Exercício 3 Álgebra Linear

É sabido que um autovalor pode ter vários autovetores, porém um único autovetor pode ter apenas um autovalor. Diante disso, tem-se que os autovetores são apenas um autovalor, os restantes são linearmente dependentes, caso sejam de autovetores distintos, serão linearmente independentes. Com isso, verifique se os autovetores acima, são de um único autovalor.\nv_1 = (-2,3) e v_2 = (2,-3)\n\nv_{1} = (2,1), v_{2} = (4,3) e v_{3} = (-7,-3)\nv_{1} = (2,1), v_{2} = (2,3) e v_{3} = (3,1,4)\n\nDe acordo com os autovetores acima, assinale a opção correta:\n\nOcultar opções de resposta\n\nApenas as alternativas iii. tem autovalor único.\n\nB Apenas as alternativas i. e ii. são de um único autovalor. Resposta correta\n\nC Apenas as alternativas ii. e iii. são de um único autovalor.\n\nD Apenas a alternativa i. tem autovalores diferentes.\n\nE Apenas as alternativas i. e ii. são de um único autovalor.\n\nComentários\nApenas as alternativas i. e ii. são de um único autovalor. pergunta 2\n\nConsidere as bases:\nA = (v_{1},v_{2}) e B = (w_{1},w_{2})\n\nDados por:\nv_{1} = (10,5) e w_{1} = (2,3)\nv_{2} = (22,13) e w_{2} = (4,1)\n\nAssinale a alternativa que determina a matriz mudança de base de A para B.\n\nOcultar opções de resposta\n\nA I_{B}^{A} = \\begin{bmatrix} 4 & 1 \\\\\n3 & 1 \\end{bmatrix}\n\nB I_{B}^{A} = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\\n0 & 4 \\end{bmatrix}\n\nC I_{B}^{A} = \\begin{bmatrix} 2 & 2 \\\\\n2 & 3 \\end{bmatrix}\n\nD I_{B}^{A} = \\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\\n2 & 4 \\end{bmatrix} Resposta correta\n\nE I_{B}^{A} = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\\n3 & 4 \\end{bmatrix} Ocultar opções de resposta\n\nA λ=4\n\nB λ=3\n\nC λ=2\n\nD λ=5\n\nE λ=6 Resposta correta\n\nComentários\nSolução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175.\nUtilizando a transformação linear e o autovetor\nT(y)=(4x+5y,2x+y)\nT(5,2)=(4*5+5*2,2*2+2)\nT(5,2)=(30,12)\nT(5,2)=6(5,2)\nAssim λ=6.\n\nComentários\nSolução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175.\nUtilizando a transformação linear e o autovetor\nT(y)=(4x+5y,2x+y)\nT(5,2)=(4*5+5*2,2*2+2)\nT(5,2)=(30,12)\nT(5,2)=6(5,2)\nAssim λ=6. O conceito de autovalores está relacionado com o determinante de uma matriz, como é possível verificar na citação abaixo: \"sendo A uma matriz quadrada de ordem n (n > 0) com um corpo K, existe um autovalor λ, para uma matriz coluna (v1 n), denominando autovetor, A.v = λ.v verdadeiro. Para a obtenção dos autovalores\" - de modo que (A - λI) v admita somente a solução 0, sendo [A - λI] = 0. A expressão |A| - λI, onde I é a matriz identidade, é denominada equação característica. Disponível em: http://www.abenge.org.br/diretorias/16/artigos/NMT243.pdf, acesso em 26/04/2020. Vale lembrar que das barras | | ao expressar [|A| - 0], significa o determinante da matriz. Com este conceito, determina os autovalores da seguinte Transformação Linear:\nT: R² → R²\nT: (x,y) = (4x + 5y, 2x + y)\n\nEq. PNGLK 1.68 KB A Álgebra Linear é uma das áreas da matemática que tem várias aplicações. Dentro elas podemos citar a \"mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, entre outras linguagens, os termos utilizados são eigenvalue e eigenvector, o professor eigen - dado- assinala o aspecto correto, característica.\" Disponível em: www.mspc.eng.br/dr/30/eig_val-1.php, acesso em: 26/04/2020.\nAinda falando sobre os autovalores, é interessante falar sobre a condição de multiplicidade relacionada a autovalores iguais. Considerando este conceito sobre autovalores iguais, assinale a opção correta, sobre os autovalores da matriz A:\nA = \n[ 0 1 ]\n[ 0 2 ]\n\nExistem apenas três autovalores, um deles com multiplicidade 2 e outro com multiplicidade 1. Em matemática a parte abstrata é um processo relevante, mas existem vários conceitos que podem ser visualizados geometricamente: um exemplo são os vetores. Assim são os autovalores e os autovetores:\n\"Geometricamente, a equação do valor próprio (autovalor) Ax = λx implica que numa transformação A, autovetores sofrem mudanças na sua magnitude e sinal - a direção de A é a mesma direção de x. O autovalor λ indica apenas o tanto que o vetor irá \"encher\" ou \"esticar\" ao sofrer a transformação A.\" Disponível em: https://otitehbrz.wordpress.com/2019/01/15/autovalores-e-autovetores/ acessos em: 28/04/2020.\nCom isso, associa a coluna dos autovalores (λ) com a representação geométrica dos autovetores (Ax) e assinale a alternativa correta:\n(1) Ax < 0\n(2) Ax > 1\n(3) 0 < Ax < 1\nA) 3,2,1\nB) 2,1,3\nC) 2,3,1\nD) 1,3,2\nE) 1,2,3\n\nComentários\nSolução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175.\nA descrição em vermelho são os autovalores e em preto do vetor.\nAssim, quando λ>1 o vetor será multiplicado, vai aumentar, por isso, o autovalor é maior do que o vetor.\nAssim, quando λ<0 o vetor mudará de sentido devido ao sinal negativo, por isso, o autovalor terá sentido oposto ao do vetor é maior.\nLogo a sequência correta é: 2,3,1. Autovalores e Autovetores estão relacionados com os conceitos de Transformação Linear, que é muito conhecido em diversas áreas como engenharia, mecânica, ciência da computação entre outras. Existem algumas Transformações Lineares utilizadas em reflexão, redução e escalonamento. Ou seja, autovalores e autovetores são muito importantes, com isso, encontre os autovalores da matriz A abaixo e assinale a opção correta.\nA = [ 1 2\n -1 4]\n\n\nOcultar opções de resposta\nA\nv_1 = (1,1) e v_2 = (1,0)\nB\nv_1 = (1,-1) e v_2 = (1,3)\nC\nv_1 = (2,1) e v_2 = (1,1)\nD\nv_1 = (4,2) e v_2 = (1,3)\nE\nv_1 = (-1,-1) e v_2 = (-1,2) Pergunta 8\nA diagonalização de uma matriz significa transformar uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal equivalente. O processo de diagonalização de uma matriz pode ser feito usando cálculo numérico, como por exemplo a decomposição LU. Outra maneira é utilizando os autovalores e autovetores. Lembrando deste processo, nãoumer a sequência abaixo na ordem crescente em que este processo ocorre.\n(1) Descrever os autovalores.\n(2) Executar a multiplicação de matrizes\n(3) Encontrar o polinômio característico.\n(4) Descrever a matriz linearmente independente.\n(5) Calcular a matriz inversa.\n\nOcultar opções de resposta\nA\n1,3,5,2\nB\n3,2,5,1,4\nC\n2,5,1,3,4\nD\n2,3,5,1,4\nE\n1,3,2,5,4\n\nComentários\nSolução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 185.\n(2) Descrever os autovalores.\n(5) Executar a multiplicação de matrizes\n(1) Encontrar o polinômio característico.\n(3) Descrever a matriz linearmente independente.\n(2) Calcular a matriz inversa. Pergunta 10\nA álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços lineares), além de funções lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço cotidiano e de senso comum onde vivemos, tais como largura, altura e profundidade. Entender geometria analítica é um bom passo para estudar álgebra linear.\nO conceito de matriz e determinantes, básicos na álgebra linear, surgiu da necessidade de se resolver sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Assim, dados as matrizes A e B de dimensões apropriadas, o determinado de seu produto é det (AB) = det (A) det (B); disponível em: https://www.professoresoeclapenta.com.br/blog/post/42/entenda-a-algebra-linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia, acess em: 28/04/2020.\nComo expresso no texto anterior a álgebra linear utiliza muito o conceito de matrizes, com isso, utiliza também algumas de suas propriedades. Pensando nas propriedades de autovalores e autovetores, analise para as afirmações Verdadeiras e F para as afirmações Falsas. Assinale a correta:\n\nSendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:\n\n( ) Na diagonalização de matrizes é necessário obter uma matriz de autovetores.\n( ) É possível fazer a diagonalização de qualquer matriz, desde que a mesma seja quadrada.\n( ) Uma matriz A e sua transposta possuem os mesmos autovalores.\n( ) Um autovetor pode estar associado a mais de um autovetor.\n( ) A duplicidade dos autovalores corresponde a ordem da matriz.\nA sequência correta é:\nA\nB\nC\nD\nE A sequência correta é:\nA\nF, V, F, V, V\nB\nF, V, F, F, V\nC\nV, F, F, V, F\nD\nV, V, F, V, F\nE\nV, F, V, F, F\nComentários\nV, F, V, F, F A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços lineares), além de funções lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço cotidiano e de senso comum onde vivemos, tais como largura, altura e profundidade. Entender geometria analítica é um bom passo para estudar álgebra linear.\nO conceito de matriz e determinantes, básicos na álgebra linear, surgiu da necessidade de se resolver sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Assim, dados as matrizes A e B de dimensões apropriadas, o determinado de seu produto é det (AB) = det (A) det (B); disponível em: https://www.professoresoeclapenta.com.br/blog/post/42/entenda-a-algebra-linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia, acess em: 28/04/2020.\nComo expresso no texto anterior a álgebra linear utiliza muito o conceito de matrizes, com isso, utiliza também algumas de suas propriedades. Pensando nas propriedades de autovalores e autovetores, analise para as afirmações Verdadeiras e F para as afirmações Falsas. Assinale a correta:\n\nSendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:\n\n( ) Na diagonalização de matrizes é necessário obter uma matriz de autovetores.\n( ) É possível fazer a diagonalização de qualquer matriz, desde que a mesma seja quadrada.\n( ) Uma matriz A e sua transposta possuem os mesmos autovalores.\n( ) Um autovetor pode estar associado a mais de um autovetor.\n( ) A duplicidade dos autovalores corresponde a ordem da matriz.\nA sequência correta é:\nA\nB\nC\nD\nE Pergunta 2\nAutovalores e Autovetores estão relacionados com os conceitos de Transformação Linear, que é muito conhecido em diversas áreas como engenharia, mecânica, ciência da computação entre outras. Existem algumas Transformações Lineares utilizadas em reflexão, redução e escalhamento. Ou seja, autovalores e autovetores são muito importantes, com isso, encontre os autovetores da matriz A abaixo e assinale a opção correta:\nA = [1 2]\n [-1 4]\nOcultar opções de resposta ⯈\nA) v1 = (-1 -1) e v2 = (1 2)\nB) v1 = (1 1) e v2 = (1 0)\nC) v1 = (-1 -1) e v2 = (1 3)\nD) v1 = (4 2) e v2 = (1 3)\nE) v1 = (2 1) e v2 = (1 1) \nResposta correta Pergunta 3\nA diagonalização de matrizes tem o objetivo de \"transformar\" uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal, ou seja, com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Este processo é dado por: \"Dizemos que uma matriz A n; é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que, ou equivalentemente, em que D é uma matriz diagonal.\" - Disponível em: https://regis.github.io/gaal/sum16.html, acesso em 25/04/2020.\nVale observar que P é a matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, considere a matriz A e a matriz P abaixo:\nA=[-3 -5]\n [0 -2]\nP=[1 -1]\n [0 1]\n\nEncontre a matriz diagonal D da matriz dada A.\nOcultar opções de resposta ⯈\nA) D = [0 0]\n [0 0]\nB) D = [-1/3 0]\n [0 -2/5]\nC) D = [3/5 0]\n [0 2/5]\nD) D = [1 0]\n [0 2]\nE) D = [2 0]\n [0 -3] \nResposta correta Pergunta 4\nSeja o operador linear:\nT(x,y,z) = (x+y+2z, y+2z, 2x+z)\nSabendo-se que admite inversa, assinale a alternativa que representa a inversa de T(x,y,z).\nOcultar opções de resposta ⯈\nA) T^{-1} = [2 1 0]\n [-1 -2 -1]\nB) T^{-1} = [2 -2 0]\n [-1 -1 -1]\nC) T^{-1} = [0 1 -2]\n [-1 0 1]\nD) T^{-1} = [1 -1 -2]\n [-1 -1 1] \n Incorreta:\nE) T^{-1} = [1 2 -1]\n [-1 0 1]\nComentários\nT^{-1} = [-1 1 2]\n [-1 0 1] Pergunta 5\nO conceito de autovalores está relacionado com o determinante de uma matriz, como é possível verificar na citação abaixo:\n“sendo A uma matriz quadrada de ordem n (x) e seu número próprio λ, existe um autovalor A se, para uma matriz coluna v(n,1), denominado vetor, Av = λv é verdadeiro. Para a obtenção dos autovalores”, de modo que |A-λI| = 0 admitir uma solução se, somente se, |A-λI| ≠ 0. A expressão |A-λI| = 0, onde I é a matriz identidade, denomina-se equação característica.\nDisponível em: http://www.abenge.org.br/arquivos/16/artigos/NMT243.pdf , acessado em 25/04/2020.\nVale lembrar que das barras | |A| - 0, significa o determinante da matriz. Com este conceito, determine os autovalores da seguinte Transformação Linear:\nT: R² → R²\nT: (x,y) = (4x + 5y, 2x + y)\nEq (PNG) 61.68 KB\n\nA) λ = -1; λ = 2; λ = 3\nB) λ = 2; λ = 3\nC) λ = -1; λ = 6\nD) λ = 3; λ = 5\nE) λ = -1; λ = 4\n\nComentários\nλ = -1; λ = 6 Pergunta 6\nA Álgebra Linear é uma das áreas da matemática que tem várias aplicações. Dentre elas podemos citar a \"mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usados são eigenvalue e eigenvector. O prefixo é de origem alemã – significa próprio, característico).\" Disponível em: https://www.mspac.eng.br/dir/oj-vei_val1.php, acessado em 26/04/2020.\nAinda falando sobre os autovalores, é interessante falar sobre a duplicidade relacionada a autovalores iguais. Considerando este conceito sobre autovalores assinale a opção correta, sobre os autovalores da matriz A:\nA = [0 0 1; 0 2 0; 0 1 0]\n\nA) Existem apenas dois autovalores, cada um com multiplicidade 1.\nB) A matriz não é invertível, por isso não é possível encontrar os autovalores.\nC) Existem apenas três autovalores, dois iguais a 1 (multiplicidade dois) e outro igual a 2 (multiplicidade 1).\nD) A matriz possui 3 autovalores iguais a 0 (zero), ou seja, tem multiplicidade 3.\nE) Existem apenas três autovalores, um deles com multiplicidade 2 e outro com multiplicidade 1.\n\nComentários\nExistem apenas três autovalores, um deles com multiplicidade 2 e outro com multiplicidade 1. Pergunta 7\nLeia a seguinte passagem de texto:\n\"As transformações lineares feitas em um espaço vetorial V para um espaço vetorial W, também recebem o nome de OPERADOR LINEAR. Considerando dois espaços vetoriais V e W, dizemos que um operador linear E qualquer transformação de V em W em que seu domínio seja linear. Se for possível o inverso dessa transformação, temos um operador inversível.\nCom relação aos conceitos de operadores inversíveis, avalie as afirmativas e assinale a alternativa correta:\nI. Todas transformações lineares admitem inversas, sendo eles os operadores lineares.\nII. Quando for possível fazer o processo inverso de uma transformação linear, dizemos que operador linear T admite inversa.\nIII. Feita uma transformação linear de V para o espaço W e depois outra transformação de W para o espaço V, o operador linear inversível retornará a posição inicial.\nAssinale a alternativa correta:\nA) Apenas a afirmativa I está correta.\nB) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.\nC) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.\nD) As afirmativas I, II e III estão corretas.\nE) Apenas a afirmativa III está correta.\n\nComentários\nI) Todas transformações lineares admitem inversa.\nFalso, pois nem todas as transformações lineares admitem inversas.\nII) Quando for possível fazer o processo inverso de uma transformação linear, dizemos que operador linear T admite inversa.\nVerdadeiro.\nIII) Feita uma transformação linear de V para o espaço W e depois outra transformação de W para o espaço V, o operador linear inversível retornará a posição inicial.\nVerdadeiro. Dado o operador linear T(x,y) = (2x+y,x-y), obtemos o determinante igual a:\nD(T) ⇒ \n| 2 1 |\n| 1 -1 | = 2*(-1) - 1*1 = -2 - 1 => D(T) = 3\nOu seja, a transformação linear possui inversa.\nCom base nos conceitos de operadores imersíveis, assinale a alternativa que representa o T^{-1}.\n\nA\nT^{-1} = \n| 5 5 |\n| -1 2 |\n| 5 5 | \n\nB\nT^{-1} = \n| 2 3 |\n| 5 1 |\n| 7 |\n\nC\nT^{-1} = \n| 2 5 |\n| -3 -5 |\n| 1 -5 |\n\nD\nT^{-1} = \n| 2 3 |\n| -3 -7 |\n| 1 -2 |\n\nE\nT^{-1} = \n| 1 1 |\n| 3 3 |\n| 1 -2 |\n| 3 -3 | Pergunta 9\nÉ sabido que um autovetor pode ter vários autovalores, porém um único autovetor pode ter apenas um autovalor. Diante disso, têm-se que os autovalores são de apenas um autovalor, os mesmos são linearmente dependentes, caso sejam autovalores distintos, serão linearmente independentes. Com isso, verifique se seus autovetores a seguir são de um único autovalor ou se são de autovalores diferentes.\n\nv_{1} = (-2,3) e v_{2} = (2,-3)\n\nv_{1} = (2,1), v_{2} = (4,3) e v_{3} = (7,-3)\n\nv_{1} = (2,1,3) e v_{2} = (3,1,4)\n\nDe acordo com os autovetores acima, assinale a opção correta:\n\nA\nApenas as alternativas i e iii. são de um único autovalor.\n\nB\nApenas as alternativas i e ii. são de um único autovetor.\n\nC\nApenas a alternativa ii. tem autovalores diferentes.\n\nD\nApenas as alternativas i e ii. são de um único autovalor.\n\nE\nApenas as alternativas i e ii. são de um único autovalor. Pergunta 10\nSeja o operador linear:\nT(x,y) = (x+3y,-2x+3y)\nSabendo que T admite inversa, assinale a alternativa que representa a sua inversa.\n\nA\nT^{-1}(x,y) = \n| 1 9 |\n| 2 3 |\n\nB\nT^{-1}(x,y) = \n| 1/3 -1/9 |\n| 2/3 3/9 | Dado o operador linear T(x,y)=(2x+y,x-y), obtemos o determinante igual a: D(T) ⇒ | 2 1 | | 1 | | 2 -1 | ⇒ D(T) = 3 | 1 -1 | Ou seja, a transformação linear possui inversa. Com base nos conceitos de operadores imersivos, assinale a alternativa que representa o T^-1. Para matrizes simétricas a diagonalização acontece de forma: D = P^T.A.P. Círculo A é uma matriz quadrada P é uma matriz de autovetores com vetores normalizados (ou seja, quando o produto escalar entre os vetores iguais resulta em 1 e os vetores diferentes resulta em 0) E é a matriz diagonal que encontramos após a multiplicação das matrizes. Sabendo disso e considerando a matriz A de ordem 2, com autovetores v_1 = (1/3, 1) e v_2 = (-3,4). A matriz P será: Seja o operador linear: T(x,y,z)=(x+y,y-z,x+z). Sabendo-se que admite inversa, assinale a alternativa que representa T^-1. Pergunta 4\n\nO conceito de autovalores está relacionado com o determinante de uma matriz, como é possível verificar na citação abaixo:\n\"sendo A uma matriz quadrada de ordem n (x inscreve um corpo K), existe um autovalor \\lambda \\in K, para uma matriz coluna \\mathbf{v} \\neq 0, denominada autovetor, Av=\\lambda v é verdadeiro. Para a obtenção dos autovalores\" - de modo que (A-\\lambda I)\\mathbf{v}=0 como solução se, somente se, |A - \\lambda I|=0. A expressão |A - \\lambda I| é chamada de equação característica.\"\n\nDisponível em http://www.abenge.org.br/coe/benjuiest/MT123.pdf, acesso em 26/04/2020.\nLembrar que as duas barras |A|=0, significam o determinante da matriz. Com este contexto, determine os autovalores da seguinte Transformação Linear:\n\nT: \\mathbb{R}^{2} \\rightarrow \\mathbb{R}^{2}\nT:(x,y) = (4x + 5y, 2x + y)\n\nEq 6.PNG 1.68 KB\n\nOcultar opções de resposta\n\nA) \\lambda=3 e \\lambda=5\n\nB) \\lambda=-1 e \\lambda=6: Resposta correta\n\nC) \\lambda=1 e \\lambda=4\n\nD) \\lambda=2 e \\lambda=4\n\nE) \\lambda=-2 e \\lambda=3 Pergunta 5\n\nSabendo que os conceitos de autovalores e autovetores derivam das transformações lineares e que são calculados por meio de matrizes, é possível utilizar algumas propriedades matriceais para concluir propriedades sobre autovalores e autovetores. Pensando nisso e de acordo com as afirmações abaixo, assinale F para as afirmações falsas e V para as verdadeiras. Disponível em: http://engenhariafacial.weebly.com/uploads/3/8/5/9/38596819/apostila_50_-_autovalores-vetores.pdf acesso em: 27/04/2020.\nMarque a sequência correspondente correta.\n\n\nEntão assim, analise as sentenças e escreva V se a sentença for verdadeira e F se a sentença for falsa:\n\n( V ) Cada autovalor está associado a um único autovetor, ou seja, cada autovetor gera apenas um autovalor.\n( V ) Um autovalor pode gerar vários autovetores.\n( V ) O determinante de uma matriz é produto de seus autovalores.\n( F ) Autovalores associados a autovalores distintos são Linearmente dependentes.\n( V ) Autovalores associados a autovalores iguais são Linearmente dependentes.\n\nA sequência correta é:\n\nComentários\nSolução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 180. Pergunta 6\n\nAutovalores e Autovetores estão relacionados com os conceitos de Transformação Linear, que é muito conhecido em diversas áreas como engenharia, mecânica, ciência da computação entre outras. Existem algumas Transformações Lineares utilizadas em reflexão, vetorização e cilhamento. Ou seja, autovalores e autovetores são muito importantes, com isso, encontre os autovetores da matriz abaixo e assinale a opção correta.\n\nA = \\begin{bmatrix} -1 & 2 \\\\ -1 & 4 \\end{bmatrix}\n\nOcultar opções de resposta\n\nA) \\mathbf{v_1}=(-1,-1) e \\mathbf{v_2}=(1,2)\n\nB) \\mathbf{v_1}=(2,1) e \\mathbf{v_2}=(1,1): Resposta correta\n\nC) \\mathbf{v_1}=(1,-1) e \\mathbf{v_2}=(1,0)\n\nD) \\mathbf{v_1}=(1,-1) e \\mathbf{v_2}=(1,3)\n\nE) \\mathbf{v_1}=(4,2) e \\mathbf{v_2}=(1,3)\n\nComentários Pergunta 7\nPara encontrar os autovalores primeiro é necessário encontrar os autovetores, pois os autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros autovetores. Assim: \n\"Sendo A uma matriz de ordem n*n, definimos um autovalor de A como um escalar λ e se existe um vetor v\ufeff não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ. Disponível em: https://sites.cmc.usp.br/maria/luis/cursos20102020/autovalor_autovetor.pdf, acesso em: 26/04/2020.\nCom isso, conhecendo A, e sabendo que seus autovalores são 2 e -3, qual dos autovetores abaixo correspondem a matriz A dada e aos seus autovalores?\nA = [ -3 -5\n 0 2 ]\n\nOcultar opções de resposta\nA\nv1 = (0,1) e v2 = (1,-1)\n\nB\nv1 = (-1,1) e v2 = (1,2)\n\nC\nv1 = (1,1) e v2 = (1,0)\n\nD\nv1 = (2,1) e v2 = (1,1)\n\nE\nv1 = (-1,1) e v2 = (1,0)\n\nResposta correta Pergunta 8\nSabendo que os autovetores de uma matriz são v1 = (-1,1) e v2 = (1,3) e que são linearmente independentes da matriz A, dada por:\nA = [ 2 1\n 3 4 ]\nSabendo disso encontre a diagonalização da matriz A.\nOcultar opções de resposta\nA\nD = [ 3 0\n 0 -2 ]\n\nB\nD = [ 2 0\n 0 5 ]\n\nC\nD = [ 4 0\n 0 -2 ]\n\nD\nD = [ 1 0\n 0 5 ]\n\nE\nD = [ 2 0\n 0 1 ]\n\nResposta correta Pergunta 9\nO polinômio característico de uma matriz A é dado pela equação det(AI_n - A) = 0\nOu seja, a equação gerada por meio do determinante de uma subtração entre a matriz identidade multiplicada por um escalar e a matriz A. Com isso, é possível perceber que o polinômio característico de grau n pode ser escrito como\nλ^n + c1λ^{n-1} + c2λ^{n-2} + ... + cn-1λ + cn\n\nAinda é válido acrescentar que as raízes desta equação é conhecido como autovalores. Conhecendo a matriz A, determine o polinômio característico da matriz.\nA = [ 1 -2 1\n 1 0 -4\n -5 ]\n\nOcultar opções de resposta\nA\nλ^3 - 6λ^2 + 11λ - 6\n\nB\n-λ^2 + λ + 8\n\nC\n2λ^3 + λ^2 + 8λ - 12\n\nD\nλ^3 - 6λ - 5\n\nE\n5λ^3 - λ^2 + λ - 3\n\nResposta correta Pergunta 10\n\nEm álgebra linear calcula-se autovalores e autovetores de uma matriz quadrada. A quantidade de autovalores é o mesmo valor que a ordem da matriz e cada autovalor é associado a autovetores. Com relação aos autovalores, analise as assertões abaixo e assinale a opção correta:\n\ni. Os autovalores de uma matriz triangular superior ou inferior são os valores de sua diagonal principal.\n\nPorque\n\nii. O determinante de uma matriz triangular é a multiplicação dos elementos da diagonal principal.\n\nA respeito dessas assertões, assinale a opção correta:\n\nOcultar opções de resposta\n\nA As assertões I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.