Lista de Atividades de Álgebra Linear I

Lista de atividades Álgebra Linear Informações Importantes Segue algumas informações importantes referentes à segunda lista de atividades de Álgebra Linear I A avaliação deverá ser entregue impreterivelmente até o dia 0704 Quintafeira até às 2100hs não sendo mais aceita após esta data e horário II A resolução poderá ser digitalizada ou via foto nítida Todos os passos devem ser demosntrados III Boa atividade a todos e todas Questão 𝟎𝟏 Em cada caso abaixo determine se os vetores dados geram o espaço ℝ3 a 2 2 2 0 0 3 0 1 1 b 2 1 3 4 1 2 8 1 8 Questão 𝟎𝟐 Responda justificando sua resposta a o conjunto de vetores dado por 3 1 4 2 5 6 1 4 8 é base de ℝ3 b o conjunto de vetores dado por 2 3 1 4 1 1 0 7 1 é base de ℝ3 Questão 𝟎𝟑 Considere os seguintes subespaços de ℝ3 𝑊2 𝑥 𝑦𝑧 ℝ3 2𝑥 3𝑦 0 𝑊3 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑧 0 𝑥 2𝑦 0 𝑊4 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥 2𝑦 𝑧 0 Ache o conjunto gerador de cada interseção e de cada soma abaixo e diga quais das somas são diretas a 𝑊2 𝑊3 e 𝑊2 𝑊3 b 𝑊2 𝑊4 e 𝑊2 𝑊4 Questão 𝟎𝟒 No espaço vetorial ℝ3 consideremos os seguintes subespaços 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥 0 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑦 2𝑧 0 𝑊 1 1 0 0 0 2 Determinar uma base e a sua respectiva dimensão dos seguintes subespaços a 𝑈 b 𝑉 c 𝑊 d 𝑈 𝑉 e 𝑉 𝑊 Questão 𝟎𝟓 Sejam 𝑊 e 𝑈 subespaços vetoriais de ℝ4 ambos com dimensão 3 Sabendo que 𝑊 𝑈 1210 1101 1521 qual é a dimensão do subespaço 𝑊 𝑈 Para que gerem o espaço R³ podemos analisar se os vetores são LI entre si a a222 b003 c011 0 2a 0 2a c 0 Disso a b c 0 o conjunto é LI Sim gera o R³ b a213 b412 c818 0 2a 4b 8c 0 a 2b 4c 0 3b 3c 0 1a b c 0 a b c 3a 2b 8c 0 3b c 2b 8c 0 5b 5c 0 Não são LI Logo existe um vetor no R³ que não é gerado Ex 111 Questão 2 Da mesma forma veremos se os três são LI a a314 b256 c148 0 3a 2b c 0 13b 12c 2b c 0 11b 11c 0 a 5b c 0 a 5b 4c 4a 6b 8c 0 26b 26c 0 Possui solução 0 não é base pois não é LI b Para ver se são LI podemos usar det A onde A 2 3 1 4 1 1 0 7 1 se for LI o det será 0 2 3 1 2 3 4 1 1 4 1 0 7 1 0 7 1 2 28 14 12 0 logo não são LI e portanto não é base Questão 3 a W₂ W₃ x y 0 2x 3y 0 x y 0 x 2y 0 W₂ W₃ 0 λ0 O que nos dá que o conjunto gerador será spanBᵂ₂ Bᵂ₃ isto é Bᵂ₁ 810 001 Bᵂ₂ 1 12 0 Logo span 1 12 0 11 12 0 001 b W₂ conj x 2x 3 W₃ conj 2y 3y 4y 2x 3y 0 x 2y 3 0 x 2 e subst y 2x então x 3y com isso w₁ w₂ l321