Física 3 - Poli - P1 2004

P1\nFísica III\nEscola Politécnica - 2004\nFGE 2203 - 1ª AVALIAÇÃO\n15 de abril de 2004\n\n◊ Esta avaliação tem 100 minutos de duração.\n◊ É proibida a consulta a colegas, livros e apontamentos.\n◊ Escreva de forma legível.\n◊ É proibido o uso de calculadoras.\n◊ Resolva cada questão na folha apropriada.\n◊ Não serão aceitas respostas sem justificativas\n\nQuestão 1\nUm condutor formado por duas hastes 1 e 2, cada uma de comprimento L, está num plano (x, y) como é visto na figura abaixo. Uma haste está ao longo do eixo x e a outra ao longo do eixo y. Sobre o condutor há uma carga Q uniformemente distribuída. Pede-se para determinar, no ponto P sobre o eixo y com coordenada y = h > L (veja a figura),\n\n(1,0 ponto) (a) O campo elétrico \\( \\mathbf{E}^{(1)}(P) \\) gerado pela haste 1.\n(1,0 ponto) (b) O campo elétrico \\( \\mathbf{E}^{(2)}(P) \\) gerado pela haste 2.\n(0.5 ponto) (c) O campo elétrico \\( \\mathbf{E}(P) \\), devido às duas hastes. (a) Haste 1: \\( dq = \\lambda dx, \\ sen \\theta = \\frac{h}{r}, \\ cos \\theta = \\frac{x}{r}, \\ r = \\sqrt{h^2 + x^2} \\)\n\\[ \\mathbf{E}^{(1)}_1 = \\int \\frac{sen \\theta \\cdot kdq}{r^2} = \\int \\frac{\\kappa h \\lambda dx}{(h^2 + x^2)^{3/2}} = \\frac{\\kappa \\lambda}{h (h^2 + L^2)^{1/2}} \\]\n\\[ \\mathbf{E}^{(1)} = - \\int \\frac{cos \\theta \\cdot kdq}{r^2} = - \\int \\frac{\\kappa \\lambda h \\ dx}{(h^2 + x^2)^{3/2}} = \\kappa \\lambda L \\left[ \\frac{1}{(h^2 + L^2)^{1/2}} - \\frac{1}{h} \\right] \\]\n\\[ \\mathbf{E}^{(1)} = \\mathbf{E}^{(1)}_x \\hat{i} + \\mathbf{E}^{(1)}_z \\hat{k} \\]\n(b) Haste 2: \\( dq = \\lambda dy, \\ r = h - y \\)\n\\[ E^{(2)} = \\int \\frac{kdq}{r^2} = \\int \\frac{\\kappa \\lambda dy}{(h - y)^2} = \\kappa \\lambda \\left[ \\frac{L}{(h - L)h} \\right] \\]\n(c) Campo total: \\( \\mathbf{E} = \\mathbf{E}^{(1)}_x \\hat{i} + (\\mathbf{E}^{(1)} + \\mathbf{E}^{(2)}) \\hat{k} \\) Questão 2\n(1,5 ponto) (a) Calcular o potencial elétrico \\( V(x) \\) no ponto P do eixo da coroa circular que aparece na figura abaixo, que tem uma carga Q distribuída uniformemente sobre ela e raios interno e externo iguais a a e b, respectivamente.\n(1,0 ponto) (b) Qual é o campo elétrico criado pela coroa no ponto P?\n\n(a) O potencial devido ao anel de raio r e largura dr é dado por\n\\[ dV(x) = 2 \\pi \\kappa \\sigma \\frac{r \, dr}{(x^2 + r^2)^{1/2}} \\]\n\\[ V(x) = 2 \\pi \\kappa \\sigma \\int_{a}^{b} \\frac{r \, dr}{(x^2 + r^2)^{1/2}} = 2 \\pi \\kappa \\sigma \\left[ \\sqrt{b^2 + x^2} - \\sqrt{a^2 + x^2} \\right] \\]\n(b) Cálculo do campo\n\\[ E(x) = - \\frac{dV}{dx} = 2 \\pi \\kappa \\sigma \\left[ \\frac{1}{\\sqrt{a^2 + x^2}} - \\frac{1}{\\sqrt{b^2 + x^2}} \\right] \\] Questão 3\nUm fio com 15m de comprimento e secção reta circular com diâmetro de 2,5mm de metal condutor é usado para transportar correntes. A resistência entre as suas extremidades é de R = 0, 10Ω.\n\n(0,5 ponto) (a) Qual é a resistividade ρ do material?\n\n(1,0 ponto) (b) Sabendo que o módulo do campo elétrico no interior do condutor é igual a E = 1, 3 V/m, qual é a corrente elétrica total I?\n\n(1,0 ponto) (c) Suponha que a resistividade do metal não seja constante e dependa da distância x medida entre os pontos inicial x = 0 e final x = 15m. Assim, sendo ρ(x) = Cx, calcule o valor da constante C para que a resistência do fio seja igual a R = 0, 10Ω.\n\nDê suas respostas com 1 algarismo significativo\n\n(a) A resistência R é dada por\n\nR = ρℓ/A, onde A = π(2,5 x 10^{-3}/2)² ≈ 5 x 10^{-6}\n\n==> ρ = R A/ℓ = 0, 10 x 5 x 10^{-6}/15 ≈ 3 x 10^{-8} Ωm\n\n(b) A densidade de corrente J pode ser calculada pela lei de Ohm\n\nJ = I/A = σE = E/ρ ==> I = AE/ρ = 5 x 10^{-6} x 1, 3/3 x 10^{-8} ≈ 2 x 10^{2} A\n\n(c) A resistência R é calculada por integração\n\nR = ∫ (ρ(x)dx/A) de 0 a 15\nR = C x²/2|_0^{15} = 225C/2A\n==> C = 2AR/225 = 2 x 5 x 10^{-6} x 0, 10/225 ≈ 4 x 10^{-9} Ω Questão 4\nConsidere uma placa isolante infinita com uma densidade superficial de carga σ > 0, constante. Uma pequena partícula com carga q < 0 encontra-se sobre esta placa a uma altura h, conforme mostra a figura. Há um pequeno orifício no plano, diretamente embaixo da partícula. Suponha que os efeitos deste orifício sobre o campo elétrico gerado pela placa sejam desprezíveis.\n\n(1,0 ponto) (a) Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico devido à placa infinita em todo e espaço.\n\n(0,5 ponto) (b) Calcule a diferença de energia potencial elétrica entre a posição inicial e a posição em que a partícula atravessa o orifício (z = 0).\n\n(1,0 ponto) (c) Faça um esboço do gráfico da velocidade da carga de prova em função do tempo. (a) Por simetria o campo elétrico é perpendicular ao plano. Utilizaremos a lei de Gauss com uma superfície cilíndrica.\n\n(b) A diferença de energia potencial é dada por\n\nΔU = qEh\n\n(c) A partícula vai oscilar entre z = h e z = -h com aceleração constante nos trechos\n−h < z < 0 e 0 < z < h.\n\nFormulário\n\n∫ (dx/(a² + x²)^(3/2)) = x/(a²(a² + x²)^(1/2)); ∫ (x dx/(a² + x²)^(3/2)) = -1/(a² + x²)^(1/2); ∫ (dx/(a² + x²)^(1/2)) = √(a² + x²)