Prova Discursiva Eletromagnetismo

Questão 2/5 O potencial elétrico constitui um campo escalar e se espalha do ponto gerador ao infinito da mesma forma que o campo elétrico. Na verdade, existe uma relação entre o campo potencial e o campo elétrico dada pelo oposto do gradiente. Dado o campo potencial V = 2x²y - 5zv encontre o módulo da densidade de fluxo elétrico D no ponto P(-4, 3, 6). Sabendo que a densidade do fluxo é relacionada ao campo elétrico por: D = ε₀E e que o campo elétrico é relacionado ao campo potencial elétrico por: E = -∇V por fim é importante lembrar que o operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte equação diferencial parcial ∇F(∂F/∂xax + ∂F/∂yay + ∂F/∂zaz) Enquanto ε₀ = 10⁻⁹/36π A densidade de fluxo é relacionada ao campo elétrico por: D = ε₀E Por sua vez o campo elétrico é relacionado ao campo potencial elétrico por: E = -∇V Logo, podemos começar achando a expressão do campo elétrico, aplicando o operador nabla. E = -(∂(2x²y - 5z)/∂xax + ∂(2x²y - 5z)/∂yay + ∂(2x²y - 5z)/∂zaz) E = -(4xy ax + 2x²ay - 5az) Resolvendo as diferenciais parciais teremos E = -(4xy ax - 2x²ay + 5az) (atingiu 50%) Logo: D = ε₀E D = 10⁻⁹/36π(-4xy ax - 2x²ay + 5az) D = -35,37xy ax - 17,68x²ay + 44,210az pC/m² D = -35,37(-4)(3) ax - 17,684(-4)² ay + 44.210 az pC/m² Substituindo o valor do ponto temos: D = 424.4ax - 282,9ay + 44,20az ∴ |D| = 512 pC/m² (atingiu 100%) Questão 3/5 Um plano de cargas definido por y = 3 m contém uma distribuição uniforme de cargas com densidade superficial dada por ρs = (10⁻⁶/6π) C/m². Determine o módulo do campo E em todos os pontos do espaço. Sabendo-se que o campo elétrico devido a um plano de cargas, pode ser calculado na direção normal ao plano por: E = ρs/2ε₀ an Onde ε₀ = 10⁻⁹/36π Trata-se da aplicação direta da equação de campo elétrico para placas planas: E = ρs/2ε₀ an O campo será normal a placa neste caso, o campo terá a direção do eixo y para y > 3 m: E = (10⁻⁶/6π) * 36π/2 * 10⁻⁹ ay = 10⁻⁶/6π * 36π/2 * 10⁻⁹ ay = 3 ay V/m (atingiu 70%) Para y < 3 m: E = -3 ay V/m Logo a resposta será: O módulo do campo elétrico é 3 V/m (atingiu 100%) Questão 4/5 Considerando a operação vetorial Dados os pontos A(-2,2,1) e B(3,-3,0) encontre o vetor V_AB e o vetor unitário ṽ_AB: V_AB = B - A = (3ay - 3ay + 0ay) - (-2ay + 2ay + 1ay) V_AB = 5ay - 5ay - ay (atingiu 50%) V_AB = 5ax - 5ay - az |V_AB| = √5² + 5² + 1² = 7,141 ṽ_AB = V_AB/|V_AB| = 5ax - 5ay - az/7,141 ṽ_AB = 0,70ax - 0,70ay - 0,14az (atingiu 100%) Questão 1/5 O estudo dos campos vetoriais fundamenta todo o estudo do eletromagnetismo. Dados os campos vetoriais F e G definidos por F = -10ax + 20xya, G = 2x²y ay - 4a_y + z az. Considerando o ponto P(2,3,-4) encontre: 1. Os módulos de F e G neste ponto; 2. Um vetor unitário na direção F - G; 3. Um vetor unitário na direção F + G. Os módulos no ponto P(2,3,-4) serão dados por: F = -10ax + 20y ay, F = -10ax + 20(2)(3)ay F = -10ax + 120ay, |F| = √10² + 120² = 120.4 G = 2x²y ay - 4ay + az G = 2(2)²(3)ay - 4ay + (0 - 4)az G = 24 ay - 4ay - 4ay, |G| = √24² + 4² + 4² = 24.658 (atingiu 33%) O vetor unitário F será dado por F/|F|. Sendo assim: Calculando o vetor diferença: F - G = (-10 - 24)ax + (120 + 4)ay + (0 + 4)az F - G = -34ax + 124ay + 4az, |F - G| = F - G = √34² + 124² + 4² = 128.6 Logo o vetor unitário será dado por: F - G/|F - G| = -34ax + 124ay + 4az/128.6 = -0,26ax + 0,96ay + 0,03az (atingiu 33%) Já o vetor unitário na direção de F + G será dado por: F + G/|F + G| F + G = (-10ax + 120ay) + (24ax - 4ay - 4ay) F + G = (14ax - 4ay + az), |F + G| = F + G = √14² + 116² + 4² = 116.9 Desta forma: F + G/|F + G| = 14ax + 116.ay - 4az/77.382 = 0,12ax + 0,99ay - 0,03az (atingiu 33%) Questão 3/5\n\nO estudo dos campos magnéticos no interior de materiais permitiu relacionar a densidade de corrente com o campo magnético e este com a densidade de fluxo. Principalmente por que conseguimos entender como funcionam características intrínsecas do material como a susceptibilidade e a permeabilidade. Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnético por:\n\nJ = ∇ x H\n\nPodemos também relacionar a densidade de fluxo magnético com o campo magnético, em um material isotrópico e homogêneo por B = μ0 (H + XmH) onde\n\nμ0 = 4π x 10^ -7 e o operador nabla pode ser encontrado por meio da seguinte equação diferencial parcial:\n\n∇F= (∂F / ∂x ax + ∂F / ∂y ay + ∂F / ∂z az )\n\nQue, em coordenadas cilíndricas toma a forma:\n\nE = (∂V / ∂r ar + 1/r ∂V/ ∂θ aθ + ∂V / ∂rsenθ aφ aθ\n\nDado um material no qual encontramos Xm = 3,1 com um fluxo magnético interno B = 0,8y az T encontre a densidade de corrente no interior deste material. \n Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnético por:\n\nJ = ∇ x H\n\nEntão, antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo H no interior deste material para tal podemos relacionar o campo H com susceptibilidade magnética Xm por:\n\nB = μ0 (H + XmH)\n\nOu, acertando o algebrismo:\n\nB = μ0 (1 + Xm)H\n\nLogo:\n\nB / μ0(1 + Xm) = H\n\nNeste caso:\n\nH = B / μ0(1 + Xm) = 0,8yaz / μ0(1 + 3,1) = 0,8yaz / (4π x 10^-7)(4,1)\n\nH = 155,27 yaξ kA/m (atingiu 30%)\n\nAgora, tudo que temos que fazer é encontrar o rotacional deste campo.\n\nJ = ∇ x H =\n\n| ∂ / ∂y ∂ / ∂z ∂ / ∂x || ax 0 az |\n| ∂ / ∂x ∂ / ∂y 0 | ay + | ∂ / ∂z ∂ / ∂y 0 | az\n\n= | ∂ / ∂(155.27y) / ∂y ax - [∂ / ∂(155.27y) / ∂x] ay + [0] az\n\nJ = 155,27 ax kA / m^2 (atingiu 100%) \n