Gb Questões 02 - Álgebra Linear

APOL 2\n\nDisciplina(s):\nÁlgebra Linear\n\nQuestão 1/10\nClassifique o sistema a seguir:\n{x = 5y - 1\n-x - 3y = 6\n2x - 2y = -5\n\nSistema Impossível - SI\n\nVocê acertou!\n\nResolução:\nA aplicação do Método de Gauss-Jordan, como descrito abaixo, resultará em uma equação falsa (0 = -2), portanto, o sistema é impossivel.\n\n{x - 5y = 1\n-x - 3y = 6\n2x - 2y = -5\n\n(1 5 1)\n(1 -3 6)\n(2 -2 -5)\n\n1 5 1\n1 -3 6\n2 -2 -5\n\n1 5 1 -> L2 = L2 - 1L1 :\n1 -3 6\n2 -2 -5\n\n1 -3 6 -> L3 = L3 - 2L1 :\n1 5 1\n1 -3 6\n0 8 3\n\nL2 <-> L3\n0 8 3\n1 -3 6\n1 5 1\n\nL2 = L2 :\n1 -3 6\n0 8 3\n1 5 1\n\nL3 = L3 + 8L2 :\n0 1 15\n0 0 0\n\nEquação falsa : 0 = -2 -> SI\n\nB\nSistema Possível e Determinado - SPD\n\nC Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI\n\nD\nSistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI\n\nQuestão 2/10\nClassifique o sistema a seguir:\n{x = 5y + z = 1\n-x - 3y = -6\n2x + 2y - 2z = -5\n\nA\nSistema Impossível - SI\n\nB\nSistema Possível e Determinado - SPD\n\nC\nSistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI\n\nVocê acertou!\n\nResolução:\nAplicação do Método de Gauss-Jordan:\n\n(1 5 1)\n(1 -3 6)\n(2 2 -2)\n\n1 5 1\n1 -3 6\n2 2 -2\n\nL3 = L3 - 2L1 :\n1 5 1\n1 -3 6\n0 -8 -4\n\nL2 <-> L3 :\n0 -8 -4\n1 -3 6\n1 5 1\n\nL2 = L2 :\n1 -3 6\n0 -8 -4\n1 5 1\n\nL3 = L3 + 8L2 :\n0 0 0\n0 -8 -4\n\nComo o grau de liberdade do sistema é igual a 1 (e não há equação falsa), o sistema é possível e indeterminado e sua solução pode ser indicada como a seguir:\n\nS = {(x, y, z) = (−27/8 − α, 7/8 + α, com α ∈ R} Questão 3/10\nAo resolver corretamente um sistema de equações lineares pelo Método de Gauss-Jordan, um engenheiro encontrou a matriz \"A\" mostrada mais abaixo. Em relação a essa matriz \"A\", analise as proposições abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas:\n\nMatriz \"A\" =\n0 1 0\n0 0 1\n0 0 0\n\n( ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;\n( ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;\n( ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;\n( ) Uma solução do sistema é: {1, 2, 0}\n\nA\nV F V V\n\nB\nF V F V\n\nC\nF V F F\n\nVocê acertou!\n\nResolução:\n\nI) VERDADEIRO: o sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é igual a 0 (todas as colunas da matriz dos coeficientes possuem pivô);\nII) FALSO: afirmação falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira;\nIII) FALSO: afirmação falsa porque contraria a primeira, que é verdadeira;\nIV) FALSO: O termo ordenado apresentando não é uma solução para o sistema, até porque, o sistema possui duas incógnitas - portanto, suas soluções são pares ordenados (possuem duas coordenadas e não trítes). B VFFV\nC FFFV\nD FVF\n\nQuestão 5/10\nAnalise as afirmativas em relação a equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:\n[ ] Ao se obter a matriz escalonada por linhas correspondente a um sistema de equações lineares, pode-se classificar este sistema apenas pela análise do seu grau de liberdade.\n[ ] Depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan em um sistema de equações lineares impossivel, necessariamente terá sido obtida pelo menos uma equação falsa.\n[ ] Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas pode ser classificado apenas pela análise do determinante da sua matriz dos coeficientes.\n[ ] Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossivel, mas tal situação acontece raramente. A VVFV\nB VVFV\nC VFFV\nD FVF\n\nQuestão 6/10\nAnalise as proposições a seguir abordam o assunto \"sistemas lineares\" e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, a seguir assinale a alternativa correta:\n[ ] Um sistema de equações lineares homogeneo sempre possui solução.\n[ ] Um sistema de equações lineares homogeneo com igual quantidade de incógnitas e de equações pode ser classificado pela análise do determinante da sua matriz dos coeficientes.\n[ ] Um sistema de equações lineares com grau de liberdade igual a 2 e que não possua equações falsas pode ser classificado como SPI, isto é, Sistema Possível e Indeterminado. Você acertou!\nResposta:\n[ ] FALSO: um sistema é possível e determinado (SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não há equação falsa.\n[ ] FALSO: o sistema é impossível (SI), já que apresenta duas equações falsas.\n[ ] FALSO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes).\n[ ] VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o sistema pode ser classificado como SPI.\n\nQuestão 7/10\nAnalise as alternativas a seguir e assinale a alternativa verdadeira:\nA É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:\n [ 1 0 0 ]\n [ 0 1 0 ]\n [ 0 0 0 ]\nB É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:\n [ 1 0 1 ]\n [ 0 0 1 ]\n [ 0 0 0 ]\nC É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de equações cujas matriz escada reduzida por linhas é:\n [ 1 -2 0 | 4 ]\n [ 0 1 0 | 3 ]\n [ 0 0 0 | 0 ]\nD É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:\n [ 1 -2 0 | 4 ]\n [ 0 1 0 | 5 ]\n [ 0 0 1 | 15 ] Você acertou!\nResolução:\nComo os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o conjunto de dez axiomas listados na definição), V deve obrigatoriamente atendê-los – diferentemente do axioma enunciado em iii que não participa da definição de espaços vetoriais e, portanto, pode não ser atendido por V.\n\nQuestão 10/10\nSeja \"V\" um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w pertencentes a V e k os escalares reais:\n\ni u + (v + w) = [u + v] + w\n\nii Para cada u pertencente a V há um objeto –u também pertencente a V tal que u + (−u) + u = 0.\n\niii [u + (v)] = [u + kv]\niv [k * (u + v)] = ku + kv\n\nNeste caso, \"V\" deve atender obrigatoriamente a:\n\na somente aos axiomas i, iii, iv e v enunciados acima.\nb somente aos axiomas ii, iv e v enunciados acima.\nC somente aos axiomas i, ii e iii enunciados acima.\nd todos os axiomas enunciados acima.\n\nVocê acertou!\nResolução:\nComo todos os axiomas listados acima participam da definição de espaço vetorial (isto é, estão listados entre os dez axiomas da definição), todos os axiomas enunciados acima devem ser atendidos pelo espaço vetorial V.