Teste de Hipóteses em Inferência Estatística II

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA II TESTE DE HIPÓTESES Anderson Castro Soares de Oliveira Departamento de EstatísticaICETUFMT TESTE DE HIPÓTESE Os elementos básicos de um problema de decisão são Espaço de estados da natureza representado pelo espaço paramétrico Θ Espaço dos resultados possíveis de um experimento Ω Espaço de possíveis ações considerase um conjunto A de possíveis ações decisões onde uma delas deve ser selecionada Em problemas de estimação de parâmetros temos que A Θ Função de decisão uma função d Ω A TESTE DE HIPÓTESE Na teoria de decisão estatística o procedimento que é uti lizado para tomar uma decisão é chamado de testes de hipóteses O teste de hipótese é o procedimento que nos levará a re jeitar ou não uma hipótese a partir das evidências obtidas nos resultados amostrais TESTE DE HIPÓTESE Definição 1 Hipótese Estatística Chamamos de hipótese estatística qualquer afirmação acerca da distribuição de probabilidades de uma ou mais variáveis ale atórias TESTE DE HIPÓTESE A formulação de suposições ou de conjeturas acerca das populações são denominadas de Hipóteses Estatísticas Essas suposições que podem ser ou não verdadeiras que podem ser HIPÓTESE NULA É aquela Hipótese Estatística prefixada formulada sobre o parâmetro populacional estudado e é sempre uma afirmativa É representada por H0 HIPÓTESE ALTERNATIVA São quaisquer hipóteses que difiram da Hipótese Nula Pode ser representada por H1 ou Ha TESTE DE HIPÓTESE Seja X1 Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X com fdp ou fp fxθ em que θ é um parâmetro des conhecido definido em um espaço paramétrico Θ Assim as hipóteses podem ser definidas como H0 θ Θ0 H1 θ Θ1 em que Θ0 Θ1 Θ e Θ0 Θ1 0 H0 é geralmente aquela que revela a informação que dete mos no momento em que se decide realizar o teste estatís tico TESTE DE HIPÓTESE As hipóteses podem ser Simples quando identifica um valor exato para o parâmetro H0 θ θ0 H1 θ θ1 Composta quando identifica um conjunto de possibilidades para o domínio do parâmetro H0 θ θ0 H1 θ θ0 H0 θ θ0 H1 θ θ0 H0 θ θ0 H1 θ θ0 H0 θ θ0 H1 θ θ0 H0 θ θ0 H1 θ θ0 TESTE DE HIPÓTESE Um teste de hipóteses é uma regra que especifica Para que valores amostrais a decisão é aceitar H0 Para que valores amostrais é H0rejeitada sendo H1 aceito O subconjunto do espaço amostral para o qual H0será re jeitada é designado região de rejeição ou região crítica e o complementar por região de aceitação TESTE DE HIPÓTESE Definição 2 Teste de hipótese Chamamos de teste de uma hipótese estatística a função de decisão d Ω a0 a1 em que a0 corresponde ação de considerar a hipótese H0 como verdadeira e a1 corresponde à ação de considerar a hipótese H1 como verdadeira Um teste é especificado particionandose o espaço amos tral em dois subconjuntos A0 x1 xn Ω dx1 xn a0 A1 x1 xn Ω dx1 xn a1 A0 A1 Θ e A0 A1 0 TESTE DE HIPÓTESE A0 é um subconjunto que contém os valores de X para os quais H0 será aceita assim é denominado região de acei tação A1 é um subconjunto que contém os valores de X para os quais H1 será rejeitada assim é denominado região de re jeição ou região crítica Geralmente um teste de hipótese é especificado em ter mos de uma função da amostra WX1 Xn denominada estatística de teste TESTE DE HIPÓTESE A estatística de teste é obtida sobre o pressuposto de que H0 é verdadeira Assim sua distribuição tem que ser conhecida com base nesse pressuposto A partir da estatística de teste é possível determinar a de cisão a tomar rejeitar ou não H0 Assim a estatística de teste é a função de decisão do teste de hipótese TESTE DE HIPÓTESE Exemplo 1 Uma caixa contém duas moedas a primeira apresenta cara com probabilidade θ 0 5 equilibrada e a outra apre senta cara com probabilidade θ 0 6 Uma moeda é escolhida aleatoriamente e lançada três ve zes Suponhamos que as hipóteses de interesse são H0 θ 0 5 H1 θ 0 6 TESTE DE HIPÓTESE Assim X1 X2 X3 W X1 X2 X3 PW w 0 0 0 0 0 125 0 0 1 1 0 375 0 1 0 1 0 375 1 0 0 1 0 375 0 1 1 2 0 375 1 0 1 2 0 375 1 1 0 2 0 375 1 1 1 3 0 125 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE TESTES Em um teste de hipótese H0 θ A0 H1 θ A1 podese cometer um erro ao tomar uma decisão MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE TESTES Erros possíveis de se cometer no processo de tomada de decisão Decisões possíveis Estados possíveis Ho verdadeira Ho falsa Aceitação de Ho Decisão correta Erro do tipo II Rejeição de Ho Erro do tipo I Decisão correta α P Rejeitar H0H0 Verdadeira β PAceitar H0H0 Falsa α e β são as probabilidades de se cometer os erros tipos I e II respectivamente FUNÇÃO PODER Definição 3 Função Poder A função poder de um teste de hipótese com região crítica A1 é dada por πθ PX A1θ A1 1 β em que β é a probabilidade de se cometer o erro tipo II A função poder por ser descrita com a função que associa a cada valor de θ a probabilidade de rejeitar H0 FUNÇÃO PODER Exemplo 2 Seja X um variável aleatória com distribuição binomial5 θ Suponhamos que as hipóteses de interesse são H0 θ 0 5 H1 θ 0 5 Considerando as regras de decisão d1 Rejeitar H0 se e somente se todos os sucessos forem observados d2 Rejeitar H0 se os sucessos forem iguais a 3 4 ou 5 FUNÇÃO PODER Assim temos d1 π1θ PX A1θ 0 5 PX 5 θ5 d2 π2θ PX A1θ 0 5 PX 3 4 ou 5 6θ5 15θ4 10θ3 FUNÇÃO PODER Exemplo 3 Sejam X1 Xn um amostra aleatória da distribuição Nµ 25 Suponhamos que as hipóteses de interesse são H0 θ 17 H1 θ 17 Considerando a regra de decisão d Rejeitar H0 se X 17 5 n FUNÇÃO PODER Para este teste a função poder é dependente do tamanho da amosta TAMANHO DO TESTE As probabilidades α e β não são complementares Em geral tentase minimizar a probabilidade α Assim é mais usual é fixar a probabilidade α e escolher um teste que minimize também a probabilidade β TAMANHO DO TESTE Definição 4 Tamanho do teste Seja Υ um teste da hipótese com H0 θ A0 H1 θ A1 e função poder πθ o tamanho do teste α é definido como sup θA0 πθ α Definição 5 Nível do teste Seja Υ um teste da hipótese com H0 θ A0 H1 θ A1 e função poder πθ o nível do teste α é definido como sup θA0 πθ α TAMANHO DO TESTE Como em geral o interesse é em valores muito pequenos de α fixando um valor para esta probabilidade teremos fixado a máxima probabilidade de se cometer o erro tipo I Fixando um valor de α é possível construir uma regra de decisão e desta será estabelecido o nível de significância do teste TAMANHO DO TESTE Suponhamos que as hipóteses de interesse são H0 θ 0 10 H1 θ 0 10 Calculando a probabilidade para diferentes regiões críticas PW 1θ 0 10 0 6513 PW 2θ 0 10 0 2639 PW 3θ 0 10 0 0701 PW 4θ 0 10 0 0127 Portanto devemos rejeitar H0 se o numero de itens defeitu osos for maior ou igual a 4 nesse caso é quando a proba bilidade é inferior a α TAMANHO DO TESTE Considerando α 0 025 a partir desse valor vamos esta belecer a nossa regra de decisão Calculando a probabilidade para diferentes regiões críticas PW 1θ 0 10 0 6513 PW 2θ 0 10 0 2639 PW 3θ 0 10 0 0701 PW 4θ 0 10 0 0127 Portanto devemos rejeitar H0 se o numero de itens defeitu osos for maior ou igual a 4 nesse caso é quando a proba bilidade é inferior a α TAMANHO DO TESTE A escolha do nível de significância do teste é completa mente arbitrária e a a decisão de aceitar ou rejeitar H0 cla ramente depende desta escolha Um enfoque alternativo consiste em calcular uma quanti dade chamada valorp Definição 6 valorp Seja W uma estatística de teste e w o valor dessa estatística obtido a partir da amostra então um valorp é a probabilidade dada por PW wθ Θ0 TAMANHO DO TESTE Se o valorp for grande então ele fornece envidência de que H0 é verdadeira Se o valorp for pequeno indica que evidência nos dados contra H0 Assim a idéia é comparar o valorp com α se valor p α devese rejeitar H0