Teste Assintótico em Inferência Estatística II

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA II TESTE ASSINTÓTICOS Anderson Castro Soares de Oliveira Departamento de EstatísticaICETUFMT Testes Assintóticos TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Nem sempre é fácil obter a distribuição de uma estatística de teste Um forma de testar hipóteses é considerar estatísticas cu jas distribuição assintótica seja conhecida e fácil de ser uti lizada Em testes assintóticos o distribuição em geral está con dicionada ao tamanho da amostra ou seja o tamanho da amostra precisa ser suficientemente grande Testes de Razão de Verossimilhança TESTES DE RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Teorema 1 Distribuição assintótica do TRV Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma fun ção de densidade ou de probabilidade fxθ0 ou fxθ1 e Seja λ λx1 xn supΘ0Lθx supΘLθx Sob as condições de regularidade se θ Θ0 então 2lnλ n d χ2 ν O numero de graus de liberdade ν é a diferença entre o numero de parâmetros não especificados em Θ e o número de parâme tros não especificados em Θ0 Sejam X₁Xₙ um amostra aleatória com distribuição poisson θ Pretendese testar H₀ θ θ₀ H₁ θ θ₀ Temos que o EMV para θ é dado por θ X Como em H₀ temos um unico valor para θ então o EMV para o espaço restrito é o proprio θ₀ Assim λ eⁿθ₀xᵢ 1xᵢ eⁿθxᵢ 1xᵢ eⁿθ₀θ xᵢ Assim 2lnλ 2n θ₀ X X lnθ₀ lnX Como temos apenas um parâmetro temos que 2lnλ χ²₁ Assim a regra de decisão é rejeitar H₀ se 2lnλ χ²₁α TESTES DE RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Exemplo 2 Sejam X1 Xn e Y1 Ym duas amostras aleatórias inde pendentes com Xi Expθ1 e Yi Expθ2 H0 θ1 θ2 H1 θ1 θ2 Temos que o EMV θ1 é dado por ˆ θ1 1 X e θ2 é dado por ˆθ2 1 Y o máximo no espaço restrito Θ0 ocorre quando θ1 θ2 θ0 EMV θ0 é dado por ˆθ0 nm nXmY Assim λ θ₁η₂ eθ₁θ₂xᵢyᵢ θ₁η₂ eθ₁xᵢyᵢ θ₀ⁿθ₂eθ₀nXmY Xⁿm eθ₀nXmY Temos que 2lnλ 2nmlnθ₀ nlnX mlnY nX mYθ₀ θ₀ Assim a regra de decisão é rejeitar H₀ se 2lnλ χ²₁α Teste de Wald TESTE DE WALD O teste de Wald é um teste de hipótese geralmente reali zado em parâmetros que foram estimados por máxima ve rossimilhança A estatística de teste se baseia na distribuição assintótica do estimadores de maxima verossilhança Definição 1 Sejam X₁ Xn uma amostra aleatória com distribuição fxθ θn um EMV de θ Assim temos que θ θ Vθ dN0 1 Como Vθ pode depender de θ que não é conhecido pode substituir Vθ pois temos que Vθ n Vθ Definição 2 Sejam X₁ Xn uma amostra aleatória com distribuição fxθ θn um EMV de θ e τθ uma função contínua de θ e τθ seu EMV Assim temos que τθ τθ Vτθ dN0 1 Como Vτθ pode depender de θ que não é conhecido pode substituir Vτθ pois temos que Vτθ n Vτθ TESTE DE WALD TESTE DE WALD Exemplo 3 Sejam X₁Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X Bernoulliθ e seja 𝑋 xin um estimador de maxima verosimilhança para θ Suponhamos que pretendemos testar H₀ θ₁ θ₀ H₁ θ₁ θ₀ INTERVALOS DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA APROXIMADOS Então Zw frachat heta hetasqrthat heta1hat hetan oversetd rightarrow inftysim N0 1 Sob H0 temos a região crítica dada por A1 x1 xn Zw ge Zalpha2 TESTE DE WALD Exemplo 4 Sejam X1 Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X sim Poisson heta e seja hat heta fracsumi1n xin um estimador de maxima verossimilhança para heta Suponhamos que pretendemos testar H0 heta1 heta0 H1 heta1 heta0 Variância assintótica Vhat heta frac hetan Vhat heta frachat hetan TESTE DE WALD Então Zw frachat heta hetasqrthat heta1hat hetan oversetd rightarrow inftysim N0 1 Sob H0 temos a região crítica dada por A1 x1 xn Zw le Zalpha2 Teste Escore TESTE ESCORE Outros testes de hipóteses assintóticos podem ser cons truídos com base na função Escore Uθ Uθ lθ x θ em que lθ x é a função de logverossimilhança A estatística de teste se baseia na distribuição assintótica do estimadores de maxima verossilhança TESTE ESCORE A função escore tem as seguintes propriedades EUθ 0 VUθ IFθ Assim uma estatística de teste Escore é dada por Zw Uθ0 IFUθ0 d n N 0 1 TESTE ESCORE Suponhamos que pretendemos testar H0 θ1 θ0 H1 θ1 θ0 Um teste bilateral aproximado de tamanho α nível de sig nificância do tipo Escore é baseado na estatística Zw Uθ0 VUθ0 d n N 0 1 Sob H0 temos a região crítica dada por A1 x1 xn Zw Z α 2 Exemplo 5 Sejam X₁ Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X Bernoulliθ e seja 𝜃 xin um estimador de maxima verosimilhança para θ Suponhamos que pretendemos test H₀ θ₁ θ₀ H₁ θ₁ θ₀ Função Escore Uθ 𝜃 θ θ1θn Informação de Fisher IFθ n θ1θ Então Zw 𝜃θ₀ θ₀1θ₀ n θ₀1θ₀ 𝜃 θ₀ n θ₀1θ₀ Sob H₀ temos a região crítica dada por A₁ x₁ xn Zw Zα2 Sejam X1 Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X Poissonθ e seja θ xin um estimador de maxima verosimilhança para θ Suponhamos que pretendemos testar H0 θ1 θ0 H1 θ1 θ0 Então Zw θ θ0θ0n θ θ0θ0n Sob H0 temos a região crítica dada por A1 x1 xn Zw Zα2