Capítulo VIII: Forças e Circuitos Magnéticos - Eletromagnetismo II

Capítulo VIII Forças e Circuitos Magnéticos Materiais e Indutância Vitória Agosto 2023 Rede de Ensino DOCTUM Eletromagnetismo II Prof Rúben Barbosa Força sobre uma carga em movimento Na ausência de campo elétrico a força depende da carga velocidade e campo magnético Ԧ𝐹 𝑄 v 𝐵 N Se ambos os campos elétrico e magnético estão presentes a força sobre uma carga pontual Q chamada força de Lorentz é Ԧ𝐹 𝑄𝐸 v 𝐵 N Ou Ԧ𝑓 ρv𝐸 v 𝐵 Nm³ 2 Força sobre um elemento diferencial de corrente É definido como a força de um pequeno elemento compondo a uma carga 𝑑F 𝑑𝑄 v 𝐵 Idt v 𝐵 I v𝑑𝑡 𝐵 dF IdL 𝐵 Para um condutor retilíneo com B constante F I L 𝐵 Módulo da força F I L B sin θ onde θ é o ângulo entre os vetores L e B Sentido da força regra do produto vetorial indo de L para B 3 Regra da mão esquerda Regra de Fleming ou L 4 Exemplo 1 Determinar as forças de repulsão entre 2 condutores filamentares retilíneos longos e paralelos separados por uma distância d por onde fluem correntes I iguais e opostas 5 Resolução Os sentidos das forças estão indicados na figura As duas forças possuem mesmo módulo o qual é obtido do seguinte modo no vácuo 𝐹 I L B onde B μ0 H μ0 I 2πd Logo F I L μ0 I 2πd F L μ0I2 2πd Nm 6 Força entre elementos diferenciais de corrente Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1 dB2 𝜇0𝑑𝐻2 𝜇0 𝐼1𝑑𝐿1𝑎𝑅12 4𝜋𝑅12 2 7 Força entre elementos diferenciais de corrente Relembrando a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por dF I dL B Substituindo B por dB2 e IdL I2dL2 a quantidade diferencial da força diferencial no elemento diferencial de corrente no ponto 2 tona se d dF2 I2 dL2 dB2 8 Força entre elementos diferenciais de corrente Substituindo dB2 d dF2 I2 dL2 𝜇0 𝐼1𝑑𝐿1𝑎𝑅12 4𝜋𝑅12 2 d dF2 𝜇0 𝐼1𝐼2 4𝜋 dL2 𝑑𝐿1𝑎𝑅12 𝑅12 2 F2 𝜇0 𝐼1𝐼2 4𝜋ׯ dL2 ׯ 𝑑𝐿1𝑎𝑅12 𝑅12 2 A segunda integral é necessária para obter o campo magnético em 2 devido à corrente no ponto 1 Pelo demonstrado é melhor dividir o problema de calcular a força magnética em duas partes primeiro calculase o vetor campo magnético e depois calculamos a força 9 Torque em uma espira infinitesimal plana Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definição de torque 𝑇 Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 obtémse 𝑑𝑇 𝐼𝑑 Ԧ𝑆 𝐵 Nm Definindo o momento magnético diferencial da espira como 𝑑𝑚 𝐼𝑑 Ԧ𝑆 Am² Podemos descrever o torque na espira como 𝑑𝑇 𝑑𝑚 𝐵 10 Torque em uma espira infinitesimal plana De uma maneira geral para B constante em toda área S temos 𝑇 𝐼 Ԧ𝑆 𝐵 𝑚 𝐵 Notas As equações acima são também válidas para qualquer forma de espira de corrente como por exemplo a espira circular O torque na espira 𝑇 atua de tal maneira a alinhar o momento magnético 𝑚 produzido pela espira com o campo magnético externo 𝐵 11 A natureza dos materiais magnéticos Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um átomo causados por 1 Rotação spin do elétron em torno de seu próprio eixo 𝑚𝑠𝑝𝑖𝑛 2 Rotação do núcleo em torno de seu próprio eixo 𝑚𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 3 Movimento circular órbita do elétron em torno do núcleo 𝑚𝑜𝑟𝑏 Dependendo da combinação desses momentos magnéticos podese classificar 6 tipos diferentes de material 12 A natureza dos materiais magnéticos 13 Magnetização e permeabilidade magnética Magnetização M é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume isto é M lim v0 1 v σ𝑖1 𝑛v 𝑚𝑖 lim v0 𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 v Am Onde n é o número de dipolos magnéticos por unidade de volume v 14 Magnetização e permeabilidade magnética A lei circuital de Ampère relaciona o campo magnético H com a corrente de condução I que produz este campo isto é 𝐼 ׯ 𝐻 𝑑𝐿 Por analogia podese também relacionar o campo M com uma corrente Im que produz este campo sendo esta corrente chamada de corrente de magnetização 𝐼𝑚 ׯ 𝑀 𝑑𝐿 A lei circuital de Amperé em termos da corrente total It é expressa por 𝐼𝑇 ׯ 𝐵 𝜇0 𝑑𝐿 Onde ITIIm é a soma das correntes de condução e de magnetização µ04πx107 é a permeabilidade magnética do vácuo Hm 15 Magnetização e permeabilidade magnética Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais obtemos a seguinte expressão geral que relaciona os 3 campos B H e M em qualquer tipo de meio B 𝜇0 H M B 𝜇0 H M Para um meio linear e isotrópico podese relacionar M linearmente com H por M χ𝑚H Sendo χ𝑚 chamada de susceptibilidade magnética constante adimensional 16 Magnetização e permeabilidade magnética Substituindo M na expressão geral e arranjando os termos obtemos a conhecida relação B 𝜇 H Onde 𝜇 𝜇𝑅𝜇0 é a permeabilidade magnética absoluta Hm 𝜇𝑅 1 𝜒𝑚 é a permeabilidade magnética relativa constante adimensional Por analogia H ԦJ podese chegar a 𝑀 Ԧ𝐽𝑚 e B 𝜇0 ԦJT 17 Condições de contorno para o campo magnético 18 Condições de contorno para o campo magnético Aplicando a lei de Gauss do campo magnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo h0 ׯS B dS 0 Bn1S Bn2S 0 Bn1 Bn2 Logo a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua isto é não se altera Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura fazendo h0 temos ර 𝐻 𝑑 Ԧ𝑆 𝐼𝑒𝑛𝑙𝑎ç𝑎𝑑𝑎 𝐻𝑡1𝐿 𝐻𝑡2𝐿 𝐾𝐿 𝐻𝑡1 𝐻𝑡2 𝐾 19 Condições de contorno para o campo magnético Logo a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K isto é alterase de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios Em forma vetorial a expressão para o campo magnético acima é dada por 𝐻𝑡1 𝐻𝑡2 Ԧ𝑎𝑛12 𝐾 Se não existe distribuição de corrente na fronteira isto é se K 0 obtémse 𝐻𝑡1 𝐻𝑡2 Logo a componente tangencial do campo magnético é contínua isto é não se altera quando não existe uma distribuição superficial de corrente K na fronteira entre os 2 meios Nota Ԧ𝑎𝑛12 versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2 20 Circuito magnético A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua constante O quadro a seguir indica a analogia entre as equações desses circuitos 21 Exercício 1 Seja um toróide de núcleo de ar de área de seção reta S 6 cm² raio médio rm 15 cm envolvido por um enrolamento com N 500 espiras onde circula uma corrente I 4 A Calcular a intensidade do campo magnético H no interior do toróide 23 Exercício 2 Seja um toróide de núcleo de açosilício figura abaixo de área de seção reta S 6 cm2 raio médio rm 15 cm com um entreferro ℓar 2 mm o qual está envolvido por um enrolamento com N 500 espiras Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B 1 Wbm2 26 Energia de um campo magnetostático A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B é relacionado linearmente com H é obtida por 𝑊𝐻 1 2 vol B H dv J Notas a Fazendo 𝐵 𝜇𝐻 ou 𝐻 𝐵 𝜇 obtemos 𝑊𝐻 1 2 vol 𝜇𝐻² dv ou 𝑊𝐻 1 2 vol 𝐵2 𝜇 dv 29 Energia de um campo magnetostático b A densidade de energia em Jm3 é dada por dWH dv 1 2 𝐵 𝐻 1 2 𝜇𝐻2 1 2 B2 𝜇 30 Autoindutância e indutância mútua Autoindutância ou indutância própria ou simplesmente indutância L de um circuito fechado espira ou bobina é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito Λ e a corrente I que produz este fluxo 𝐿ΛI Nϕ 𝐼 H 31 Autoindutância e indutância mútua A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético WH devido a corrente I que flui no circuito fechado Assim temos L 2WH I2 𝑊𝐻 1 2 𝐿𝐼2 Indutância mútua M entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo 𝑀12 Λ12 𝐼1 N2ϕ12 𝐼1 H 32 Autoindutância e indutância mútua Em termos de energia mútua temos 𝑀12 1 I1I2 vol B1 H2 dv 1 I1I2 vol μH1 H2 dv onde 𝐵1 𝐻1 é o campo que resulta de I1 com I20 𝐻2 é campo que resulta de I2 com I10 Na obtenção de M21 o lado direito da expressão acima não varia pois o produto escalar é comutativo Portanto M12M21 33 Exercício 3 A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2 r1 r2 com n1 e n2 espirasm Determinar em Hm as autoindutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21 34 Exercício 4 Adote n1 50 espirascm e n2 80 espirascm r1 2 cm e r2 3 cm para os 2 solenóides coaxiais da figura calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21 38