Gb Prática 03 - Álgebra Linear

APOL 3\n\nDisciplina(s):\nÁlgebra Linear\n\nQuestão 1/10\nDado um conjunto \"V\", deseja-se verificar se \"V\" é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial.\n\nA\nDe acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V - esta verificação deve ser realizada genericamente.\n\nVocê acertou!\n alternativa \"a\"\n\nB\nDe acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V - esta verificação deve ser realizada globalmente.\n\nC\nDe acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V - esta verificação deve ser realizada genericamente.\n\nD\nDe acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve-se verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve-se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de espaço vetorial são verdadeiros para V - esta verificação deve ser realizada globalmente.\n\nQuestão 2/10\nAnalise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(1,7),(1,3),(1,1)}, depois assinale a alternativa correta:\n[ ] A é linearmente dependente.\n[ ] A gera todo o espaço R².\n[ ] A é uma base de R².\n[ ] O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A.\n\nA\nV F F F\n\nB\nV F V F\n\nC\nC\n\nD\nF F V F\n\nQuestão 3/10\nAnalise os conjuntos R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é ou não um espaço vetorial:\nProduto escalar: k(x,y) = {kx,0}\n\nApós essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta:\n\nA\nR² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:\n(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = {1.x,0} = {x,0} o que é verdadeiro quando y for não-nulo.\n\nB\nR² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:\n(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = {1.x,0} = {x,0} o que é verdadeiro quando y for não-nulo.\n\nC\nR² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:\n(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = {1.x,0} = {x,0} o que não é verdadeiro quando y for nulo.\n\nVocê acertou!\n alternativa \"c\"\n\nD\nR² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:\n(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = {1.x,0} = {x,0} o que é verdadeiro quando y for não-nulo.\n\nQuestão 4/10\nDados os sistemas de equações lineares S₁ e S₂ a seguir, avalie as propostas e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas:\nS₁: x + y + 3z = 1\n y = 2\n {x - 2y + 4z = 3\nS₂: x + y - 3z = 0\n {x - 2y + 4z = 0\n[ ] O conjunto das soluções de S₁ é um subespaço vetorial de R².\n[ ] O conjunto das soluções de S₂ é um subespaço vetorial de R².\n[ ] S₁ é um sistema de equações lineares homogêneo.\n[ ] S₂ é um sistema de equações lineares homogêneo.\n\nA\nV V F V\n\nB\nV V F F\n\nC\nF V F F\n\nD\nF F V F\n\nQuestão 5/10\nAnalise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial:\n[ ] O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M₂x₁, é um subespaço vetorial do conjunto de todas as matrizes reais de \"m\" linhas e \"1\" coluna, Mₘx₁, sendo \"m\" um número inteiro maior do que 2.\n[ ] O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real.\n[ ] O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os polinômios reais de grau 4.\n[ ] O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3.\n\nVocê acertou!\n Resolução:\nA alternativa \"d\" é falsa, pois, o conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial.\n\nQuestão 6/10\nAnalise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta:\n[ ] Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x.\n[ ] Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) pode ser entendida como: \\(\\frac{3}{1} + \\frac{4}{1} \\). ( ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2, 3) e (1, 4).\nA V F V\nB F F V\nC V V F\nD V V V\n\nVocê acertou!\nTodas as propostas estão corretas.\n\nQuestão 7/10\nDada a expressão c₁u + c₂v = w, analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta:\na) Se existirem c₁ c₂ reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v.\nb) Se não existirem c₁ e c₂ reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v.\nc) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c₁ e c₂ reais tais que a expressão dada é verdadeira.\nA Nenhuma das afirmativas acima está correta.\nB Somente a afirmativa “a” acima está correta.\nC Somente as afirmativas “a” e “c” acima estão corretas.\nD Todas as afirmativas acima estão corretas.\n\nVocê acertou!\nAs três afirmativas estão corretas.\n\nQuestão 8/10\nConsidere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c₁.(1,2) + c₂.(0,1) + c₃.(2,3) = (0,0). Classifique o tipo de sistema em relação às soluções.\nA Sistema Homogêneo, somente com solução trivial.\nB Sistema Impossível.\nC Sistema Possível e Determinado.\nD Sistema Possível e Indeterminado.\n\nVocê acertou!\nResolução:\nO sistema de equações lineares dado pela equação\nc₁.(1,2) + c₂.(0,1) + c₃.(2,3) = (0,0)\ncertamente possui soluções, pois será homogêneo e, além disso, possui inúmeras soluções - observe que o sistema gerado pela equação [abaixo], quando reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo dois pivôs e, então, será certamente SPI:\n\\[ c₁ + 2c₂ = 0 \\]\n\\[ 2c₁ + c₃ + 3c₂ = 0 \\]\n\nQuestão 9/10\nAnalise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa correta que apresenta a resposta correta em relação à reta gerada:\nA Dado S = {(1,2)} tem-se ger(S) = R².\nB Dado S = {(1,2),(2,4)} tem-se ger(S) = R².\nC Dado S = {(1,0,0),(0,1,0)} tem-se ger(S) = R¹.\n\nVocê acertou!\nSomente a alternativa c está correta: os conjuntos das alternativas a e b geram apenas uma reta em R² e o conjunto da alternativa c gera uma reta em R¹.\n\nQuestão 10/10\nAnalise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta:\nA A = {(1,2)} é linearmente dependente.\nB B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente.\nC C = {(1,2),(0,0)} é linearmente independente.\nD D = {(1,2),(0,3),(5,1)} é linearmente dependente.\n\nVocê acertou!\nResolução:\nDe acordo com a definição do conjunto linearmente dependente e do conjunto linearmente independente, está correta somente a alternativa d.