tempo Neste caso a equacao diferencial parcial que modela a conducao de calor na barra e simplesmente ut Kuxx qx se 0 x L e t 0 222 A estrategia mais simples para resolver este tipo de problema e primeiro encontrar a solucao de estado estacionario e depois encontrar a solucao transiente a soma delas sera a solucao do problema No entanto dependendo das condicoes de fronteira do problema pode ser que uma solucao de estado estacionario nao exista Por exemplo em um problema com geracao interna de calor em que as extremidades da barra tambem estao isoladas termicamente como o calor nao tem para onde escapar a temperatura na barra deve aumentar constantemente sem limites e nunca sera atingida uma situacao de equilıbrio Exemplo 215 Considere o seguinte problema de conducao de calor em uma barra uniforme homogˆenea cuja superfıcie lateral e isolada termicamente ut uxx sen x se 0 x π e t 0 u0 t 1 se t 0 uxπ t 2 se t 0 ux 0 1 sen x se 0 x π Observe que uma das extremidades da barra e mantida a uma temperatura constante enquanto que a outra extremidade tem uma taxa de fluxo de calor constante condicao de fronteira de Robin Alem disso vemos que calor e gerado internamente na barra a funcao seno e positiva no intervalo 0 π dependendo do ponto da barra mas independente do tempo Vamos encontrar primeiro a solucao de estado estacionario vx Embora a primeira vista fisicamente talvez nao seja tao claro que ela exista nestas condicoes se pudermos encontrala matematicamente isso por si so sera prova suficiente da sua existˆencia Como v deve obedecer a equacao do calor mas vt 0 segue que v satisfaz a equacao 0 vx sen x logo v e uma solucao do problema vx sen x se 0 x L v0 1 vπ 2 223 Por integracao simples a solucao deste problema e vx cos x c1 vx sen x c1x c2 As constantes de integracao c1 e c2 sao determinadas atraves das condicoes de fronteira A condicao de fronteira v0 1 permite concluir que c2 1 enquanto que a condicao vπ 2 implica que c1 3 Assim a solucao de estado estacionario e vx sen x 3x 1 Rodney Josué Biezuner 82 Escrevendo uxt vx wat segue que a solugao transiente w satisfaz o problema Wt Wee see0Qamet0O w0t we7t 0 set 0 wx 0 3a seOQacr Como vimos antes a solugao para este problema de condicao mista é co n1 2n 1a wat S con1 a sen n1 om 6 n1 241 n1ax Cn1 xsen dx en 1 2 m2n 1 Portanto a solugao do problema é 24 1 en 2n 1ax uxt sena3x1 ef sen 24 1 a 2n 1 2 O Exemplo 216 Considere uma barra homogénea completamente isolada termicamente ou seja inclusive nas suas extremidades feita de material radiativo de modo que calor é gerado internamente 4 uma taxa constante O modelo matematico para este problema é Up Kuge 9 see0OaLetQ0 Ux 0t urL t 0 set 0 uaz0 fx seOaL Fisicamente nao deve haver uma temperatura de estado estacionario Matematicamente se supuser mos que existe uma solucao de estado estaciondrio ux independente do tempo e tentarmos resolver o correspondente problema para v vx a sedQaL v0 vL 0 onde a qK obteremos por integracaéo simples ux arcq donde a2 vx 3 04 co A condigaéo de fronteira v0 0 permite concluir que cy 0 mas entaéo a condicao de fronteira vL 0 implica que a 0 uma contradicaéo pois g 0 além disso observe que a constante co permanece indeterminada Este problema pode ser resolvido pelo método de variagao dos parametros como veremos na proxima subsecao O Rodney Josué Biezuner 83 262 Equacao do calor naohomogénea com fonte dependente do tempo Vamos considerar 0 problema de Dirichlet homogéneo para a equacao de calor naohomogénea Up Ktee q2t se0OaLet0 u0 t uLt 0 se t 0 224 ux0 fx seOaL Para resolver este problema usaremos 0 método de variagao dos pardémetros A sua motivacao é a seguinte Se tivéssemos g 0 entao a solucao do problema seria oS nn Key NTL uat S Cne sen Tz n1 Entao tentaremos uma solucao da forma NTx uat S en t sen 225 n1 Esta solugdo ja satisfaz as condigdes de fronteira Precisamos escolher os coeficientes cp t de tal forma que uxt satisfaga a equacdo do calor naohomogénea e a condigéo inicial esta tiltima obviamente sera satisfeita se tivermos L 2 Tx Cn 0 x sen dx 226 Ff fasen 226 Formalmente substituindo a expressao acima na equacao do calor temos NTx nT NTx Ks 2 Soc sen Ky Son Cn sen qat n1 n1 Se para cada t 0 fixado a fungao gq at é representada por sua série de Fourier de senos NTx qzt So an t sen r n1 obtemos para cada n N a equacao diferencial ordinaria 22 Tn sujeita condigao inicial 226 A solucao para este problema é Cn t Cn 0 2 4 dn se ds 228 0 Assim como fizemos no Teorema 25 podese provar que esta é a solucdo do problema 224 veja Exercicio 29 para o caso em que q é apenas uma fungao de x Observe que este método também funciona quando consideramos condicgoes de Neumann ou de Robin homogéneas Exemplo 217 Como exemplo vamos usar o método de variagao de parametros para resolver o problema de Neumann do Exemplo 216 Escrevemos co co t nTa uxt Cn t cos at SP en feos 7 Rodney Josué Biezuner 84 Como do 4 dn 0 para todo n 1 segue que Co 0 Co t qt co Cn t Cn Oe7 para todo n 1 logo oOo n2n2 Ky NTx uat qt S ene7 Z2 cos rT n1 onde c sao os coeficientes da série de Fourier de f Note que quando t oo a solucao se comporta como C vat qt Neste sentido podemos chamar v xt de solugao de estado estaciondrio Observe como a temperatura aumenta a uma taxa constante 4 medida que o tempo passa tornandose arbitrariamente grande como esperdvamos OJ 263 O problema geral Considere o problema ut Kure q 2t seOaLet0 ux0 fx seOxl 229 a u 0 t by uz 0 t g t set 0 agu Lt bot Lt ht se t 0 onde ay ba2b2 R sao constantes naonegativas tais que ab nao sao simultaneamente nulas e ag bz nao sao simultaneamente nulas Embora nao faca sentido obter uma solucao de estado estacionario j4 que o problema todo é dependente do tempo ainda assim podemos considerar escrever uat vatw2t 230 onde desta vez a solucao de estado estaciondrio v xt satisfaz o problema Ver 0 see0OaLetQ0O a v 0t by vz 0t g t set 0 231 agv L t bove L t ht set 0 A solugéo deste problema é ainda uma fungao linear em x mas desta vez os coeficientes lineares dependem de t uxt Ata Bit 232 Os coeficientes At e Bt sao determinados pelas condigoes de fronteira Resolvendo o sistema resultante a1Bt At gt a2 A tL BtAt ht Rodney Josué Biezuner 85 obtemos i bh L a t aogt t Lag t vat ih t ag t r 2 t Lag 2 gt 233 La b1 ag a be Lay bi ag a be Observe que para resolvermos este sistema teremos que supor que 1 a2 também nao sao simultaneamente nulas Isso significa que esta estratégia nao funcionaraé para um problema de Neumann porque neste caso nao seremos capazes de determinar Bt Assumindo esta hipdtese adicional a solugdo transiente w u v satisfazera entao o problema we Kee a t v 2 t se0OaxLet0 wa0 fa v 20 se0aKcL 234 a w 0t bi wz 0 t 0 set 0 agw Lt bowz Lt 0 se t 0 Para este problema como as condigoes de fronteira agora sao homogéneas podemos usar o método de variagao de parametros introduzido na subsecao anterior desde que tenhamos um problema de Dirichlet ou um problema de Robin do tipo tratado anteriormente Caso contrario a situacao fica mais complicada como mostrado na préxima secao 27 Alguns problemas especificos de condugao do calor 271 Problema da barra com convecgao de calor em um extremo Considere uma barra uniforme homogénea de comprimento L cuja superficie lateral esta isolada termica mente uma das extremidades é mantida a uma temperatura constante T mas a outra extremidade nao é termicamente isolada de modo que ela pode trocar calor com o meio ambiente Como vimos na Introdugao pela lei de resfriamento de Newton esta extremidade perde ou ganha calor através de radiagdo ou de con veccao ou ambos a uma taxa que é proporcional 4 diferenca de temperatura entre este ponto da barra e o seu meio isto 4 Ur L t huL t To onde T é a temperatura do meioambiente e h é uma constante positiva hk HK Portanto o modelo matematico para esta situagao é o problema com condigao de Robin ut Kury seeQaLetQO u0t Ty set 0 235 Uy L t huLt hT set 0 ux0 fx se0OaL Para resolver este problema primeiro procuramos a solugao de estado estacionadrio ja que as condicoes nos extremos nao sao homogéneas A solugao de estado estaciondrio v vx deve satisfazer o problema vx 0 se0aL v0 Th vu L hvL hT Obtemos ux ax b com as constantes ab sendo as solugdes do sistema linear bT ahaL b hT2 ou seja hT2 T1 v T 2 TRL Rodney Josué Biezuner 86 Definindo wx t uxt vx segue que a solugao transiente wx t satisfaz o problema homogéneo wt Kwee see0OaLet0O w0t 0 se t 0 wL t hwLt 0 se t 0 wx 0 gx se0aL onde gx fx vx Usando o método de separagao de varidveis escrevendo wxt FGt concluimos que F e G devem satisfazer Fx oF a2 0 se0aL F0 0 236 FLhFL 0 e Gt co KGt 0 Como antes é possivel verificar que apenas no caso 0 0 temos solugoes que nao sao identicamente nulas Denotando a solucao geral de 236 é entao da forma Fa c cosAx cg sen Ax de modo que F a cAsen Ax c2A cos Ax A condigéo F0 0 implica que c 0 enquanto que a condigao FL hFL 0 implica que coA cos AL hcez sen ALD ou seja tan AL A nAL h Existem infinitas soluc6es para esta equagdo transcendental em X pois a reta de inclinagao 1h intercepta o grafico de tan AL infinitas vezes de fato para cada n N existe uma tinica solucao A satisfazendo 2n 1r nt n 21 LL Portanto generalizando gostariamos de escrever a solucao na forma wat S Che 2 sen Aya 237 n1 assumindo que toda funcgao razoavel g pode ser escrita como uma série de Fourier generalizada co gx S Cp Sen Ay n1 Os valores de A podem ser obtidos através de métodos numéricos eles certamente nao séo uma constante vezes n como no caso da série de Fourier A resolugéo completa deste problema pede portanto uma teoria de séries de Fourier generalizadas o que nao faremos neste curso para ver o desenvolvimento desta teoria uma boa referéncia é 5 Rodney Josué Biezuner 87 272 Condicoes de fronteira de Robin complexas A mesma observacgéo da subsegéo anterior vale para um problema com condigées de fronteira de Robin mais complicadas ut Kugy see0OaLet0O ux0 fx se0OaKcL 238 a u 0t by uz 0 t 0 set 0 agu Lt bot Lt 0 set 0 Usando o método de separacao de varidveis caimos em um problema de SturmLiouville da forma Fx oF a2 0 sedQaL aoFk L bg FL 0 e é necessdrio determinar os autovalores a e as correspondentes autofuncoes F deste problema Admitindo que seja possivel encontralos poderemos verificar se existe uma série de Fourier associada a este conjunto de autofuncgdes em outras palavras seré que o conjunto de autofungoes constitui um sistema ortogonal e escrever a solucao na forma co uat S ene Fy x n1 A partir daf o correspondentes problema com a equacéo do calor néohomogénea seria resolvido usando o método de variagao de parametros como fizemos na secao anterior Para ver se é realmente possivel fazer isso como observado antes teriamos que nos aprofundar mais no estudo da teoria de problemas de SturmLiouville 273 Problema do anel circular fino Considere um fio fino cuja superficie lateral é termicamente isolada através de uma capa plastica ou fita isolante por exemplo de comprimento 2L e que é dobrado na forma de um anel circular através da uniao das duas extremidades em L e x L escolhemos as coordenadas no fio de modo que o seu ponto médio corresponde a origem esta escolha é feita para que as formulas obtidas aqui tenham a mesma aparéncia que as anteriores Se o fio é suficientemente fino é razodvel assumir que a temperatura no fio é constante ao longo de secoes transversais como no caso da barra e que o calor se propaga uniformemente e perpendicularmente através das secoes transversais Neste caso o modelo matematico para este problema é ut Kury see LaLetJQ uLt uL t se t 0 Ux Lt ux L t se t 0 ux0 fx se LaKcl onde x é o comprimento de arco ao longo do fio Observe que as condigoes de fronteira sao uma conseqtiéncia da hipdtese de que o contato entre as duas extremidades do fio é perfeito do ponto de vista térmico Este é evidentemente um problema de condicoes de fronteira mistas Estas nao sao exatamente prescritas mas sao condigées de fronteira periddicas j4 que podemos imaginar o problema definido para todo x nao apenas para x entre L e L com o ponto x sendo fisicamente igual ao ponto x 2L logo tendo a mesma temperatura Resolvendo este problema pelo método de separagao de varidveis chegamos ao problema de Sturm Liouville periddico PF x oF x 0 se LalL FL FL 240 FL FL Rodney Josué Biezuner 88 A tinica solugao periddica para este problema além da solucao constante Fox c correspondente 4 a 0 é Fa c cosAx cg sen Ax onde como de costume 4 o Usando a primeira condigao de fronteira obtemos c1 cosAL cp senAL cy cosAL cz senAL donde 2c2 senAL 0 Usando a segunda condigao de fronteira obtemos Xc senAL Acg cosAL Ac senAL Ac2 cosAL donde 2Ac senAL 0 Se senAL 4 0 entao c cp 0 Portanto teremos uma solucao nao identicamente nula somente se senAL 0 nt n 7 0 que corresponde a A Logo 0 e que correspon Z 0 7 TP NTx NTx Fx an cos Tr b sen Gt e F Assim a solucaéo do problema é ao nn Ky nme 2x2 Ky NTx uxt 3 t S ane EF cos S bre 2 sen TT 241 n1 n1 onde ay e bp sao os coeficientes da série de Fourier da extensao periddica de f de periodo 2L Este é um exemplo de uma solucao que envolve ambos senos e cossenos 28 Solugao da Equagao do Calor em R Nitcleo do Calor Queremos resolver o problema da barra infinita ut Kugy sexeRet0 ux0 fr sereR 242 onde f R R é uma funcao adequada Este é um problema apenas de valor inicial chamado problema de Cauchy Ele pode ser pensado como o modelo matematico para uma barra muito longa de modo que as condicgoes sobre as suas extremidades podem ser desprezadas Este problema nao pode ser resolvido por séries de Fourier se a fungoes f nao for periddica Rodney Josué Biezuner 89 281 Solucgao do Problema de Cauchy Para simplificar a exposigao vamos supor kK 1 Nao ha perda de generalidade ao se fazer esta hipdtese basta fazer a mudanga de varidveis v x ux e a nova funcao v satisfazerd a equagao Uy Ve v a Kuz Kar K7uge Kr vee 2 Assim se sabemos resolver o problema de Cauchy Ut Ure sexRet0 24 ux0 fr sereR 243 sabemos resolver 0 problema 242 Procuramos uma solugao fundamental para a equacao do calor uma solugao tal que qualquer solucao especifica para o problema de Cauchy possa ser de alguma forma construida a partir desta solucgao Ob serve que a equacao do calor é uma equacao linear envolvendo uma derivada em e duas derivadas em 2 Conseqtientemente se u é uma solucao para a equacao do calor entao uat uAz rt também é uma solucao para qualquer valor de R Em outras palavras a equacao do calor é invariante 2 x sob mudangas de coordenadas lineares que deixam invariante a razao va Isso sugere procurar por uma solugao que tenha a forma 2 x uat v 244 para alguma fungao especial v a ser determinada No entanto chegaremos ao nosso objetivo de uma maneira algebricamente mais simples se tentarmos solucgoes da forma x2 uxt wtv 245 onde v e w devem ser determinadas Temos 2 2 2 x x x uz wtv wto r Qo 2 Swipe 4 2 x 2a Uz wt woe F donde 5 5 5 a 4a a 2 Une wtv wt mn wt 5 F wie 3 Logo 2 2 2 2 2 2 x x x Ax x 2 x Ut Ugg w tv wt wtv wto J Ure Swipe 2 Swi S Swe Portanto v e w devem satisfazer 2 2 2 2 2 2 x wt x x x x x w tv J40 t o 420 0 246 6 t t t t t t t Escolhendo vs e 4 Rodney Josué Biezuner 90 segue que 4y s v s 0 logo a equagao acima transformase em 2 2 a2 eu witv 0 woe Zoe 5 ou 1 we xu ee 4t 9 donde 1 w t yu 0 247 A solugéo desta equagao é wt tl 248 Concluimos que 2 uxt t7V2e 4t 249 Definicgao A solucao fundamental para a equacao do calor é a funcao 1 a2 Tat e sexe Ret0 250 1 e 250 Ela também é chamada o nticleo do calor T satisfaz a equagéo do calor em R x 0 00 por construcao isso também pode ser diretamente verificado x 2t 2 Tz t 8mt32 t Dye2 t O ntcleo do calor que é uma fungao integrdvel em R a escolha da constante 14a é para normalizar a integral Lema 218 Para todo t 0 vale Tat dx 1 251 R Prova 1 1 1 x2 2 2 Tz t dx e dx eV wed fe ay 1 21 ral zal y JT Jr y a A funcéo TI é chamada solugao fundamental porque solugdes para o problema de Cauchy podem ser construidas a partir dela De fato fazendo uma convolucao entre o nticleo do calor e a condicgao inicial obtemos uma férmula de representacao para a solucao limitada do problema de valor inicial da equagao do calor é uma condigao fisica razodvel que a temperatura inicial da barra infinita seja limitada Teorema 219 Solugdo do Problema de Cauchy Suponha que f é uma fungdao continua e limitada Defina re a0 fay eS py 252 uxt LY e t i y y ay Vant J y ay parax Ret 0 Entdo u é a tinica solugao limitada de classe CR x 0 00 NCR x 0 00 para o problema de valor inicial 243 Mais precisamente temos sup uzt supfx para todo t 0 253 cER eR Rodney Josué Biezuner 91 Prova Note que T CR x 0 00 Além disso usando indugdo podemos ver que as derivadas parciais de sao dadas por opray Pat 2 Ty 44 t t Se t spe 9 Oye para algum polinémio P xt aijxt e algum mondmio Q t axV7t Por exemplo 2X a2 T wt e 20 2tV Ant v2 2t 2 LP zt 8 ate a v2 2t 2 Dox a t 8mt32 4t xv 1297t12t 2 MOS Re 262t 22 Dot a t 16 nt72 at Portanto vemos que as derivadas parciais de I sao integraveis em R para todo t 0 logo podemos derivar sob o sinal de integracgao para obter usewatst f Pree ust Flu dy R para todos pq 0 e portanto u CR x 0 00 Como IT é uma solugao para a equacao do calor segue em particular que us tee 0st fs Peal ev t flu dy 0 R de modo que uw satisfaz a equacao do calor porque I satisfaz Para provar que u é continua até a fronteira temos que provar que lim uat fxo para todo zp R 254 xt xo 0 Para provar isso dados zy R ee 0 escolha 6 0 tal que fy fao se y 20 6 Entao se 6 x xo 3 temos usando o Lema 218 jue Fle f Pe vt a Fle0 R xod fo Pe wt ey Sool dy f Pt flu Fl00 ay rod yx06 e2lifils Me stdy xaxo6 Mas para y satisfazendo y xo 6 temos 6 1 ly aol e y 20 ayl5 eyl5lyaol de modo que 1 x y 3 tol Rodney Josué Biezuner 92 e portanto 1 wy 1 y29 2 0 y e dy elt ay e 16 dy VArt Jyao5 VArt Jyxo5 VArt J5 1 te 4 pre e 4Vidz e dz 0 Vat J54vt Vm S5jatt2 quando t 0 porque f e dz Vm oo Portanto se x 20 5 t 0 é suficientemente pequeno temos uxt fxo 2e O fato de que u é limitada segue imediatamente da formula de representacao de fato para todo R e para todo t 0 temos iuxt supf Pe ut dy sup lf R R R A unicidade decorrera do principio do maximo que consideraremos a seguir Mi 282 O Principio do Maximo em R O principio do maximo e o resultado de unicidade podem ser extendidos para o dominio limitado R desde que a solucgao u satisfaga uma condigao de crescimento no infinito Lema 220 Principio do Maximo em R Suponha que u C1R x 0T A CR x 0T satisfaz Ut Une sexRet0 ux 0 f x sexeR 255 e existem constantes Ma 0 tais que uat Metltl para todo x R e para todo 0 t T 256 Entdao sup usupf 257 Rx 07 R 1 ar Prova Basta provar o resultado assumindo que T qa pois podemos sempre dividir o intervalo 0T a em subintervalos iguais de comprimento menor que 14a e aplicar o argumento sucessivamente a estes subintervalos 1 Portanto podemos assumir que existe 0 tal que a TLS Fixado y Re p 0 defina E xt uxt Monat vat uxt ae TF VI et O segundo termo também satisfaz a equagao do calor como pode ser verificado diretamente logo v também satisfaz a equacao do calor Considere o retangulo R y py p x 0T Pelo principio do maximo para dominios limitados temos que vyt max v yt aRr Temos vx 0 ux 0 sup f R Rodney Josué Biezuner 93 enquanto que na outra parte da fronteira parabdlica de R em quer ypouxy p temos 2 2 uat Me parte S Merlelte 1 otra Tet T e Metlyle 4 a yP late onde y 0 é tal que 1 7 OT 40 6 Segue que se p é suficientemente grande temos uxt sup f R Fazendo yp 0 concluimos o teorema Hi 29 Exercicios Exercicio 21 Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira Encontre a solucao de estado estacionario se existir Ut Une see0Oalet40O a u0t 0 u1t 100 se t 0 ux 0 1002 1 x se0Oacl Ut Une see0Oa210et0 u0t 0 u10t 100 set 0 b ux0 0 se0Qa5 100 se5a210 Ut Une see0a7etQO c Uz 0t umt 0 set 0 u0 2 se0Oacn Exercicio 22 Usando algum software matematico Scilab Maple Matlab etc ou algum pacote grafico OpenGL Java2D etc plote os graficos de algumas das solugdes do problema anterior e veja como a solugao evolui com o tempo Exercicio 23 O problema de valor inicial e de fronteira para tempo negativo ut Kure see0OaLetQ u0t uLt 0 set 0 ux0 fx seOa JL é bemposto no sentido de Hadamard Sugestdo determine a solugdo correspondente a 1 NTxL sen Pe sen onde n N Exercicio 24 Determine se 0 principio do maximo vale para a equagao do calor nao homogénea Ut Kurze 4 onde q é uma funcao continua tal que q 0 Sugestdo considere a funedo uxt 1 e sen Rodney Josué Biezuner 94 Exercicio 25 Mostre que o problema de Neumann ut Kury seeQaLetQO Ux0t 0 set 0 Uz Lt e set 0 uaz0 fx seQaKL onde é uma constante positiva nao possui uma solucgéo limitada em 0 LZ x 0co em outras palavras este problema nao possui uma solugao de estado estacionario Exercicio 26 Equacao do Calor em uma Barra com Convecgao na Superficie Lateral Assuma que uma barra uniforme homogénea é isolada termicamente apenas em suas extremidades e que ela perde calor através de sua superficie lateral a uma taxa por unidade de comprimento diretamente proporcional a diferenga uxt T onde T é a temperatura do meio ambiente ao redor da barra Mostre que a equacao de propagacao do calor agora é up Ktee huT onde h é uma constante positiva Resolva o problema de Neumann associado usando a fungao veuT para reduzir o problema a um ja resolvido Exercicio 27 Mostre que ao introduzirmos as varidveis adimensionais x Kk e rt SF jo a equacao do calor u Ktgr se0OaLet0 é transformada em UtUre seOalet0O Exercicio 28 Encontre uma solucao para o problema up Kuz 9 2 t seOQaLet0 uz 0 t uzLt 0 set 0 uaz0 fx seOaL Exercicio 29 Prove o seguinte teorema repetindo os passos do Teorema 25 Sejam fg0L R continuas com derivadas continuas por partes Entdo a solugdo do problema Up Kure 9 2 se0OaLetQO u0t uLt 0 set 0 ux0 fx sedQaclL é NTx uxt S Cn t sen Tr n1 com 5 5 L 12a 14 L on Tagan Fe f 7 aK onde L L 2 Tx 2 Tx xsendx e x sen dx Rodney Josué Biezuner 95 Exercicio 210 Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira Encontre a solugao de estado estacionario se existir ut Kutz a seeQaLetQO a u0 t b uLt c se t 0 onde abc R ux0 0 seOaKL ut Kuge Ce see0OaLetQ0O b u0t uLt 0 set 0 onde pC sao constantes positivas ux0 f x see0OacL Exercicio 211 Encontre o valor constante de ge o menor valor da constante M para os quais o problema Ut Kuze 9 see0OaletQ0 Ux 0t 1 us1t 3 set 0 u0 a 122M se0al possui uma solucao de estado estaciondrio e encontre esta solugao Exercicio 212 Principio de Duhamel Mostre que se f 0 entao a solucaéo de 224 pode ser obtida pela formula t u a t uats ds 0 onde uxt s 6 a solugao do problema de Dirichlet para a equagaéo do calor homogénea ut Kuee se0OaLets u0 ts uLts 0 set s ux 88 ga 8 seOaL Exercicio 213 Prove que se o problema ut Kugy see0OaLet0 ux0 fx se0OaKL a u 0t bju 0t 0 set 0 agu Lt bot Lt 0 set 0 possuir solucao continua para qualquer condicao inicial continua entao ela depende continuamente da condicao inicial assuma que ay bd2b2 R satisfazem as mesmas condicdes do Lema 212 Exercicio 214 Prove o seguinte principio do maximo usando a notacao do Lema 27 Considere o retangulo R 2122 X tite Suponha que uxt R R seja continua em R e satisfaca a desigualdade Ut Kurze em RU Entéo o méximo de u é assumido na fronteira parabolica 0R Ul U3 do retangulo R Exercicio 215 Prove o seguinte principio do minimo usando a notagao do Lema 27 Considere o retangulo R 2122 X t1t2 Suponha que uxt RR seja continua em R e satisfaca a desigualdade Ut 2 Kurze em RUL4 Entao 0 minimo de u é assumido na fronteira parabélica 0R l Ulg Ue3 do retangulo R Rodney Josue Biezuner 96 Exercıcio 216 Prove o seguinte princıpio de comparacao Se u e v sao duas solucoes da equacao do calor que satisfazem as mesmas condicoes de fronteira com a1 b1 a2 b2 R satisfazendo as mesmas hipoteses do Lema 212 e tais que u x 0 v x 0 para todo 0 x Lentao u x t v x t para todo 0 x L e para todo t 0 Capıtulo 3 Equacao da Onda Unidimensional 31 Modelo Matematico da Corda Vibrante 311 Vibracoes Livres Neste capıtulo estudaremos o problema de descrever o movimento de uma corda sujeita a pequenas vibracoes transversais O modelo fısico e o seguinte 1 As vibracoes ocorrem em um plano Denotaremos as coordenadas deste plano por x u de modo que ux t denota a posicao do ponto x da corda no instante de tempo t 2 As vibracoes sao transversais Ou seja as partıculas constituintes da corda deslocamse apenas na direcao do eixo u 3 A corda e flexıvel Isso significa que a corda nao oferece resistˆencia a ser dobrada ou seja resistˆencia a flexao daı o nome Como consequˆencia a forca atuando em cada ponto da corda e sempre tangente a corda chamada a tensao da corda Como nao ha movimento da corda na direcao do eixo x isso significa que a resultante das componentes horizontais das tensoes atuando em cada pedaco da corda e nula Portanto se Tx1 t e Tx2 t sao as tensoes atuando nos pontos x1 e x2 e θx1 t e θx2 t sao os ˆangulos destas forcas com relacao a horizontal o eixo x no instante de tempo t segue que Tx1 t cos θx1 t Tx2 t cos θx2 t para todos x1 x2 Portanto a componente horizontal da tensao e constante ao longo da corda independente do ponto x embora ela possa depender do tempo t Vamos denotar esta constante positiva por τt τt Tx t cos θx t Para calcular a resultante vertical da tensao atuando no pedaco da corda compreendido entre x1 e x2 observamos primeiro que a forca vertical atuando em um elemento infinitesimal da corda compreendido entre os pontos x e x x e dada por Tx x t sen θx x t Tx t sen θx t τt tan θx x t tan θx t Usando o fato de que tan θx t e a inclinacao de ux t no instante de tempo t ou seja a derivada uxx t da funcao u com relacao a x obtemos τt tan θx x t tan θx t τt uxx x t uxx t τtuxxx tx 97 Rodney Josué Biezuner 98 onde pelo Teorema do Valor Médio é algum ponto entre x e x Az Portanto a resultante vertical da tensao atuando no pedaco da corda compreendido entre x e 2 é dada por v2 resultante vertical of Una xt dx 31 x41 Isso significa que em cada ponto x da corda a forcga devida a tensao atuando nele no instante de tempo t é dada por 7tUz2xt o produto da tensdo horizontal naquele ponto pela curvatura da corda no ponto Intuitivamente isso faz sentido pois a tensao atuando na corda é principalmente uma forcga horizontal e quanto maior é a curvatura em um ponto na corda maior deve ser a tensao naquele ponto imagine uma corda presa nas suas extremidades ao tentarmos flexiondla ela oferece resisténcia exatamente por estar presa as extremidades presas puxam a corda em suas direcdes e quanto mais puxarmos a corda em um determinado ponto o que significa que estamos cada vez aumentando mais a curvatura da corda naquele ponto maior é a tensao na corda isto é a sua resisténcia a ser assim flexionada Além das forcas de tensao forgas internas a corda a corda pode também estar sujeitas a forgas externas tais como a forca da gravidade e a resisténcia ao movimento da corda imposta pelo meio onde ela esta situada forcgas de atrito ou friccéo mas estamos assumindo que a contribuigdo destas forgas é negligivel por exemplo a corda é feita de um material muito leve e o meio nao oferece resisténcia significativa ou seja estamos assumindo que as vibracoes sao livres Por outro lado se uzxt é a aceleracéo em um ponto x da corda no instante de tempo t representada apenas pelo seu componente vertical jé que o seu componente horizontal é nulo e se a densidade linear da corda no ponto x é px segue da segunda lei de Newton que em cada elemento infinitesimal da corda a forga atuando nele é dm up x t pxdx unxt de modo que v2 resultante vertical px ur a t dx 32 x41 Igualando 31 a 32 usando o fato de que x1 2 sao arbitrarios e denotando c cat Ttpz obtemos a equagao da onda Fisicamente ela significa que a aceleragao em cada ponto da corda é proporcional 4 curvatura da corda naquele ponto Pontos com concavidade para cima isto é Ux 0 tendem a mover para cima uz 0 enquanto que pontos com concavidade para baixo ur 0 tendem a se mover para baixo uz 0 é claro que devese levar em conta também a velocidade e a direcaéo em que a corda estaése movendo no momento Quando a corda é homogénea px constante e as vibragdes sao pequenas de modo que 2t 0 e conseqtientemente cos xt 1 e a forga de tenséo nao varia com o tempo por exemplo uma corda com as extremidades fixadas temos que 0 parametro c é uma constante Observe que 0 pardmetro c tem dimensao de velocidade e o significado fisico disso sera explicado mais tarde 312 Condicgoes Iniciais e de Fronteira A equacao da onda é uma equacao de segunda ordem em ambas as varidveis x e t Conseqiientemente para que o problema seja bem posto isto é tenha uma tinica solugao é necessdrio dar duas condic6es iniciais a posicao inicial da corda e a sua velocidade inicial bem como as condicoes de fronteira nas extremidades da corda No caso da corda é ébvio que as condigoes iniciais devem ser funcgoes continuas Por exemplo o modelo matematico para uma corda homogénea de comprimento L sujeita a vibracgoes de pequena amplitude e com as extremidades fixadas é 0 problema de Dirichlet Ut C2Une se0OaLet0 u0t uL t 0 set 0 uaz0 fx seeOacL uzx0 gx seeOacL Rodney Josue Biezuner 99 onde as condicoes iniciais f e g sao funcoes contınuas Este e o caso de uma corda de violao em que a corda e deslocada e depois solta para comecar a sua vibracao f 0 e g 0 ou da corda de um piano em que a corda em repouso e percurtida por um golpe de martelo f 0 e g 0 Podemos tambem considerar o problema da corda com extremidades livres em que as extremidades da corda sao presas a trilhos colocados perpendicularmente a corda no plano de vibracao utt c2uxx se 0 x L e t 0 ux0 t uxL t 0 se t 0 ux 0 fx se 0 x L utx 0 gx se 0 x L Este e um problema de Neumann Podemos ainda considerar condicoes de fronteira mistas uma extremidade fixa uma extremidade livre ou um problema em que as extremidades da corda se movem transversalmente de acordo com uma lei conhecida utt c2uxx se 0 x L e t 0 u0 t at se t 0 uL t bt se t 0 ux 0 fx se 0 x L utx 0 gx se 0 x L 313 Solucao da Equacao da Onda O problema da corda vibrante e um problema bem posto no sentido de Hadamard se f e de classe C2 e g e de classe C1 Definicao Dizemos que uma funcao u R R e uma solucao do problema da corda vibrante se u e contınua em Rx t R2 0 x L e t 0 u C2R e u satisfaz todas as condicoes iniciais e de fronteira 314 Outros Tipos de Vibracao A equacao 33 descreve o movimento de uma corda vibrando livremente No caso em que atuam forcas externas na corda a resultante vertical das forcas atuando sobre a corda e modificada levandose em conta estas forcas de modo que obtemos diferentes equacoes para descrever o movimento da corda 1 Vibracoes forcadas Se Fx t e uma forca externa transversal atuando em cada ponto x da corda no instante de tempo t levando em conta este termo na deducao da equacao da onda acima vemos que a equacao que descreve o movimento da onda e dada por utt c2uxx Fx t ρ Por exemplo se a unica forca externa que atua na corda e a forca gravitacional entao Fx t ρxg e portanto utt c2uxx g 2 Vibracoes amortecidas Se a corda estiver imersa em um fluido que opoe uma resistˆencia ao movimento da corda e esta forca for proporcional a velocidade da corda temos utt c2uxx kut Se o atrito depender do quadrado da velocidade da corda entao teremos uma equacao naolinear utt c2uxx ku2 t Neste curso nao estudamos equacoes nao lineares Rodney Josué Biezuner 100 3 Vibracoes sob a acao de uma forca restauradora Ute CUre ku 32 Solugao pelo Método de Separagao de Varidveis e Séries de Fourier Vamos resolver o problema da corda vibrante com extremidades fixas pelo método de separacao de variaveis Ut C2Une se0OaLet0 u0t uL t 0 set 0 34 uaz0 fx seeOacL uzx0 gx seeOacL onde f0 fL f 0 fL g0 gL 0 ec é uma constante Escrevendo uxt FxGt obtemos as equacoes diferenciais ordinarias Fx oF a2 0 se0aL 35 F0 FL 0 e G t oc Gt 0 36 Como de costume para resolver 35 analizamos o sinal de o e conclufmos que a tinica possibilidade de se obter solugoes que nao sejam identicamente nulas é quando o 0 Neste caso denotando 4 a a solugao geral de 35 é da forma Fa c cosAx cg sen Ax A condigao inicial F0 FL 0 implica que as constantes reais cc2 devem satisfazer o sistema C 0 coAsen AL 0 e portanto devemos ter AL nz onde n N pode ser um inteiro positivo qualquer Portanto para cada valor de n uma solucgao para o problema de SturmLiouville 35 é a autofungao Fa sen 37 L associada ao autovalor 9 nen 0O mM T2 Agora o problema 36 é en nr Gt 2 Gt 0 cuja solugao geral é cnrt cnrt nt an b Gt Gn COS F bn Sen 38 Portanto as solugoes fundamentais da equacao da onda que satisfazem as condicoes de fronteira sao as funcoes t t Unxt sen cos by sen om 39 Rodney Josué Biezuner 101 O candidato a solugao de 34 é a série infinita NTL ennt ennt uxt S sen cos by sen n1 Os seus coeficientes a by sao determinados através das condigées iniciais Como ux0 fx temos NTx fx So an sen n1 OU seja Cyn sao os coeficientes da série de Fourier em senos de f 2 NTL an x sen dx Derivando termo a termo a série acima em relacao a t encontramos Snr NTL cnnt cennt urz t S a sen Tr sen TT bn cos om n1 Como uz0 gx segue que co cnt NTx by sen n1 cnn As e Tn sao portanto os coeficientes da série de Fourier em senos de g 2 ZL NTL b x sen dx nal a L Exemplo 31 Resolva o problema Ute Une see0Oam7met0O u0t uzt 0 set 0 ua0 sen x se0acq uzz0 0 seOQar7 Pelo método de separacao de varidveis obtemos uxt sen x cost Observe que em cada instante de tempo t a forma da corda é uma senoidal cuja amplitude varia de maneira periddica Por exemplo ux 0 sen ua 524 2 sen x ua 74 v2 sen x ua 302 0 v2 ux 72 0 ux 774 sena ux 374 2 sen x ux 27 sen a u7 sena O Rodney Josué Biezuner 102 O exemplo anterior ilustra de forma clara a diferenca da equacao do calor para a equagao da onda Na equacao da onda o termo dependente de t também é uma fungao periddica de modo que a corda vibra Na equacao do calor diferentemente o termo dependente de t é um decaimento exponencial em t o calor se propaga e se dissipa rapidamente Exemplo 32 Resolva o problema Ute Une see0Oa7etQ u0t uzt 0 set 0 uaz0 0 seOacn uzv 0 senax se0OaK7 Pelo método de separacao de varidveis obtemos uat senx sent Aqui também a forma da corda é uma senoidal em cada instante de tempo t cuja amplitude varia de maneira periddica Apenas o intervalo de tempo é deslocado de uma constante porque a corda comeca do repouso ux0 0 ua 574 2 sen ua 74 v2 sen x ua 312 sen ua 72 sen ua 74 v2 sen ua 304 va sen x ua 27 0 uxm 0 O Mais uma vez é possivel provar rigorosamente que este candidato é de fato a nica solugao para o problema 34 sob hipdteses razoaveis Teorema 33 Sejam fg 0L R f de classe C e g de classe C tais que f0 fL f0 ff L g0 gL 0 Suponha além disso que f e g séo continuas por partes Entéo NTL ennt ennt uxt S sen cos bp sen ont n1 com 2 7 Na an x sen dx Zh fesen 2 ZL Na bn al gx sen dz cnt Jo L é uma solucao para 34 continua em R e de classe C em R Prova Para mostrar que u continua em R mostraremos que a série que defina u converge uniformemente em R Para provar isso pelo testeM de Weierstrass basta mostrar que co D2 lanl onl 310 n1 Rodney Josué Biezuner 103 é convergente Integrando por partes duas vezes como fizemos para estimatir os coeficientes de Fourier no Capitulo 1 e usando as hipéteses que f é de classe C e que f0 fL 0 obtemos 2 2 L a ae i An if fz sen de F 4 fx cos f 2 cos ts 2 2 L Loy ft fx cos mt de f 2 sen f 2 sen dx nt Jo L nm nt L lo nt Jo L aL ft NTX aa f x sen da Como pelo Lema de Riemann Lebesgue ZL nTx f a sen dz 0 quando n ov 0 segue que existe uma constante C independente de n tal que C lan 72 311 Analogamente integrando por partes uma vez e usando as hipdteses que g0 gL 0 e g é de classe C obtemos 2 ZL NT2 2 L nrejl Lh TX by a gx sen dx b gx cos g x cos dx cnt Jo L cnt nT L lo nt Jo L 21 L 1 NTX oan gx cos de de modo que concluimos também que existe uma constante C independente de n tal que C lbn 72 312 Segue de 311 e 312 que a série 310 converge logo u é continua em R Se integrarmos por partes 311 mais uma vez e usarmos as hipdteses f0 fL 0e que f é continua por partes obtemos 21 Lowy nrvjE Lf Nx Qn 35 2 f 2 cos nn Jp f x cos dex QL ph mm NTX sa f x sen dx 2L yen 313 onde Cc sao os coeficientes de Fourier de f Da mesma forma integrando por partes 312 mais uma vez obtemos 21 LS nraje LL fh NTL by ae 4 gx sen Tr al g x sen Tr dz 21 L TX ara g x sen dx 21 dn 314 cn3 73 314 Rodney Josué Biezuner 104 onde dy sao os coeficientes de Fourier de g Porque f e g sao continuas por partes pelo lema de Riemann Lebesgue temos que Cn dn 0 quando n oo logo segue de 313 e 314 que existe uma constante C 0 tal que C lan On 3 n logo a série co Yon lan bn n1 converge 0 que prova que u é de classe C em R e que podemos derivar a série que define u termo a termo para obter Tt NTL cnrt cnrt Uz xt Z S nm COs Tr cos TT bn sen ont n1 ch NTL cnrt cnnt uxt Tr S nsen Tr a sen TT bn cos on n1 Usando 313 e 314 novamente podemos escrever C C lan nd len bal nd ld Logo usando a desigualdade ab a b temos Ci 2 n lanl S G leak Ci 2 2 n bal S Se lel Dai 2 2 2 n1 n1 n1 n1 Como as trés séries do lado direito sao convergentes as duas tiltimas pela desigualdade de Bessel segue que u é de classe C em R e que podemos derivar as séries que definem as derivadas primeiras de u termo a termo para obter as derivadas segundas de u ne NTL cnnt cnrt Ure 2 t T2 dX n sen Tr cos L On sen ont 3 Cn 2 NTL cnrt b cnmt ueet Fa Son sen Gn COS FE n Sen 5 n1 em particular vemos que uj CUge E facil ver que as condicoes inicial e de fronteira sao verificadas Ml Como veremos no Teorema 35 as hipdteses sobre a derivada terceira de f e a derivada segunda de g podem ser removidas de fato nado 6 nem mesmo necessario que existam f e g para que a equacéo da onda possua solucao de classe C 321 Exercicios Exercicio 31 Use 0 método de separacao de varidveis para resolver os seguintes problemas de valor ini cial e de fronteira em alguns problemas pode ser necessdrio encontrar antes a solugéo de estado estacionario Rodney Josué Biezuner 105 Unt C Ure seOxrLet0 a Ux 0t 0 uzLt 0 se t 0 ua0 f x ux 0 g x seOaL Ut CUne se0OxLet0 b 2 u0t 0 uLt 0 se t 0 ua0 f x ux 0 g x secOaL Ut CUne se0OxLet0 c u0t A uLt B se t 0 ua0 f x ux 0 g x seOaL Ut CUne se0OaxLet0 d u0tAt Bt uLt CDt set 0 ua0 f x ux 0 g x seOaL e Corda sujeita agéo da gravidade Ute Clee 9 seOxrLet0 u0t 0 uLt 0 se t 0 ua0 f x ux 0 g x seOaL f Corda sujeita acéo de uma forca restauradora Ut CUre AU seOxrLet0a0 u0t 0 uLt 0 se t 0 ua0 f x ux 0 g x seOaL g Corda sujeita 4 acéo de uma forga dissipativa Unt CUre 2bur se0OaLet0b0 u0t 0 uLt 0 set 0 ua0 f a uzx0 gx se0OaL h Corda Dedilhada Ut CUne se0OxaxLet0 h u0tuLt0 set0 a se0 2 a ux 0 fz scOaL com ft 9 7g ve SS h seaxaL uzx0 0 seeOaL La i Corda percurtida por um martelo plano Para 0 a Le 6 0 pequeno Un C Une se0OaLet0O u0t uL t 0 set 0 com gx v se xal 4 ux0 0 seO a mT VO se x al 6 utx0 gx se0OaKcL j Corda percurtida por um martelo convexo Para 0 a Le 6 0 pequeno Ute C Ure se0OaLet0 u0t uLt 0 set 0 veos t se x al 4 com gx 25 ux0 0 seO a 0 se jx al 6 uzx 0 g x se0aKcL Rodney Josué Biezuner 106 Exercicio 32 Usando algum software matematico Scilab Mupad Maple Matlab Mathematica etc ou algum pacote graéfico OpenGL Java2D etc plote os graéficos de algumas das solucoes do exercicio anterior e veja como a solucao evolui com o tempo Exercicio 33 Prove que as solugdes que vocé encontrou no Exercicio 32 a c d e e sao continuas em FR e de classe C em R O que vocé pode dizer sobre as solugdes que vocé encontrou nos tens f g e h Exercicio 34 Principio de Duhamel Mostre que a solucaéo do problema de Dirichlet para a equacao da onda naohomogénea com condigoes iniciais homogéneas Ute CUre ga t se0OaxLet0 u0t uLt 0 set 0 ux0 0 se0aKcL uzx0 0 see0OaJL é dada por t uat uxt s ds 0 onde uxt s 6 a solugao do problema de Dirichlet para a equacgéo da onda homogénea Ute 2 t3 8 C7Ure xt 8 see0OaLets u0ts uLts 0 set s ux ss 0 seOaJL uzZ 8 8 ga 8 seOaL Exercicio 35 Use o exercicio anterior para resolver o problema Ute CUre ga t se0OaxLet0 u0t uLt 0 set 0 ux0 f x se0aKcL uztx 0 g x seOaL 33 A Solugao de DAlembert 331 Solucgao Geral da Equacgao da Onda Em geral a existéncia de uma solucao geral é tipico das equacoes diferenciais ordinarias e excepcional em se tratando de equacoes diferenciais parciais Vamos agora ver que a equacao das ondas é uma equacao diferencial parcial atipica no sentido de que ela possui uma solucao geral Teorema 34 Solucdo de DAlembert 1747 Suponha que u é uma fungdo de classe C que satisfaz a equacao da onda Ut Ure onde c é uma constante Entdo existem funcées FG R R de classe C tais que uxt Fa ct Ga ct 315 Além disso esta a solugao geral da equacao da onda Rodney Josué Biezuner 107 Prova Vamos introduzir novas varidveis rxcte sact e definir uma nova fungao vr s por ur 8 va ct ct uzt Pela regra da cadeia segue que Ug Urlye UsSx Ur Us Ura Ua a Up Usx Urrl ae UrsSx Usrla UssSa Urr 2Urs Uss e Ut UpTt UsSt CUp Us Utt uee CUp Ust CUrr Tt UpsSt Usrlt UssSt C Upp Urs Ugs Aqui usamos o fato de que v é de classe C para garantir que Urs Usr Como uy Cte2 Segue que e Upr Urs Uss e Upr 2Urs Uss e portanto Urs 0 E facil resolver esta equacao por integragaéo simples Por exemplo v 0 implica que v é constante em relacao a s isto é v 6 uma fungao apenas de r ur 8 fr em particular f é de classe C1 Daf integrando novamente obtemos ur 8 J fear Gs Definindo Fr f frdr segue que F é de classe C e ur s Fr Gs Como Gs vrs Fr temos que G também é de classe C7 Voltando as varidveis originais xt concluimos portanto que uat va ct ct Fx 4 ct Ga ct com F e G de classe C Reciprocamente qualquer funcgao u da forma uxt Fa ct Gx ct onde FG sao fungoes de classe C 6 uma solucado de classe C da equacao da onda pois Uz Fa ct Ga ct Ure F a ct G a ct uz cF ax ct cG x ct Un CF a ct CG a ct Cue a A expressao Fa ct 6 chamada uma onda viajante movendose para a esquerda com velocidade c porque o grafico de Fa ct é 0 grafico de Fx deslocado ct unidades para a esquerda Analogamente Gx ct é uma onda viajante movendose para a direita com velocidade c A solugéo da equacéo da onda é portanto a soma de duas ondas viajantes movendose com a mesma velocidade mas em sentidos opostos Rodney Josué Biezuner 108 332 Solucgao do Problema de Dirichlet para a Equagao da Onda pelo Método de DAlembert O teorema da subsecao anterior nao nos diz que forma as funcoes F e G devem assumir especialmente se quisermos considerar um problema com valores inicial e de fronteira especificados A forma de F e G para o problema de Dirichlet é sugerida quando comparamos a solugao de DAlembert com a solugao obtida para o problema através do método de separacao de varidveis e séries de Fourier na secao anterior NTL cnrt cnrt uxt S sen cos bp sen n1 onde 2 Tx an x sen dz Ef fsa 2 ZL NTX b sen dz ent gr sen L De fato usando as identidades trigonométricas temos nTa cnmt 1 nx ct 4 na ct sen cos sen sen L L 2 L L nx cnmt 1 nx ct nx ct sen sen cos cos L L 2 L L de modo que nx ct na ct nx ct na ct uat 5 S onsen bn cos F 3 S Gm Sen F by cos F n1 n1 ou seja Fr 1 NTT b mr r Gyn Sen b cos 2 L L n1 Gs 3 mms p ms s Gy Se cos 2 L L n1 Como a saoos coeficientes de Fourier da extensao periédica impar de periodo 2L da fungao f que deno taremos por f segue que Tx 1 3 do an sen af x n1 cntbn te qe Por outro lado sao os coeficientes de Fourier da extensao periddica mpar de periodo 2L da fungao g bn nao sao os coeficientes de Fourier da extensao periddica par de periodo 2L da fungao g Para resolver este problema observe que ao integramos termo a termo SS cnnb nre n 92 son MAE n1 obtemos nTx d c by cos 96 Y rn eos Rodney Josué Biezuner 109 Assim se denotarmos por g a extenséo periddica fmpar de perfodo 2L da fungao g temos que 1 nT 1 bp cos g d 5D bac a HE de Em outras palavras 1 1 ff Frsfir5 g a 2 2c 0 1 1 fe Gssfs5 g 46 2 2c 0 e 1 1 atct 1 1 act uxt 5fet g db sf x ct 5 g ag 2 2c 0 2 2c 0 1 1 whet 5lfw et fa ct g dé 2 2c xct Agora observe que diferentemente do enunciado do Teorema 33 as fungdes F e G e portanto a solucéo u serao de classe C simplesmente se exigirmos que f seja de classe C desde que além disso f0 fL 0 e g seja de classe C Estas consideragées nos levam a enunciar 0 seguinte resultado Teorema 35 Solugéo de DAlembert para o Problema de Dirichlet Sejam fg 0L R f de classe C eg de classe C tais que f0 fL f0 fL g0 gL 0 Entao 1 1 atet ulet Sie et flea 5 f asas 316 xct onde fg sdo as extensoes periddicas tmpares de fg respectivamente com periodo 2L a unica solucdo para 34 continua em R e de classe C em R Além disso 34 bem posto no sentido de Hadamard Prova Pelo Teorema 34 existem funcdes FG R R de classe C tais que uat Fa ct Ga ct As fungoes F e G nao podem ser determinadas de maneira tinica porque se c é uma constante arbitraria entao F ce Gc levam a mesma solucao para o problema Mas por este mesmo motivo nao ha perda de generalidade se impusermos a condigao F0 0 Além disso 0 problema envolve apenas os valores de x e t tais que 0 x Let 0 logo apenas os valores de F em 0 00 e de G em oo L sao relevantes para a solugdo Estes valores serao unicamente determinados pelas condigoes iniciais e de fronteira Das condigoes iniciais do problema obtemos Fx Gx f2 cFx eGx gz se0Oa L Como f0 F0 0 segue que G0 0 Integrando a tltima expressao obtemos 1 x FxGx gsds C Jo Rodney Josué Biezuner 110 se02 L Concluimos que Fa 5h als 5flz 5 gs ds Gla He alsa 5fz 5 0 gs ds para x 0 LZ Para encontrar os valores de F e G além deste intervalo usamos as condigées de fronteira De u0t 0 para todo t 0 obtemos Fct Gct 0 para todo t 0 isto é Fx Gx 0 para todo x 0 317 e de uLt 0 para todo t 0 obtemos FL ct GL ct 0 para todo t 0 isto é FLaGLx0 para todo x 0 318 Em particular de 317 segue que Gx F2 para todo x 0 logo 1 1 f Ga F2 5f2 3 gsds paratodo La0 C Jo Em outras palavras G em L0 é a extenséo fmpar da restrigao de F ao intervalo 0 Z Agora se hg sao as extensoes periddicas fmpares de fg respectivamente com periodo 2L entao para x 0 temos fx f2 aejas Hsyas Gsas 0 0 0 de modo que 1 1 f Gx fa x gsds paratodo LaL 2 2c 0 De 317 segue que 1 1 f Fx af x gsds paratodo LaL C Jo Por outro lado de 318 e 317 segue que GL2 FL2 GL 2 para todo x 20 ou tomando y L Gy Gy2L para todo y L o que significa que G é a restrigao a oo L de uma fungao periddica de periodo 2L Segue entao de 317 que o grafico de F em 0 00 é obtido do grafico de G em oo 0 por simetria com respeito 4 origem de modo que F é a restrigdo a 0 00 de uma fungao periddica de periodo 2L Portanto 1 1 f Fx fx gsds para todo x 0 2 2c 0 3 19 1 1 Gx fa gsds para todo x L 2 2c Jo Para que Fe G sejam de classe C precisamos que f seja de classe Cc e que g seja de classe Cl Além disso como f é fmpar derivando fa fax duas vezes produz f fa para todo x em Rodney Josué Biezuner 111 particular f0 f0 o que implica f0 0O0e fL fL fL porque f tem periodo 2L logo fL 0 também Como F e G foram determinadas de maneira tnica nos intervalos 0co e co L respectivamente segue que a tnica solucao para o problema é 1 1 atct uet 5lfleet fle en 5 f asas 2 2c xact E facil verificar a partir dai que a solucao depende continuamente dos valores iniciais pois se u e ug sao solug6es de 34 correspondentes aos valores iniciais 191 e fe g2 respectivamente entao 1 1 xact jal ualest 5 fale et file at fle bet fleet tals ts a xct 1 1 1 xet Aula ct foa ct Gs ct foa ct max g ds 2 2 2c wctxvct ect Como Ale et fale et maxh fal fale et fale et max fi fal porque fi fe tem periodo 2L e é impar e atct L L Lo ails 000 as fo tats a as as 0 xct 0 0 L max gi ds LDmax g may 91 ol ma lg 92 porque g g2 tem periodo 2D e é impar segue que js ti max fr fol max lan 92 uy U max fy maxgi go 1 21S 011 1 2 Qe f01 gi 92 a Compare a expressao obtida em 319 com a expressao para F e G obtida através de séries de Fourier 34 Solucao da Equacao da Onda em R 341 Corda Infinita Usando a solucgaéo de DAlembert podemos resolver 0 problema da corda infinita Ut C Une sexeRet0 ux0 fx sexeR uzx 0 gx sexeR onde fg R R sao funcoes de classe C Este 6 um problema de valor inicial apenas também chamado de problema de Cauchy Ele pode ser pensado como o modelo matematico para uma corda muito longa de modo que as condigoes sobre as suas extremidades podem ser desprezadas Este problema nao pode ser resolvido por séries de Fourier se as fungoes f e g nao forem periddicas mas usando 0 mesmo argumento do Rodney Josué Biezuner 112 Teorema 35 este caso é ainda mais simples e muitos dos detalhes daquela demonstragao séo desnecessarios obtemos a solucao como sendo 1 1 atct uat fw4 ct fa ct gs ds 320 2 2 Janet 342 Dominio de Dependéncia e Cone de Influéncia Observando a solugéo de DAlembert vemos que o valor da solugao u da equacao da onda no ponto 2 t depende apenas dos valores das condic6es iniciais no intervalo a ct x ct Este é chamado o intervalo de dependéncia do ponto t Assim o valor de u em xt é obtido através de informagao que se propaga a partir de todos os pontos s no intervalo de dependéncia Esta informacgao propagase com velocidade diferente para cada ponto s porque cada ponto esta a uma distancia diferente do ponto x Por exemplo a informagéo devida ao préprio ponto x que esta no centro do intervalo de dependéncia chega ao ponto x instantaneamente é claro logo a velocidade de propagacao da informacao é 0 Os pontos mais distantes do ponto x dentro do intervalo de dependéncia sao os pontos x ct e x ct a informacao provinda destes pontos chega ao ponto x no instante de tempo com velocidade c A informacao provinda dos outros pontos do intervalo de dependéncia chega ao ponto x com velocidade menor que c Portanto a velocidade da informagao que chega no ponto at é sempre menor ou igual a c Isso contrasta com a equacao do calor em que a velocidade de propagacao é infinita De fato como vimos a solugao da equagao do calor na barra infinita é dada por uxt ae fot d pb Vant Jp Y ay 0 que implica que o valor da solugéo u em at é influenciado pelos valores da condigao inicial f em todos os pontos y da barra exceto que o peso destes valores diminui exponencialmente com a distancia de y ao ponto z As retas que ligam a ct0 a xt e w ct0 a a t sdo chamadas retas caracteristicas Elas tém inclinagaéo 1c e 1c respectivamente A férmula de DAlembert também implica que os valores das condig6es iniciais f e g no ponto x0 influenciam os valores de u apenas no setor determinado pelas semiretas emanando de x 0 com inclinagées 1c e 1c Este setor é chamado o cone de influéncia de x cone em analogia ao problema da onda tridimensional Pontos yt fora do cone de influéncia de x nao sao afetados pelas condic6es iniciais em 2 porque a velocidade de propagacao da informagao nao pode exceder c 343 Fenomeno de Huygens Ainda examinando a solucéo de DAlembert vemos que se a velocidade inicial é 0 o valor da solugao u da equacao da onda no ponto at depende apenas do valor da posigao inicial nos extremos x ct e x ct do intervalo x ct x ct uat 5Fe et Fle et Esta observacao é a base para a explicacao do princfpio de Huygens uma perturbacao pulso originando em um determinado ponto propagase ao longo da frente de onda com velocidade c em dimensoes 1 e 3 ondas unidimensionais e tridimensionais mas em dimensao 2 ondas bidimensionais continua tendo efeitos mesmo depois que a frente de onda passou Em outras palavras fixado um ponto x longe da perturbagao inicial esta demora um certo tempo até chegar a x viajando a velocidade c perturba x durante um momento e depois afastase deixando 0 ponto x em repouso No caso de ondas tridimensionais o fendmeno de Huygens ocorre mesmo quando a velocidade inicial nao é nula Esta é a diferenca entre a propagacao de ondas no ar e no mar Em ondas bidimensionais a perturbacao inicial continua sempre afetando o ponto x como pode ser observado quando se joga uma pedra na superficie de um lago Examinaremos a solucgao para as equacoes da onda bidimensional e tridimensional mais tarde e entao teremos a oportunidade de constatar estes fatos Rodney Josué Biezuner 113 344 Exercicios Exercicio 36 Usando algum software matematico Scilab Mupad Maple Matlab Mathematica etc ou algum pacote grafico OpenGL Java2D etc crie uma animacao para ver como as fungdes F e G se sobrepoe para criar a solugao u para o problema de Dirichlet da equacgao da onda em um intervalo 0 L Escolha varios pares de fungoes F e G que satisfagam as condigdes do Teorema 35 Exercicio 37 Mostre que a solugao geral para a equacao da onda naohomogénea Utt C Ure g é uat Sst a 1 Fa 4 ct Ga ct c onde F e G sao funcées arbitrarias de classe C Exercicio 38 Encontre a solucao de DAlembert do problema de Neumann homogéneo para a equagao da onda Exercicio 39 Encontre a solugao de DAlembert do problema de Robin homogéneo para a equacgéo da onda com condigoes de fronteira u0t 0 uLt 0 Exercicio 310 Mostre que a solucao geral para a equacao da onda naohomogénea Utt Cre q x t é 1 uat Fa ct Ga ct x qrs drds CT onde F e G sao funcées arbitrarias de classe C e T é 0 triangulo de vértices 2 ct0 a ct0 e a t 35 Harmonicos Energia da Corda e Unicidade de Solugao para a Equagao da Onda 351 Harm6nicos A solucao de DAlembert é simples se comparada com a solugdo usando séries de Fourier solugéo dada por Bernoulli mas ela tem um inconveniente sério é muito diffcil enxergar as vibracdes através dela pois a periodicidade da solugao com respeito a varidvel t nao é visivel a nao ser nos casos mais simples A vantagem da solucéo em série de Fourier é que as vibracoes da corda sao facilmente discerniveis Con sidere a solucao para o problema da corda livremente vibrante em pequenas amplitudes com extremidades fixadas que obtivemos anteriormente NTL cnrt cnrt uxt S sen cos bp sen ont n1 Esta expressao pode ser simplificada se definirmos 6 arctan Gn Dn e An Vaz 2 Rodney Josué Biezuner 114 de modo que podemos escrever cnrt cnrt cnnt Gn COS bn Sen On sen sz ton porque cnnt cnrt cnrt Qy sen 6 an sen cos 6 Ay cos sen by L L L cnint Cn 44 cenrt dn Ap sen Qp Cos 2 2 2 2 L Vce2d L Vc2 a2 cnrt cnrt Gn CO8 by sen Portanto NTL cnrt uxt y Qy Sen sen 6 321 L L n1 Esta é a chamada solugéo de Bernoulli 1753 e é imediatamente passivel de interpretacées fisicas Para cada n as vibragoes individuais NTL cnrt Una t On Sen F Sen zt Fn séo chamadas harménicos A vibracdo da corda é a superposicao destes infinitos harménicos Se consider armos apenas o harmonico u cada ponto da corda se move com as seguintes caracteristicas NX amplitude a sen L fase On 21 pertodo cn wa EN freqiéncia 21 Em particular a freqiiéncia em todos pontos da corda para cada harménico é um miltiplo inteiro de c2L aumentando linearmente com n A freqiiéncia do primeiro harménico chamado o harménico fundamental é a chamada a freqtiéncia fundamental da corda Cc 1 7 wy 2b 2LNV p a Nx Note ainda que para cada harménico existem pontos da corda que nao se movem os zeros da fungao sen estes sao chamados pontos nodais O ouvido humano é capaz de distinguir poucos harmonicos Isso se deve nao so pelo fato da freqtiéncia dos harmo6nicos aumentar linearmente com o indice n como também porque a amplitude e conseqtientemente a energia destes harmonicos decrescer com n Para ver isso vamos calcular a energia de cada harmonico 352 Energia da Corda A energia de uma corda vibrante em cada instante de tempo tem duas componentes a energia potencial devida a tensao da corda e a energia cinética devida a sua velocidade Se a tensao 7 é constante estas sao Rodney Josué Biezuner 115 dadas respectivamente por 1 fe U Tus a t da 2 Jo 1 9 K pxuz a t da 2 Jo A segunda é clara Para ver como foi obtida a primeira observe que o trabalho da forca de tensao vertical na direcgao transversal em um ponto x da corda é dado por Tx Ture a tdx du Ture x tuy dxdt de modo que o trabalho total realizado pela forcga de tensao na corda desde o instante 0 até o instante to é to L T TUca X t uz dxdt 0 Jo Integrando por partes obtemos to L r TUx x tuza t6 TUx tute xt dx dt 0 0 to pL TU x tUcex t dade o Jo se as extremidades da corda estao fixadas de modo que u0t uzLt 0 ou se as condicées de fronteira sao tais que uz0t uzLt 0 Logo to 1 d L T Tu xt dx dt 1 ft 1f Tux 0 da Tux to dx 2 Jo 2 Jo o que mostra que o trabalho da tensao para levar a corda da configuracao inicial para a configuracao final depende apenas destas duas e portanto independe das configuracgoes intermediarias 0 que nos permite definir esta expressao como uma energia potencial Assim para cada n a energia total do harménico u é supondo 7 e p constantes 1 ft 9 1 ft 9 0 0 222 pL 22272 PL TANT g NTL g cenit paren nt gntx 4 fennt cos se 6 d a sen cos 96 d sa Fe sen T 4 a af eS Ss 0 ae 222 L 2222 L TANT g cenit g MTX paren n q cnnt g NTL se 06 cos d cos 0 sen d 2 7 St 6 pt Be 0 sen ae 222 2 222 TORN T g ennt Lo payenn g ennt L 5 se 6 cos 0 2 DP ut 6 48 LP SF 4 5 222 ann cnrt cnnt Tr fi sen or an pc cos a an Como c Tp segue que 2 222 Qs peone 1 Ey a Mr w Rodney Josué Biezuner 116 onde M Lp é a massa total da corda a a amplitude maxima do harmoénico e wy FF a freqiiéncia do harmonico Desta expressao nao parece ébvio que a energia de cada harmonico decresce mas a observagao seguinte prova que isso tem que acontecer A energia total da corda é soma das energias dos harmonicos De fato como a corda vibrante nesta situacao é um sistema conservativo nao ha forcas dissipadoras de energia e o sistema é isolado de influéncias externas ou estas séo despreziveis a energia total da corda é a sua energia no instante 0 ou seja 1 1 ft B Tus x 0 da pxu a 0 dx 2 Jo 2 Jo 1 1 fv 2 2 5f rtrpac 5 alote ae 0 0 Usando as expressoes em série de Fourier de f e g e a identidade de Parseval obtemos Be Tyo aarin Lp yy ancinn L ScE 2 2 2 2 LD Q n1 n1 n1 Exemplo 36 No caso da corda dedilhada por exemplo a corda de um violao o movimento da corda é descrito pelo problema Unt CUne se0OaLet0 u0t uLt 0 set 0 ux0 fz se0OaKL uzx0 0 seOQaL onde h 2x se0 a a fz a Lx h seeaxaLl DLa Sup6ese que o misico dedilha a corda em um ponto distante a da extremidade 0 a uma altura h Os harménicos deste problema séo encontrados diretamente encontrando a série de Fourier de f j que dy 0 pois nao ha velocidade inicial o musico simplesmente solta a corda xt 2h L nna NTL cnit Unxt s sen sen cos aL a n7 L L L A vibracgao total da corda é a superposicao destes harménicos Observe que dependendo do ponto a alguns harmonicos podem estar ausentes correspondentes a sen 0 estes sao os chamados harménicos mudos Por exemplo se a L2 todos os harménicos pares sao mudos Em geral se o ponto a for um ponto nodal do nésimo harménico este seré mudo O primeiro harménico que nao possui pontos nodais nunca é mudo A altura do som é medida pela freqtiéncia e em geral ela é dada pelo harménico fundamental 1 7 wy 2LV p Assim quanto menor o comprimento da corda maior é a freqiiéncia recurso utilizado nos instrumentos musicais e pelos musicos Além disso a freqiiéncia depende da tensao daf a necessidade de se afinar os instrumentos musicais pois com o passar do tempo a tensaéo em suas cordas variaA intensidade depende da energia j4 o timbre é uma qualidade que depende da forma global de uxt e portanto permite distinguir entre instrumentos diferentes 0 Rodney Josué Biezuner 117 353 Unicidade de Solugao para a Equagao da Onda Apesar de termos obtido a unicidade para a solucéo da equacéo da onda um caso particular acima no caso geral isso pode ser obtido através do principio de conservacao de energia obviamente nao existe um principio do maximo para a equacao da onda como existe para a equacao do calor Teorema 37 Principio de Conservacaéo da Energia Suponha que uxt seja uma solugdo para a equagao da onda uit Cx tUre onde cat Tpx e r uma constante positiva satisfazendo uz 0t uz Lt 0 ou uz0 t uz Lt 0 Se a energia da solugao u no instante t é definida por 1 fe 1 9 Bt 5 rutatde 5 pau2wt ae 2 Jo 2 Jo entdo ela é constante Prova Escreva a equacao da onda na forma px Ue TUre Temos d 1 r 2 1 r 2 Et Tuiat dx pxuz a t da L L a Uz x tUat a t ax pxuea ture a t dx 0 0 L L T Ug x tUara t dx f Use x tuzat dx 0 0 Integrando por partes a terceira integral chamando u uz dv Urdx obtemos L L L Ure x tuzat dx uza tur2 tyI6 Unt L tuga t dx Unt x tuza t da 0 0 0 e portanto conclufmos que Et 0 para todo t Hi Teorema 38 A solucdo do problema geral da onda se existir é tinica Unt CaxtUcr k2 t seQaLetQ0 u0t hit se t 0 uLt hot se t 0 ua0 fx scOaL utx 0 gx seOaL Rodney Josué Biezuner 118 Prova Suponha que wu e uz sejam duas solucoes do problema acima Entao u u ug é solugao do problema Ure Cx tUre se0OaxLet0 u0t uLt 0 set 0 ux 0 uzx0 0 seOaL E claro que a energia inicial 6 E0 0 Logo pelo principio de conservacao da energia 1 ft 1 fv Et Ttu2 xt dx pxuat dx 0 2 Jo 2 Jo para todo t Como rt e px sao fungoes positivas segue que uz xt uzat 0 portanto u é constante Mas u0t 0 logo esta constante é a constante nula isto é u0 e portanto u u2 36 Apéndice Corda Suspensa O problema que descreve uma corda sujeita a acao da gravidade é Unt Clee 9 se0OaLet0 u0t uL t 0 set 0 uaz0 fx seeOacL uzx0 gx seeOaL Se as oscilacdes sao pequenas temos que c é uma constante e a solugao independente do tempo é vx 5 2 Le Isso nao corresponde a situacgao observada na realidade em que a forma de uma corda suspensa é uma catendria isto é o grafico de uma funcao do tipo cosseno hiperbdlico Isso mostra os limites do nosso modelo fisico O seu maior limite é neste caso é que o cabo suspenso esta sujeito a grandes oscilacgoes Para obter a equacao diferencial correta que modela uma corda ou cabo suspenso é necessério ter um modelo fisico mais acurado que permita grandes oscilacoes Observe a situacao mostrada na figura abaixo Nela consideramos a porgao do cabo suspenso entre os dois pontos marcados na figura onde um dos pontos é 0 ponto mais baixo do cabo e o outro ponto esta situado a sua direita Denote por H a forga da tensao horizontal atuando no ponto mais baixo da curva e por T a tensao atuando no ponto 4 direita Se entre estes dois pontos o comprimento do cabo for s e a sua densidade linear for p de modo que o seu peso é Rodney Josué Biezuner 119 P mg psg e a tensao T faz um angulo 6 com a horizontal do equilfbrio das forgas resultantes segue que T cos H T sen gps Dai r tano 2s vx n We Denotando a constante a gpH e derivando esta expresso uma segunda vez obtemos vu a as x Por outro lado como s sa nada mais é que a fungao comprimento de arco temos sx VIF P Portanto a equacao diferencial ordinaria que 0 cabo suspenso satisfaz é vx av14 va 322 bem diferente da equacao anterior v a a Note que esta é uma equacao diferencial naolinear A solugao geral desta equacao diferencial ordinaria de segunda ordem é x ux acosh c1 Cp 323 a Substituindo as condigdes v0 0 e vL 0 obtemos os valores das constantes cj e C2 4 Capitulo 4 Equacoes Diferenciais Parciais Bidi Neste capitulo estudaremos as equacoes da onda e do calor em dimensoes 2 e 3 Isso nos levarad naturalmente ao estudo da equacao de Laplace 41 Séries de Fourier Duplas 411 Definigao e Calculo dos Coeficientes Seja f 0a x 06 R uma funcao de duas varidveis Gostarfamos de representar f através de uma série infinita de senos e cossenos da mesma forma que fizemos para funcdes de uma varidvel para com isso resolver equacgoes diferenciais parciais bidimensionais Primeiro fixe y de modo a produzir uma fungao fx fx y de uma varidvel Suponha que para cada y fixado a fungao f 0a R seja regular o suficiente por exemplo satisfaz as hipdteses de regularidade do teorema de Fourier Se estendermos f a uma funcao periddica de periodo 2a entaéo podemos escrever ay nTa nTe fxy fy i any cos bny sen a a a onde para cada y 06 os coeficientes de Fourier sao dados por 1 f nTx an y fy cos dx para 7 2 0 a Jia a 1 a bry al fxy sen dx para n 1 a Jia a Em seguida suponha que cada um dos coeficientes ay by 0 b IR que na verdade sao fungoes de y tenha regularidade suficiente de modo que se estendermos cada um deles a uma funcao periddica de periodo 2b podemos escrever a mar mar any S anm cos bam sen un para n 0 m1 C mry mary 0 bry S com cos dnm sen un paran 1 m1 onde 120 Rodney Josué Biezuner 121 1 b Qnm an y cos may dy param 0 b Jy b 1 b bam any sen my dy param 1 e 17 mq Cam bn y cos may dy param20O b Jy L 17 mqry dnm bny sen dy param 1 b Jy L Em outras palavras Flay 1 200 mary sp may xy dom COS sen oY 9 9 Om b Om b m1 Sha mar mar NTx S os S nm COs bdrm sen cos a n1 m1 Sle ma mar NTx S ss S cum cos vy dnm Sen a sen n1 m1 de modo que a 1 Na NTL mq mr fxy oe 3 S ano cos Cno sen a 3 S com cos bom sen an 41 n1 m1 co Nx mar NTx mar NX mar NTx mar S anm cos cos mag bnm cos sen mag Cnm Sen COs mag dnm sen sen mnt a b a b a b a b nym1 onde 17 f nTa mary dam fxy cos cos drdy para nm 0 ab J4J a b 17 f nTa mry bam fxy cos sen dady paran0m21 ab J4J a b 42 17 f nTx mry Cam fx y sen cos dady paran1m20 ab JJ a b 1 7 f nTa mry dum f x y sen sen dady paranm 1 abJaJp a b Precisamos enunciar com mais rigor as condicoes que f precisa satisfazer para que a série definida acima seja convergente e convirja para f Isto é feito através do seguinte teorema cuja demonstragao nao sera dada aqui veja 5 Teorema 41 Seja f R R uma funedao de classe C periddica de pertodo 2a na varidvel x e periddica de periodo 2b na varidvel y e tal que existe a derivada parcial mista fxy em cada ponto Entao a série de Fourier de f definida acima converge uniformemente para f Rodney Josué Biezuner 122 412 Funcgoes de Duas Variaveis Pares e impares Suponha que f R R seja uma funcao periddica nas duas varidveis de periodo 2a na varidvel x e de periodo 2b na varidvel y que possui uma série de Fourier dupla Temos as seguintes situacoes e f é par com relacao a ambas as varidveis x e y fx mry RTE ad afr mry nme nm y cos cos y cos cos a ab fey SS 8 dady abd 2h FY 8 dy cos dx 9 b a 9 b a fxy cos dex cos TT y 2 fxy cos dx cos dy aps Ja a b ab Jo 0 a b PL nTx MY ed x y cos cos dx ab Jy Jy 14 7 5 Y 1 f b miry nTx bam fx y sen dy cos dx 0 ab Jo Js b a in i nTx mry Cam fx y sen dx cos dy 0 ab Jy Ja a b a i nTa mry dam fx y sen dx sen dy 0 abJ4 LJa a b e f éimpar com relacao a ambas as varidveis x e y 1 b floy mry RTE dy 0 anm xy cos cos dady 0 abJJs y b a y 1 1 b a bam a fxy cos dx sen 4 dy 0 ab abJy Ja a b 1 f b mary nTx Cam fxy cos dy sen dx 0 abJJ b a 1 f b nTx mry a i nTx mary dum f x y sen dx sen dy 2 fxy sen dx sen dy abJ Jp a b ab Jy 0 a b 9 a b 9 a b al sonsen a sen de al Hesen ay sen de 4 a b fxy sen na sen 74 dady ab 0 0 a b E claro que outras situacdes sao possiveis por exemplo f par em uma varidvel e impar na outra Em cada caso os coeficientes de Fourier correspondentes devem ser calculados usando os argumentos acima Rodney Josue Biezuner 123 42 A Equacao da Onda Bidimensional 421 Problema da Membrana Vibrante A equacao da onda se generaliza para dimensao 2 e 3 e mesmo dimensoes mais altas Considere uma membrana fina e elastica esticada sobre uma armacao retangular com dimensoes a e b Suponha que as margens da membrana sao fixadas aos bracos da armacao e a membrana possa vibrar livremente na direcao normal a armacao ou seja estamos assumindo que nao existem forcas externas ou dissipativas atuando sobre a membrana e que todas as suas vibracoes sao transversais o que quer dizer que cada ponto da membrana vibra apenas na direcao perpendicular ao plano do retˆangulo As vibracoes desta membrana sao entao governadas pela equacao bidimensional da onda utt c2uxx uyy onde ux y t e o deslocamento com relacao ao plano do retˆangulo no instante de tempo t e cx y t τtρx y As condicoes de fronteira sao margens fixadas ux 0 t ux b t u0 y t ua y t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 O movimento da membrana dependera evidentemente das condicoes iniciais ux y 0 fx y se 0 x a e 0 y b utx y 0 gx y se 0 x a e 0 y b Denote o interior deste retˆangulo por R ou seja R 0 a 0 b de modo que o seu fecho e R 0 a0 b e a sua fronteira e R x y x 0 ou x a ou y 0 ou y b Nesta notacao mais compacta o problema da onda bidimensional pode ser escrito na forma utt c2u se x y R e t 0 ux y t 0 se x y R e t 0 ux y 0 fx y se x y R utx y 0 gx y se x y R 43 Mais geralmente o problema da equacao da onda pode ser em princıpio considerado em qualquer regiao limitada Ω R2 isto e qualquer tipo de armacao Ω nao necessariamente retangular utt c2u se x y Ω e t 0 ux y t 0 se x y Ω e t 0 ux y 0 fx y se x y Ω utx y 0 gx y se x y Ω 44 Um caso interessante e quando Ω D onde D e um disco o caso da membrana vibrante de um tambor 422 Solucao do Problema da Membrana Vibrante pelo Metodo de Separacao de Variaveis e Series de Fourier Vamos resolver o problema da membrana vibrante no retˆangulo pelo metodo de separacao de variaveis Seja R 0 a 0 b e suponha que f g 0 a 0 b R sejam funcoes de classe C2 Queremos portanto encontrar uma solucao para o problema utt c2uxx uyy se 0 x a 0 y b e t 0 ux 0 t ux b t u0 y t ua y t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 ux y 0 fx y se 0 x a e 0 y b utx y 0 gx y se 0 x a e 0 y b 45 Rodney Josué Biezuner 124 Tentaremos primeiro encontrar uma solugao para o problema que seja o produto de trés fungdes uma depen dendo exclusivamente de x uma dependendo exclusivamente de y e a terceira dependendo exclusivamente de t ux yt FxGy Ht Temos ut FxGyHt Uyy FxGy Ht Substituindo estas expressoes na equacao bidimensional da onda obtemos F2GyHt F2GyHt FxGy Ht Dividindo ambos os lados por cFxGy Ht obtemos LAM Me G e Ht Fx Gly Como o lado esquerdo desta equacao é uma fungao somente de t e o lado direito é uma funcao apenas de xy segue que ambos os lados sao constante 1AM PM Gy 0 ce Ht Fx Gly Agora podemos escrever fF G Pa G eg Fx Gy e novamente j4 que o lado esquerdo depende apenas de x enquanto que o lado direito depende apenas de y concluimos que os dois lados desta equacao também sao constantes Ff G oW Fx Gy Pelo método de separacao de varidveis chegamos portanto as seguintes equacoes diferenciais ordinarias Fx pF x 0 Gy p oGy 0 H t oc Ht 0 As condicoes de fronteira produzem os seguintes problemas de valor de contorno Fx pF x 0 F 0 Fa 0 e Gy a pGly 9 G0 Gb 0 de fato temos F0GyHt FaGyHt 0 e FxG0 At FxGb Ht 0 e a menos que u seja a solugao identicamente nula necessariamente F0 Fa 0 e G0 Gb 0 porque as solugées das equacoes diferenciais ordinarias de F G e H nao produzem nenhuma solucao que se anula em conjuntos diferentes de pontos isolados Fazendo andlise semelhante a que fizemos para os problemas unidimensionais Rodney Josué Biezuner 125 concluimos que para que as solucoes nao sejam identicamente nulas temos que ter p 0 eap 0 isto é ao p Os problemas acima podem ser escritos tém como solugées fundamentais nao nulas autofungoes 22 Nx nem Fa sen patap as a mry mn Giny sen Patag ps Em particular mn nen omen nm CPO Se at Be e o problema em t é 2 2 g92n m HH t cr 5 Ht 0 cujas solucao geral é HAymt Anm COS Anmt Bam sen Anmt para 2 2 in m Anm CT Rp 46 Estas sao as chamadas freqtiéncias caracteristicas da membrana enquanto que as solucdes Nx mar Unmx y t sen sen Anm COS Anmt Bam sen Anmt 47 a sao chamados os modos normais de vibragéo da membrana correspondentes aos harm6nicos no caso da corda vibrante Note que as freqiiéncias caracteristicas nado sao multiplos inteiros da freqiiéncia fundamental o que torna a membrana vibrante inttil para a maioria dos propdésitos musicais além de manter um ritmo de batidas j4 que por causa disso o som do tambor nao é tao agradavel tao harmonioso quanto o de outros instrumentos musicais porque é dificil ao ouvido humano distingilir entre os seus harmonicos ou ordenalos em uma escala em tempo real A solugéo do problema é NTx mar uayt S sen sen Anm COS Anmt Bam sen Anmt 48 nym1 a onde os coeficientes Anm Bnm sao determinados como sendo os coeficientes das séries de Fourier duplas das funcoes apropriadas Temos NTx mry Fwy uley0 S Anm sen gen Y a b nym1 de modo que estendendo f a uma fungao periddica impar de periodo 2a na varidvel x e a uma funcao periddica impar de periodo 20 na variavel y obtemos 47 NTx mar Anm af fx y sen sen my dady 49 ab 0 0 a b Do mesmo modo derivando a série de u com relagao a t termo a termo temos NTx mar urx yt S Anm sen sen Anm Sen Anmt Bam COs Anmt a nym1 Rodney Josué Biezuner 126 e portanto NTx mry 0 AnmBnm Sen sen gzy urx y 0 S nmPnm Sen a n b nym1 logo procedendo de modo andlogo estendendo f a uma fungao periddica impar de periodo 2a na varidvel x e a uma fungao periddica fmpar de periodo 26 na varidvel y obtemos 4 ape nTa mry Bum xy sen sen dady 410 nam am a y 7 5 y 410 423 Linhas Nodais No caso de uma corda vibrante quando ela vibra como um harm6nico aparecem pontos que nao se movem os chamado pontos nodais como vimos no capitulo anterior No caso de uma membrana retangular vibrante aparecem retas onde a membrana nao se move uma maneira de ver isso é espalhar areia na membrana a areia se acumula precisamente ao longo destas retas onde nao hé vibragéo Estas retas sao chamadas retas nodais Para entender porque este fendmeno ocorre considere 0 modo normal un de vibracao da membrana NTx mar Unmx y t sen sen Anm COS Anmt Bam sen Anmt a Os pontos xy que permanecem fixos séo os pontos que resolvem a equagao NTx mar sen sen may 0 a b o que é equivalente a NX mary sen 0 ou sen0 a b Por exemplo quando a b 7 as retas nodais de uz2 correspondem a x 12 e y 12 43 A Equacao do Calor Bidimensional 431 Deducao da Equacgao do Calor Tridimensional Considere uma regiao limitada 2 no espaco Recordamos que a quantidade de calor absorvida por uma substancia em um periodo de tempo é diretamente proporcional 4 massa desta substancia e 4 variagao média de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado QcmAu onde c é o calor especifico da substancia A variagao média da temperatura da substancia que ocupa esta regiao do espaco no intervalo de tempo que vai de tp até t é obtida tomandose a média das variagoes médias das temperaturas de todos os pontos da barra ou seja Au 5 ulat ulatoe u uzt ua v vol Jo onde x 12n Pelo Teorema Fundamental do Calculo segue que 1 m Au uzx t dt dv vol I i et Rodney Josué Biezuner 127 Logo a quantidade de calor absorvida por esta regiao é dada por cm 4 1 Q cmAu uta t dtdv cp uzax t du dt vol Q Q Jto to Q A taxa instantanea de variacgaéo do calor na regiao é portanto usando novamente o Teorema Fundamental do Calculo ov ux t dv 411 Q Por outro lado pelo principio de conservagao do calor a taxa de variacao do calor na regiao também é dada pela soma da taxa de calor que sai ou entra na regiao através da fronteira OQ por unidade de tempo somada ao calor gerado internamente por unidade de tempo A primeira é dada por 0Q onde é o fluxo de calor que é um vetor ja que o calor flui em alguma direcao no espaco a intensidade de é a quantidade de calor fluindo por unidade de tempo por unidade de area Se o fluxo de calor é paralelo a fronteira entao nenhum calor cruza a fronteira a componente do fluxo de calor que nos interessa é a componente do fluxo perpendicular a fronteira Na integral acima seguimos a convencgao de que 7 é 0 vetor unitaério normal a superficie apontando para fora Assim o sinal negativo explicase como no caso unidimensional porque se sai calor da regiao isto é a componente perpendicular do fluxo tem a mesma diregdo de 7 e portanto a integral é positiva entao a variagao de calor na regiao deve ser negativa A taxa do calor gerado internamente na regiao é dada por qat dv 412 Q onde qxt é taxa de calor gerada por unidade de volume Portanto do princfpio de conservacao do calor segue que op wav onds qa 413 Q aa Q Por outro lado pelo teorema da divergéncia onds div dv aa Q Logo temos que cpu divdq Precisamos também de uma lei de Fourier ndimensional Experimentalmente para materiais isotrépicos isto 6 materiais em que nao existem diregdes preferenciais verificase que o calor flui de pontos quentes para pontos frios na diregao em que a diferenca de temperatura é a maior O fluxo de calor é proporcional a taxa de variacao da temperatura nesta direcao com a constante de proporcionalidade k sendo por definigao a condutividade térmica como no caso unidimensional Como sabemos a diregao onde uma fungao cresce mais rapido é exatamente a dada pelo vetor gradiente da funcao e o mddulo do gradiente fornece a magnitude da taxa de variacgao da fungéo nesta direcao ie na diregéo do gradiente Portanto b kVu 414 O sinal negativo ocorre como no caso unidimensional porque o vetor gradiente aponta na direcao de cresci mento da temperatura enquanto que o fluxo do calor se dé na diregéo oposta da temperatura maior para a temperatura menor O fluxo do calor em uma regiao bi ou tridimensional pode ser facilmente visualizado uma vez que vocé se lembre que o gradiente de uma fungao é perpendicular as superficies de nivel da fungao Rodney Josue Biezuner 128 No caso em que a funcao e a temperatura as superfıcies de nıvel sao chamadas superfıcies isotermicas ou simplesmente isotermas Assim o calor flui das isotermas mais quentes para as isotermas mais frias em cada ponto da isoterma perpendicularmente a isoterma Em outras palavras as linhas de corrente do fluxo de calor correspondem as linhas de fluxo do campo gradiente da temperatura Segue que cρut ku q 415 onde u div u e o Laplaciano de u Se q 0 escrevemos ut Ku 416 onde K kcρ Esta e a equacao de calor tridimensional Em outras palavras ut Kuxx uyy uzz Para que o problema possua uma solucao unica e necessario dar a condicao inicial e a condicao de fronteira como no caso unidimensional Por exemplo denotando x x1 xn podemos ter um problema de Dirichlet homogˆeneo ut ku se x Ω e t 0 ux t 0 se x Ω e t 0 ux 0 fx se x Ω 417 ou um problema de Neumann homogˆeneo ut ku se x Ω e t 0 u η x t 0 se x Ω e t 0 ux 0 fx se x Ω 418 ou tambem problemas naohomogˆeneos ou com condicoes mistas condicoes de Dirichlet em porcoes da fronteira Ω e condicoes de Neumann em outras porcoes da fronteira 432 Equacao do Calor Bidimensional Considere uma chapa homogˆenea Ω cuja superfıcie esta isolada termicamente exceto possivelmente pelas margens Como o calor nao flui na direcao perpendicular a chapa que tomamos como sendo o eixo z segue que uzz 0 e podemos desprezar esta variavel no estudo da conducao do calor na chapa Segue que a equacao do calor para esta regiao tem a forma ut Kuxx uyy esta e a equacao do calor bidimensional Assumimos que existe uma distribuicao inicial de temperaturas nas margens ux y 0 fx y para todo x y Ω onde f Ω R e uma funcao com alguma regularidade no caso em que Ω e um retˆangulo R 0 a0 b chapa retangular esta condicao inicial se escreve como ux y 0 fx y se 0 x a e 0 y b As condicoes de fronteira podem ser as mais diversas possıveis As margens podem estar mantidas a tem peratura constante igual a 0 ux y t 0 para todo x y Ω e t 0 Rodney Josue Biezuner 129 no caso em que Ω R 0 a 0 b esta condicao de Dirichlet se escreve como ux 0 t ux b t u0 y t ua y t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 Ou as margens podem estar termicamente isoladas u η x y t 0 para todo x y Ω e t 0 onde η ηx y e o vetor normal a fronteira Ω no ponto x y da fronteira significando que se houver transferˆencia de calor esta so pode se dar ao longo da fronteira isto e na direcao tangente a fronteira o que certamente ocorrera se por exemplo a distribuicao de temperaturas inicial na fronteira nao for constante no caso em que Ω R 0 a 0 b esta condicao de Neumann se escreve como uyx 0 t uyx b t ux0 y t uxa y t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 Ou ainda as margens podem estar sujeitas a condicoes mistas ou mesmo condicoes mais complicadas Resumindo o problema com condicao de Dirichlet homogˆenea e ut Ku se x y Ω e t 0 ux y t 0 se x y Ω e t 0 ux y 0 fx y se x y Ω 419 e o problema com condicao de Neumann homogˆenea e ut Ku se x y Ω e t 0 u η x y t 0 se x y Ω e t 0 ux y 0 fx y se x y Ω 420 433 Solucao do Problema da Conducao do Calor na Chapa Retangular com Margens Mantidas a Temperatura Zero por Separacao de Variaveis e Series de Fourier Vamos resolver o problema da conducao do calor em uma chapa retangular homogˆenea cujas superior e inferior estao termicamente isoladas e cujas bordas estao mantidas a temperatura constante igual a 0 pelo metodo de separacao de variaveis e series de Fourier duplas Seja R 0 a0 b e suponha que f 0 a0 b R e uma funcao de classe C2 Queremos portanto encontrar uma solucao para o problema ut Kuxx uyy se 0 x a 0 y b e t 0 ux 0 t ux b t u0 y t ua y t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 ux y 0 fx y se 0 x a e 0 y b 421 Novamente vamos tentar encontrar uma solucao para o problema que seja o produto de trˆes funcoes de uma variavel ux y t FxGyHt Temos ut FxGyHt uxx F xGyHt uyy FxGyHt Rodney Josué Biezuner 130 Substituindo estas expressoes na equacao bidimensional do calor obtemos FxGyHt KFxGy At FaGy Ht Dividindo ambos os lados por cFxGy Ht obtemos 1AM PMa GY K Ht Fx Gly Como o lado esquerdo desta equacao é uma fungao somente de t e o lado direito é uma funcao apenas de xy segue que ambos os lados sao constante 1AM FM GY oO K Ht Fx Gy donde pe qu x oW Fx Gy Como na subsecgao anterior obtemos os problemas FMa pFa0 5 J Gy o pGy 9 F0 Fa 0 G0 Gb 0 que tém como autofuncoes respectivamente 22 Fx sen para p 7 a a a Giny sen parao p Sa Segue que mr nn mn o n m TSP a a ae SO Fae e o problema em t é nn m cujas solucao geral é Anmt Ameo aE i Rt A solugéo do problema de calor da chapa com margens termicamente isoladas é portanto ee 2n2 1 m2 ux yt S Anme t e je sen gen my 422 nm1 a b onde os coeficientes Aj So os coeficientes da série de Fourier dupla da extensao de f a uma fungao periddica tmpar de periodo 2a na varidvel x e a uma funcao periddica impar de periodo 2b na variavel y NTx mry 0 Anm JT fz y uz y 0 sen 7 sen b ou seja 4 a b Anm ai fxy sen sen dady 423 Rodney Josué Biezuner 131 434 Solucgao do Problema da Condugao do Calor na Chapa Retangular Ter micamente Isolada por Separagao de Variaveis e Séries de Fourier Vamos resolver o problema da condugao do calor em uma chapa retangular homogénea termicamente isolada pelo método de separacao de varidveis e séries de Fourier duplas Seja R 0a x 0b e suponha que f 0 a x 0 b R é uma funcao de classe C Queremos portanto encontrar uma solucao para o problema ut K Ure Uyy see0Oaa0ybet0O Uy x 0 t uy x 6 t uz 0 y t usay t 0 see0Oaca0ybets0 424 ux y0 fxy se0aaec0yKb Escrevendo ux yt FxGy Ht temos uy FaGyHt Ure FxGy Ht Uyy FaGy Ht e substituindo estas expressdes na equacao bidimensional do calor obtemos FxGyHt KFxGy At FaGy Ht Dividindo ambos os lados por cFaGy Ht encontramos L Ht PMe 6 aoe 0 K Ht Fa Gy donde pe qu oW Fx Gy As condigoes de fronteira implicam como sempre condigoes de fronteira sobre as equacoes diferenciais ordinarias de F e G Uy x 0t 0 FxG0 Ht 0 G0 0 Uy x bt 0 FxGb Ht 0 Gb 0 uz 0yt 0 F0Gy Ht 0 F0 0 uza yt 0 FaGy Ht 0 Fa 0 Temos portanto os seguintes problemas FMapFa0 J Gy pGy 0 F0 Fa 0 G0 Gb 0 As autofungoes correspondentes sao respectivamente Fox c para p O 22 Fa cos a para p a a a Rodney Josué Biezuner 132 e Gox c paraco p 22 Giny cos parao p S Segue que o problema em t é nn mn wK P Ht 0 cujas solucao geral é Hoot n2 Hyot ent art m2 Homt ent ar Kt 2n2 m2 Hamt e7 25 Ke A solugéo do problema de calor da chapa com margens termicamente isoladas é portanto oe n 1m Kt NTx mary ux yt S Anme a 0 cos 7 88 425 nm0 o que é equivalente a escrever redefinindo os coeficientes de forma a obter uma mesma férmula integral para todos os coeficientes A gen nme le 2m mr uayt 3 S Anoe oF cos 3 S Aome oF cos SE n1 m1 oe 72n2 1 m S Anme 23 Ke cos cos nym1 onde os coeficientes Aj So os coeficientes da série de Fourier dupla da extensao de f a uma fungao periddica par de periodo 2a na varidvel x e a uma funcao periddica par de periodo 26 na variavel y fley 0 Ao 15 4 nna 1S 4 may s A NTx mary xy uazy0 cos cos cos cos y y A 3 no a 2 Om b nm a b n1 m1 nm1 ou seja 4 7 7 nTx mry Ann fx y cos cos drdy nm 0 426 ab 0 0 a b 44 Exercicios Exercicio 41 Resolva o problema da membrana vibrante Utt Ura Uyy se xy 01 et 0 uz0t ua1t u0yt u1 y t 0 seeOaxa0ybet 2 uxy0 a a1yy1 se xy 01 uzx y0 0 se xy 0 1 Usando algum software matematico Scilab Mupad Maple Matlab Mathematica etc ou algum pacote grafico OpenGL Java2D etc crie uma animacao para visualizar a solugado do problema Rodney Josue Biezuner 133 Exercıcio 42 Use algum software matematico ou algum pacote grafico para visualizar os modos normais de vibracao da membrana do exercıcio anterior Exercıcio 43 Encontre uma solucao formal para o problema de Dirichlet para a equacao da onda tridi mensional em um domınio na forma de uma caixa utt c2uxx uyy uzz se 0 x a 0 y b 0 z c e t 0 u0 y z t ua y z t 0 se 0 y b 0 z c e t 0 ux 0 z t ux b z t 0 se 0 x a 0 z c e t 0 ux y 0 t ux y c t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 ux y 0 fx y se 0 x a 0 y b e 0 z c utx y 0 gx y se 0 x a 0 y b e 0 z c Exercıcio 44 Encontre uma solucao formal para o problema de Dirichlet para a equacao do calor tridi mensional em um domınio na forma de uma caixa ut Kuxx uyy uzz se 0 x a 0 y b 0 z c e t 0 u0 y z t ua y z t 0 se 0 y b 0 z c e t 0 ux 0 z t ux b z t 0 se 0 x a 0 z c e t 0 ux y 0 t ux y c t 0 se 0 x a 0 y b e t 0 ux y 0 fx y se 0 x a 0 y b e 0 z c 4 Capitulo 5 A solucao de estado estaciondrio para a equacao do calor em um aberto 2 Cc R uz KAu ou seja uz 0 6 a equacao homogénea Au 0 51 Esta é chamada a equagao de Laplace Como nao ha dependéncia com o tempo problemas envolvendo a equacao de Laplace nao possuem condigoes iniciais mas apenas uma condicao de fronteira que pode ser uma condicao de Dirichlet Au 0 se xy Q 52 uxy fy se xy AQ uma condicao de Neumann Au 0 se xy Q Ou 53 Seley F ley se wy 09 63 1 ou uma condicao mista especificando uma condicao de Dirichlet em uma parte da fronteira e uma condicao de Neumann na outra parte e mesmo uma condicgao de Robin mais geral Au 0 se 4 y Q Ou 54 a eu uy b ea ea Flea se ey 09 Quando ha geracao ou absorcao de calor interna independente do tempo Ut kAu qx a solucao de estado estaciondario é a solugao da equacao de Laplace naohomogénea também chamada equagao de Poisson Au f a Além de descrever a distribuicaéo de temperaturas no estado estaciondrio a equacao de Laplace descreve diversos outros fendmenos fisicos de equilibrio Também o potencial escalar de um campo vetorial conservativo tal como o campo elétrico o campo gravitacional ou o campo de velocidades do escoamento de um fluido irrotacional pode ser escrito como a solugao de uma equacao de Poisson 134 Rodney Josué Biezuner 135 51 Solugao da Equagao de Laplace no Retaéngulo Vamos resolver o problema de Dirichlet para a equacao de Laplace em um dominio retangular através do método de separagao de varidveis e séries de Fourier Em um retaéngulo R 0a x 06 o problema de Dirichlet geral para a equacgao de Laplace se escreve na forma Ure Uyy 0 see0Oaae0yb ux0 fia ua b fox se0 2 a 55 u0y giyulay gay seOy b Por linearidade se u uz ug U4 Sao respectivamente solucdes dos problemas de Dirichlet particulares Ura Uyy 0 Ura Uyy 0 ua0 fixuab 0 ua0 0 ux b fox u0y ula y 0 u0y ula y 0 Ura Uyy 0 Ura Uyy 0 ux 0 uab 0 ux 0 uab 0 u0 y 91 y ua y 0 u0 y 0 ua y g2y entao U Uy Ug U3 Ud Para obter a solucao geral do problema de Dirichlet basta portanto resolver cada um dos quatro problemas acima A titulo de exemplo vamos resolver o segundo explicitamente Urge Uyy 0 see0Oaae0yb uaz0 0 ux b fox se0 aKa u0y uay 0 seOyb Escrevendo uxy FxGy segue que FxGy FxGy 0 e portanto FMx Gy d0 Fx Gy As condigoes de fronteira implicam as seguintes condig6es sobre as equacoes diferenciais ordindrias acima uz0 0 FxG0 0 G0 0 u0 y 0 F0Gy 0 F0 0 uay 0 FaGy 0 Fa 0 Logo Fx o Fx 0 F 0 Fa 0 e Gy oGy 0 G0 0 As autofungoes do primeiro problema sao 22 F sen para Op a a a Rodney Josué Biezuner 136 A solugao geral do segundo problema de valor inicial é conveniente escrever na forma Gy c cosh ony C2 senh my a a porque a condigao G0 0 implica que c 0 Assim as solugées obtidas através de separacao de varidveis sao os produtos NTx nary sen senh a a A solugdéo ug do segundo problema sera a funcgéo Nx ny Ugxy S by sen a senh 7 n1 onde a NTx On a fx sen da asenh a pois nib NT2 fox u2a b S 0 senh sen n1 4 ow nib E mais conveniente para efeitos de memorizagao incorporar a constante senh na solucao escrevendoa a na forma ny 0 senh NTx a u2xy S by sen nn 56 n1 senh a de modo que 9 a by fox sen dx 57 a Jo a tem a forma padrao dos coeficientes da série de Fourier De maneira andloga obtemos as solucoes para os outros problemas nmby o senh a Na a 2 NTL uiay S dn SCN an fix sen a dx 58 n1 senh a nta x co senh b nT 2 nT u32y S 2 sen may Cn giy sen nny dy 59 senh b b Jo b n1 b so pene senh nTry 2 nTy uazy S dn qeg sen a dy g2y sen a dy 510 nl senh 0 Portanto a solugao do problema de Dirichlet 55 é nmb y niry oo senh oo senh NTx a NX a ux y S Gy e S by sen nb 511 n1 senh nl senh a a nta x nTe oo senh oo senh nt nt Yo en sen fh S dn sen are n1 senh n1 senh 5 Rodney Josué Biezuner 137 com os coeficientes Gy bn Cndn dados pelas expressoes acima 511 Exercicios Exercicio 51 Resolva o problema de Neumann Ura Uyy 0 see0Oaae0yb Uyx0 fx uyx b 0 se0 aKa Uz 0 y Uz a y 0 se0Oyob Por que é necessdrio assumir a f x dx 0 0 para que este problema tenha solugao Além disso observe que a solucao sé esta determinada a menos de uma constante leia o enunciado da Proposigao 54 Exercicio 52 Resolva os seguintes problemas de fronteira para a equacao de Laplace no retangulo Veri fique que condicoes os dados de fronteira devem satisfazer para existir solucao e se a solucao que vocé obteve é tnica ou tnica a menos de uma constante Ure Uyy 0 se0aae0yb a Uy a0 fi x Uy a b fox se0 aKa u0y giy ula y gay seOy b Ure Uyy 0 seOaae0yb b ua0 fix ux b fox se0O a a Ux0y giyulay g2ly seOy b Ura Uyy 0 se0aae0yb c uyx 0 fila uy a b fox se0 u a Ux0 91yUelay gly seOy b Exercicio 53 Encontre as solugoes de estado estacionario se existirem para os seguintes problemas de condugao do calor no retangulo Ut VT Ure Uyy se0Orae0yb a ua0 fix ux b fox se0O a a Ux0 giy Uelay g2y seOy b uz eV8 Wry Uyy seOxae0yb b uyx0 fila ux b fox se0O a a u0y giyUelay g2ly seOy b Exercicio 54 Encontre as curvas de nivel de temperatura chamadas isotermas para a solugdo de estado estacionario para o seguinte problema de conducao do calor no retangulo up K Ure Uyy se0Oaae0yb uz0 1uab 1 se0 aKa u0y 1luay 1 seOyb Exercicio 55 Use o computador para encontrar as isotermas para a solucao de estado estacionario se existir para o seguinte problema de conducao do calor no retangulo ut K tax Uyy see0Oale0dyl ux 0 0 ua1 0 se0Oal u0 y 0 u1 y 100 seOyl Vocé consegue obter uma expressao analitica para estas curvas de nivel Rodney Josue Biezuner 138 Exercıcio 56 Use o computador para encontrar as isotermas para as solucoes de estado estacionario se existirem dos seguintes problemas de conducao do calor no retˆangulo a ut K uxx uyy se 0 x π e 0 y π ux 0 100 ux π 100 se 0 x π ux0 y 0 uxπ y 0 se 0 y π b ut K uxx uyy se 0 x π e 0 y π ux 0 0 ux π 100 se 0 x π ux0 y 0 uxπ y 0 se 0 y π c ut K uxx uyy se 0 x 1 e 0 y 2 ux 0 100 uyx 2 0 se 0 x 1 ux0 y 0 ux1 y 0 se 0 y 2 Exercıcio 57 Resolva o seguinte problema de valor de fronteira para a equacao de Laplace para a faixa semiinfinita uxx uyy 0 se 0 x a e y 0 ux 0 f x se 0 x a u0 y ua y 0 se y 0 lim y u x y 0 Encontre a solucao e as curvas de nıvel se precisar use o computador se a f x 100 b f x x a x Exercıcio 58 Prove que se as condicoes de fronteira satisfazem hipoteses adequadas a solucao 511 para o problema de Dirichlet da equacao de Laplace e de classe C2 no interior do retˆangulo e contınua ate a fronteira do retˆangulo 52 O Princıpio do Maximo Fraco e a Unicidade de Solucao para a Equacao de Laplace Lema 51 Princıpio do Maximo Fraco Seja Ω R2 uma regiao limitada Se u Ω R e uma funcao contınua que satisfaz a equacao de Laplace em Ω isto e u 0 em Ω entao u atinge o seu maximo e o seu mınimo na fronteira de Ω Prova Sejam M max Ω u e m max Ω u e suponha por absurdo que m M Entao existe um ponto x0 y0 ΩΩ tal que ux0 y0 M Defina a funcao vx y ux y M m 4d2 x x02 y y02 onde d diam Ω Se x y Ω temos vx y m M m 4d2 d2 3 4m M 4 M e como ux0 y0 vx0 y0 M segue que o maximo de v tambem e assumido em um ponto de Ω Ω digamos em x y Mas como x y e um ponto de maximo para v devemos ter vx y 0 Rodney Josué Biezuner 139 enquanto que pela definigdo de v e pelo fato de wu satisfazer a equacao de Laplace para todo x y temos Mm Mm Avay Auay Te 4p 7 0 uma contradicgéo Isso mostra que u atinge o seu maximo em 02 Para provar que o minimo de u também é atingido em OQ basta observar que u também satisfaz a equacgdo de Laplace e que min u maxu Hf Teorema 52 Unicidade de Solucao para o Problema de Dirichlet Se o problema de Poisson Au fxy se xy Q uxy gxy se xy OQ tiver solugao entao ele possui uma tunica solucdao Prova Se uj e uz sao duas solucoes para o problema de Poisson acima entao u wu ug é uma solucgao para o problema de Laplace com condigao de fronteira homogénea Au 0 se xy Q ux y 0 se xy aN Em particular u satisfaz o principio do maximo e portanto como u 0 na fronteira 0Q maxu maxu 0 Q an minu minu 0 2 aa logo u0 em Q o que significa que u u2 53 Solugao da Equacgao de Poisson no Retangulo Vamos tratar agora do problema de Dirichlet para a equacao de Poisson em retangulos Use Uyy F xy se0Oaae0yb ux0 fia ua b fox seOaKa u0y my ulay gly se0yb onde F 0a x 0b R é uma fungao de classe Ct que possui uma série de Fourier dupla convergindo para F veja o capitulo anterior Usando a linearidade do operador laplaciano podemos dividir este problema em dois Use Uyy F a y seQaae0yb ux 0 ux b u0y ula y 0 se0Oacaec0cyKb e Ura Uyy 0 see0Oaae0yb ux0 fia ua b fox seOaKa u0y giyulay gay seOy b O segundo problema é o problema de Dirichlet para a equacao de Laplace no retangulo que ja resolvemos no inicio deste capitulo O primeiro é a equacao de Poisson com condigao de Dirichlet homogénea Para resolvélo observamos que a fungao Unm y sen unt sen a Rodney Josué Biezuner 140 satisfaz as condicoes de fronteira Logo se escrevermos NTx mry uzy S Gnm Sen sen 512 nym1 u sera a solugao se pudermos encontrar coeficientes nm tais que an m Nx mry op Use Uyy S Gnm Be sen sen Fay nym1 Como vimos no capitulo anterior temos 4 ape NTx mn Qnm 7 Fay sen sen 4 dardy 513 pr m o Jo a b OT e te 531 Exercicios Exercicio 59 Resolva o problema de Dirichlet homogéneo Use Uyy F xy se0Qale0yl ux0 ua 1 u0y u1 y 0 seOQacle0yl Exercicio 510 Resolva o problema de Neumann homogéneo Use Uyy F xy se0Oaae0yb uyx0 fil uy a 6 fox se0O a a Ur0y 91yUnay goly seOyb Exercicio 511 Usando séries de Fourier triplas resolva o problema de Dirichlet Ure Uyy Uzz F xyz se0Oaa0ybe0ze u0y2 fivy ulay2 foay se0y beVzKe ua 0 z gxy ua b z g2x y se 0 grKgae 0 QzR C uxy0 hyxy uaye haay se0aac0yKb 54 A Equacao de Laplace no Disco E uma conseqiiéncia do principio do maximo que as solucoes da equacao de Laplace em dominios simétricos com uma condigao de fronteira simétrica séo simétricas este é um resultado altamente nao elementar cuja demonstracao é bem recente Em vista disso as solucdes da equacéo de Laplace no disco sao radialmente simétricas o que transforma o problema de Laplace no disco em um problema essencialmente unidimensional isto é a equacao diferencial parcial transformase em uma tnica equacao diferencial ordinaria Para obter mos esta equacao diferencial ordinaria precisamos obter uma expressao para o Laplaciano em coordenadas polares 541 A Equagao de Laplace em Coordenadas Polares A relacéo entre coordenadas cartesianas retangulares e coordenadas polares é dada pelas seguintes relacoes x rcosé y rsend 514 Rodney Josué Biezuner 141 e rave te 515 6 arctan 2 515 x Para obter a expressao para o Laplaciano em coordenadas polares usamos estas relagoes e a regra da cadeia Como Ug UrTr UGOx segue que O O O Usa ZO Up Ta UO na uy Te Urlon Z ue Ox Ue Ore Ox Ox Ox Upp Ure 9x0 x Urloa Urol 2 Ix uge02 Up xa donde Ure Upp 2 Ug9O2 2Upor 29x Urlee UO 22 516 Trocando x por y obtemos também Uyy Urry uo 2UpghyDy Url yy Ue yy 517 Diferenciando r x y implicitamente com relacdo a x obtemos 2rrz 22 logo x Ty r Dai 2 ee ee no r2 x y Vee SR BB Similarmente y x Ty r e Tyy s Por outro lado diferenciando arctan com relagao a x obtemos x weaken 2 2 2 2 2 2 14 x rmy r x e com relacao a y obtemos 1 1 x x y TaN 2 7 ee F2 14 x awy r x Diferenciando estas expressoes uma segunda vez com relacao a x e y respectivamente encontramos yrs 20y LL 4 4 e a 2rrz Quy Em particular valem as seguintes identidades G24 Oyy 0 TeAy ryBy 0 Rodney Josué Biezuner 142 Usando as relacoes obtidas temos Une Uyy Ure TZ ry ue 0 0 2ureT2Oe TyDy UrTae Tyy Ue Ora Pyy xy x y a y try 99 ty r r r 1 1 Urr 5 U0 Ur r r Em outras palavras o Laplaciano de u em coordenadas polares é dado por Aur0 Upp op 518 ur 0 Upp Upy U0 r pe 600 542 Solugao da Equagao de Laplace no Disco pelo Método de Separagao de Variaveis e Séries de Fourier Em coordenadas polares a equacao de Laplace no disco D 0 R x 0 27 se torna 1 1 Urr Ur UG9 0 see0OrRe06 2z r r uR 6 f se0 6 27 onde f é uma fungao continua que satisfaz f0 f27 Resolver este problema nestas coordenadas significa encontrar uma fungao ur continua em D e de classe C em 0 R x 027 tal que ur 0 ur 27 para todo0OrR Escrevendo ur 0 FrG obtemos fl 1 FrG0 FrG FrG 0 0 r r donde pe F ang kr Pn G8 Fr Fr G4 Do fato de G satisfazer a equacao diferencial ordinaria G 0 oG 0 e ser uma fungao periddica de periodo 27 concluimos que on para algum n 0 e Gi0 a cos nd b sen nd 519 Em particular F satisfaz a equacao diferencial ordinaria rE rrFr nFr 0 Esta é a equacgao de Euler cuja solucao geral é f ateglogr sen 0 Pr cr cer sen 1 Como a solugao u é continua devemos ter Fr limitada préximo ar 0 o que implica que co 0 Portanto as solucoes de F admissiveis para este problema sao Fr r para n 0 Rodney Josué Biezuner 143 As solugdes produto sao entéo ao 0 uor Q UnT 8 ran cosné bp senné paran 1 A solugao do problema é ur 0 a Fal cos no b sen n6 520 onde an bp sdo os coeficientes de Fourier de f lembrese que f esta definida no intervalo 027 satisfaz f0 f27 e é natural supor que ela é periddica de periodo 27 1 20 an f0 cosné dé n 0 T Jo 521 n f fsenn6 dé n T JO Exemplo 53 Encontre a distribuigao de temperatura de estado estaciondério em um disco de raio 1 se a metade superior da circunferéncia é mantida a uma temperatura constante igual a 100 e a metade inferior é mantida 4 temperatura constante 0 Solucgao Em outras palavras queremos resolver o problema de Dirichlet em coordenadas polares Au0 see0OrRe06 27 u10 f0 se0 6 27 onde 100 se007 1O 4 sem 0 2r Temos 100 77 ay cosné dé 100 sen 0 wT Jo 0 sen 1 e 100 7 100 0 se 1 e par bn 0 wna 12 1 conn 200 Le wT Jo nt se n 6 impar nt Logo a solucao é 200 D on 50 rr 2n 10 ur 9 a inn sen2n 1 Observagao A solucdo obtida acima pode ser escrita em forma fechada com o auxilio da seguinte identidade 0 0 S prec arctan 522 n 1rcosé De fato usando a identidade cos nz sen n senn 7 e reescrevendo a solucao anterior obtemos 100 G1 cosna 9 50 rr 0 ur 0 a nh r senn 100 senn 100 4 senn 7 50 yo yn 100 rsen 6 100 rsen 7 50 arctan arctan 1 1rcosé 1 1 rcos 7 Rodney Josué Biezuner 144 de modo que 100 rsen6 rsen 6 ur 0 50 arctan arctan 523 T 1 rcosé so 523 Esta solucao é prontamente escrita em coordenadas cartesianas 100 Yy y ux y 50 arctan arctan 524 79 T l2 1 Em particular tornase facil determinar as isotermas isto é curvas de temperatura constante desta solugao Igualando o lado direito a um valor T temos y y mT 50 arctan arctan retan yy F arctan ye 100 Aplicando tan a ambos os lados desta equacéo e usando a identidade trigonométrica tana tanb ta b na 1tanatanb obtemos y y et T T ies ltt tan mT cot 1 74 4 100 2 100 12 1a2 donde 2y t aT cot 1 a y 100 ou 5 5 a y1 T TY TT tan Qy 100 Portanto a isoterma correspondente a temperatura T é o circulo 2 t aT tan aT 9 TT x tan an sec y 100 100 100 rT rT centrado em 0 tan T00 e de raio sec 700 Em particular os centros destes arcos isotermais estao centrados no eixo y Por exemplo T 100 corresponde ao semicirculo superior T 50 corresponde ao segmento do eixo x e T 0 corresponde ao semicirculo inferior os outros arcos isotermais ocupam posigoes intermediarias deformandose continuamente de uma destas posicgdes para a outra 543 Exercicios Exercicio 512 Encontre a solugao limitada para a equacao de Laplace na regiao fora do circulo r a que satisfaz as condicoes de contorno ua0 f0 seOO Qr Exercicio 513 Encontre a solugao para a equacao de Laplace na regiao semicircular r a 0 7 que satisfaz as condicoes de contorno ur0 ur70 seOKra ua0 f0 seOO Qn Rodney Josué Biezuner 145 Exercicio 514 Encontre a solugao para a equacao de Laplace na regiao anular a r b0 0 27 que satisfaz as condicoes de contorno uaA se0O 2Qr ubB se06 2n onde ABeER Exercicio 515 Encontre uma solucao para o problema de Neumann no disco 1 1 Upp Up U9 0 seeOQrRe00 27 r r urR 0 g0 se0 6 27 Exercicio 516 A fundo potencial da velocidade de escoamento de um fluido inviscido incompressivel em torno de um cilindro satisfaz o problema de valor de fronteira 1 1 Orr br 500 9 serac06 2z r r bra 9 0 Q r 9 Q r 0 se 0 S 6 2r lim r dor cos 8 Toco onde g R Use 0 método de separacao de varidveis para obter a solugao or o r a cos 6 r Como é 0 potencial da velocidade V uv de escoamento do fluido ou seja V V deduza que Po y2 2 w r a cos 26 v 20 42 sen 26 Tr A partir daf esboce as linhas de fluxo para o campo de velocidades do fluido em torno do cilindro Isso pode ser feito de maneira mais facil observandose que em coordenadas retangulares a fungao potencial é dada por a2 1 xy oor a e que a funao corrente para 0 escoamento é a2 v xy doy Prp isto é V Vw 0 Como V V conclua que as linhas de fluxo do campo de velocidades do fluido so as curvas de nivel de w daf o nome fungao corrente porque as linhas de fluxo sao também chamadas linhas de corrente 55 Funcgoes Harmonicas e 0 Principio do Maximo Forte 551 Identidades de Green Seja Q Cc R O problema de Dirichlet para a equagao de Laplace é dada uma fungao f CQ encontrar uma funcao u CQ N CQ que satisfaca Au 0 em Q uf sobre 02 D Rodney Josué Biezuner 146 O problema de Neumann para a equacao de Laplace é dada uma fungéo g CO encontrar uma funcao u C7QNC1Q que satisfaca Au 0 em Q O N a g sobre OQ N OV onde v é 0 vetor normal unitario apontando para fora Enquanto 0 problema de Dirichlet tem solugao unica como jd vimos no Teorema 52 conseqiiéncia do Principio do Maximo Fraco cuja demonstragaéo pode ser facilmente generalizada para R n 2 o problema de Neumann pode nao possuir solugdo porque a fungao g nao pode ser prescrita arbitrariamente Por exemplo se a fronteira 0M é de classe C uma conseqiiéncia do Teorema da Divergéncia para campos vetoriais F CQR awe Fp 525 Q aa éa formula de Green O Au a Férmula de Green Q ag OV basta tomar F Vu Logo se existe uma solucéo para o problema de Neumann N entao g deve satisfazer g 0 526 0a Definimos o problema de Dirichlet para a equagao de Poisson de maneira andloga dadas fungoes f CQ g CAQ encontrar uma fungdo u CQ MN CQ que satisfaca Auf em Q uUug sobre OQ DP e o problema de Neumann ou seja encontrar uma fungao u CQ A CQ que satisfaca Auf em Q O NP ots g sobre 02 NP OV Para que exista uma solugao para o problema de Neumann para a equacao de Poisson uma condicgao necessaria pela f6rmula de Green é que f e g satisfagam LS fn Q an De agora em diante assumiremos que a fronteira 02 é sempre de classe C As seguintes identidades de Green serao freqiientemente usadas neste capitulo Assuma que uv CQN C1Q Ov Vu Vu u uAv Primeira Identidade de Green Q an OV Q O O uAv vAu uw v Segunda Identidade de Green Q aa Ov Ov A primeira identidade segue diretamente do Teorema da Divergéncia escolhendo F uVv e a segunda é obtida da primeira permutando u e v e subtraindo as duas identidades Proposigao 54 Se DP possui uma solugdo de classe CQ NCQ entdo a solugdao é tinica Se NP possui uma solugdo de classe CQN C1Q entdo a solugdo é tinica a menos de uma constante Rodney Josué Biezuner 147 Prova Suponha que w e uz sao duas solugoes para DP ou NP Entao w uy ug satisfaz Aw 0 em Q w0 sobre OQ ou Aw 0 em 2 O ow 0 sobre OQ OV respectivamente Em qualquer um dos dois casos tomando u v w na primeira identidade de Green segue que Vw 0 Q e portanto Vw 0 em Q logo w é constante em 2 No caso do problema de Dirichlet como w 0 na fronteira OQ segue que esta constante é nula e portanto uy ug No caso do problema de Neumann concluimos que u e U2 sao iguais a menos de uma constante além disso se u é uma solugdéo para NP e C R é uma constante entaéo u C também é uma solugdo para NP Observe que para provar a Proposicao 54 exigise que a solucao u seja de classe CQ em outras palavras de classe C até a fronteira Esta exigéncia é necessdria para que possamos usar a identidade de Green No entanto para o problema de Dirichlet j4 vimos que usando o Principio do Maximo podemos estabelecer a unicidade mesmo se u for apenas de classe CQ isto é apenas continua até a fronteira 552 Funcoes Harmonicas e as Propriedades do Valor Médio Uma funcado u CQ que satisfaz a equacao de Laplace Au 0 é chamada uma funcgdéo harménica em Q Portanto solugoes para o problema de Laplace sao fungdes harménicas que satisfazem a condicao de fronteira Dirichlet ou Neumann dada Segue da Primeira Identidade de Green que se u é harménica em Q entao Ou 0 527 aQ Ov lf a Vul u 528 Q 2 aan Ov Se u CQ 6 uma funcao qualquer e Be Brx CC pelo Teorema do Valor Médio para Integrais temos x tim uz lim u 70 OBR JaBp 1 ux lim u OS Bal Jn Se u é harmonica o valor de u no centro da esfera ou bola é igual ao valor da média da integral em qualquer esfera ou bola e nao apenas o limite das médias Teorema 55 Teorema do Valor Médio para Fungdes Harménicas Seja u harménica em Q Entao para qualquer bola Br Brx CC Q vale 1 1 ux ana u es u 529 OBr Japp nuk Jopy 1 1 ux aa U sm U 530 Br Br Wn R Br Aqui wy 2nnTn2 denota o volume da bola unitéria em R Rodney Josué Biezuner 148 Prova Para provar a segunda desigualdade seja r Qe Br Brx CC Q Defina para r 0 R a fungao 1 dr U OB OB Para obter a derivada da funcao fazemos a mudanca de varidveis y2x w r de modo que 1 1 1 or uy ds ua rw dw ux rw dw NWP OB nwn Jap 0 0B10 Jas 0 e dai apm Yue tre wide ef uly a r ua rw wdw uy ds 0B10 Jaz 0 OB Jaz r 1 O OU as OB OB OV pois o vetor normal unitdrio 4 0Bx apontando para fora é exatamente o vetor gue Em outras palavras provamos que d 1 1 O am x aa 531 dr OB OB OB OB Or Mas pela harmonicidade de u temos que Ou 0 OB OV logo dr 0 e r é uma fungao constante Portanto mi dy oat L u u OBr Jos OBr Jabr para todo 0 r R Usando o Teorema do Valor Médio para Integrais lim a 2 im uux ro OB OB obtemos a primeira identidade Em particular agora sabemos que vale a igualdade nwyr ux u OB para todo r e a segunda identidade pode entao ser obtida integrandose esta equacao der 0 atér R Hf Proposicao 56 Caracterizacao das Funcdes Harmonicas Suponha que u CQ satisfaga qualquer uma das propriedades do valor médio enunciadas na proposicao anterior Entado u é harménica em Q Prova Suponha que exista um ponto x 2 tal que Aux 0 Entao de acordo com a demonstracao da proposicao anterior para todo r suficientemente pequeno temos O 1 O 00B om wds f Au 0 Or OB Ja aB OV B uma contradicgéo Analogamente eliminamos a possibilidade de que Au 0 Hf E possivel remover a hipdtese de que u CQ Rodney Josué Biezuner 149 553 Principio do Maximo Forte Teorema 57 Principio do Maximo Forte Suponha que u CQ satisfaca Au 0 Se Q conexo e existe um ponto xo Q tal que uao max u entao u constante Em outras palavras uma fungao harmonica nao pode assumir um mdzimo no interior a menos que ela seja constante Prova Denote M max u considere o conjunto A 2 ux M Por hipotese A é naovazio e fechado em Q pois u é continua em 2 Como 2 é conexo para provar que A 2 e portanto que u é constante basta provar que A é aberto De fato dado x A e uma bola Br Brx CC 2 temos pela propriedade do valor médio para fungoes harmonicas que 1 1 M uz ug MM IBrl Je Br Je Se houvesse pelo menos um ponto em Brx cujo valor é estritamente menor que M entao a desigualdade acima seria estrita o que constituiria uma contradicaéo Conclufmos que u M em Brx logo A é aberto a Analogamente podese provar que se uma fundo harmonica assume um minimo no interior entado ela é constante Exemplo 58 A hipdtese de 2 ser limitada nao pode ser removida do Teorema 57 Com efeito se 2 xy R y x entao a fungao uay y 2 é harmonica em 2 u 0 em 00 e supu oo O Q 554 Desigualdade de Harnack Para fungoes harmonicas u naonegativas em um aberto 2 o maximo e 0 minimo de u em qualquer subcon junto compacto de 2 sao comparaveis e a constante de comparacao independe da solugao Teorema 59 Desigualdade de Harnack Suponha que u uma fungao harménica ndonegativa em Q C R Entao para qualquer subconjunto limitado QD CC Q existe uma constante C Cn 0 distO Q tal que supu Cinfu Q Q Em particular 1 cum ux Cuy para todos xy 1 Prova Seja 1 R q dist 00 Entao para quaisquer pontos xy 2 tais que x y R vale a desigualdade 1 1 1 ule ae u ome u uly wn2R Jesnx Yn2R Jay Qn Segue que sup u 2 inf uw Bry Briy Rodney Josué Biezuner 150 Como 9 é compacto podemos cobrir 2 por um ntimero finito de bolas abertas B By de raio R tais que BN Bi41 S parai1N 1 Dat 1 ux gan UY para todos xy 2 Hf Note que este resultado afirma que os valores de uma funcao harménica naonegativa u em 2 séo todos comparaveis u nao pode ser muito pequena ou muito grande em um ponto de 10 a menos que u seja muito pequena ou muito grande em todos os pontos de 9 Em outras palavras funcdes harménicas naonegativas nao podem oscilar violentamente em abertos limitados 56 Solugao da Equagao de Laplace através de Funcoes de Green 561 Solugao Fundamental da Equagao de Laplace O operador laplaciano é invariante sob rotacoes e reflexoes Lembrese que uma rotacao do espaco R é uma transformacao linear ortogonal P R R com determinante positivo 1 enquanto que uma reflexéo é uma transformagao linear ortogonal com determinante negativo 1 Teorema 510 Invariadncia do Laplaciano sob Rotagoes Seja u U CR Rx ux uma fungao de classe C Considere uma mudanga de coordenadas y Px onde P é uma matriz ortogonal Seja V PU e defina v V CR Ry vy por oy uPy Entéo para todo y Px vale n n O7u O7u Aux ane aye Avy w1 il Prova Denote P p Entao ou Ox Pig Como ux vP2 pela regra da cadeia segue que Ou Ov Oy Ov at aP25 5 Pxpji Ox 2 Oy Ox 2 OY ia e Oru a dv NI Pv OYk v 53 Da aP2 pi 5a P2 a ji Dan YPiiPhi Ox 2 Ox Oy 2 Oyj OK Ox de Oyj OYK Por definicéo de matriz ortogonal PP I temos n fil se jk Sopra Sie 0 se jk Rodney Josué Biezuner 151 Logo n n n n n Ou Ou 0 Au On 7 a By Oun YPjiPRi Dy0un y PiPhi wl t1 97k1 jkl1 wl n n Ou Ov djkY Da y me 1 OY AUK Oy a Esta invariancia do laplaciano com respeito a rotagoes torna plausivel a existéncia de solucdes radiais para a equacao de Laplace Veremos que a equacao de Laplace de fato possui uma solucao radial fundamental a partir da qual solucdes mais complexas podem ser construidas Seja ux u2 ur uma fungao radial Para uma fungao radial o laplaciano é dado por fu n1du Au 0 Gr r dr De fato como 2 212 ralaj02 temos Or 1 224 x Or 2 ae402 8 Logo Ou Ouodr dua Ox Orda drr e x Ou Muar dul ux dul 2x as a tt I SS I EH Ox dr r r dr r2 dr2 r2 dr r rr donde h h h Oru du x du 1 fu dufn 1 Pu n1du oe et ss ate eon sae te ae x Ox dr sr dr Fr er dr drr rr dr r dr Logo se u ur é uma fungao radial harménica ela satisfaz a equacao diferencial ordindria de segunda ordem 1 ur fr 0 r Esta equagao pode ser facilmente resolvida substituindose wr ur Entao wr satisfaz 1 wr vwr 0 r ou wir onl wr r esta equacao pode ser integrada para obtermos a menos de constantes multiplicativas e aditivas log wr n 1 logr logr donde 1 Rodney Josué Biezuner 152 Integrando esta equagao obtemos a menos de constantes multiplicativas e aditivas log r sen 2 ur 1 pn2 se 1 3 Observe que esta fungao possui uma singularidade na origem Escolhendo constantes convenientes chegamos a seguinte definigao Definigao A fungaéo TI R0 R definida por 1 9 bes lel sen 2 Ix 1 1 53 532 se n nn 2wy Jar é chamada a solugao fundamental para a equacao de Laplace O motivo para se usar as constantes multiplicativas acima na definicaéo da solugao fundamental é para que as Mesmas néo aparecam na formula de representagdo de Green veja a préxima subsecao Observe que a fungao T é harmonica e de classe C em RO Para muitos resultados subseqtientes deste capitulo sera utilizado o seguinte fato que lembramos se fx fz é uma fungao radial entaéo R f nn fr dr 533 Br0 0 A fungéo I é integrdvel em qualquer vizinhanca limitada da singularidade na origem mas nao é integravel em todo o R pois R R rlogr dr sen 2 Ta dx nn Trr dr Br0 0 1 r dr sen 3 n2 0 As derivadas parciais de primeira e segunda ordem de I sao dadas por 0 4 Ox NW x oT 1 54 NX LX x 2 Ox0x NW x a Note que as derivadas parciais de segunda ordem de I nao sao integraveis em uma vizinhanca da singulari dade As seguintes estimativas seréo titeis mais tarde 1 1 DT NWn x 1 1 DT ce Wn x Rodney Josué Biezuner 153 562 Funcao de Green Dada uma funcgao u CQ 1 C1Q pretendemos obter uma férmula de representacao integral para uy em termos da solucao fundamental Ix y onde y 2 é um ponto arbitradrio Para isso gostarfamos de usar a Segunda Identidade de Green colocando diretamente Ix y no lugar de v mas isso nao pode ser feito porque a y possui uma singularidade em y Uma maneira de superar esta dificuldade é aplicar a Segunda Identidade de Green na regiao 2By e fazer 0 Fazendo isso chegamos ao seguinte resultado Teorema 511 Férmula de Representacao de Green Seja Q um aberto limitado e u CQN C1Q Entdao para todo y Q or Ou ay Ta Al a 34 wy ui ew Srey aurev 534 Prova Seja 0 suficientemente pequeno para que tenhamos By C 2 Entao Ix y é de classe C na verdade de classe C em QBy e podemos aplicar a Segunda Identidade de Green a esta regiao para obter Ou or Lo Gren 0En 0 aureyuarey aurey AQBey CY v OBey OBy Como 0QBy 02 U ABy segue que Ou or Ou or Ty uey f Serwy uev Aul a y Gremem fi GanemwGem amenn observe que na segunda integral do lado direito o vetor normal unitdrio vy aponta para dentro da bola OBy Mas se C supg Vul temos du Ce loge sen 2 Txy c Ta2 y CT enuwne C Dow Ov aBy ae sen 3 logo ae y0 quando 0 aBey OV por outro lado or 1 1 usewTf wef ua baw Ov dBey nwne Japy lOBy Jasy donde or ux y uy quando 0 Bey OV Além disso como a funcao é integrdvel em uma vizinhanga da singularidade temos que Aul a y Auly quando 0 OBey Q Portanto fazendo 0 obtemos o resultado desejado Hl A partir da férmula de representagéo de Green obtemos imediatamente uma férmula de representacao para fungoes harmonicas a qual permite concluir o alto grau de regularidade destas Rodney Josué Biezuner 154 Corolario 512 Férmula de Representacgao para Fungoes Harmonicas Seja Q um aberto limitado e u C7Q A C1Q uma fungéo harménica Entéo para todo y Q or Ou xy Ta un uiew A re0 535 Conseqtientemente toda fungao harménica é de classe C em Q Além disso qualquer derivada parcial Du de u também é uma funcao harménica Prova De fato como y OQ o integrando nesta férmula de representacao é infinitamente diferencidvel com respeito a y Além disso mudando a ordem de derivagao temos ADu y D Au y 0 a Agora para cada y 2 suponha que hy CQ N C1Q satisfaz o problema de Dirichlet Ah 0 em Q hyx Tay sobre OQ Entao novamente pela Segunda Identidade de Green temos O Oh Sen uF f hy an Ov Ov Q a ah Ser y 5 hy Au an Ov Ov Q Subtraindo esta identidade da Férmula de Representacao de Green obtemos or Ou Ou Oh axyTxy Aula y Ta y u hyA u ub wFerw aurtew fo Seren ue f nydru or Ohy xy Aulayh ou Fen Feo autre n0 Definigao A fungdo G 2 x Ox y R definida por Gx y Da y hy 2 é chamada a fungao de Green para o laplaciano na regiao 2 Portanto OG uy f ux a7 ay J Aul2Gay 536 aa V Q Proposicao 513 Seja Q um aberto limitado Entdo toda solugéo u CQ A C1Q do problema de Dirichlet Auf em Q ug sobre OQ satisfaz OG uyf gaya ey J fxGzy 537 aa v Q Assim temos uma férmula para construir a solucéo de qualquer problema de Dirichlet para o laplaciano em um aberto limitado 0 desde que conhegamos a fungaéo de Green para 2 A dificuldade é obter a funcao de Green para um dado dominio 2 Rodney Josué Biezuner 155 563 Propriedades da Fungao de Green Antes de buscarmos fungdes de Green para outros dominios vamos examinar algumas das propriedades gerais da fungao de Green Proposigao 514 A funcgao de Green é simétrica isto é Gay Gly 2 538 Prova Seja G a fungao de Green para um aberto 2 C R Fixe zy 02 Fy Defina vz Gz wz Gzy Mostraremos que vy wx Observe que por construcao a funcéo de Green Gx y Ix y hy a é harmonica na primeira varidvel em x 4 y Segue que Avz 0 paraz 2 Awz0 parazy ev w0em 02 Logo podemos aplicar a segunda identidade de Green em 2Bx U Bzy para todo 9 para algum g suficientemente pequeno para obter x we vAw wAv 0 AOBemUBey OY OV Joy BewUBey aw 8 av a we ue iS 539 OB 2 Ov Ov OBzy Ov Ov onde v denota o vetor normal unitdrio apontando para dentro das bolas Bx e By Tomando o limite quando 0 como w é suave na vizinhanca de x segue como na demonstracao do Teorema 511 e do fato que h é continua que ee rees hyo 0 dBx OV OB x OV JaBx OV analogamente como v é suave na vizinhanga de y e h é continua temos também 0 0 0 w rew5 hy 0 aBely OV JaBy Ov Japty OV Da mesma forma como na demonstracao daquele teorema podemos provar que 0 or Ohy wo we a wz wx aBc OV JaBa OV dBz OV Ow or Ohy va f oe tf oS eos dv Jopey OV aBey OV quando e 0 O resultado segue Ml Corolario 515 As funcdes C OG e OV sao harmonicas nas duas varidveis em x y Rodney Josué Biezuner 156 564 Solucgao da Equacgao de Laplace em Bolas Férmula Integral de Poisson Considere a transformagao T R0 R0 T T x definida por B Re x Esta transformacao é chamada a inversdo através da esfera OBr0 de raio R A inversdo é um difeomorfismo que transforma o interior da bola Br0 em seu exterior RBr0 mantendo fixada a esfera OBr0 a sua inversa é ela prépria Usaremos a inversao para calcular a funcao de Green para a bola Br0 Para encontrar a fungao de Green para a bola B R0 fixado y Br0 precisamos encontrar uma funcgao harménica hy CBr0M CBr0 solugdo para o problema de Dirichlet Ah 0 em Br0 540 hyz Ty sobre 0Br0 Se y 0 basta tomar h como sendo a funcao constante hx IR Se y 0 a situacdo é mais compli cada Em principio poderiamos tomar a propria fungao IT exceto pelo fato que I possui uma singularidade em y Mas isso pode ser corrigido através da inversao De fato a fungao Rr2 R2 hyx 50 541 ly ly é harmonica em Br0 porque o laplaciano é um operador linear invariante por translacdes Esta fungao ne Ry fo deixa de ser harmonica apenas em Y we que é a imagem do ponto y pela inversao através da esfera y OBR0 logo é um ponto fora da bola Br0 Note que podemos escrever R2 hy x P yl fy a4 542 R ly pois r t 1 1 Rr 1 1 pir Te TT OV to a 2 m2 lp 9 MD R ly nn 2wy ly Ry jy nn 2wn Ry Re ype UF ly ly Rr2 R2 n2 Pia ly ly Além disso para x 0Br0 temos 1 wl Rv fw Rv fiw ney RY 2 gu 2 2 Bet l Se F R teP 2 SF ly 20 y le al ly vr ly i ly yl ryl 543 logo hyx Tay em OBR0 Justificamos apenas para n 3 mas as conclusoes sao validas também para n 2 como o leitor pode prontamente verificar Portanto a fungao hy definida acima é a solugao procurada para o problema de Rodney Josué Biezuner 157 Dirichlet 72 no caso y 4 0 Concluimos que a fungéo de Green para a bola Br0 é a fungao Gx y I2 y hya dada por ly Ry a yT se 0 Gzy 7y lyl uF 544 Ix T R sey 0 Segue da Proposicao 513 que se u CBr0 A CBR0 6 harmonica entao OG uy fala 5a dse dBR0 y OG aes A derivada normal Bp m OBr0 pode ser calculada da seguinte maneira Como o vetor normal unitdrio V apontando para fora é e segue que OG cr 1 0G 1X 0 0 ly 2y VaGlay 5 Yori 0y oa Ty P S w9 J FEW VOD R LAE RLM gre wget FED Temos 9 fl vi Vi Te y Ox y NWy Z y e Ry 2 ly a ly 2p Whip 2 ROO he Ox R NW y I R Nw R R2y NW x yl 1 a 9 ul Ry R R v 2 ly onde usamos 543 Para x OBR0 segue que 2G yy 1 fay y Meo y Ja hae Ov Y Nw R x y a v Yi R a Yi nwRx y a R2 a 1 Rly NWR x y Assim trocando as varidveis obtemos a férmula de representacao R x ur Pale UY asy 545 nunR Jopao e y Esta formula é chamada a férmula integral de Poisson A funcéo 1 R Ja K B B A xy nwR x y LE R0y 0 R0 5 6 é chamada o nticleo de Poisson para a bola Br0 Usaremos agora a formula integral de Poisson para provar que o problema de Dirichlet para a equacao de Laplace na bola possui solugao Lema 516 Para todo x Br0 vale Kay dsy 1 547 OBrR0 Rodney Josué Biezuner 158 Prova Basta tomar u 1 na fomula integral de Poisson Teorema 517 Seja g COBR0 Defina R x ur ale IY asc 548 nwnR Japro X Entdo u CBr0 ACBR0 e u a solugdo do problema de Dirichlet Au 0 em Br0 ug sobre 0OBr0 es OG ne A 3 Prova Como vimos no Corolario 515 a funcgao Dy r também é harmonica com relagao a segunda Vv varidvel z e Br0 logo podemos derivar 0G ule fui S22 ds aBr0 v dentro do sinal de integracéo para obter Aux 0 se x Br0 Resta estabelecer a continuidade até a fronteira isto 6 que para todo x9 OQ temos lim ux gx0 L2XO Como g é continua dado 0 escolha dg 0 tal que gy gxo se y2o 60 seja M max9B0 g Pelo Lema 516 temos glcro f gvoK xy daly OBrR0 Portanto ua gao L Kx y gy go iy Kx y gy g20 dsy OBrR0 OBR0 f Keugu a00 astu f Kau ov 9e0 aso ly2o0do ly2o05o0 ef Keydsy2M Kwyadsty OBR0 lyxo4o0 2 2 1 era Et an Isy NWwR yxo040 x y R x 2 2M OBR0 eaM TT laBe0 2 2 et ontl ag pr2 lel 00 Como R 0 se x ao OBR0 existe 5 0 tal que se x 29 5 podemos garantir que luz gx0 2 Rodney Josué Biezuner 159 565 Exercicios Exercicio 517 Deduza da formula integral de Poisson a seguinte versao para a desigualdade de Harnack Seja u uma fungdo harménica naonegativa em Br0 C R Entao para todo x Br0 vale R R e R R4 e u0 ux u0 gem AeeMOS Gq FEO Exercicio 518 Deduza o Teorema de Liouville a partir da versao para a desigualdade de Harnack provada no item anterior Se u uma funcdo harmonica naonegativa em R entdo u constante Exercicio 519 Mostre que o problema de Dirichlet naolinear Au u3 em Q u0 sobre OQ onde 2 Cc R é um aberto limitado possui como solucao apenas a funcao identicamente nula Exercicio 520 Mostre que se u e v sao funcoes harmonicas entao seu produto uv é harmonico se e somente se Vu Vu 0 Conclua que se u é uma funcdo harmonica tal que u 6 harmonica entao u é constante 4 Capitulo 6 e e A Equagao da Onda no Disco e e Vibracoes de uma Membrana Circular 61 A Membrana Circular Vibrante Vibragoes Radiais Considere uma membrana elastica fina com densidade uniforme esticada sobre uma armacao circular de raio R e vibrando na direcao perpendicular ao disco D definido pelo circulo em um meio que nao opde resisténcia ao seu movimento As vibracdes desta membrana sao descritas pelo problema de valor inicial e de fronteira Ut C Ura Uyy se rzy Det 0 uzyt 0 se xy ODet 0 uzy0 fxy se xy D ux y0 gry se a y D com fxy ga y 0 se xy OD Em coordenadas polares este problema se torna 2 1 1 Ut C Urr Ur ZU00 seeOQrR0027ret0 r r uR0t 0 se0A2retZ0 ur 00 fr 0 seeOrgRe0O 2r uzr 80 gr seeOrRe06 2z com fg fungoes periddicas de perfodo 27 na varidvel satisfazendo fR gR0 0 para todo 0 27 Se restringirmos nossa atencao aos casos em que a posicao inicial f e a velocidade inicial g sao fungdes radialmente simétricas fr6 fr e gr 9 gr ou seja a posigao e velocidade iniciais de um ponto da membrana dependem apenas da distancia dele ao centro e nao do Angulo polar a simetria da situagdo implica que a solucaéo u também deverda ser radialmente simétrica isto 6 urt urt a posicgéo de um ponto da membrana em qualquer instante de tempo nao dependara do angulo 6 Entéo o problema se simplifica consideravelmente 2 1 Ute CO Upp Up see0OrR002ret0 Tr uRt 0 set 0 61 ur 0 fr se0rcR uzr0 gr se0rcR com fR gR 0 160 Rodney Josué Biezuner 161 Vamos tentar resolver este problema pelo método de separacao de varidveis Suponha que possamos escrever urt FrGt Entao 1 FrG th Pinge FrjGto r donde 1Gt Fr 4 1Fr 2 2 Gt Fr r Fr Aqui nos adiantamos na andlise da constante de separacao de varidveis e decidimos que ela é negativa porque esperamos obter solugoes de G periddicas pois as vibracoes de uma membrana que nao esta sujeita a forcgas externas ou dissipativas devem ser periddicas no tempo Isso nos leva as seguintes equacoes diferenciais ordinarias rE r Fr rFr 0 seOrR 62 FR 0 e Gt PdGt 0 A primeira equacgao é conhecida como a equagao de Bessel de ordem 0 e parametro Ela nao possui solugoes em forma fechada No entanto ela aparece tao freqtientemente nas aplicacoes que as suas solucdes receberam um nome especial as funcoes de Bessel Observagao Poderifamos em principio também ter 0 pois fungoes constantes também sao periddicas com periodo 27 e neste caso teriamos uma equacao de Euler No entanto a solucao geral para esta equacao de Euler seria Fr cy cg logr e a condigéo FR 0 implicaria que F 0 62 Funcoes de Bessel Para facilitar o estudo da equacao de Bessel vamos nos livrar do parametro através da mudanga de variavel x Ar considerando a funcgao x yz F 5 63 Entao 1 1 Ve SP ev F de modo que a equacao de Bessel de ordem 0 tornase ay ay xy 0 Mais geralmente vamos estudar a equagao de Bessel de ordem p ja que esta equacao surgira nos problemas da membrana circular vibrante sem simetria radial ry ay a py 0 64 Como observado antes esta equagao nao possui uma solucgao em forma fechada Para resolvéla usaremos um método que estende o método de séries de poténcias chamado método de Frobenius Rodney Josué Biezuner 162 621 Funcgoes de Bessel do Primeiro Tipo Escrevendo so so ya S Te S anx n0 n0 onde c é uma constante nao necessariamente inteira diferenciando termo a termo e substituindo na equacgao diferencial obtemos Soin ente1anat Son canxt So 2 panrzt 0 n0 n0 n0 que é a série ee 1 ep Jag 1 e01 e14 1 0 pJaya S n once1nc pan An2 grre 0 n2 ou seja c pap 1 pjaqa te S n pJan An2 grt 0 n2 Dai obtemos as relagoes c pao 0 65 1 0 pJa 0 66 n 6 plan ans 67 a Ultima relacao valendo para n 2 Assumindo ag 4 0 obtemos a chamada equagdo indicial c p 0 donde cp ou cp Isso implica que a 0 exceto no caso p 12 Escolhendo c p a relacao 67 produz a formula recursiva ny sen2 68 nn 2p Como a 0 todos os coeficientes com indices impares sao iguais a 0 agar1 0 paratodok1 69 Escrevendo n 2k encontramos os coeficientes com indices pares 1 a2k s 041 Qk Dkk p 2k1 ou seja 1 ag 0 P1p 1 1 a4 S22 S90 229124 p 2421 p2p 1 1 ag S SO 4 SS 2233p 4 26311 p2p3p Rodney Josué Biezuner 163 e assim por diante de maneira que 1 2k SS 0 610 DRL p py Rp 619 Usando a funcao gama I se vocé nao conhece esta fungao veja a préxima subsegéo podemos simplificar a notagao Utilizando a propriedade a 1 aI x segue que P1p1p2pkp P2 p2pk p T3p4pkp Tkp1 logo Tkp1 14 p24pkp 611 1 P2p p 611 Escolhendo 1 612 0 2T1 py 612 temos que a primeira solucao da equacao de Bessel pode ser escrita na forma 1 Z 2kp 2 613 yz urk p 2 613 desde que p nao seja um inteiro negativo pois se p for um inteiro negativo entéo k p 1 nao esta definido para k 0p1 Definigao Seja p R um ntmero real que nao é um inteiro negativo A fungao J definida por k ey 2 J 614 7 Erk p 2 614 em 000 se p 0 e em 0 00 se p 0 6 chamada uma fungao de Bessel do primeiro tipo de ordem p Observe que se p é um inteiro naonegativo temos simplesmente 1h pay tet fo o GY 2 65 2 Kk p 2 615 e wl Jox S cme 2 616 k0 Para obter a solucao geral para a equacao de Bessel precisamos obter uma segunda solucaéo linearmente independente de J pois a equacao de Bessel é uma equagao diferencial ordinaria linear de segunda ordem Para isso quando p nao é um inteiro positivo basta fazer a segunda escolha possivel para c ou seja c p Neste caso obtemos I py 2 J 5 617 px dA p 1 2 617 E claro que esta definigao é consistente com a anterior no sentido que J Jp Além disso verificaremos daqui a pouco que J e Jp sao linearmente independentes se p nao é um inteiro Portanto possuimos uma Rodney Josué Biezuner 164 definigao consistente para Jp e J sempre que p nao é um inteiro e uma definigao para J se p é um inteiro positivo ou nulo obviamente igual a J se p é um inteiro negativo Falta definir J se p é um inteiro positivo Observe que se p é um inteiro positivo entao k p 1 nao esta definido para k 0p 1 porque Ia oo quando kp1 com estes valores de k Mas por este mesmo motivo se na formula para J fizermos p tender a um valor inteiro negativo n podemos desprezar os primeiros termos da série de k0 aték p1e definir co 1 g2kn J 5 618 n2 Atkn Fh 2 618 n Contudo com esta definicao as fungoes J e J sao linearmente dependentes pois co co co 1 2kn 1i ge 2ln 1 ge 2kn 1 3 2 AN GY car gM Fate w klk n 2 1 njll 2 1 ean 2 1Jn kn l0 k0 Resumindo fazemos a seguinte definicao Definigao Seja p Z um inteiro negativo Definimos Jp 1Jpa 619 Desta forma J esta definida para todo p Re Jp Jp sao duas solugdes para a equagao de Bessel de ordem D Proposigao 61 As funcgdes de Bessel J estéo definidas em 000 se p 0 e em 000 se p 0 Além disso elas séo de classe C Prova Temos 1 a 2k1p k1kK1p1 5 RID R p lark trg2htetp x 0 1 zy K UIDk p 2x2kt2py2ktp Ak1kp1 AIDk pt1 2 quando k oo Segue do teste da razao que J esta bem definida para todo x 0 Mais que isso usando o testeM de Weierstrass vemos que a convergéncia é uniforme em todo intervalo limitado logo a fungao J é continua O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que podemos derivar termo a termo a série que define J duas vezes pois as séries obtidas deste modo co 1F Qk 2kp1 pP im 22kPKITk p1 2 e co 1 2k 2k 1 akp2 Ina GD Ge Bk P 1 2 P 24k2p1 kIT k p 1 2 serao uniformemente convergentes em cada intervalo limitado Mi O comportamento das funcoes de Bessel na origem seré uma ferramenta importante na demonstracao de alguns dos resultados deste capitulo Lema 62 Seja p R um numero real que nao é um inteiro negativo Entao i Jpx 0 para todo x 0 sufictentemente pequeno ii Jo0 1 Rodney Josué Biezuner 165 iii se p 0 Jp0 O e iv se p 0 Jx 00 quando x 0 Prova tens ii e iii seguem diretamente da definicgaio Os tens i e iv seguem do fato de que para x pequeno a fungao J tem o comportamento da fungao 1 XP 620 Tp 1 5 620 De fato temos 1 x 2kp 1 TP 1 x 2k Ix UES 1 5 Tiptl 5 Lip Ek 1 5 kl p p 1 fag BMP k p 1 Definindo 1 22h 2 p ey p 2 pth e 2 temos 1 x pte 2 BQ Notando que F é continua em 0 para estabelecer isso basta usar o mesmo argumento da Proposigao 61 e que portanto jim Fp F 0 1 obtemos o resultado acima Agora mostraremos que se p nao é um inteiro entao as fungoes de Bessel J e Jp sao duas solugdes linearmente independentes para a equacao de Bessel de ordem p Teorema 63 Se p nao é um intetiro a solugao geral para a equacao de Bessel de ordem p yx c1Jpx coJpa 621 Prova Os itens iii e iv do lema anterior mostram que J nao pode ser multiplo escalar de Jp Exemplo 64 As fungoes de Bessel do primeiro tipo de ordem p 12 Temos 2 Jix 4seng 2 Tx 2 J1 4 a COS De fato 1 ay 2k3 KO Varesta GG 2 imo AIDk 5 1 2 e pode ser provado veja Exercicio 61 que 1 2k 1 de modo que 2 18 pay 2k1 2 10 FES GY Eeme E 2k 1 2 7 Rodney Josué Biezuner 166 Analogamente utilizando o fato que 1 2k Mk 5 poe V obtémse a forma apresentada acima para J12 0 622 A Funcgao Gama A fungéo gama é definida pra x 0 por co T2 ttedt 622 0 A propriedade mais importante da funcgaéo gama é Ta1 aIa 623 Esta propriedade é facil de ser verificada através de integracao por partes co co co Ta1 tedt te of ttedt ttedt aI 2 0 0 0 Como 1 tor e dt 1 esta propriedade aplicada sucessivas vezes implica que se n 6 um ntimero natural entao Tn 1 nn nn 1n 2 nn 1n 2Tn 38 nn 1n232TQ n Assim a fungéo gama pode ser vista como uma extensdo da fungao fatorial que é definida apenas para numeros naturais a uma funcao definida para todos os nimeros reais positivos Por este motivo ela é as vezes chamada de fungao fatorial generalizada E possivel também definila para nimeros reais negativos que nao sejam inteiros negativos isto 6 para x 0 exceto para x 01 2 De fato basta aplicar a propriedade 1 Ta Ia1 x sucessivamente Como os limites laterais desta funcgao em inteiros negativos sao infinitos nao faz sentido definila nestes nimeros 623 Exercicios Exercicio 61 Aplique uma mudanga de varidveis para provar que Tyr 2 Usando isso mostre que 1 2n Rodney Josué Biezuner 167 Exercicio 62 Mostre que 1 1 te dt P F 0 2 2 para todo x 0 Exercicio 63 Use o resultado do exercicio anterior para provar que para todos inteiros naonegativos m e n temos 1 1 m n ee cos sen 6 d9 T 0 2 n p2 2 Sugestao calcule a integral dupla co co 2 2 e ety myn dx dy 0 Jo de duas formas através do Teorema de Fubini e através de coordenadas polares Exercicio 64 Mais geralmente mostre que para todos xy 0 vale ne 10 aP cos sen21 6 d0 Dz Pw y 0 2Ty Sugestao Faca uma mudanga de varidveis adequada e entaéo use uma idéia semelhante 4 sugerida no exercicio anterior Exercicio 65 Mostre que T 2 2 x D sen 1x Sugestao Usando varidveis complexas é possivel provar que a 2 1 tan 9 dg 0 2 sen 7x Use este fato e uma idéia semelhante a sugerida no Exercicio 63 Exercicio 66 Use o resultado do Exercicio 64 para estabelecer as formulas de Wallis para todo inteiro naonegativo k m2 2k sen2 949 A 0 2 22k kl m2 92k k 2 sen21 9 qg 2 R 0 2k 1 624 Fdérmulas de Recursao para as Funcoes de Bessel Derivando termo a termo a série que define as fungoes de Bessel obteremos algumas férmulas para as funcoes de Bessel que usaremos mais tarde para estabelecer propriedades importantes das mesmas Lema 65 Sejape Rex0 Entao dp xP a Ipe 2 Jp 2 e d yp P in 2 Jpx aP Jp 4 2 Rodney Josué Biezuner 168 Prova Se p nao é um inteiro negativo derivando termo a termo temos d d oo 1 ge 2kt2p 12 k p w 2k2p1 ip Ol Fe Beep ey BHT Lae sp ae 5 dx dx AIDk p1 22p ar KIDk p 122kP 2 yo xP a2 J 2 Ak 0 2 wh Jp1 2 A segunda identidade pode ser provada de maneira andloga Se p é um inteiro negativo segue da segunda identidade aplicada a p que d P P d P P P P pl P gy fe Io 1P 5 x J 1 2 Jt 2 1P pa 2 2 Jp 2 a Corolario 66 Seja pe Re xO0 Entao vJ 2 ply Jy x e Jp a pJp x aJp41 a Prova Derivando explicitamente o lado esquerdo das identidades obtidas no lema anterior obtemos px Ja 2 Ifx x Jpy x e pxJx a P Jia a P Jpy 2 Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por x obtemos os resultados respectivos Ml Corolario 67 Seja pe Re xO0 Entao Jp J Jp x y7 1 x Jp41 x 2p Jp1 2 Ips 2 2priU opti Prova Cada identidade segue subtraindo e somando respectivamente as identidades obtidas no corolario anterior Hf Corolario 68 Seja pE Rex0 Entao para todo a 0 temos P men ax dx Jy ax C a e aP orn ax dx J ax C a Prova Seguem diretamente do Lema 65 através do Teorema Fundamental do Calculo Rodney Josué Biezuner 169 625 Funcoes de Bessel do Segundo Tipo Falta obter uma segunda solugao linearmente independente de J para a equagao de Bessel de ordem p se p éum inteiro Se p nao é um inteiro defina J cos pr J Yx Jpx cospm Japx 624 sen pr Como Y é uma combinacao linear de solugoes da equagao de Bessel ela também é uma solugao para a equacao de Bessel Se p é um inteiro defina Y lim Yj ped Podese obter uma expansdo em série para as fungoes Y também quando p é um inteiro 2 x 2 1 pk par 2 Yoe log 5 7 Jol S 2 00 los 5 7 Jol aS 5 k1 e se p é um inteiro positivo 2 x 1 nk1 z2kn wn pxy Yio 2 ow 9 ye 2S OEM BI 200 2 px T a 7 Jol e k 2 an 2 vi s le k e k n mo klkn 2 onde Lol fl k14i444 yk 1 ptgteo tz e 7 éa constante de Euler y lim vy k logk k oo Para uma motivacao das definicdes e resultados acima veja 5 pags 363364 e as referéncias ld citadas A partir destas definig6es de Y para p 0 em forma de série é possfvel provar que elas sao de classe C em 0 00 e derivando termo a termo que elas satisfazem a equagao de Bessel de ordem p As fungoes Y sao chamadas fungoes de Bessel de ordem p do segundo tipo e sao também solucoes para a equacao de Bessel linearmente independente de J quando p é um inteiro De fato o comportamento de Y proximo 4 origem é dado pelo seguinte resultado Lema 69 Se p um inteiro ndonegativo entao Yx oo quando x 0 Prova Segue da expansao em série para Y Para p 0 temos que Yo tem o comportamento de 2 x 7 5 2 para x proximo de 0 jA que Jo 0 1 e a série a direita na definicgao de Yo é convergente Para p 0 como x logx 0 quando x 0 para todo m o primeiro termo na expansao em série de Y converge para 0 logo Y tem o comportamento de n 1 n 7 2 para x proximo de 0 Com isso obtemos a solugao geral para a equacao de Bessel de ordem p também para o caso em que p 6 um inteiro naonegativo Teorema 610 Se p um inteiro naonegativo a solucao geral para a equagao de Bessel de ordem p é y erJpx e2c Rodney Josué Biezuner 170 626 Zeros das Funcoes de Bessel Nesta subsecao determinaremos que as funcoes de Bessel possuem um numero infinito de zeros um fato que é crucial no seu uso na solucgao de equacoes diferenciais parciais pois precisaremos de uma seqiiéncia infinita de autovalores no problema de SturmLiouville associado Para atingir este objetivo primeiro mostraremos que as funcées de Bessel se comportam como a funcéo cos xz no infinito Antes introduzimos a notacaéo erande O Definigao Dizemos que uma fungao f x é da ordem de gx quando x oo se existe uma constante M 0 tal que If x M g 2 para todo x suficientemente grande Denotamos isso por fr Og Teorema 611 Para qualquer p R existem constantes Ap 0 e Op R tais que Jp x 2 Oy O a 3 p a 7 00s x p O a para x 0 O mesmo resultado vale para Y Prova Para x 0 defina ux VrJp 2 A fungao wu satisfaz a equacgao diferencial ordinaria 1 1 2 ui utsp ju0 625 xz 4 porque o lado esquerdo desta equacao é igual a VE 72 22 os a Jt wJy x p Jp e J é uma solucéo para a equacdo de Bessel Observe que para valores grandes de x a equacao 625 é aproximadamente a equacao uu 0 cuja solucao geral é da forma A cos a 0 0 que sugere XJ a Ap cos Op Para resolver 625 vamos transforméla no sistema de primeira ordem acoplado u v 1 1 ve ut 5 pu x 0 i e fazer a substituicao u Rcos8 v Rsen 8 onde R e sao fungoes de x escolhidas de tal forma que R1 0 observe que u esta préximo a forma desejada Com esta substituicgao o sistema transformase em R cos RO sen Rsend R 1 R sen 6 R6 cos 6 Rcos 0 i cos 6 x Rodney Josué Biezuner 171 Multiplicando a primeira equacgao por sen e a segunda por cos 6 somamos as duas equacoes para obter fo 144 pt cos 6 626 x 4 multiplicando a primeira equacao por cos e a segunda por sen somamos as duas equacoes para obter R 1 1 Rp 0 i sen 0 cos 0 627 Integrando 626 de 1 a x obtemos 2 1 12 6x61a14p p08 t dt 628 1 integrando 627 de 1 a x obtemos Rz R1 eo Pa ST a sent cost dt 629 Agora defina 1 ed 6 lim 0 a a 011 0 i p cos t dt 630 wr CO 1 a integral do lado direito desta expresso converge porque a integral de 1t é convergente em 100 e cos t 6 uma funcao limitada de modo que 2 1 1 6z20 p cos t dt 631 4 J Analogamente defina Ap lim Rx R1e 4 A a sentoost dt 632 de modo que R x Apel 4 Se Zs sent cost dt 633 Note que A 0 porque a tnica outra possibilidade seria R 1 0 o que implicaria 0RAw A l OP e portanto u1 u 1 0 de modo que u0 e J 0 uma contradicao Para obter o resultado desejado observamos que ux Rx cos 6 x 1 ed co A cos O ee eM a x onde para simplificar a expressao denotamos 1 ed wx ax 0 i 2 cos t dt 1 ed rz2 0 i i sentcost dt Rodney Josué Biezuner 172 Usando o Teorema do Valor Médio escrevemos x x x cos f 6 2 cos x Op VE oon e 6 2 x x x x para algum 7 6 Ea6 v e x rx x r x Craax 1e x r a para algzum 0 A demonstracao do teorema é terminada quando se observa que x rx x x 1 PO cory va sen Oy ee O x x x O resultado também é valido para Y porque a unica propriedade de Jp usada na demonstragao foi o fato de que ela é uma solucgao da equacgao de Bessel Coroldrio 612 J z 0 e Yx 0 quando x ow Corolario 613 Para qualquer p R existe uma seqiiéncia x tal que Jp Le 0 para todo k O ay 2 UR Lp OO e tal que cada xz um zero simples para Jy e Jp nao possui nenhum outro zero positivo O mesmo vale para Yp Prova Sejam y e zx as seqiiéncias crescentes de maximos e minimos da fungao A cos a 6p x 0 ou seja esta fungao atinge o valor maximo Ap em yz e o valor minimo A em z Em outras palavras Yr2ktO0 wm 2k1nrO Segue do Teorema 611 que para x suficientemente grande existe pelo menos um zero x de xJp x entre Yk Ze Com efeito dado 0 Ap existe M 0 tal que se x M temos A cos 0 V2Jp x Ap cos x Op Isso implica que a fungdox J x é positiva em y e negativa em zz para Ye 2 M Os zeros de Jp sao isolados porque J é uma série de poténcias e nado é uma fungao constante Além disso os zeros sao simples porque se J possuisse um zero multiplo em xo entao a fungao u da demonstragao do Teorema 611 também possuiria um zero miltiplo em xo e terfamos u ao u ap 0 implicaria que a solucao da equacao diferencial que u satisfaz é a solugao identicamente nula uma contradicao Hi Corolario 614 Para qualquer p R e para qualquer constante h R existe uma seqtiéncia x tal que O ay 2 UR Lp OO e tal que a funao F x hJp x w J 2 possui um zero em cada x e nenhum outro zero positivo O mesmo vale para Y Rodney Josué Biezuner 173 Prova Sejam rs 0 dois zeros consecutivos de J Como os zeros sao simples segue que 7 Ji vr Jp s 0 Logo Fy r Fy 8 rsJy r Jp 8 0 e o Teorema do Valor Intermediario implica que F possui um zero entre re s Os zeros de F sao isolados pelo mesmo motivo do corolario anterior Os valores de A e 6 do Teorema 611 sao na verdade conhecidos 2 2p1 Jp 0 200s 2 2 4x 40 082 p 2 098 ri Oa 2 2p1 Yp 2 y2sen 222 4s 40 09 p x sen Z r O2 mas a demonstracao destes fatos é longa veja 5 pag 370 para referéncias 63 Séries de Funcoes de Bessel e a Solucgao do Problema da Mem brana Circular Vibrante 631 Ortogonalidade das Funcoes de Bessel Para entender as relacoes de ortogonalidade das fungoes de Bessel recorde as relacoes de ortogonalidade das NTX fungo ungoes sen ZL NTX MTL dv 2L senm A sen 7 Sen v 0 sen m A chave aqui é notar que as func6es sen foram construidas a partir de uma tnica funcao a funcao sen x e seus zeros nz escalados pelo fator 1L Da mesma forma para construir sistemas ortogonais de fungées de Bessel escolhemos uma funcao de Bessel e tomamos os seus zeros escalados Fixe uma ordem p 0 e considere a fungao de Bessel Jx Como provado no Corolario 613 a fungao de Bessel Jx tem um numero infinito de zeros positivos isolados crescendo arbitrariamente em médulo Denotaremos estes zeros em ordem crescente por 0 Api Op2Qpn 634 Diferentemente da funcao seno nao ha uma férmula para os zeros das funcoes de Bessel estes devem ser determinados por métodos numéricos Consideramos as funcoes de Bessel escaladas Ap n Jp S22 635 Pp R Sao validas as seguintes relagoes de ortogonalidade para as funcoes de Bessel Proposigéo 615 Relacdes de Ortogonalidade para as Fungoes de Bessel Para qualquer p R vale R R Jy c22 J Set wae FIprilApn sen m 0 R R 0 senm Rodney Josué Biezuner 174 Prova Fixe p R e denote An oP rR Observe que a funcado de Bessel escalada yn x Jp Anz solugdo da equacaéo de Bessel na forma paramétrica xy 4 xy 4 x py 0 para A Esta equacao de Bessel pode ser reescrita na forma N22 p y Py 636 Dai podemos escrever N24 p vy yn N2 9 p cy P yn Multiplicando a primeira equagao por ym a segunda por y e subtraindo as equacoes resultantes obtemos d Xin Xn FYntm Yn 1p Yn 1m 5 Ym YF Integrando de x 0 até x R obtemos pelo teorema fundamental do calculo R R Am An Yn Ym x dx YY YnTYinlro O 0 porque yn R Ym R 0 Obtemos o resultado para n 4 m Para obter o resultado para n m denote yn y e multiplique a equacao 636 por ry de modo que obtemos 2 ey 02x p y Integrando esta equagao de x 0 até x R obtemos no lado esquerdo pelo teorema fundamental do calculo R 2 2 out ae ru 0 e no lado direito integrando por partes 22 2 2 2 22 2 zR 2 2 i 2x p y dx y x Aa p ieo 2 y a a dx R 2 y a x da 0 onde usamos pJ 0 0 para todo p Portanto R 270 2 Ry 2 dx Pear 2 ou seja R 2 2 A nt R 2 J ae ade Jp Qn Pelo Corolario 66 temos Jp a pJp x aJp41 2 logo tomando x apn segue que Jp Qpn Ip1 Apn 5 o que termina a demonstragao desta proposicao Dizemos que as fungoes Jp e2 sao ortogonais no intervalo 0 R com respeito ao peso x Rodney Josué Biezuner 175 632 Séries de Bessel de ordem p Por causa da ortogonalidade das fungoes de Bessel da mesma forma que podemos escrever funcgdes razoavel mente regulares em séries de Fourier da mesma forma podemos escrever estas mesmas fungdes em séries de Bessel co fx So anJpAp2 637 n1 Esta série é chamada a série de Bessel de ordem p de f Para encontrar os coeficientes a multiplicamos ambos os lados por Jp 2 x e integramos termo a termo no intervalo 0 R Devido as relagoes de ortogonalidade que vimos na secao anterior segue que R 0 R R Ap m Qn n Ay mt Ap m f Heedtn MR 2do So on fp ME te SPF ee am fap SP ver n1 R JF 1Qpm dm 2 Portanto 2 R Ap nt dn a YO a 22 war 638 RJ5 4 Qpn 0 R A demonstracao do resultado a seguir esta além do nivel deste curso veja pag 376 para referéncias Teorema 616 Se f 0R R é uma fungao continua por partes tal que sua derivada também continua por partes entao f tem uma série de Bessel de ordem p no intervalo 0R No intervalo 0R a série converge para fx se f continua em x e para Hes Me nos pontos de descontinuidade de f 633 Solucao do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial Retornando ao problema da membrana circular vibrante observamos que a equacao de Bessel 62 rE r Fr rFr 0 seOrR FR 0 é de ordem 0 Logo a sua solugao geral é da forma Fr ciJoAr c2YoAr 639 onde so SIE xy Ja So eye G k0 e Yo lim Jqx cos qa Jagt q0 sen qa No entanto a fungao Yo nao é limitada perto de 0 e esperamos que as solucdes da membrana vibrante sejam continuas e portanto limitadas Assim devemos ter cp 0 Segue que Fr cJoAr 640 Da condigéo FR 0 temos que AR Q0n Rodney Josué Biezuner 176 e dai ao An 641 2 641 As solucoes desta equacao de Bessel sao portanto Fr Jo 4r 642 R para n 12 As solucdes da equacao diferencial que G satisfaz so entao nct nct Gt cp cos dy sen 643 A solucao do problema da membrana circular vibrante deve ser da forma n net net ur t a Jo Sr c cos dy sen a 644 Os coeficientes c dp sao determinados da seguinte forma fr ur 0 Src J r a nO R donde R 2 Qon J 2 dr 645 n BR aap fry SG rar 645 e co Qon Qon gr ur 0 No Jo oe r donde R 2c QonT dy J 2 dr 646 Fae aa 9th CGR war 646 64 A Membrana Circular Vibrante Vibragoes Gerais Consideremos agora 0 problema geral da membrana circular vibrante 2 1 1 Ut C Urr Ur U96 seeOQrR0027ret0 uR0t 0 se0A2retZ0 ur 00 fr 0 seeOrgRe0O 2r uzr 80 gr seeOrRe06 2z com fR0 gR 6 0 para todo 0 27 Pelo método de separagao de varidveis tentamos escrever urt FrG0 Ht de modo que 1 1 FrGHt Frneaey FrG0Ht ae OH r r e dai 1Ht Fr 4 1 Fr 4 1G0 2 ce Ht Fr rFr r G0 Rodney Josué Biezuner 177 Mais uma vez tomamos a constante de separacao de varidveis negativa porque esperamos obter solucdes periddicas no tempo Obtemos entao Ht Gt 0 647 e Fr 4 LFr 2 1 G0 Fr r Fr r2 G donde pe F ang re YL 22 2 2 Pr Fr a e mais uma vez escolhemos o sinal da constante de separacao de varidveis de acordo com a nossa expectativa que G é periddica de perfodo 27 Portanto usando as condigdes de fronteira obtemos as equacoes diferenciais G0 wG8 0 se0 6 27 G0 G2n donde concluimos que 4 me a sua solucao geral é Gin0 an cosné by sen nd 648 paran 012 r2Fr Fr 2r nFr 0 seOrR 649 FR 0 Esta ultima é uma equagao de Bessel na forma paramétrica Fazendo a mudanga de varidveis yr F rA como no caso radial concluimos que as suas solucgoes sao da forma Fr InAr n012 pois as solugoes Y sao ilimitadas e podem ser descartadas Como FR 0 segue que AR Ay m 6 um zero da funcao de Bessel J logo h QAnm RT Assim as solugdes da equacéo de Bessel acima sao QnmT para n 012 m12 e as solugoes de H sao t t Hnmt Anm cos Em Bam sen met 651 R R para n 012m 12 A solugdo geral é portanto t t Unmr 0 t Jn 22 ay cosnO b sen nO Anm Cos Crm Bnm sen Crim 652 R R R e dat a solucao do problema deve ser aU Qnm An mct QAnmCct ur t S S Jn a cosné b sen né Ann cos Bnm sen nit 653 n0m1 com os coeficientes a serem determinados Como no caso da equacao de Laplace no retangulo é mais facil resolver o problema geral isto é encontrar os coeficientes da solugéo em série acima se usarmos a sua linearidade decompondoo em dois problemas mais faceis cada um com uma das condicoes iniciais nulas Rodney Josué Biezuner 178 O primeiro problema é 1 1 Ut C Urr Ur U96 seeOQrR0027ret0 uR0t 0 se0A2retZ0 ur 00 fr 0 seeOrgRe0O 2r uzr 80 0 seeOrRe06 2z cuja solugao é a Qnm Qnmct 6t In u2 nm C0820 Dam senng cos 2B 654 urr 8 t dd R Gnm cos nO sen n cos R 654 devido condicao inicial ur 60 0 Usando a outra condigao inicial obtemos fr0 urr 00 dd Jn Gnm C08 NO Drm sen nd Para obter os coeficientes fixamos r de modo que f fr 6 uma funcgao apenas da varidvel 0 escrevemos Q0mP Qnm 8 mJo 2 nmdn S 0 fr 0 0p eoe R cos n S bamIn e sen n6 n1 m1 Definindo Q0mP aor 2 Dd amd Qnm n nmin c2 anr x a R Qnm r x 7 segue que 1 R QomP m d om R2T2Q0m a07 Jo R mm 2 R Qn mf nm 5972 7 n n 3 d om R22 Ginn anrJ R mm 2 R Qn mf baum bn Jn dr FPF faa dh O06 ra Por outro lado como f0 aol 4 3 anr cos nO bn r sen nd Rodney Josué Biezuner 179 temos que 2a9r an7 by 1 sAo os coeficientes de Fourier da fungao f0 logo 1 20 aor f flr0a T JO 1 20 Anr fr 0 cosné dé T JO 1 20 brr fr 8 sen né dé T Jo Portanto 1 Roper QomP 6 Jo 2 ddr f0m TR T2c0m Ir Jo pe doar 2 fr 0 cos nOJ c dd 655 im SSS r nOJn r dédr TR I 4 Qnym o Jo R 2 Roper Qnm bam 0 On ddr Pw fr senn R r d0dr param 12 O segundo problema é 1 1 Ut Co Ure Ur U00 see0OrR0602r7et0 r r uR0t 0 se0A2retZ0 ur 60 0 seeOrRe06 2z uzr 00 gr 0 seeOrgRe0O 2r cuja solugao é nym nym t uar0t Ly In Cm COS NO dam sen nd sen me 656 devido condicao inicial ur 0 0 Usando um argumento similar ao usado no primeiro caso obtemos 1 Roper QomP Jo 2 r dba 0 TCA m RJ A0m Ir 8 Jo Roo 2 r 0 cos nOJ c dd 657 Cam OO OT r nOJy r ddr TCAn mRIZ 4 Qnm Jo Jo g R 9 R 20 nm dnm a a gr 8 sen nb J r dédr TCOnmRIZ41Qnm Jo Jo R param 12 Portanto a solugao do problema geral é u u uz ou seja AS Qnm Qnmct R0t Jn cuz aim 0 Bam 0 cos meme u dd R Gnm cos né sen n cos R aS Qnm QAnmct In c vam 6 dam 9 sen 2nen d 2do R Cnm cos nO sen n sen R com os coeficientes GnmbnmCnmdnm definidos como acima 4 Capitulo 7 E ao de Lapl Domini Tridimensionais Simétricos Neste capitulo desenvolveremos a teoria da equacao de Laplace tridimensional em dominios simétricos tais como o cilindro e a bola Nao desenvolveremos a teoria para dominios ctibicos tais como paralelepipedos pois esta é uma extensao trivial da teoria para dominios retangulares ao invés de séries de Fourier duplas e seus coeficientes expressos como integrais duplas basta considerar séries de Fourier triplas cujos coeficientes sao integrais triplas 71 A Equagao de Laplace em um Cilindro 711 A Equagao de Laplace em Coordenadas Cilindricas A relacgao entre coordenadas cartesianas xyz e coordenadas cilindricas rz é dada pelas seguintes relacoes xrcos6 y rsend 71 Z 2 e r VET 6 arctan x 72 x Z 2 O Laplaciano em trés dimensoes é dado por Au2 y 2 Ure Uyy Uz Como no plano zy as coordenadas cilindricas sao exatamente as coordenadas polares aproveitamos os calculos que realizamos para obter o Laplaciano em coordenadas polares para concluir que o Laplaciano em coordenadas cilindricas é dado por 1 1 Aur 9 2 Urr aur 2 W00 Use 73 712 Solugao de um Problema de Laplace no Cilindro Considere o problema de encontrar a temperatura de estado estaciondério em um cilindro cujas superficies lateral e inferior sao mantidas a temperatura inicial 0 com condigoes de fronteira na superficie superior 180 Rodney Josué Biezuner 181 radialmente simétricas Em particular néo existe dependéncia da varidvel 6 ou seja u ur z Considere um cilindro com raio da base R e altura H Este problema é modelado pela seguinte equacao diferencial parcial e pelas seguintes condigoes de fronteira 1 Upp Up Uzz 0 see0OrRe0zh Tr ur 0 uR z 0 seeOrcReI0zKch ur 1 fr se0rR Escrevendo ur z FrGz obtemos 1 FrGz FrGz FrGz 0 r Dividindo a equagao por FrGz segue que MW 7 v RM PU GM Pr Fr Gz As condicoes de fronteira implicam as seguintes condig6es sobre F e G ur 0 0 FrG0 0 G0 0 uR z 0 FRGz 0 FR 0 Logo temos dois problemas de SturmLiouville rFrrFr orFr 0 FR 0 e Gz 0Gz 0 G0 0 Se o 0 a equacao em F seria uma equacao de Euler com solugaéo geral Fr cy cg logr e a condicao FR 0 implicaria portanto que F 0 Esta possibilidade deve ser entaéo descartada A possibilidade o 0 também deve ser ignorada porque a equacao resultante seria a forma paramétrica da equacao de Bessel modificada rE r rFr rFr 0 onde escrevemos a 7 Esta possibilidade deve ser descartada porque as solugées desta equacao chamadas as funcées de Bessel modificadas de primeiro e segundo tipos nao podem satisfazer a condicao FR 0 a nao ser que F 0 veja a préxima subsecao Portanto e os problemas sao r2FrrFr drFr 0 FR 0 onde a equacao diferencial ordinaria é uma equacao de Bessel de ordem 0 e Gz Gz 0 G0 0 Levando em conta que F deve ser limitada na origem as autofuncoes do primeira problema sao Q0n Fr Jo r Rodney Josué Biezuner 182 com A Si Levando em conta que G0 0 as autofungdes do segundo problema sao aqui é mais conveniente escrever a solugdo geral da equagaéo diferencial ordindria de G na forma Gz c cosh Az cg senh Xz Gz senh 2 Assim a solucaéo do problema é Q0n Q0n 2 Yo anJo S2r sonh 2 7A ur Z a4 0 7 sen R 74 Como so fr ur H dX lan senh H Jo r segue que 2 x n an ay frJo e2 r dr 75 R2 senh S24 B2a9n J0 R 713 Funcoes de Bessel Modificadas A equacao de Bessel modificada de ordem p é definida por ay ay a py 0 76 Se p nao é um inteiro a sua solugao geral é yx crIpx e2Ip2 77 onde J é a chamada fungao de Bessel modificada de ordem p do primeiro tipo definida por ee 1 ag 2kp bo Samet Gl px dX kIDkp1 2 78 Para ver que I a solucao da equagao de Bessel modificada de ordem p note que Iplix Ip 79 onde i 1 De fato co 1 k 2kp co k2k Qh Jplir So ie r EN 2 hk p 2 RID p 1 2 iP s H i 1 Z im ATkpt1 2 ar MIkp1 2 oe 1 2kp 7P i Tx aes p ey 3 1p Assim 1 aI x eI a a pIpx wp ai J ia vi J x x p Jpix 1 7 ia Jf ix ia Jp x ix p Jpix 1 LP Ip 2 aSp2 2 pJp2 0 Rodney Josué Biezuner 183 onde denotamos z iz Para resolver a equacao de Bessel modificada de ordem p quando p é um inteiro definimos a fungao de Bessel modificada de ordem p do segundo tipo as vezes chamada do terceiro tipo T K 2sen pr Ipx Ip 710 se p nao é um inteiro e K a lim Kyx 711 quando p é um inteiro A solugado geral para a equacao de Bessel modificada de ordem p é entao ya cI x eK 2 712 A fungao de Bessel modificada Ip é estritamente crescente para x 0 logo nao pode satisfazer IpR 0 enquanto que as funcgoes de Bessel modificadas proximas a origem sao ilimitadas 714 Solucgao de outro Problema de Laplace no Cilindro Considere o problema de encontrar a temperatura de estado estaciondério em um cilindro cujas superficies inferior e superior sao mantidas a temperatura constante 0 com condigoes de fronteira na superficie lateral dependendo apenas da altura z A situagao é a de uma barra cilindrica com as extremidades mantidas a temperatura constante 0 mas cuja superficie lateral nao é isolada termicamente Neste problema também nao ha dependéncia da varidvel 6 e ele 6 modelado pela seguinte equacao diferencial parcial e pelas seguintes condicoes de fronteira 1 Upp Up Uzz 0 see0OrRe0zh Tr ur 0 ur H 0 seOrcR uR z fz se0Ozh Escrevendo ur z FrGz obtemos como antes pe F qu RM FW GN Pr Fr Gz As condicoes de fronteira implicam as seguintes condigées sobre G ur 0 0 FrG0 0 G0 0 ur H 0 FrGA 0 GA 0 Logo temos o problema de SturmLiouville Gz 0Gz 0 G0 G 0 cujas autofuncoes sao NZ Gr z sen TH associadas aos autovalores nn 7 Rodney Josué Biezuner 184 nt e conseqtientemente a equacao de Bessel modificada de ordem 0 e parametro Tr 2pu nen 2 rk r rF Fer Fr 0 Como a fungao de Bessel modificada do segundo tipo é ilimitada na origem a solucao geral desta equacgao pertinente ao nosso problema é nTr Fr2 o FP Assim a solucaéo do problema é co nar NZ ur Zz S brto sen a 713 n1 Como nik Q0n uRz SJbnly oe 7 Fle R2 bate pr oo SR segue que 2 a NTZ b z sen dz 714 grep fos 714 72 A Equagao de Laplace em uma Bola 721 A Equagao de Laplace em Coordenadas Esféricas A relagéo entre coordenadas cartesianas 2yz e coordenadas esféricas r0 é dada pelas seguintes relacoes x rcossen 6 y rsendsen 0 715 zrcosé e rx2 y 2 y og arctan 716 72 2 arctan very z Introduzindo a variavel p Vu y2 rsend segue que x pcos y psen Fazendo a analogia com coordenadas polares temos 1 1 Ure Uyy Upp Up Ude 717 p p Por outro lado também temos zrcos86 prsené Dai novamente fazendo a analogia com coordenadas polares segue que 1 1 Uze Upp Urr rer pe 100 718 Rodney Josué Biezuner 185 Portanto somando as duas expresses obtidas obtemos Aux y 2 Ure Uyy Vez 1 1 1 1 Upr pur pa eo pe pee 1 1 1 1 Urr rer pe 108 p r2 sen 6 719 Falta apenas expressar u em coordenadas esféricas Pela regra da cadeia Up Url p UG Usd Url p UG pois nao depende de p p esta definida em termos das varidveis r apenas e portanto 0 Diferenciando arctan pe obtemos Zz p 1 1 z rcos cosé po 1 2 224 p22 cos2O4r2sen2 or z Diferenciando p rsen implicitamente com relacao a p temos 1lrsen rcos06 r sen cos 6 donde 1 cos 8 9 rp sen6 p sen 0 Logo cos 6 Up sen dur ve e 1 1 cos 6 1 cot 6 Up sen Ou u9 ur Ue p rsené r r r Concluimos que o Laplaciano em coordenadas esféricas é dado por 2 1 9 Aur 66 Upp U woe cot dug esc Ouse 720 r r 722 A Equagao de Legendre e Polin6mios de Legendre Na resolugao da equacao de Laplace na bola como veremos a seguir aparece a equacao de Legendre 1 a ya 2xyx oyx 0 onde 1 1 Vamos obter as suas solugoes usando o método de séries de poténcias escrevemos co y2 So ama m0 e substituimos na equacao de Legendre para obter os coeficientes a co co co 1 2 S Ammm 1a 2a S amma o S Amx 0 m2 m1 m0 Rodney Josué Biezuner 186 donde co co co co S Ammm 1a S Ammm 1a 2 S Amnmxz o S Amx 0 m2 m2 m1 m0 Podemos escrever estes somatérios na forma co co co co S Am2m 2m 1a S Ammm 1a 2 S Amma o S anx 0 m0 m0 m0 m0 porque os termos adicionados aos dois somatérios intermediarios sao todos nulos e reindexando o primeiro somatdério Segue que co S5 m 2m lams2 mm 1 2m 0 am 2 0 m0 Logo m 2m Lame mm 1 7 am 0 donde obtemos a relagao recursiva mm1 a Gp 721 mr m2m1 721 As duas solugoes linearmente independentes da equacaéo de Legendre sao obtidas escolhendo ag 0 a 1 ap 1a 0 No primeiro caso obtemos uma série consistindo apenas dos termos impares enquanto que no segundo caso obtemos uma série consistindo apenas dos termos pares Assim estas duas solucdes podem ser respectivamente escritas nas formas co 2k 12k1o opay x STEP recto 722 yz 2k 12k 3 722 e SS 2k2k1o 9 x ee 723 yax 2k 12k 1 723 Estas séries sao chamadas fungoes de Legendre Se og nn 1 0 entao anz2 0 logo uma das fungdes de Legendre é um polinémio de grau n qual delas dependera se n é par ou fmpar Caso contrdrio para qualquer outro valor de o ambas as séries de Legendre sao séries infinitas e qualquer série infinita de Legendre divergem em um ou ambos os pontos x 1 e portanto sao ilimitadas na vizinhanca deles Como nas nossas aplicacgoes estamos interessados apenas em solucoes limitadas vamos considerar apenas 0 caso 0 nn 1 1 2y x 2ayx nn 1yx 0 724 e a sua solugao polinomial Para o nn 1 a relacdo recursiva tornase mm 1 nn4 1 a q m2 m 2m 1 ms nm 1 nmnm a 725 im m2m1 725 Rodney Josué Biezuner 187 Dai obtemos 1 a nD ag n 2nn 1n 3 ag a 432 n 4n 2nn 1n 3n 5 ag I J 0 65432 e n1n2 ap DAD ne n 3n 1n 2n 4 o 5432 ne n 5n 3n 1n 2n 4n 6 a 765432 Assim a solucao geral desta equacao de Legendre é yx aoyix aryea onde nx 1 nn 1 2 4 n 2nn In 3 4 nA4n 2nn In3n 5 6 Lo 2 4 6 e sole 2 M2 5 MDO Ym FANHA 5 N Hm m V m AM4B 3 5 7 Se n é par entao a série y é na verdade o polindmio nx 1 nn 1 2 4 n 2nn 1n 3 4 n 4n 2nn 1n 3n 5 6 2 4 6 By 2 1 J n2k TJ n2k1 4 k0 k0 n n Se n é impar entao a série y2 é na verdade o polindmio MaVYir2 3 n3n1n2n4 5 nSn3nYin2n4Hnr6 7 y2x xt u rv r 3 5 7 1 n2k1 JT n 2k k0 k0 n eae Tp No entanto é costume normalizar as solugoes escolhendo 2n An an 726 Rodney Josué Biezuner 188 Os outros coeficientes sao entao determinados por uma relacao recursiva reversa Temos m 2m 1 am 7T v7 em 25 n mn m 1 ou trocando m por m 2 mm 1 n2 o i im 2 m2 nm2ntm1 727 Assim nn 1 nn1 2n 2n 2 an Foe Gn Fo ST om oT soma 2 22n 1 22n 1 2n 2n 1n 2 n 2n 3 2n 4 An4 n2 SO 42n 3 272n 2n 4 e em geral m 2n 2m n2m 1 2 n 1 2mn mn 2m 728 1 Tomando M sen épare M se n é impar o nésimo polindmio de Legendre é M 1 2n 2m P 1 n2m 2 Qn dX min mn Im 729 Por exemplo os primeiros polindmios de Legendre sao Po x 1 P x a 1 Paat 5 3 1 1 P3x 5 5a 32 1 Px g 35a 30a 3 1 P52 g 632 70x 152 1 Pox 7g 231 31524 1052 5 1 Px 7g 4290 693x 3152 352 723 Séries de Polindmios de Legendre Os polindmios de Legendre satisfazem as seguintes relagoes de ortogonalidade 1 0 seném Px Px dx 2 730 I mE senm Usando esta propriedade é possivel provar que toda funcao razoavelmente regular possui uma série de Legendre Rodney Josué Biezuner 189 Teorema 71 Se f é uma funao continua por partes cuja derivada é continua por partes no intervalo 11 entado f tem uma expansdo em série de Legendre fz S AnP2 n0 com 2 1 An ae Fx Pa a de 2 1 Além disso a série de Legendre de f em x converge para fx se f continua em x e para a média dos limites laterais fas fer caso contrario 724 Solucgao da Equagao de Laplace na Bola com Simetria Radial Considere o problema de encontrar a temperatura de estado estaciondério em uma bola de raio R cuja superficie exterior casca esférica é mantida a uma temperatura f9 independente do angulo azimutal Neste problema nao ha dependéncia da variavel e ele 6 modelado pela seguinte equagao diferencial parcial e pelas seguintes condicoes de fronteira 2 1 Urr Ur uoe cot 6 ug 0 seeOrRe060 17 r r uR 6 f se06 7 Usando 0 método de separacao de varidveis escrevemos ur 0 FrG6 Substituindo esta expressao na equacao de Laplace acima temos 1 1 FrG0 FrG s FrG 0 cot 6 FrG0 0 r r Dividindo a tiltima expressao por FrG segue que fF F v 0 7 0 PO FPO OO opp FO Fr Fr G4 G9 Temos entao a equacao de Euler rFr 2rFr oFr 0 e a seguinte equacao em G 6 cot 8G 0G8 0 Esta pode ser reduzida 4 equacao de Legendre através da seguinte mudanga de variavel s cos Note que 1 s 1 De fato pela regra da cadeia 7 ds 7 G0 G s 5 sen0Gs d d G0 sen 8Gs cos0Gs sen 8Gs cos 0Gs sen 6Gs 1sGs sGs Rodney Josué Biezuner 190 Portanto 0 G0 cot 6G0 oG0 1 s2Gs sGs 5 sen 6Gs Gs 1sGs sGs sGs oGs 1sGs 2sGs Gs e a equacao transformase na equacao de Legendre 1 sGs sGs oGs 0 Como vimos acima esta equacao sé possui solugoes limitadas se a nn1 731 e as solugdes séo dadas pelos polinémios de Legendre Ps Logo G0 Pcos 6 732 A equagao de Euler tornase entao rFr 2rFr nn 1Fr 0 cuja solugao geral é Fr cur egr As unicas solucoes aceitdveis sao as solucoes limitadas logo Fr r 733 Portanto Unr 0 r Pcos 6 Levando em consideracao a condicao de fronteira obtemos oo r 0 S An Pcos6 734 urs0 9 An 3 Paeosd 734 com 3 i An we f 0 Pcos 6 sen 0 d0 735 0 Para obter esta expressao para os coeficientes A multiplique a série de uR fA por Pcos sen 8 integre termo a termo e use a substituigao cos nas integrais resultantes sob o somatoério Isso produz fPm cos 0 sen 0d S An Pcos 0 Pm cos 0 sen 0 dé 0 n0 0 oo 1 n f Pala Pae ar n0 1 2 2msyty 2 4 Capitulo 8 Transformada de Fourier 81 A Integral de Fourier Se f RR é uma fungao periddica de periodo 2L suave por partes entao a Nx NTx fa YO an 008 T by sen 81 n1 nos pontos de continuidade de f com 1 t An al ft cos dt n 0 LJt L L 82 b al Ft sen dt n1 sen n n L 1 L a Se f nao é uma funcao periddica entao ela nao pode ser representada por uma série de Fourier Podemos no entanto representar f por uma integral de Fourier se f for pelo menos suave por partes e satisfizer além disso a condigao co J fle ae ox co ou seja se f for absolutamente integravel Neste caso podemos escrever co fz Aw cosaw Bw sen rw dw 83 0 para todo x R que seja um ponto de continuidade de f com 1 Co Aw ft coswtdt w 0 17s 84 Bw ftsenwt dt w0 T co Mais precisamente Teorema 81 Seja f R R uma funcdo suave por partes absolutamente integrdvel Entao f tem uma representacao por integral de Fourier que converge para fx nos pontos de continuidade de f e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade de f 191 Rodney Josué Biezuner 192 Esta representacao integral para f pode ser motivado da seguinte forma restrinja f ao intervalo fechado L L e estenda ela periodicamente fora deste intervalo Entao no intervalo L L f tem a representacao em série de Fourier dada em 81 com os coeficientes dados em 82 Fazendo L oo como a fungao f é integrdvel em R segue que necessariamente ap 0 Além disso a integrabilidade de f também implica que a integral de f em R pode ser aproximada pela integral de f no intervalo L L desde que L seja suficientemente grande Assim temos que os coeficientes a e b podem ser aproximados por 1 t az fteos ae 4a LJ 5 L L L 1 nit T nT by t se mm dt 7 B nS T J sen LE L Logo co nt NTx nt NTx 1 x A cos B se fay VAT LONE TIE Mas se denotarmos w natL e Aw 7L 0 que equivale a fazer uma particao do intervalo 00o em subintervalos de comprimento Aw reconhecemos uma soma de Riemann co fa S Awy cos wy BwWp sen wx Aw n1 Fazendo L oo 0 que corresponde a fazer a norma da particéo Aw 0 esta soma de Riemann converge para a integral de Fourier de f Exemplo 82 Obtenha a representacao integral de Fourier da funcao fil se z 1 fa 0 se x 1 Temos 1 1 2 A0 ft dt dt T Joo mw J 4 T 1 1 ff sen wt 2 se Aw Flt coswtat coswt dt a T Joo wT Jy Tw w 1 1 ff cos wt Bw ftsenwtat senwtdt 0 T Joo mw J 4 mw y Observe que lim Aw A0 ou seja obtivemos neste caso a fungéo Aw continua e a funcao B é wo a funcao identicamente nula o que era de se esperar porque f é uma funcao par Logo 2 se fx ae cos ww dw T Jo Ww Em particular segue do teorema da integral de Fourier que con w m2 se a 1 costwdw 4 14 se 1 0 0 se a 1 e escolhendo x 0 obtemos o valor da integral de Dirichlet se senw yt 0 wW 2 Rodney Josué Biezuner 193 Como vemos no exemplo acima quando uma fungao é par ou impar sua integral de Fourier é mais simples da mesma forma e pelo mesmo motivo que a série de Fourier de uma fungao periddica par ou impar é mais simples e Se f é par entao Bw 0 e a integral de Fourier de f é dada simplesmente por co fx Aw cos aw dw 0 também chamada a integral de Fourier cosseno de f e Se f éimpar entao Aw 0 e a integral de Fourier de f é dada simplesmente por co fa Bw sen cw dw 0 também chamada a integral de Fourier seno de f 811 Exercicios Exercicio 81 Encontre a representagao integral de Fourier das fungoes dadas em todos os casos a 0 1 see0Qal f 2 se0 2 a a f 0 caso contrario h fx 0 caso contrario 1 se aaua f 2 se0Oa2a b fx 0 caso contrario i fx 0 caso contrario tse la20 lz se laxl fx I se0a 1 j f 0 caso contrario 0 caso contrario 0 se lal 12 se l2l d fx I se 1 a 2 k P2 0 caso contrario 0 caso contrario Jf se lal olel e f 0 caso contrario I faer Tenet cos x se 2 f fa D 2 m fx e 0 caso contrario sen x seOQaT7 7 seOal 8 fa 0 caso contrario n ft9 22 sela 2 0 caso contrario Exercicio 82 a Use o Exemplo 82 para mostrar que sen w COS W T dw 0 Ww 4 b Use integragaéo por partes e o item anterior para obter sen w re ot awed 0 Ww 2 Rodney Josué Biezuner 194 c Use a identidade trigonométrica sen w cos w 1 e o item anterior para obter sen4 sen wat 0 Ww 4 Sugestdo sen w sen w sen w cos w senw 4 sen Qw Exercicio 83 Usando a representacao integral de Fourier prove que as seguintes integrais improprias tem os valores especificados abaixo cos rw wsen rw 0 se x 0 0 Tw Te se x 0 1 cos 2 b TW on cw dw w se0Oa7 0 Ww 0 se x T cos c ae dw 7e ser0 9 lw 2 TW T T co COS COS TW coszx se Z a a dw 2 fh 0 lw 0 se a 2 oo T sen Tw sen rw senx se0O a 7 e du 2 0 lw 0 se x T oo 3 se f a lw eteosa sex 0 9 wit4 2 82 A Transformada de Fourier 821 Definicao Recordamos a férmula de Euler e cos isend Dela segue que i0 i0 i0 i0 cos 6 ere e send ae 2 21 Rodney Josué Biezuner 195 Vamos escrever a integral de Fourier na forma complexa Temos co fx Aw cos aw Bw sen aw dw 0 1 Co Co f tcos wt cos aw sen wt sen rw dtdw T JO oo 1 Co Co ft coswa t dtdw T JO oo 1 oo oo fteO 4 eK O dtd 2a 0 oo ft dtdw fthe 29 dtdw 27 0 oo 27 0 oo 1 oo co 1 0 oo ft dtdw fte dtdw 27 0 oo 2n oo Joo f the dtdw ml onde no ultimo passo fizemos a mudanga de varidvel w Portanto a forma complexa da integral de Fourier é 1 Co Co f ft dtd 85 20 cod oo Por sua vez a forma complexa da integral de Fourier pode ser escrita como 1 1 r the a e du Ix a reff Defina a fungao f RC por 1 00 Ww the dt 86 fle fro 86 Observe que apesar da fungaéo f ser uma funcao definida na reta isto é uma fungao de uma varidvel real tomando valores reais em geral a fungao f é uma fungao definida na reta tomando valores complexos De fato a funcao f pode ser escrita mais explicitamente usando a formula de Euler na forma A 1 Co Co fiw Ft cost dt i f ft sent dt V 20 oo oco A parte complexa de f sera nula e portanto f sera uma funcao real se e somente se a integral co ft senwt 0 oo Isso ocorrera se e somente se a funcao f for par Portanto no estudo da transformada de Fourier é inevitavel o aparecimento de funcgoes de R em C ja que a maioria das fungoes nao sao pares Diremos que uma funcao de R em C é absolutamente integravel se as suas partes real e imagindria que séo fungdes de de R em R forem absolutamente integraveis O espaco de tais funcdes sera denotado por LRC Na notacao acima temos que 1 oo Lr we du 87 flay f Fee 87 Isso nos leva a seguinte definigao Definimos a transformada de Fourier de f como sendo a fungao F que associa a cada funcao absolutamente integravel f R R a funcao f R C definida pela expressao Rodney Josué Biezuner 196 86 a sua inversa chamada a transformada de Fourier inversa é a funcao F que associa a cada funcao f R C que pertenga ao conjunto imagem de F a funcao absolutamente integravel f R R definida pela expressao 87 Assim se f é continua FFD F 88 Isso é uma conseqiiéncia imediata das definicoes acima 1 1 ef 1 sre i FUF r Fifwe dw al the it a e dw FIN ef FW e 0 1 Co Co fte dtdw fx 2a cod oco Exemplo 83 A transformada de Fourier de uma funcéo absolutamente integrdvel apesar de ser uma funcao continua nao é em geral uma funcao absolutamente integravel O contraexemplo classico é a funcgao pulso fil se z 1 fa 0 se x 1 De fato calculando a transformada de Fourier de f obtemos 1 se 1 p 1 ott w the dt al e dt e fw V27n J1 V 2Tw la 1 tw Ww 1 ec e cosw isenw cosw isenw V2TiwW V 2TiwW 2tsenw 2senw V2TIwW V2rw Segue que a transformada de Fourier de f é a fungao 2 senw Flu f2 T WwW que nao é6 uma fungao absolutamente integravel como pode ser verificado Observe porém que a descontinuidade da funcao pulso foi suavizada pela sua transformada de Fourier ja que f é uma fungao continua Com efeito 1 1 ft 2 2 n te dt w 2 f0 T Sl a x e portanto lim flw 0 Isso nao foi um acidente e é sempre verdade wo Teorema 84 Se f R R uma fungao absolutamente integrdvel entao sua transformada de Fourier fRC é uma fungao continua e limitada Se além disso f for absolutamente integrdavel entao f continua A transformada de Fourier da fungéo pulso no Exemplo 83 é uma fungéo real porque ela é uma funcéo par Em geral a transformada de Fourier de uma funcao real 6 uma funcao complexa como no préximo exemplo Exemplo 85 Encontre a transformada de Fourier da funcao e sex 0 fa 0 sex 0 Rodney Josué Biezuner 197 Temos Ww the dt ett dt e Urwrt de I Vv Vv 20 0 Vv 20 0 1 oo eH iet V2 1 iw 0 Como e 1 segue que lim Jena lim le Je lim Je 0 t0o 200 t0o logo 1 1 w f SSF JVQrliw wV2r1w 822 Propriedades Operacionais A transformada de Fourier se comporta muito bem com relacao a varias das operagdes comumente efetu adas em fungoes combinacoes lineares translacao dilatacao diferenciagao multiplicagao por polinémios e convolugao Proposigao 86 Linearidade Se fgRC sao funcgées absolutamente integrdveis e ab R entdo Faf bg aFf bFqg Prova Segue direto da definicgao e da propriedade de linearidade da integral Proposigaéo 87 Transformadas de Fourier de Derivadas Se f R C uma fungdo diferencidvel absolutamente integrdvel tal que f também é uma fungao absolutamente integrdvel entao Ff w iwFfw Se fRC uma fungao duas vezes diferencidvel absolutamente integrdvel tal que f e f também sao fungées absolutamente integrdveis entdo Ffw iwFfw w Ffw Em geral se f R C uma fungao k vezes diferencidvel absolutamente integrdavel tal que as suas derivadas até a ordem k também séo funcoes absolutamente integrdveis entao Ffw iwFfw Prova Integrando por partes temos que FUP 2 Te fe de BOE tw feat V 27 Joo V2T o 00 co iw fte dt iwFf oo porque como f é absolutamente integravel necessariamente him ft 0 logo lim fthe 0 xmCo xroco As férmulas para as transformadas de Fourier de derivadas de ordem superior seguem da aplicacao iterada desta formula Hf Rodney Josué Biezuner 198 Proposigéo 88 Derivadas de Transformadas de Fourier Se f R C é uma fungdo absolutamente integrdvel tal que xf x também é uma fungado absolutamente integrdvel entao F xf xw iF fw Se fRC é uma fungao absolutamente integrdvel tal que x fx também é uma funcdo absoluta mente integrdvel entao F xf 2w Ffe Em geral se f RC é uma funcdo absolutamente integrdvel tal que fx também é uma fungdo absolutamente integrdvel entao F2 f2w Ff w Prova Passando a derivada para dentro do sinal de integracao temos d 1 dad f 1 d F t Ttwt qt t twt dt FU ae se gle it f the dt i tfthe dt se ior I r iF xf 0w Multiplicando ambos os lados por i obtemos a primeira f6rmula As outras f6rmulas seguem da aplicacéo iterada da primeira Proposigéo 89 Transformada de Fourier de uma Translacgéo Se f R C é uma fungado absolutamente integrdvel entao Ff aw e FFw Reciprocamente Fle fx w Ffxw a Prova Mudando variaveis temos Fifa aw ft ae dt ftje wer dt V 27 J 00 V2T Jo cote f the dt e F ft A segunda formula é obtida diretamente Fel fw eat ftett dt tye tO at V 27 Joo V 27 Joo Ffxw a a Proposigéo 810 Transformada de Fourier de uma Dilatagao Se f R C é uma fungao absolutamente integrdvel e a 0 entédo 1 Ww Ffaxe DFU 2 Em particular Ff2w Ff w Rodney Josué Biezuner 199 Prova Mudando varidveis se a 0 temos que Fl Flax wo flatye at pity Lat ax W atje e av V2 Joo V2 Joo a 1 1 w 1 w 1 pea 1 e7 2 wef 10 Fre 2 Se a 0 temos FFlaxw flatye at pltye at axw ate evtat V 27 Jo V2T Joo a 1 1 w 1 w the dt Ffe ae 0 Fre 2 a A convolugao de duas funcgdes absolutamente integraveis fg é definida como sendo a fungao Fe ga f fe tgtat 89 Podemos assegurar que ela esté bem definida isto é a integral imprdépria que a define converge para todo x se as funcdes f e g além de serem absolutamente integraéveis sao também quadradointegrdveis isto é seus quadrados também sao absolutamente integraveis 2 2 ora gap at c De fato utilizando a desigualdade de Schwarz ab b 3 valida para todos ab R segue que fx tgt dt Ifzthoidté sf feHldt 5 lgtl dt oo Denotamos o espaco das funcgdes quadradointegréveis na reta por LR Além disso a convolucao de funcoes absolutamente integraveis quando esta definida é também uma funcao absolutamente integravel de modo que a sua transformada de Fourier esta definida J leeavol ars f re oilao deae Jato i flee ar at of ire ae a f irtopl ae late a oO A transformada de Fourier comportase extremamente bem em relacéo a convolugées ela transforma con volugao de fungoes essencialmente em produto de fungoes Proposigéo 811 Transformada de Fourier de uma Convolugaéo Se fg R C sdo fungdes absoluta mente integrdaveis entao Ff g V20FfFg Rodney Josué Biezuner 200 Prova Mudando a ordem de integragao e usando a Propriedade 4 temos FF ayoo e Fe gyiteta pe satas ea w e S Ss S e MO Tee ft Vit S00 ooo tse dt gs ds e SFfw s ds se teeta ayas 7 er ney at Fnw f gse ds F fwV20F gw a 823 Transformada de Fourier da Funcao Gaussiana A transformada de Fourier da fungaéo gaussiana desempenha um papel fundamental na resolucéo da equacéo do calor na barra infinita conforme veremos mais tarde Aqui vamos calculdla Recordamos a integral impropria e dr JT O seu valor pode ser obtido da seguinte forma oo 2 oo oo oo oo 2 2 2 2 2 e ar e ar e av e e dxdy co co 29 27 poo 2 20 1 2 co e dady e rdrdé se dé cod co 0 Jo 0 2 0 1 27 dO T 2 Jo Teorema 812 Seja a 0 Entao ax 1 w2 Fe 2 Vae Em particular ae w2 Fle e isto é a transformada de Fourier da funcdo e é ela propria Prova Seja fx eS Entao f satisfaz a equacao diferencial f axfx 0 Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados desta equacaéo obtemos usando as Propriedades 1 2 3 iw fw aifw 0 ou a we Pw Flu 0 Resolvendo esta equacao através de uma integracao simples obtemos nw w2 flv Ce Rodney Josué Biezuner 201 2 Ww Ww para alguma constante C Em uma notacao mais usual a equacao diferencial é yy 0 donde y y a a ou L 2 integrando ambos os lados desta equagao obtemos log y C e dai o resultado acima y a A constante C pode ser determinada através da integral imprépria relembrada acima 1 1 of at 1 2 2 1 C n a oF a 1 e ds f0 TS Sl ad Nal Va a 2 A funcao gaussiana e nao é a tinica funcdo cuja transformada de Fourier é ela propria Rodney Josué Biezuner 202 824 Tabela de Transformadas de Fourier Pa F fw 1 1 se a a 2 senaw 0 se x a nn 2 1 seaxab ietw etaw 0 caso contrario 2nw aw x 7 sen 3 1 se x a a 0 22 a 0 se x a nT aw x se a a0 2 aw cosaw senaw 0 se x a T w sen se z 7 2sen7w 5 2 senlaw 0 se x 7 wT we1 senaz se x abo i senwab 4 senw ab 0 se x or wa wta 7 cosazx se z b abo 1 senw ab 4 senw ab 0 se a 0 on wa wta 1 T e 7 aly Slee 2 a jel a Virreee 4 sen 10 2 a0 17 se ul a v2n ax 0 se w a 2 a 11 el a0 a Ta w eo se x 0 1 1 ens S 1 1 13 0 sete 0 Bog ee e se x 0 Ir a iw Pn 1 1 1 14 enaltl a0n0 i x e a n 5 aiwyrt a ivy 15 e2 a0O 1 Ja Rodney Josué Biezuner 203 825 Exercicios Exercicio 84 Calcule a transformada de Fourier das fungoes a seguir em todos os casos a 0 fil se x a fa se z 1 a fx 0 se x a 8 fx 0 caso contrario 2 a xv se x 1 b Pe e h fx 0 caso contrario 7 jz 1 1 a jz 1 je se x 1 x se i fz 0 se x 1 i f2 0 caso contrario fe sex0 f 12 se z 1 d fx 0 sex 0 j P 0 caso contrario lel 1 se x sen x se x T 7 v a e fz 0 caso contrario k fx 0 se x a T f cos x se x 5 0 caso contrario Exercicio 85 Relacao de Reciprocidade para a Transformada de Fourier 1 a Use a definigéo das transformadas para provar que Ff Ff2 b Use o item anterior para obter a seguinte relagéo de reciprocidade Ffx f2 c Conclua que f é uma funcao par se e somente se Ff f f é uma funcdo fmpar se e somente se Ff f d Mostre que para qualquer funcgao f temos Ff f Exercicio 86 Usando a Propriedade 4 conclua as identidades a seguir F cosax f x Ffw 7 a e FM a F senax f Ffw a Te a Exercicio 87 Use o exercicio anterior e transformadas de Fourier de fungoes conhecidas para calcular as transformadas de Fourier das seguintes funcoes 2 a fv b fx ev elz cos cos 2x sen x cos 2x d 0 fa SE fe f cose se a 1 jf senz se z 1 e fa 0 se a 1 f ra 0 se z 1 Rodney Josué Biezuner 204 Exercicio 88 Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das fungoes a seguir x se jall x f a fe5 SESE 9 f 72a b fx xe g fw1ae c fz aeI h fz 12e7I ze sex 0 1 2 d 4a1 yre SES Haya ae e fz j fle l ae 14 2 83 O Método da Transformada de Fourier Suponha que uxt seja uma fungéo das varidveis Ret 0 Se fixarmos a varidvel temporal t a uxt tornase uma funcao apenas da varidvel espacial x definida na reta toda e podemos tomar a sua transformada de Fourier com relacao a varidvel x Denotaremos esta transformada por Uwt Em outras palavras 1 ee uwt Fuat ux te dx 810 01 Flute f ulat 810 Agora da Propriedade 3 da transformada de Fourier segue que Urawt iwtiw t Una wt iwiw t wAwt ou seja derivadas espaciais sao transformadas em expressdes que envolvem apenas a funcao twt multi plicada por um mondmio em w Por outro lado derivando dentro do sinal de integracao com relacao a ft temos que a wt ux the dx a ux te ar Uw t On x dt om x 2 o que significa que a derivada temporal é preservada pela transformada de Fourier Assim vemos que quando aplicamos a transformada de Fourier a uma equagao diferencial parcial em duas varidveis as derivadas parciais espaciais desaparecem e apenas as derivadas temporais permanecem Em outras palavras aplicando a transformada de Fourier transformamos a equacao diferencial parcial em uma equadao diferencial ordindria em t Esta observacao é a esséncia do método da transformada de Fourier para resolver equacoes diferenciais parciais Em resumo o método funciona da seguinte maneira Passo 1 Obtenha a transformada de Fourier de todas as equacdes envolvidas ie a equagao diferencial parcial e a condicao inicial Passo 2 Resolva a equacéo diferencial ordindria obtendo a solucao tw t Passo 3 Aplique a transformada de Fourier inversa a tiwt para obter uwt A titulo de exemplo vamos aplicar este método as equacoes do calor e da onda Rodney Josué Biezuner 205 831 A Equacao do Calor para uma Barra Infinita Vamos resolver o problema de condugao de calor em uma barra homogénea isolada termicamente e infinita Este é 0 problema de valor inicial problema de Cauchy ut kurz se woa4ometdO 811 ux0 fz se wW4 om Assumimos que a fungao f é continua limitada e absolutamente integrdvel Aplicando a transformada de Fourier a este problema obtemos a equacao diferencial ordindria em t ty wt kww t uw0 fw A solugaéo geral desta equagao é 2 Gwt Cwe Para obter o valor de Cw usamos a condigao inicial Flw Gw0 Cw Portanto nw 2 Gwt fwye 812 Tomando transformadas de Fourier inversas de ambos os lados da equacao obtemos uat flwe het eine dw 813 V 27 J 00 As vezes no entanto esta solucao nao é conveniente em certas aplicagoes praticas Usando a propriedade da transformada de Fourier com relacao a uma convolucao podemos obter uma solucgao em termos da condicgao inicial fx De fato voltando 4 equagaéo que da a solucgdo twt observamos que a segunda funcgdo do lado direito é uma gaussiana em w que conforme vimos anteriormente a menos de uma constante é a transformada de Fourier dela propria Mais precisamente a2 1 w2 Fe 2 e 2 Dai se 1 22 r e 4kt gt 5G entao Two et Tome a 12kt Logo podemos escrever ulwt fwg Lembrando agora que a transformada de Fourier de uma convolucao é o produto das transformadas de Fourier das fungoes multiplicadas por 27 ou seja Flew ZF ale wgw f gw g on g segue que 1 z uwt f gw 01 Fate Rodney Josué Biezuner 206 Portanto aplicando a transformada de Fourier inversa obtemos 01 Zaf 90 uxt f ga V2T g ou 0 reef fle Se dl 84 uxt sje re ds 2V tkt J co Esta é a solucao da equacao do calor em uma barra infinita e além disso a tunica solugao do problema se entendermos por solugaéo uma fungéo continua e limitada em t 0 existem outras solugdes mas elas nao sao limitadas e do ponto de vista fisico esperamos que a solucao do problema seja uma distribuicgao de temperaturas limitada Exemplo 813 Resolva 0 problema 1 Up Flew se wrmetQO ux0 e se o2 oO Solugao Denotando fx er segue que a 2 1 w2 wt 1 4tw2 u wt WwW e kw t e fe 4 eEe a wt flw a a Logo 1 1tw 1 2 x2 1 2 uxt Fe 4 et eit t J2 J2V1t Vlt pois fazendo itt x segue que a Ta 832 A Equacao da Onda em uma Corda Infinita Vamos resolver o problema das vibragoes transversais de uma corda infinita homogénea e de peso desprezivel Ute CUne se oxuoetQO ux0 fx se o4 ow 815 utx 0 gx se O2 oO Assumimos que as funcoes fg sao continuas limitadas e absolutamente integrdveis Aplicando a transfor mada de Fourier a este problema obtemos a equacao diferencial ordindria em t tn wt cw tw t uw0 fw tw 0 gw A solugaéo geral desta equagao é uwt Aw cos cwt Bw sen cwt Para obter os valores de Aw e Bw usamos a condigoes iniciais fw Uw 0 Al gw Uw 0 wBw Rodney Josué Biezuner 207 Portanto iwt Flw cosewt 2 sen cut cw Aplicando a transformada de Fourier inversa obtemos a solugao do problema 1 e gw uxt w cos cwt sen cwt e dw 816 21 ley le 816 Em alguns casos especificos esta integral pode ser computada explicitamente Exemplo 814 Resolva 0 problema Ustt Une se coxroetQO 1 u20 5 see wo rw urtx 0 0 se O2 OM Solugao Denotando fx u olugao Denotando segue que notan x Tae segue qu A T uwt fw coswt fe cos wt Logo 1 1 ceive etw8 t 4Fe coswt F e uxt 5 e cos wt 5 5 1 7 1 1 Fl iwO w ay iwd w 2 e 9 2 il 1 4 1 2A1 4 ett 14 a 4t2 x 1 wT w 1 usando a propriedade da transformada de Fourier de uma translacao pois F 3 the x Observe que esta resposta coincide com a solugao de DAlembert 833 Exercicios Exercicio 89 Resolva a equacao do calor ou da onda dada Em todos os casos assuma oo we t0 Rodney Josué Biezuner 208 Utt Ura Met Vow T Tv 5 X5 a ux0 b uz04 OPP TASES 42 0 caso contrario uza 0 0 ura 0 Ut U se oo4rocoet0 Ue 799 Man o 0 2 d 70 100 se lai ux0 e se 0o0 2 00 uz04 5 serl Utt Ure Ut Usa 2 sen x x e uz0 24 f wag 4 19 se 22 2 urx0 0 0 sex 1 1 i1 Ut F909 Uaa Mes ghee 100 se 220 8 ua0 20 se l a h u0 50 se0a1 0 sex1 os 0 caso contrario Ut Una UW U 1 t LL i ux 0 ij ua0 e7 Exercicio 810 Usando o método da transformada de Fourier resolva o problema de valor inicial dado Em todos os casos assuma co 4 oet0 Uct Ure Ue U tt Yarrxr a ux 0 ae b ux0 fx Of aU a ree u0 fe u0 fe uz tuz 0 uz tu uax0 fa f ua0 3cosz ut atu 0 h uz sentu 0 8 ux0 fx ua0 sen x i Ut Ux i Ut MUge ux0 fx MY ux 0 fw ut atu Ute Que u 1 retin 0 14 ula0 fle uyx 0 ga Ut Ure Ut tUreee mL ux 0 100 ua0 fx Utt Urat Utt AUrat 3Ureee 0 ux0 fa p 4 ux0 fz ur x 0 gx urx 0 g2 Rodney Josué Biezuner 209 Exercicio 811 Resolva o problema do calor com convecgao na barra infinita isto é existe troca de calor da barra com o meio ambiente Up CUne ky se coxcwetQ0 ux0 fx se O2 OM Exercicio 812 Resolva o problema da vibracao da corda infinita com amortecimento b 0 Ut CUne 2buz se oxuoetQO ux0 fx se WO2 OM utx 0 gx se O2 OM Exercicio 813 Resolva o problema da vibracao na viga infinita Ut CUrene se oxuoetQO ux0 fx se WO2 OM uzx 0 gx se O2 OM Exercicio 814 Resolva a equacao de Kortewegde Vries linearizada Ut CUner se warmwetQd ux0 fz se wW24 om Encontre a solugao para fx en quando f é a fungao pulso em ambos os casos tome c 1 Exercicio 815 Usando 0 método da transformada de Fourier mostre que a solugao da equagao de Laplace no semiplano superior problema de Dirichlet Ure Uyy 0 se wmweyd ux0 fx se O2 OM é dada por co 8 uzy a Js ds T Jioo t 8 y Use esta férmula chamada a formula integral de Poisson para resolver o problema de Dirichlet para J 100 see lavl fea 4 sex 1 Determine as isotermas no semiplano superior para este problema especifico Exercicio 816 Definimos 0 nticleo de Poisson como sendo a fungao P x eB Y a 0 x para wo4rmwe y Tar y P y Usando a transformada de Fourier mostre a propriedade de semigrupo do nicleo de Poisson Py Py Py yo 2 De posse desta propriedade e usando também o exercicio anterior resolva o problema de Dirichlet para 1 x Quais sao as isotermas neste caso fa 5 Q Referˆencias Bibliograficas 1 ASMAR Nakhle Partial Differential Equations and Boundary Value Problems Prentice Hall New Jersey 2000 2 BOYCE William E e DI PRIMA Richard Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 7a Ed LTC Rio de Janeiro 2002 3 EDWARDS C H e PENNEY D E Equacoes Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno 3a Ed PrenticeHall do Brasil Rio de Janeiro 1995 4 FIGUEIREDO Djairo Guedes de Analise de Fourier e Equacoes Diferenciais Parciais Projeto Eu clides IMPA Rio de Janeiro 1987 5 GONZALEZVELASCO Enrique A Fourier Analysis and Boundary Value Problems Academic Press San Diego 1995 6 HABERMAN R Elementary Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems Prentice Hall New Jersey 1998 7 JØRSBOE O G e MEJLBRO L The CarlesonHunt Theorem on Fourier Series SpringerVerlag New York 1982 8 LOGAN J David An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations John Wiley Sons 1994 9 MOZZOCHI C J On the Poinwise Convergence of Fourier Series SpringerVerlag New York 1971 210