Modelagem

Considere a secagem de um determinado material sólido Apresente a modelagem matemática desse processo considerando o seguinte a A geometria do material pode ser considerada uma placa plana b A geometria do material pode ser considerada cilíndrica c A geometria do material pode ser considerada esférica FIGURE 535 Unsteadystate heat conduction in a large flat plate From H P Gurney and J Lurie Ind Eng Chem 15 1170 1923 FIGURE 539 Unsteadystate heat conduction in a sphere From H P Gurney and J Lurie Ind Eng Chem 15 1170 1923 Modelagem Matemática da Secagem por Difusão em Sólidos Placa Cilindro e Esfera com Convecção Externa 8 de agosto de 2025 Modelagem matemática da secagem por difusão em sólidos Hipóteses gerais Difusão governada pela 2ª lei de Fick com difusividade efetiva constante Deff Sólido isotrópico sem geraçãoconsumo interno de massa sem encolhimento Processo isotérmico a transferência externa é convectiva com coeficiente kc e teor de equilíbrio Xeq Simetria geométrica centro do sólido condição inicial uniforme Xr 0 Xi Convenientemente definese a variável excesso ou superávit θr t Xr t Xeq θi Xi Xeq Então a EDP fica θt Deff 2θ Definese ainda o número de Biot de massa e o número de Fourier Bim kcLcDeff Fo Deff t Lc2 onde Lc é o comprimento característico de cada geometria abaixo O teor médio adimensional moisture ratio é Θt Xt Xeq Xi Xeq 1V V θ dV θi a Placa plana espessura 2L Geometria e contornos Coordenada x 0 L com plano de simetria em x 0 e superfície em x L θt Deff 2θx2 θx 0 θi Condições de contorno θxx0 0 simetria Deff θxxL kc θL t convecção Comprimento característico Lc L Solução local série própria Por separação de variáveis obtémse θxtθi n1 to An cosμn xL expμn2 Fo em que os autovalores μn satisfazem a equação transcendental μn tan μn Bim e os coeficientes An decorrem da ortogonalidade omissos por brevidade Teor médio adimensional Θt n1 to An expμn2 Fo An 4 sin μn 2μn sin2μn Caso limite com resistência externa desprezível Bim μn 2n 1π2 e Θt 8π2 n1 to 12n 12 exp2n 12 π2 4 Fo Aproximação de 1 termo tipicamente boa para Θ 06 Θt 8π2 expπ24 Fo b Cilindro de raio R Geometria e contornos Problema radial r 0 R θt Deff 1r r r θr θr 0 θi Condições de contorno θrr0 0 simetria Deff θrrR kc θR t convecção Comprimento característico Lc R 10 m m 6 m 2 m 2 m 1 m 1 m 05 m 05 m 0 n 10 08 06 04 02 00 0 n 10 08 06 04 02 00 n 10 08 06 04 02 00 n 08 06 04 02 00 m 0 n 1 00010 0 05 10 15 20 25 30 35 X αtx12 cylinder x1 Figure 537 Unsteadystate heat conduction in a long cylinder From H P Gurney and J Lurie Ind Eng Chem 15 1170 1923 Solução local frac hetart hetai sumn1infty Cn J0leftmun fracrRrightexpleftmun2 extForight onde J0 é a Bessel de primeira espécie ordem zero e os autovalores mu n atendem mun fracJ1munJ0mun extBim Teor médio adimensional overlineThetat sumn1infty An expleftmun2 extForight quad An frac4mun2 extBim2frac extBim2 extBim2 leftmun J0munJ1munright2 Caso limite extBim o infty superfície em equilíbrio os autovalores são os zeros de J0 J0mun 0 por ex mu1 simeq 24048 mu2 simeq 55201 dots e a média se simplifica para overlineThetat sumn1infty frac4mun2 expleftmun2 extForight Aproximação de 1 termo com mu1 simeq 24048 overlineThetat approx frac4mu12 expleftmu12 extForight approx 06917 exp5783 extFo c Esfera de raio R Geometria e contornos Problema radial r in 0R fracpartial hetapartial t D exteff leftfrac1r2fracpartialpartial rleftr2 fracpartial hetapartial rrightright quad hetar0 hetai Condições de contorno fracpartial hetapartial rBigr0 0 quad simetria quad D extefffracpartial hetapartial rBigrR kc hetaRt quad convecção Comprimento característico Lc R Solução local frac hetart hetai sumn1infty Dn fracsinleftmun fracrRrightfracrR expleftmun2 extForight com autovalores mun dados por 1 mun cot mun extBim Teor médio adimensional overlineThetat sumn1infty An expleftmun2 extForight quad An frac3sin mun mun cos munmun3 Caso limite extBim o infty mun npi e overlineThetat frac6pi2 sumn1infty frac1n2 expleftn2 pi2 extForight Aproximação de 1 termo overlineThetat approx frac6pi2 expleftpi2 extForight approx 06079 expleft98696 extForight Como estimar tempo de secagem eou D exteff Para uma meta de overlineTheta extalvo a aproximação de 1 termo dá t approx fracLc2D extefffrac1lambda12 ln leftfracA1overlineTheta extalvoright onde Placa lambda12 fracpi24 quad A1 frac8pi2 Cilindro lambda12 mu12 simeq 5783 quad A1 frac4mu12 simeq 06917 Esfera lambda12 pi2 simeq 98696 quad A1 frac6pi2 simeq 06079 Invertendo podese obter D exteff de dados experimentais de overlineThetat por regressão linear de ln overlineTheta vs t na região onde o 1º termo domina com inclinação lambda12 D exteffLc2 Resumo prático Use Lc L meiaespessura para placa Lc R para cilindro e esfera Se a resistência externa for pequena extBim gtrsim 10 as fórmulas de extBim o infty são excelentes Para extBim moderadobaixo use os autovalores definidos pelas equações transcendentes correspondentes Derivação placa por separação de variáveis Buscamos solução na forma hetaxt Xx Tt Substituindo em fracpartial hetapartial t D exteff fracpartial2 hetapartial x2 Xx Tt D exteff Xx Tt Dividindo por D exteff Xx Tt fracTtD exteff Tt fracXxXx lambda2 pois ambos os lados dependem de variáveis distintas escolhemos lambda2 para obter modos decrescentes Equações ODE Tt lambda2 D exteff Tt 0 implies Tt C elambda2 D exteff t Xx lambda2 Xx 0 implies Xx A coslambda x B sinlambda x Condições de contorno Simetria em x0 X0 0 implies B lambda cos0 0 implies B0 Logo Xx A coslambda x Convecção em xL D exteff hetax Lt kc hetaLt implies D exteff XL Tt kc XL Tt Cancelando Tt e substituindo X D exteff A lambda sinlambda L kc A coslambda L implies D exteff lambda anlambda L kc Definindo mu equiv lambda L e extBim equiv kc L D exteff boxedmu an mu extBim Solução em série frac hetaxt hetai sumn1infty An cos leftmun fracxLright exp left mun2 extForight quad extFo equiv fracD exteff tL2 Os coeficientes An vêm da ortogonalidade dos cossenos com a condição inicial uniforme hetax0 hetai projeção de 1 na base Cálculo da média volumétrica placa A média na meiaplaca é overline hetat frac1L int0L hetaxt dx hetai sumn1infty An emun2 extFo frac1Lint0L cosleftmun fracxLright dx Mudando variável u mun x L frac1L int0L cosleftmun fracxLright dx frac1mun int0mun cos u du fracsin munmun Logo fracoverline hetat hetai sumn1infty An fracsin munmun emun2 extFo Como overlineTheta overline heta hetai podemos escrever overlineThetat sumn1infty An emun2 extFo quad boxedAn frac4 sin mun2 mun sin2mun No limite extBim o infty temos mun 2n 1 pi 2 e recuperase overlineTheta frac8pi2 sum frac12n 12 e2n 12 pi2 extFo4 Cálculo de autovalores para Bim finito placa Resolver fμ μ tan μ Bim 0 por Newton μk1 μk fμk fμk fμ tan μ μ sec2 μ Boa aproximação inicial μ10 Bim Bim 1 π2 1Bim Bim 1 Uma vez obtida μ1 use a fórmula de 1 termo t L2 Deff μ12 lnA1 Θalvo com A1 da seção anterior placa Validade limites e checagem de unidades Unidades Deff m2s Lc m então Lc2 Deff s ok Aproximação de 1 termo usualmente boa para Θ 06 O erro depende da geometria e de quão separados estão os autovalores Limite Bim superfície em equilíbrio com o meio Limite Bim 0 regime lumped resistência interna desprezível obtémse Θt expkcAtV β com β apropriado à definição de X mostre se necessário Validade física difusividade constante sem encolhimento e processo isotérmico Para materiais higroscópicos ou com variação forte de DeffX use Deff médio ou ajuste experimental Exemplo numérico tempo para atingir Θ 010 Dados Lc 5 103 m Deff 15 1010 m2s Θalvo 010 Bim Fator geométrico comum Lc2 Deff Lc2 5 103 m2 25 106 m2 25 105 m2 Lc2 Deff 25 105 m2 15 1010 m2s 2515 105 s 16666666667 105 s Em horas Lc2 Deff 3600 sh 46296296 h Fórmula de 1 termo Para todas as geometrias com Bi grande Θt A1 exp λ12 Deff t Lc2 t Lc2 Deff 1 λ12 lnA1 Θalvo Também é útil calcular o número de Fourier alvo Foalvo t Deff Lc2 1 λ12 lnA1 Θalvo Placa espessura 2L Constantes λ12 π2 4 31415926542 4 24674011003 A1 8π2 8 31415926542 08105694691 Logaritmo lnA1 010 ln8105694691 20925668630 Fourier alvo Foalvo 1 24674011003 20925668630 08480854056 Tempo em s tplaca 1667 105 s 1 24674 209257 1667 105 s 084809 141350 s Em horas tplaca 141347568 s 3600 sh 392632 h Cilindro raio R Constantes Bi grande zeros de J0 μ1 24048255577 λ12 μ12 57831859630 A1 4μ12 06916602761 Logaritmo lnA1 010 ln6916602761 19339247186 Fourier alvo Foalvo 1 57831859630 19339247186 03344047262 Tempo em s tcil 1667 105 s 1 578319 193392 1667 105 s 0334405 55734 s Em horas tcil 55734121 s 3600 sh 154817 h Esfera raio R Constantes λ12 π2 31415926542 98696044011 A1 6 π2 06079271019 Logaritmo lnA1 010 ln6079271019 18048847905 Fourier alvo Foalvo 1 98696044011 18048847905 01828730633 Tempo em s tesfera 1667 105 s 1 986960 180488 1667 105 s 0182873 30479 104 s Em horas tesfera 30478844 s 3600 sh 846635 h Conclusão Para Lc 5 mm e Deff 15 1010 m2s o tempo para atingir Θ 010 é tplaca 39263 h tcil 15482 h tesfera 8466 h Os correspondentes números de Fourieralvo são Foplaca 08481 Focil 03344 Foesfera 01829 Secagem por difusão aproximação de 1 termo Bi Lc 5 mm Deff 15 x 10¹⁰ m²s Razão de umidade média θ Tempo h Placa esp 2L Cilindro R Esfera R