Teste de Hipóteses Mais Poderosos

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA II TESTE DE HIPÓTESES MAIS PODEROSOS Anderson Castro Soares de Oliveira Departamento de EstatísticaICETUFMT Teste de Hipóteses Mais Poderosos TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma função de densidade ou de probabilidade fxθ0 ou fxθ1 e queremos testar H0 θ θ0 H1 θ θ1 Neste caso o espaço paramétrico Θ θ0 θ1 contém ape nas dois pontos As probabilidades dos dois tipo de erro são dadas por α PRejeitar H0θ θ0 β PAceitar H0θ θ1 O objetivo é obter um teste de hipótese que minimize α e β TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Definição 2 Teste de razão de verossimilhança TRV Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma função de densidade ou de probabilidade fx heta0 ou fx heta1 Um teste Upsilon H0 heta heta0 H1 heta heta1 é definido com um teste de razão de verossimilhança definido por Se lambda leq k Rejeita H0 Se lambda k Aceita H0 Em que lambda lambdaX1 dots Xn fracprodi1n fxi heta0prodi1n fxi heta1 fracL heta0xL heta1x e k é uma constante não negativa TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Na prática é impossível encontrar um teste que minimize α e β simultaneamente mas podese construir testes que minimizam combinações lineares destas probabilidades Assim para constantes positivas a e b queremos encontrar um teste Υ para o qual aαΥ bβΥ seja mínima TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Definição 1 Teste Mais Poderoso TMP Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma fun ção de densidade ou de probabilidade fxθ0 ou fxθ1 Um teste Υ de H0 θ θ0 H1 θ θ1 é definido como sendo um teste mais poderoso de tamanho α se e somente se i πΥθ0 α ii πΥθ1 πΥθ1 para algum outro teste Υ em que πΥθ0 α TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Teorema 1 Lema de NeymanPearson Seja X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma função de densidade ou de probabilidade fxθ0 ou fxθ1 e seja Υ um teste de razão de verossimilhança em que H0 θ θ0 H1 θ θ1 assim Se λ k x1 xn A1 Se λ k x1 xn A0 em que A0 A1 Ω Então o teste Υ correspondente à região crítica A1 é um teste mais poderoso de tamanho α Sejam X₁Xn um amostra aleatória com distribuição exponencialθ Pretendese testar H₀ θ θ₀ H₁ θ θ₁ Assim ₁ⁿxi k₁ k₁ lnk θ₁θ₀ⁿ θ₁ θ₀ Como se X expθ e Y ₁ⁿXi Gammanθ α P₁ⁿxi k₁ θ θ₀ Fyk₁ n θ₀ TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Exemplo 2 Sejam X1 Xn um amostra aleatória com distribuição bernoulli θ Pretendese testar H0 θ θ0 H1 θ θ1 Sendo θ0 θ1 estabelecendo um TRV temos que λ Lθ0x Lθ1x θ0 n i1 xi 1θ0 n n i1 xi θ1 n i1 xi 1θ1 n n i1 xi λ k θ01θ1 θ11θ0 n i1 xi 1θ0 n 1θ1 k TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Assim n i1 xi k1 k1 ln k 1θ1 1θ0 n ln θ01θ1 θ11θ0 Como se X bernoulliθ e Y n i1 Xi Binn θ α P n i1 xi k1 θ θ0 FY k1 n θ0 TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Supondo a seguinte hipótese H0 θ 1 4 H1 θ 3 4 α 0 05 e n 10 não há nenhuma região crítica A1 e constante k da forma dada no Lema de Neyman Pearson k1 Fk1 1 Fk 1 0 0056314 1000000 1 0244025 0943686 2 0525593 0755975 3 0775875 0474407 4 0921873 0224125 5 0980272 0078127 6 0996494 0019728 7 0999584 0003506 8 0999970 0000416 9 0999999 0000030 10 1000000 0000001 TESTANDO HIPÓTESES SIMPLES Considerando α 0 05 podese trabalhar com k1 6 isso implica que devese rejeitar H0 se n i1 xi 6 TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma função de densidade ou de probabilidade fxθ0 ou fxθ1 e queremos testar H0 θ Θ0 H1 θ Θ1 Neste caso o espaço paramétrico Θ Θ0 Θ1 sendo Θ0 Θ1 Θ0 Θ1 TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Definição 3 Teste de razão de verossimilhança Generali zada TRVG Sejam X1 Xn um amostra aleatória proveniente de uma fun ção de densidade ou de probabilidade fxθ Um teste Υ H0 θ Θ0 H1 θ Θ1 é definido com um teste de razão de ve rossimilhança generalizada definido por Se λ k Rejeita H0 Se λ k Aceita H0 Em que λ λx1 xn supΘ0Lθx supΘLθx e k é uma constante não negativa TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Temos que 0 λ 1 O numerador λ é a probabilidade máxima da amostra ob servada sob θ Θ0 hipótese nula H0 espaço restrito O denominador λ é a probabilidade máxima da amostra ob servada sob θ Θ espaço irrestrito TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Quando pensamos no supΘLθx pensamos no valor de θ que maxima a função de verossimilhança O Estimador de Máxima Verossimilhança ˆθ caso exista é obtido exatamente para essa finalidade ˆθ0 pode ser pensado como o valor que maximiza a função de verossimilhança sob o espaço restrito Θ0 Assim λ λx1 xn Lˆθ0x Lˆθx TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Para obtenção do TRVG podese seguir os seguintes pas sos 1 Obter o EMV ˆθ para θ 2 Obter o EMV ˆθ0 para θ Θ0 3 Obter λ λx1 xn Lˆθ0x Lˆθx 4 Obter a constante k para estabelecer a região crit ica TESTANDO HIPÓTESES COMPOSTAS Exemplo 4 Exemplo 3 λ 2πσ20n2 e12σ20 xiμ0² 2πσ²n2 e12σ² xiX² σ²0σ²n2 k X μ0 sn k2n1n1 Sob H₀ temos que X μ0 sn tn Exemplo 5 Sejam X1 Xn uma amostra aleatória com distribuição normal Nμσ² Pretendese testar H₀ σ² σ²0 H₁ σ² σ²0 Temos que o EMV para μ é dado por ˆμ X e para ˆσ² xiX²n Como em H₀ temos um único valor para μ então o EMV para o espaço restrito é o próprio μ0 X e ˆσ² xiμ0²n λ 2πσ²0n2 e12σ²0 xiX² 2πσ²n2 e12σ² xiX² σ²0σ²n2 n1s² σ²0 k Sob H₀ temos que n1s² σ²0 χ²n1