Exercício 1 Álgebra Linear

Por definição, dizemos que um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições: a) Para quaisquer vetores u e v \\in W, u + v \\in W b) Para qualquer vetor u \\in R, cu \\in W Desta forma, se V = R2 o subconjunto W = { (x, y) \\in R2, tal que y = 3x}, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais, sob o R2, podemos afirmar: a I - W não é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. II - W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas. III - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. IV - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores não pertence a W, mas a multiplicação sim. A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são): Para conseguir definir um espaço vetorial é necessário satisfazer certas condições que são chamados de axiomas do espaço vetorial. Estes axiomas podem ser separados em axiomas da adição e da multiplicação. Desta forma, considere as afirmativas: I. O axioma da adição chamado de comutativa é dado por \\forall u + v = v + u, para qualquer vetor u e v que pertence a V. II. O axioma da adição chamado de comutativa é dado por \\forall u + v = v + u, para qualquer vetor u que pertence a V. III. O axioma da multiplicação chamado de comutativa é dado por \\forall c \\cdot v, para qualquer vetor v que pertence a V. IV. O axioma da multiplicação chamado de comutativa é dado por \\forall c \\cdot v, para qualquer vetor v que pertence a V. A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são): Pergunta 3 A dimensão do espaço vetorial, representado por \\dim V, tem como significado a quantidade de vetores da base A desse espaço V que terá a mesma quantidade de vetores. A dimensão do espaço vetorial V gerado pelo conjunto A = {(1, 1), (2,1), (0,0)} é R2: \\dim V = 2. Comentários Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 123. Como o conjunto A gera V e tem dois vetores, a dimensão é 2. Pergunta 4\nPor definição, um conjunto de vetores de um espaço vetorial é chamado de linearmente independente (LI) se,\na1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn = 0\nOu seja, os coeficientes ai devem ser iguais a zero. Caso contrário, o conjunto é chamado de linearmente dependente (LD).\nDesta forma, pode-se afirmar que o conjunto de vetores\nv1 = (1,1,2), v2 = (2,1,1) e v3 = (1,-1,-3)\nno espaço vetorial V = R3, é:\nOcultar opções de resposta →\nA) LD, pois a = 0, b = 0 e c = 0\nB) LD, pois a = 1, b = 1 e c = 2\nC) LD, pois a = 1, b = 0 e c = 0\nD) LD, pois a = 2, b = 0 e c = 1\nE) LI, pois a = 0, b = 0 e c = 0\nComentários\nCapítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 100.\nEscrevendo a combinação linear e substituindo os vetores, fica\na1(1,1,2) + a2(2,1,1) + a3(1,-1,-3) = (0,0,0)\nMontando o sistema, temos\n\na + 2b + c = 0\n\na + b = 0\n\n2a + b + 3c = 0\nResolvendo, temos os coeficientes a = 0, b = 0 e c = 0, logo é LI. A definição de Base de um espaço vetorial V implica no menor conjunto de vetores no espaço vetorial V, que representa completamente V. Podemos dizer que uma base de V é um conjunto de vetores tais que, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores, logo é gerado pelos vetores da base. Então, um conjunto de vetores A será uma base de V, se somente se:\nOcultar opções de resposta →\nA) O conjunto A for LI e o conjunto A gerar V.\nB) O conjunto A for LD e o conjunto A gerar V.\nC) O conjunto A for LI.\nD) O conjunto A gerar V.\nE) O conjunto A for LD.\nComentários\nCapítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 113.\nPor definição dizemos que o conjunto A será uma base do conjunto V se e somente se,\no conjunto A for LI e o conjunto A gerar V. Um espaço vetorial (sobre o conjunto dos Reais de existências) é um conjunto equipado com as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfaçam as propriedades usuais dos espaços vetoriais. A ideia é que vários conjuntos mais abstratos possuem a estrutura parecida com espaços n-ésimos e esta abordagem permite que façamos uma análise sistemática de todos estes casos. De forma geral, um espaço vetorial sobre o conjunto dos Reais é um conjunto V, cujos elementos são chamados vetores, equipado com duas operações: Multiplicação e Adição. Sendo que deve ser verificada em 4 axiomas, os axiomas da multiplicação são os seguintes:\n\n1) Associatividade da multiplicação por escalar: r(oS) = r(o)S, para qualquer r ∈ R e qualquer o ∈ V;\n2) Vale que 1I = I, ou seja, a unidade dos números reais altera os vetores;\n3) Distributiva da soma em relação à soma de vetores: (u + v) ∈ V;\n4) Distributiva da soma em relação ao escalar: r(u + v) = ru + rv para qualquer r ∈ R;\nDisponível em: (https://www.ufrgs.br/linear/AlgebraLinear/Aflow5espaz02Teos_vetoriais.html) Modificado, Acesso em: 24/04/2020.\nObservando os dois espaços vetoriais verifico a operação de multiplicação para a seguinte conjunto de pares ordenados dos R:\n\n((x1,x2),(y1,y2)) → (x1 + y1, x2 + y2)\nCom isso, assinala a alternativa correta:\nA) Apenas as propriedades a e b são atendidas\nB) As propriedades a, b e c são atendidas\nC) Apenas as propriedades a, b e c são atendidas\nD) Apenas as propriedades a, b e c são atendidas\nE) Apenas as propriedades a, b e c são atendidas\nComentários\nSolução: Capítulo 4 do livro de Álgebra Linear página 74.\nApenas a propriedade d não é atendida, pois\n\n(r + s)(x) = r(x) + s(x)\ e (r + s)(x1,x2) =(r(x1,x2),s(x1,x2))\nCom isso as propriedades corretas são a, b e c. Pergunta 7\nUm conjunto vetorial é dito como espaço vetorial se todos os axiomas do espaço vetorial são satisfetos. O conjunto vetorial V representado por R2 = {x¹, y¹} / x,y e R não é considerado um espaço vetorial se for mundo das operações\n\n= , pois não satisfaz os axiomas:\n\nOcultar opções de resposta\nA\n( \u2190)\n\nB\n\nC\nx + y = y + x,\n\nx + 0 = x,\n\nx + (-x) = 0,\n\n(\u03B1 + \u03B2)u = \u03B1u + \u03B2u\n\nD\n\nE\n\nResposta correta Com relação à dimensão de um espaço vetorial, avalie as afirmativas:\n\nI – Se a base do espaço vetorial V possui 5 vetores, então dim V = 5.\n\nII – Se a base do espaço vetorial V possui n+1 vetores, então dim V = n.\n\nIII – Se o espaço vetorial V não possui base, então dim V = 1.\n\nAs afirmativas corretas são:\n\nOcultar opções de resposta\nA\nApenas I e III\n\nB\nApenas I e II\n\nC\nApenas II\n\nD\nApenas I\n\nE\nApenas II\n\nResposta correta\n\nComentários\nCapítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 123.\n\nA dimensão do espaço vetorial tem a quantidade de vetores da base A desse espaço V, logo se a base do espaço vetorial V possui 5 vetores, então dim V = 5. Pergunta 9\nOs axiomas que devem ser satisfeitos para que um espaço vetorial real se defina como tal são num total de oito. O axioma que trata da existência do elemento nulo da soma é:\n\nOcultar opções de resposta\nA\n\nB\n\nC\n\nD\nu + 0 = u\n\nE\n\nResposta correta\n\nComentários\nu + 0 = u Pergunta 10\nAs componentes da base A = {(2,-1),(1,2)} do R2 e o vetor v = (7,-1) são:\nOcultar opções de resposta\nA\nx = 3 e y = -3\nB\nx = 3 e y = 1\nC\nx = 0 e y = 2\nD\nx = 1 e y = 1\nE\nx = -1 e y = 1\nComentários\nCapítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 127.\nescrevendo a combinação linear\n(7,1) = x(2,-1) + y(1,2)\nMontamos o sistema\n7 = 2x + y\n-1 = -x + 2y\nResolvendo o sistema encontramos\nx = 3 e y = 1