Álgebra Linear

Nesta aula abordaremos os aspectos geométricos das soluções de um sistema de equações lineares. Em especial estaremos revisando a equação da reta no plano cartesiano e a equação do plano no espaço tridimensional. Apresentaremos também a regra de Cramer que possui grande aplicabilidade no cálculo das soluções de sistemas lineares possíveis e determinados com o mesmo número de equações e de incógnitas. Exemplo 1 Considere, então, o sistema linear em duas variáveis x e y dado por { x + y = 1 2x + 3y = 7 Cada equação deste sistema representa uma reta no plano R2 2x + 3y = 7 x + y = 1 Observe que estas retas interceptam-se em um único ponto P cujas coordenadas correspondem à solução do sistema. Exemplo 1 Aplicando o método de eliminação de Gauss para determinar a solução do problema temos: • Matriz Ampliada ( 1 1 1 2 3 7 ) Exemplo 1 • Forma escalonada da Matriz Ampliada ( 1 1 1 0 1 5 ) Como pA = pc = n = 2 => Sistema possível e determinado (SPD) admitindo uma única solução. Exemplo 1 • Sistema equivalente à matriz escalonada {x + y = 1 y = 5 cuja a única solução é o ponto (x, y) = (-4, 5). Aula 4: Visão geométrica das soluções de um sistema linear e regra de Cramer Exemplo 2 Dado o sistema linear {x - 2y = -2 2x - 4y = -4 Geometricamente, essas duas retas possuem gráficos coincidentes pelo fato da equação 2x - 4y = -4 ser múltipla da equação x - 2y = -2. Assim, diremos que as retas se interceptam em infinitos pontos. Discutindo e resolvendo o sistema obtemos: • Matriz Ampliada ( 1 -2 -2 2 -4 -4 ) • Matriz Escalonada ( 1 -2 -2 0 0 0 ) Como pa= pc= 1 < 2 = n Sistema possível e indeterminado (SPI) com uma variável livre admitindo infinitas soluções. • Sistema equivalente à matriz escalonada {x - 2y = -2 2x - 4y = -4 A variável livre é y podendo assumir qualquer valor real. A variável x que pode ser obtida em função de y é dada por x = -2 + 2y Ou ainda, para y = a ∈ ℝ a solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (-2 + 2a, a) Exemplo 3 Dado o sistema linear {x + y = 2 x + y = -3 Exemplo 3 Geometricamente estas duas retas são paralelas x + y = 2 x + y = -3 Exemplo 3 Discutindo e resolvendo o sistema, obtemos: • Matriz Ampliada (1 1 2) (1 1 -3) Exemplo 3 • Matriz Escalonada (1 1 2) (0 0 -5) Como pA ≠ pC ⇒ O sistema não possui solução (SI). Ou ainda, não há ponto de interseção entre as retas. Considere o sistema linear {x + y + z = 3 2y + z = 2 y + 2z = 2 Discutindo e resolvendo o sistema, obtemos: Matriz Ampliada (1 1 1 3) (0 2 1 2) (0 1 2 2) EXEMPLO 4 Matriz Escalonada (1 1 1 3) (0 1 1 1) (0 0 1 2) Como pA = pC = n = 3, o Sistema Possível Determinado (SPD) e a solução do sistema é o ponto P(x, y, z) = (5/3, 2/3, 2/3) Geometricamente, cada equação linear do sistema é representada por um plano no espaço R3, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no único ponto-solução dado por P. Exemplo 5 Considere o sistema linear {x + y + z = 3 y + 2z = 2 x - z = 1 Discutindo e resolvendo o sistema, obtemos: Matriz Ampliada (1 1 1 3) (0 2 2 2) (0 1 -1 1) Matriz Escalonada (1 1 1 3) (0 1 1 2) (0 0 0 0) Como pA = pC = 2 < 3 = n, o Sistema Possível e Indeterminado (SPI) com uma variável livre. Tomando z = a ∈ ℜ como variável livre a solução do sistema é: (x, y, z) = (1 + a, 2 - 2a, a) Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam segundo uma reta (r). Exemplo 6 Considere o sistema linear {x + y + z = 10 x + y + z = 20 x + y + z = 30 Discutindo e resolvendo o sistema, obtemos: Matriz Ampliada (1 1 1 10) (1 1 1 20) (1 1 1 30) Matriz Escalonada (1 1 1 10) (0 0 0 1) (0 0 0 0) Exemplo 6 Como 𝑝1 = 3 > 𝑝2 = 1 , o Sistema é impossível (Si).As duas últimas equações são impossíveis. Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos. A Regra de Cramer É uma regra que só pode ser adotada para resolver sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Baseia-se no cálculo da inversa da matriz A dos coeficientes do sistema implicando necessariamente em que esta matriz seja inversível, isto é, det (A) ≠ 0 A Regra de Cramer Suponha que desejamos resolver o sistema linear com n equações e n incógnitas {a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn=b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn=b2 ... an1x1 + an2x2 + ... + annxn=bn