Álgebra Linear 1 - Poli - Lista 3 2016

MAT3457 — ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I Lista de Exercícios — semestre de 2016 1. Verifique se é um espaço vetorial sobre com as operações de adição e de multiplicação por escalar dadas por: (i) (ii) (iii) (iv) (v) 2. Seja com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por: e Verifique que é um espaço vetorial sobre . 3. Seja com as operações de adição e multiplicação por escalares dadas por: e (i) Verifique que é espaço vetorial sobre . (ii) Ache uma base de . 4. Verifique se é um subespaço vetorial do espaço vetorial nos seguintes casos: (i) e . (ii) e é um número inteiro . (iii) e é invertível . (iv) e para todo . (v) e . (vi) e . (vii) e onde são fixados. 5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial das funções de em : para todo é inteiro, para todo para todos Assinalar a afirmação verdadeira. (a) Apenas é subespaço de . (b) Apenas e são subespaços de . (c) Apenas e são subespaços de . (d) Apenas e são subespaços de . (e) e são subespaços de . 6. Verifique se os dois conjuntos geram o mesmo subespaço do espaço vetorial V, nos seguintes casos: (i) e , quando . (ii) e , quando . (iii) e , quando . 7. Sejam os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz . (i) Verifique as relações: . (ii) Exprima e como combinações lineares de e vice-versa. (iii) Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço. (iv) Dê um exemplo de uma matriz cujos vetores-linha geram um subespaço de diferente daquele gerado pelos seus vetores-coluna. (v) É possível encontrar uma matriz tal que a dimensão do espaço gerado pelos vetores-linha é diferente da dimensão do espaço gerado pelos vetores-colunas? Justifique sua resposta. 8. Ache uma solução não-trivial para o sistema . A partir daí obtenha uma combinação linear nula dos vetores e na qual os coeficientes não são todos iguais a zero. 9. Considere a relação , com . Atribuindo a valores e , obtemos as equações (i) Resolva o sistema linear acima. (ii) O conjunto é l.i. ou l.d. em ? 10. Seja , . Então podemos afirmar que o conjuntos é (a) sempre linearmente dependente. (b) linearmente dependente se, e somente se, . (c) linearmente independente se, e somente se, e . (d) linearmente dependente se, e somente se, ou . (e) sempre linearmente independente. 11. Verifique se o conjunto de funções é l.i. ou l.d. em nos seguintes casos: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) 12. Seja um espaço vetorial e considere . Sejam números reais não-nulos. Prove, usando a definição de independência linear, que é linearmente independente se, e somente se, é linearmente independente. 13. Seja um espaço vetorial. Prove que se existe um conjunto linearmente independente tal que é linearmente dependente qualquer que seja o vetor , então a dimensão de é . 14. Sejam um espaço vetorial e uma base de . Seja . O conjunto é um conjunto de geradores de ? O conjunto pode ser linearmente independente? Justifique. 15. Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes reais. Considere as seguintes afirmações: (I) Um subconjunto de com vetores é sempre linearmente independente. (II) Um subconjunto de com vetores está sempre contido em uma base de . (III) Um subconjunto de com vetores não gera . Então podemos afirmar que (a) nenhuma das afirmações é verdadeira. (b) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. (c) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. (d) apenas a afirmação (II) é verdadeira. (e) apenas a afirmação (III) é verdadeira. 16. Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo. (i) e . (ii) comuta com a matriz . (iii) . (iv) . (v) e , sendo . 17. Em cada um dos itens abaixo, encontre um sistema de equações lineares que tenha o subespaço como espaço-solução. (i) em . (ii) em . (iii) em . 18. A dimensão do subespaço de é (a) (b) (c) (d) (e) 19. Seja . Pode-se afirmar que (a) nao e um subespaco de . (b) e um subespaco de e . (c) e um subespaco de e . (d) e um subespaco de e . (e) e um subespaco de e . 20. Para que valores de o conjunto e base de ? 21. Seja . Verifique que e uma base para e determine as coordenadas do polinomio em relacao a base . 22. Seja . (i) Verifique que e uma base de . (ii) Determine para que as matrizes e sejam iguais. 23. Considere as matrizes e definidas abaixo: Se sao as coordenadas de com respeito a base do espaco vetorial , entao e igual a (a) (b) (c) (d) (e) 24. Considere o subespaco vetorial de dado por Determine de modo que tenha dimensao . 25. Em considere os conjuntos e Assinale a alternativa correta. (a) , mas (b) , mas (c) (d) , mas (e) 26. Sejam e considere os seguintes elementos do espaco vetorial : Se , entao e igual a (a) (b) (c) (d) (e) 27. Sejam um espaco vetorial de dimensao e o elemento neutro da adicao em . Seja um subconjunto de . Assinale a afirmacao FALSA. (a) Se e um elemento de , entao e um subespaco de . (b) Se e um subespaco de , entao . (c) Se e um subconjunto linearmente independente de com elementos, entao e uma base de . (d) Se e um conjunto gerador de com elementos, entao e uma base de . (e) Toda base de tem elementos. 28. Seja um espaco vetorial e seja um sub-conjunto linearmente independente de . Considere as seguintes afirmacoes: (I) (II) O conjunto e linearmente independente. (III) (IV) O conjunto e linearmente independente. Esta correto o que se afirma em (a) (I) e (IV), apenas. (b) (I) e (II), apenas. (c) (I), (II) e (IV), apenas. (d) (I), (III) e (IV), apenas. (e) (II), (III) e (IV). 29. Sejam , e . (i) Determine uma base de . (ii) Determine todos os valores de para os quais . (iii) Se , temos ? 30. Determine os valores de para os quais o polinomio pertença ao subespaco de gerado pelos polinomios e . 31. Sejam . Entao o conjunto gera o espaco vetorial se, e somente se, (a) (b) (c) (d) (e) 32. Seja , em que . Assinalar a afirmacao verdadeira. (a) Se , entao , para todo . (b) Se , entao , para todo . (c) A dimensao de e , se e somente se, . (d) A dimensao de e , se e somente se, . (e) A dimensao de e , para todo e . 33. Em , considere o subespaco , em que (i) Ache uma base para , contida em . (ii) Complete a base do item (i) para uma base de . (iii) Determine os valores de para os quais , sendo . 34. Determine uma base de que contenha os vetores e : 35. Seja . (i) Mostre que e linearmente independente. (ii) Determine uma base de que contenha . 36. Considere o sistema linear homogeneo Determine uma base e a dimensao do subespaco das solucoes do sistema. 37. Sejam e . Seja . Verifique se . 38. Seja . Mostre que e um subespaco vetorial de . 39. Considere os seguintes subespaços vetoriais de : e onde denota a matriz transposta de e denota o traço de , isto é, a soma dos elementos na diagonal principal de . Então, a dimensão de é igual a (a) (b) (c) (d) (e) 40. Seja o subespaço das soluções de um sistema linear homogêneo com sete equações e doze incógnitas. Quais são os possíveis valores para ? 41. Considere os seguintes subespaços vetoriais de : e A dimensão de é igual a (a) (b) (c) (d) (e) 42. Verdadeiro ou Falso? Justifique. (i) Se é o conjunto dos pontos de uma reta , então é um subespaço de se, e somente se, a reta passa pela origem. (ii) Se , então o subconjunto é sempre uma base de . (iii) Se e são subconjuntos l.i. de um espaço vetorial de dimensão e , então é uma base de . (iv) Se e são subconjuntos l.i. de um espaço vetorial de dimensão e se é l.i., então . (v) Se , então . (vi) Sejam matrizes distintas em . Então é gerador de 43. Seja um espaço vetorial de dimensão finita , seja . Se é um conjunto gerador para , então pode-se afirmar que (a) (b) (c) o conjunto pode ou não ser linearmente independente. (d) o conjunto é linearmente dependente. (e) . 44. Em , sejam e . (i) Determine . (ii) Ache uma base e a dimensão de . 45. Os subespaços e de são dados por e Ache uma base e a dimensão dos subespaços , e . 46. Seja um espaço vetorial de dimensão 5. Sejam e subespaços de de dimensão 3. Prove que 47. Considere os seguintes subespaços de : Determine as dimensões de e de . 48. Considere os seguintes subespaços de : Assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA. (a) (b) (c) O conjunto é um subespaço de . (d) (e) 49. Sejam um espaço vetorial real de dimensão , e subespaços de tais que e . Pode-se afirmar que (a) (b) é ímpar. (c) (d) (e) 50. Se e são subespaços de um espaço vetorial , é uma base de e é uma base de , então (a) é um conjunto linearmente independente, mas pode não gerar . (b) é um conjunto de geradores de , mas pode não ser linearmente independente. (c) é uma base de . (d) não é uma base de . (e) pode não ser nem linearmente independente, nem um conjunto de geradores de . 51. Seja . (i) Mostre que é um subespaço vetorial de ; (ii) Determine um subespaço de tal que . 52. Seja como espaço vetorial. (i) Mostre que são subespaços de os subconjuntos: e (ii) Prove que (iii) Considere os seguintes subespaços de : Ache a dimensão de , de e de . Respostas 1. (i) não; (ii) não; (iii) não; (iv) sim; (v) não. 3. (ii) é uma base, existem outras. 4. (i) sim; (ii) não; (iii) não; (iv) não; (v) sim; (vi) sim; (vii) sim. 5. (d) 6. (i) sim; (ii) sim; (iii) não. 8. Uma solução não trivial é ; combinação linear procurada: 9. (i) ; (ii) l.i. 10. (c) 11. (i) l.i.; (ii) l.i.; (iii) l.i.; (iv) l.i.; (v) l.i.; (vi) l.i. 14. é gerador; não é l.i. 15. (e) 16. (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) ; 17. (i) ; (ii) ; (iii) ; 18. (d) 19. (b) 20. e 21. ; 22. -, -, e 23. (e) 24. 25. (e) 26. (e) 27. (a) 28. (c) 29. (i) ; (ii) ; (iii) não. 30. e 31. (a) 32. (e) 33. (i) , (ii) ,